Формулы площади геометрических фигур
Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.
Формулы площади треугольника
-
Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты -
Формула площади треугольника по трем сторонам
Формула Герона
S = √p(p — a)(p — b)(p — c)
-
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними. -
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
-
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.где S — площадь треугольника,
a, b, c — длины сторон треугольника,
h — высота треугольника,
γ — угол между сторонами a и b,
r — радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,p = a + b + c — полупериметр треугольника. 2
Формулы площади квадрата
-
Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.S = a2
-
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата,
d — длина диагонали квадрата.
Формула площади прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон
S = a · b
где S — Площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.
Формулы площади параллелограмма
-
Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.S = a · h
-
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.S = a · b · sin α
-
Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.где S — Площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
h — длина высоты параллелограмма,
d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма,
γ — угол между диагоналями параллелограмма.
Формулы площади ромба
-
Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.S = a · h
-
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.S = a2 · sin α
-
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.где S — Площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба,
α — угол между сторонами ромба,
d1, d2 — длины диагоналей.
Формулы площади трапеции
-
Формула Герона для трапеции
S = a + b √(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d) |a — b| -
Формула площади трапеции по длине основ и высоте
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высотугде S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,p = a + b + c + d — полупериметр трапеции. 2
Формулы площади выпуклого четырехугольника
-
Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:
где S — площадь четырехугольника,
d1, d2 — длины диагоналей четырехугольника,
α — угол между диагоналями четырехугольника. -
Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)
Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности
S = p · r
-
Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов
S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos2θ
где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d2 — полупериметр четырехугольника,
θ = α + β2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
-
Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность
S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)
Формулы площади круга
-
Формула площади круга через радиус
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.S = π r2
-
Формула площади круга через диаметр
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.где S — Площадь круга,
r — длина радиуса круга,
d — длина диаметра круга.
Формулы площади эллипса
Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.
S = π · a · b
где S — Площадь эллипса,
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса.
Площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.
Некоторые свойства площади фигур
-
Если многоугольники равны, то они имеют равные площади.
-
Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
Рис. (1). Нахождение площади многоугольника
Рассмотрим, как найти площадь у разных фигур.
Площадь квадрата
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
, где
a
— длина стороны квадрата.
Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину (смежные стороны).
, где
a
и
b
— длина и ширина.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Рис. (2). Параллелограмм
,
a
(
AD
и
CD
) — основание,
h
(
BE
и
BF
) — высота.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Рис. (3). Ромб
Рис. (4). Треугольник
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
, где
a
(
AD
) — основание,
h
(
BE
) — высота треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Рис. (5). Трапеция
Площадь трапеции равна половине суммы оснований, умноженной на высоту.
, где
a
(
BC
) и
b
(
AD
) — основания,
h
(
BE
) — высота.
Площадь круга и кругового сектора
Рис. (6). Круг
— площадь кругового сектора.
Более подробно ознакомиться с примерами можно здесь.
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
b — верхнее основание
a — нижнее основание
c — равные боковые стороны
α — угол при нижнем основании
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):
2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности
R — радиус вписанной окружности
D — диаметр вписанной окружности
O — центр вписанной окружности
H — высота трапеции
α, β — углы трапеции
Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
d — диагональ трапеции
α, β — углы между диагоналями
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
m — средняя линия трапеции
c — боковая сторона
α, β — углы при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
b — верхнее основание
a — нижнее основание
h — высота трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):
Площади фигур. Основные формулы.
Площадь треугольника.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
а — основание, h — высота, проведенная к этому основанию. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b — стороны, α — угол между этими сторонами. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b, с — стороны, р — полупериметр (сумма трех сторон, деленная пополам). Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
r — радиус вписанной в треугольник окружности, р — полупериметр (сумма трех сторон, деленная пополам). Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b, с — стороны, R — радиус описанной около треугольника окружности, d — диаметр описанной окружности. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
R — радиус описанной около треугольника окружности, α, β, γ — углы треугольника. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b — катеты. Формула применима для прямоугольного треугольника. |
 |
 |
a — сторона. Формула применима для равностороннего (правильного) треугольника. |
Площадь квадрата и прямоугольника.
