Как найти площадь поверхности цилиндра через шар - Avtoru.top

Шар, вписанный в цилиндр, касается оснований цилиндра в их центрах, а боковой поверхности цилиндра — по параллельной основаниям окружности большого круга (то есть радиус этой окружности равен радиусу шара).

Если шар вписан в цилиндр, то цилиндр описан около шара.

В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний, то есть его высота равна диаметру. Радиус вписанного в цилиндр шара R равен радиусу цилиндра r:

R=r.

Решение задач на шар, вписанный в цилиндр, чаще всего сводится к рассмотрению осевого сечения комбинации тел.

Это сечение представляет собой квадрат с вписанной в него окружностью. Сторона квадрата равна высоте цилиндра и диаметру шара:

H=2R

Найдем отношение объема цилиндра к объему вписанного в него шара. Объем шара

$[{V_1} = frac{4}{3}pi {R^3}]$

Объем цилиндра

$[{V_2} = pi {r^2}H = pi {R^2} cdot 2R = 2pi {R^3}.]$

Отсюда отношение объема шара к объему описанного около него цилиндра

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{{frac{4}{3}pi {R^3}}}{{2pi {R^3}}} = frac{2}{3}.]$

Теперь найдем отношение площади поверхности цилиндра к площади вписанного шара. Площадь поверхности шара (площадь сферы)

$[{S_1} = 4pi {R^2}]$

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:

$[{S_2} = {S_{bok}} + 2{S_{ocn}} = 2pi rH + 2pi {r^2} = ]$

$[ = 2pi R cdot 2R + 2pi {R^2} = 6pi {R^2}.]$

Отсюда отношение площади поверхности вписанного шара к площади поверхности цилиндра

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{4pi {R^2}}}{{6pi {R^2}}} = frac{2}{3}.]$

Источник

Здравствуйте! В этой статье мы с вами рассмотрим задачи с шарами. Вернее здесь будет комбинация тел: шар вписанный в цилиндр или другими словами цилиндр описанный около шара (что одно и тоже) и куб вписанный в шар.

На блоге уже рассмотрена группа задач с шарами, посмотрите. В представленных заданиях речь пойдёт о нахождении объёма и площади поверхности указанных тел. Формулы которые необходимо знать!

Формула объёма шара:

Формула площади поверхности шара:

Формула объёма цилиндра:

Формула площади поверхности цилиндра:

Подробнее о площади боковой поверхности цилиндра:

Она представляет собой «скрученный» в цилиндр прямоугольник одна сторона которого равна длине окружности основания — это 2ПiR, другая сторона равна высоте цилиндра — это Н.

Что стоит отметить касаемо представленных задач?

1. Если шар вписан в цилиндр, то у них общий радиус.

2. Высота цилиндра описанного около шара равна двум его радиусам (или диаметру).

3. Если куб вписан в шар, то диагональ этого куба равна диаметру шара.

245348. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.

Формула объёма шара:

Необходимо найти радиус шара.

У шара и у цилиндра общий радиус. Основание цилиндра это круг с радиусом R, высота цилиндра равна двум радиусам. Значит объём цилиндра вычисляется по формуле:

Подставим данный в условии объём в формулу и выразим радиус:

Оставим выражение в таком виде, выражать радиус (извлекать корень третьей степени) не обязательно, так как нам понадобится именно R³.

Таким образом, объём шара будет равен:

Ответ: 22

245349. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.

Эта задача обратная предыдущей.

Формула объёма шара:

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

Так как объём шара известен, то мы можем выразить радиус и уже далее найти объём цилиндра:

Таким образом:

Ответ: 36

316557. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Формула поверхности шара:

Формула поверхности цилиндра:

Упростим:

Так как площадь поверхности шара нам дана, то мы можем выразить радиус:

Далее подставим его в формулу площади поверхности цилиндра и вычислить её, таким образом:

Ответ: 166,5

245355. Куб вписан в шар радиус которого равен корню из трёх. Найдите объем куба.

Чтобы вычислить объём куба необходимо знать чему равно его ребро. Радиус шара равен половине диагонали куба:

*Диагональ куба равна диаметру шара.

Значит диагональ куба будет равна двум корням из трёх. Обозначим диагональ буквой d, а ребро куба буквой a. Нам известна формула выражающая взаимосвязь диагонали куба и его ребра:

Значит мы можем вычислить ребро куба:

Таким образом, объём куба будет равен 2³ = 8.

Ответ: 8

Если подвести небольшой итог, то можно сказать следующее:

Используя указанные формулы при данных величинах объёма или площади поверхности всегда можно найти (выразить) радиус. А затем зная радиус, далее уже можно его использовать при вычислениях.

В любом случае знание формул обязательно!!! Без этого никак. На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

Шар может быть вписан в цилиндр при условии, что высота цилиндра — h равна диаметру его основания — d.

Диаметр вписанного шара D будет равен этим величинам D = d = h.

Отсюда следует равенство радиусов шара — R и основания цилиндра — r.

Выразим площадь поверхности шара через его радиус, а также площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания.

S (ш) = 4πR^2;

Площадь цилиндра S (ц) складывается из площади двух оснований 2∙πr^2 и боковой поверхности h∙2πr.

Учитывая что h = d = 2r, получаем 2r∙2πr = 4πr^2.

S (ц) = 2πr^2 + 4πr^2 = 6πr^2.

Так как R = r, S (ш) / S (ц) = 4/6 = 2/3.

Воспользовавшись этой формулой, выразим полную поверхность цилиндра через поверхность шара: S (ц) = (3/2) ∙S (ш); S (ц) = (3/2) ∙48 = 72.

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна 72.

Источник

Найдите площадь полной поверхности цилиндра

36 вариантов ЕГЭ 2021 ФИПИ школе Ященко Вариант 20 Задание 8 № задачи в базе 2753

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 74. Найдите площадь полной поверхности цилиндра

Ответ: 111

Ключевые слова:

ФИПИ 2023 🔥 …

Примечание: Найдите площадь полной поверхности цилиндра ! 36 вариантов ЕГЭ 2021 ФИПИ школе Ященко Вариант 20 Задание 8

10%

Рейтинг сложности задачи:

Источник

Задание 8. ЕГЭ. Шар вписан в цилиндр.

Задание. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 26. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований:

(1)

где R – радиус основания цилиндра, h – высота цилиндра.

Так как шар вписан в цилиндр, то радиус основания цилиндра совпадает с радиусом шара, тогда высота цилиндра равна двум радиусам: h = 2R.

Подставим значение h в формулу (1), получим

(2)

Площадь поверхности шара равна:

Подставим полученное значение в формулу (2):

Ответ: 39

Источник

Найдите площадь полной поверхности цилиндра

36 вариантов ЕГЭ 2021 ФИПИ школе Ященко Вариант 20 Задание 8 № задачи в базе 2753

Задание 8. ЕГЭ. Шар вписан в цилиндр.

Не пропустите также: