Как найти площадь квадрата если известна окружность - Avtoru.top

{S = a ^2}

На этой странице вы найдете удобный калькулятор для расчета площади квадрата и формулы, которые помогут найти площадь квадрата через его сторону, диагональ, периметр, а также радиусы вписанной и описанной окружности.

Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые (90 градусов) и все стороны равны между собой. Из-за своих свойств квадрат часто называют правильным четырехугольником.

Содержание:

калькулятор площади квадрата
формула площади квадрата через сторону
формула площади квадрата через диагональ
формула площади квадрата через радиус вписанной окружности
формула площади квадрата через радиус описанной окружности
формула площади квадрата через периметр
примеры задач

Формула площади квадрата через сторону

S = a ^2

a — сторона квадрата

Формула площади квадрата через диагональ

S=dfrac{d^2}{2}

d — диагональ квадрата

Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности

S = 4r^2

r — радиус вписанной окружности

Формула площади квадрата через радиус описанной окружности

S = 2R^2

R — радиус описанной окружности

Формула площади квадрата через периметр

S = dfrac{P^2}{16}

P — периметр квадрата

Примеры задач на нахождение площади квадрата

Задача 1

Найдите площадь квадрата если его диагональ равна 1.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{d^2}{2} = dfrac{1^2}{2} = dfrac{1}{2} = 0.5 : см^2

Ответ: 0.5 см²

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 2

Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 83.

Решение

Для решения этой задачи используем формулу площади квадрата через радиус описанной окружности.

S = 2R^2 = 2 cdot 83^2 = 2 cdot 6889 = 13778 : см^2

Ответ: 13778 см²

Проверим ответ с помощью калькулятора .

Задача 3

Найдите площадь квадрата если его сторона равна 8 см.

Решение

Используем первую формулу.

S = a ^2 = 8 ^2 = 64 : см^2

Ответ: 64 см²

Проверим результат на калькуляторе .

Задача 4

Найдите площадь квадрата периметр которого равен 456 см.

Решение

Используем формулу для площади квадрата через периметр.

S = dfrac{P^2}{16} = dfrac{456^2}{16} = dfrac{456 cdot cancel{456}^{ : 57}}{cancel{16}^{ : 2}} = dfrac{57 cdot cancel{456}^{ : 228}}{cancel{2}^{ : 1}} = 57 cdot 228 = 12996 : см^2

Ответ: 12996 см²

Проверка .

Задача 5

Найдите площадь квадрата со стороной 15 см.

Решение

Воспользуемся формулой площади квадрата через сторону.

S = a ^2 = 15 ^2 = 225 : см^2

Ответ: 225 см²

Проверка .

Источник

Расчёт площади квадрата по радиусу описанной окружности

Калькулятор рассчитывает площадь квадрата по радиусу описанной окружности.

Формула площади квадрата по радиусу описанной окружности

Где S — площадь квадрата,
R — радиус описанной окружности

Вывод формулы площади квадрата по радиусу описанной окружности

Диагональ квадрата равна диаметру окружности или двум радиусам

С помощью теоремы Пифагора выведем сторону a через диагональ

Подставим в формулу площади квадрата

Диагональ квадрата равна диаметру окружности или двум радиусам

Подставим и выведем формулу

Похожие калькуляторы

Источник

При помощи нашего калькулятора вы легко сможете узнать площадь квадрата описанного около окружности.

Для того, что бы узнать площадь квадрата описанного около окружности необходимо с тем что у этих двух фигур общее, а одной из общих величин у них является сторона квадрата которая равна диаметру круга.

a=D

Таким образом для нахождения площади квадрата описанного около окружности, через этот круг, необходимо найти значение диаметра.

Для нахождения диаметра окружности нам необходимо знать одну из его величин а именно:

либо площадь круга, обозначаемая буквой S,
либо периметр круга, обозначаемый буквой P,
либо радиус круга, обозначаемый буквой R,

1. Если нам известна площадь круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:

2. Если нам известна длина круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:

D=P/π

3. Если нам известен радиус круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:

D=2R

Соответственно если мы знаем диаметр круга который равен стороне описанного квадрата,

a=D

Теперь мы можем узнать площадь этого квадрата

p = a²

Источник

Как находить площадь квадрата

Найти площадь такой фигуры, как квадрат, можно даже пятью способами : по стороне, периметру, диагонали, радиусам вписанной и описанной окружности.

Инструкция

Если известна длина стороны квадрата, то его площадь равна квадрату (второй степени) стороны.
Пример 1.
Пусть имеется квадрат со стороной 11 мм.

Определите его площадь.
Решение.
Обозначим через:

а — длину стороны квадрата,

S – площадь квадрата.
Тогда:
S=а*а=а²=11²=121 мм²
Ответ: Площадь квадрата со стороной 11 мм – 121 мм².

Если известен периметр квадрата, то его площадь равна шестнадцатой части квадрата (второй степени) периметра.
Следует из того, что все (четыре) стороны квадрата имеют одинаковую длину.
Пример 2.
Пусть имеется квадрат с периметром 12 мм.

Определите его площадь.
Решение.
Обозначим через:

Р — периметр квадрата,

S – площадь квадрата.
Тогда:
S=(Р/4)²=Р²/4²=Р²/16=12²/16=144/16=9 мм²
Ответ: Площадь квадрата с периметром 12 мм – 9 мм².

Если известен радиус вписанной в квадрат окружности, то его площадь равна учетверенному (умноженному на 4) квадрату (второй степени) радиуса.
Следует из того, что радиус вписанной окружности равен половине длины стороны квадрата.
Пример 3.
Пусть имеется квадрат с радиусом вписанной окружности 12 мм.