Площадь параллелограмма и ромба.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
а — одна из сторон параллелограмма, h — высота, проведенная к этой стороне |
 |
 |
а, b — стороны параллелограмма, α — угол между этими сторонами |
 |
 |
d1, d2 — диагонали, α — угол между диагоналями (можно брать любой угол, т.к. синусы смежных углов равны) |
 |
 |
а — сторона ромба, h — высота, проведенная к этой стороне |
 |
 |
а — сторона ромба, α — угол между этими сторонами |
 |
 |
d1, d2 — диагонали ромба |
Площадь трапеции.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
а, b — основания трапеции, h — высота. Формула применима для любой* трапеции. |
 |
 |
m — средняя линия трапеции, h — высота. Формула применима для любой трапеции. |
 |
 |
d1, d2 — диагонали трапеции, α — угол между диагоналями (можно брать любой угол, т.к. синусы смежных углов равны). Формула применима для любой трапеции. |
*Любая трапеция — это и равнобедренная, и прямоугольная, и тупоугольная, и произвольная 
Площадь круга и кругового сектора.
Площадь многоугольника.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
р — полупериметр (сумма всех сторон многоугольника, деланная на 2), r — радиус вписанной в этот многоугольник окружности. *Пятиугольник нарисован для примера. Формула работает как для правильного, так и для произвольного многоугольника, главное, чтобы в него можно было вписать окружность. |
Площадь. Формулы площади
Любовь Петровна Гаврилюк
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Понятие площади
Понятие площади многоугольника будем связывать с такой геометрической фигурой, как квадрат. За единицу площади многоугольника будем принимать площадь квадрата со стороной, равной единице. Введем два основных свойства, для понятия площади многоугольника.
Далее введем площади основных фигур планиметрии: квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции и треугольника без их вывода.
Площадь квадрата
Теорема 1
Площадь квадрата определяется как квадрат длины его стороны, то есть
[S=a^2]
Площадь прямоугольника
Теорема 2
Площадь прямоугольника определяется произведением длин его смежных сторон, то есть
[S=ab]
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Площадь параллелограмма
Теорема 3
Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть
[S=ah]
Теорема 4
Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами, то есть
[S=absinalpha ]
Площадь трапеции
Теорема 5
Площадь трапеции определяется как половина произведения суммы длин его оснований, на его высоту, то есть
[S=frac{1}{2}(a+b)h]
Площадь треугольника
Теорема 6
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть
[S=frac{1}{2}ah]
«Площадь. Формулы площади» 👇
[Теорема]
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами, то есть
[/Теорема]
Теорема 7
Пусть нам даны три стороны треугольника $a, b и c$. Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом
[S=sqrt{pleft(p-aright)left(p-bright)(p-c)}]
где $p$ — полупериметр данного треугольника.
Теорема 8
Площадь правильного треугольника со стороной $a$ определяется следующим образом
[S=frac{a^2sqrt{3}}{4}]
Теорема 9
Пусть нам даны три стороны треугольника $a, b и c$ и радиус вписанной в него окружности $r$. Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом
[S=pr]
где $p$ — полупериметр данного треугольника.
Теорема 10
Пусть нам даны три стороны треугольника $a, b и c$ и радиус описанной около него окружности $R$. Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом
[S=frac{abc}{4R}]
Пример задач
Пример 1
Найти площадь фигуры, данной на рисунке $1$, если одна клетка имеет площадь, равную единице.
Рисунок 1.
Решение.
Данную фигуру можно разбить следующим образом:
Рисунок 2.
По теореме $6$, имеем
[S_{ADC}=frac{1}{2}cdot 5cdot 3=7,5, S_{ABC}=frac{1}{2}cdot 5cdot 2=5 ]
$ $Тогда
[S=S_{ADC}+S_{ABC}=7,5+5=12,5]
Пример 2
Найти площадь фигуры, данной на рисунке $2$, если одна клетка имеет площадь, равную единице.
Рисунок 3.
Решение.
Данную фигуру можно разбить следующим образом:
Рисунок 4.
По теореме $6$, имеем
[S_{ABM}=frac{1}{2}cdot 4cdot 1=2, S_{BCP}=frac{1}{2}cdot 3cdot 1=1,5, S_{OED}=frac{1}{2}cdot 3cdot 3=4,5, S_{ENF}=frac{1}{2}cdot 4cdot 1=2]
По теореме $2$, имеем
[S_{MNOP}=4cdot 7=28]
Тогда
[S=S_{ABM}+S_{BCP}+S_{OED}+S_{ENF}+S_{MNOP}=] [=2+1,5+4,5+2+28=38]
Ответ: $38$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 19.05.2023