Определите его площадь.
Решение.
Обозначим через:

r – радиус вписанной окружности,

S – площадь квадрата,

а — длину стороны квадрата.
Тогда:
S=а²=(2*r)=4*r²=4*12²=4*144=576 мм²
Ответ: Площадь квадрата с радиусом вписанной окружности 12 мм – 576 мм².

Если известен радиус описанной вокруг квадрата окружности, то его площадь равна удвоенному (умноженному на 2) квадрату (второй степени) радиуса.
Следует из того, что радиус описанной окружности равен половине диаметра квадрата.
Пример 4.
Пусть имеется квадрат с радиусом описанной окружности 12 мм.

Определите его площадь.
Решение.
Обозначим через:

R – радиус описанной окружности,

S – площадь квадрата,

а — длину стороны квадрата,

d – диагональ квадрата

Тогда:
S=а²=d²/2=(2R²)/2=2R²=2*12²=2*144=288 мм²
Ответ: Площадь квадрата с радиусом описанной окружности 12 мм – 288 мм².

Если известна диагональ квадрата, то его площадь равна половине квадрата (второй степени) длины диагонали.
Следует из теоремы Пифагора.
Пример 5.
Пусть имеется квадрат с диагональю длиной 12 мм.

Определите его площадь.
Решение.
Обозначим через:

S – площадь квадрата,

d – диагональ квадрата,

а — длину стороны квадрата.
Тогда, так как по теореме Пифагора: а²+а²=d²
S=а²=d²/2=12²/2=144/2=72 мм²
Ответ: Площадь квадрата с диагональю 12 мм – 72 мм².

Видео по теме

Обратите внимание

Обозначим сторону квадрата как «b». По определению площадь — это произведение длины и ширины. Длина квадрата равняется b, ширина тоже. Следовательно, площадь квадрата можно приравнять к квадрату его стороны: S=b2.

Полезный совет

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Площадь квадрата онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь квадрата. Для нахождения площади квадрата, введите известные данные в ячейку и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Площадь квадрата. Определение

Определение 1. Площадь квадрата − это величина той части плоскости, которую занимает квадрат.

Единицы измерения площади квадрата

За единицу измерения площадей применяют квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. В качестве единицы измерения площадей принимают квадраты со сторонами 1мм, 1см, 1дм, 1м и т.д (Рис.1). Такие квадраты назыают квадратным миллиметром, квадратным сантиметром, квадратным дециметром, квадратным метром и т.д., соответственно. Обозначаются они мм², см², дм², м² и т.д., соответственно.

Если выбрана единица измерения, то площадь измеряемого объекта (квадрата, треугольника, прямоугольника, многоугольника и т.д.)определяется положительным числом, которая определяет сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном объекте.

Для измерения отдельных плоских фигур используются специальные формулы. В данной статье мы выведем формулу для вычисления площади квадрата.

Площадь квадрата. Доказательство

Теорема 1. Площадь S квадрата со стороной a равна .

Доказательство. Пусть n целое неотрицательное число и пусть . Рассмотрим квадрат со стороной 1 (Рис.2). Разделим этот квадрат по ветрикали и по горизонлали на n равных частей. Получим маленьких квадратов состоронами . Поскольку площадь большого квадрата равна 1 (так как является единицей измерения), то очевидно, что площадь маленького квадрата равна:

а поскольку , то имеем:

Пусть теперь a является конечной десятичной дробью, содержащую n знаков после запятой. (Если n=0, то a будет целым числом). Тогда a можно представить в виде обыкновенной дроби, умножив и делив на :

откуда

где m − целое число.

Возьмем квадрат со стороной a и разделим его по горизонлали и вертикали на m ровных частей. Получим m² маленьких квадратов (Рис.3).

Тогда, учитывая (2), сторона каждого квадрата равна:

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна:

Следовательно, площадь квадрата со стороной a равна:

Пусть, далее, число a представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число a_n которая получается из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n+1)-го. Поскольку a отличается от a_n не более, чем на , то имеем:

откуда

Из неравенства (4) следует, что площадь S квадрата со стороной a заключена между площадью квадрата со стороной a_n и площадью квадрата со стороной (Рис.4), т.е.

При неограниченном увеличении числа n, число будет становиться сколь угодно малым и, следовательно, число будет сколь угодно мало отличаться от . Тогда из неравенства (5) следует, что число S будет мало отличаться от числа . Следовательно они равны, т.е. .

Площадь квадрата по стороне

Из вышеизложенного доказательства получили, что площадь квадрата равна:

где ( small a ) сторона квадрата.

Пример 1. Сторона квадрата равна . Найти площадь квадрата.

Решение. Для нахождения плошади квадрата воспользуемся формулой (6). Подставляя в (6), получим:

Ответ:

Площадь квадрата по диагонали

Пусть известна диагональ ( small d ) квадрата (Рис.5). Найдем площадь квадрата.

Для нахождения плошади квадрата, найдем сначала сторону ( small a ) квадрата. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

Подставляя (7) в (6), получим:

то есть площадь квадрата по диагонали вычисляется из следующей формулы:

Пример 2. Диагональ квадрата равна . Найти площадь квадрата.

Решение. Для нахождения плошади квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Площадь квадрата по радиусу вписанной окружности

Пусть известен ( small r ) радиус окружности вписанной в квадрат (Рис.6). Найдем площадь квадрата.

Для нахождения плошади квадрата, найдем сначала сторону ( small a ) квадрата. Нетрудно заметить, что радиус ( small r ) равна половине стороны ( small a ) квадрата, т.е.

Подставляя (9) в (6), получим:

или

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найти площадь квадрата.