Как найти площадь изогнутой фигуры по клеткам - Avtoru.top

Площадь фигуры (треугольник, четырёхугольник, трапеция и др.) по клеточкам (клеткам).

Какие есть формулы?

Есть способ, при котором надо воспользоваться формулой, основой которой будет понятие узла, узла внутреннего и узла внешнего. Узел это пересечение линий, образующих эти самые клеточки. Внешние узлы, это узлы, находящиеся на сторонах и вершинах геометрических фигур, площади которых нам надо найти. А внутренние узлы, это узлы внутри этих фигур. Клеточки у нас со сторонами равными одному сантиметру (1 см).

Формула, о которой идет речь, называется формула Пика.

Выглядит она вот так:

И по ней очень просто посчитать площадь фигуры S. В этой формуле M это количество внешних узлов, N — количество внутренних узлов.

Приведем пример, возьмем геометрическую фигуру параллелограмм:

Внутренние узлы — синие — N — их у нас 20.

Внешние узлы — красные — М — их у нас 18 и их количество нам надо поделить на два, получится 18/2 = 9 узлов.

Складываем 9 + 20 и вычитаем единицу: 20 + 9 — 1 = 28 см².

Еще один пример:

S = 14/2 + 43 — 1 = 49 см².

система выбрала этот ответ лучшим

Ксарфакс
[156K]

6 лет назад

Допустим, у нас есть произвольная фигура, построенная на листе в клетку. Необходимо вычислить её площадь.

Площадь фигуры по клеточкам

Для того, чтобы найти площадь любой фигуры по клеточкам, можно использовать формулу Пика.

Данная формула основана на подсчёте количества узлов, лежащих внутри фигуры и на её границе.

Узел — это точка, которая лежит на пересечении 2 линий данной сетки: вертикальных и горизонтальных.

Площадь фигуры по клеточкам находится по формуле:

N — количество узлов, которые находятся внутри фигуры.

M — количество узлов, которые находятся на границах (на вершинах и сторонах).

Примеры нахождения площади по клеточкам

1) Найдём площадь треугольника. Будем считать, что одна клетка — это 1 см.

Отметим внутренние узлы и узлы, которые находятся на границах.

N = 7 (внутренние).

M = 8 (узлы на границах).

Площадь треугольника S = 7 + 8/2 — 1 = 10 см².

2) Найдём площадь трапеции по клеточкам, одна клетка — это 1 см. Отметим все узлы и подсчитаем их количество.

N = 11 (внутренние).

M = 12 (узлы на границах).

Площадь трапеции S = 11 + 12/2 — 1 = 16 см².

3) Найдём площадь произвольного многоугольника. Одна клетка — это 1 см.

Отметим внутренние узлы и узлы, расположенные на границах фигуры. Подсчитаем их количество.

N = 6 (внутренние узлы).

M = 8 (узлы на границах).

Площадь многоугольника S = 6 + 10/2 — 1 = 10 см².

Марина Вологда
[295K]

3 года назад

Такие задачи очень часто встречаются, когда известен размер клеточки и дана фигура.

Вот пример таких задач:

Решение зависит от того, какая фигура дана и как именно она размещена относительно клеточек.

Возьмем простой пример, необходимо вычислить площадь вот такого треугольника:

Вспоминаем правило:

Теперь считаем, сколько клеточек треугольник в длину и сколько в высоту. У нас получается 2 в высоту и 6 в длину.

Подставляем к формуле:

S = 1/2 х 2 х 6 = 6 см2.

Считаем по клеточкам, подставляя формулу Пика:

Целых клеточек у нас 3.

Теперь считаем, сколько не целых: 6. Делим их на 2.

S = 3 + 6:2 = 6 см2.

А теперь высчитываем по формуле Пика: количество узлов сетки внутри — 2, количество узлов сетки, лежащих на границах — 10.

Подставляем к формуле и получаем — 2 + 10:2 — 1 = 6 см2.

Теперь давайте рассмотрим вот такой треугольник:

Чтобы найти площадь, вспоминаем правило:

Считаем клеточки и подставляем в формулу:

S = 1/2 х 2 х 6 = 6 см2.

А теперь находим по клеточкам: целых клеточек 2, не целых клеточек 8. Подставляем в формулу: 2 + 8:2 = 6 см2.

Пробуем сделать по формуле Пика: количество узлов сетки внутри — 3, количество узлов сетки, лежащих на границах — 8.

Подставляем к формуле и получаем — 3 + 8:2 — 1 = 6 см2.

Enot-Nina
[110K]

3 года назад

Найти площадь геометрической фигуры можно самыми разными способами:

Самый простой вариант — это вручную посчитать клеточки — целые и половинки также поскладывать. Простой, хотя и не самый быстрый и может не самый точный способ, но он работает. Чтобы легче было считать, достаточно расчертить фигуру на более простые.

Есть еще один способ — это использовать давно разработанную формулу. Это так называемая формула Пика. Для нее нужно посчитать количество узлов — точек пересечения клеточек, что окружены фигурой (находятся внутри нее), а также подсчитать количество пограничных узлов — по контуру фигуры.

Вот на картинке наглядно показано, как ее можно применять, чтоб посчитать площадь любой фигуры по клеточкам:

Бархатные лапки
[382K]

3 года назад

Площадь любого многоугольника можно посчитать по клеточкам. Для этого применяем формулу Пика. На нашем рисунке В — количество узловых клеточек внутри фигуры, Г — количество узлов на границе . Узлы — пересечение двух линий. многоугольника. Площадь равна S = В + Г/2 — 1 Считаем точки на рисунке и подставляем в формулу. — 10 + 7/2 -1 = 12,5.

Таким образом можно посчитать площадь, если вершины фигуры лежат в узлах.

Ann Luka
[2.8K]

6 лет назад

Чтобы найти площадь фигуры по клеточкам, нужно посчитать сколько в фигуре целых клеточек. Потом нужно посчитать сколько не целых и поделить их количество на 2. Добавить к получившемуся числу количество целых клеточек — это и будет правильный ответ.

Например. В треугольнике 3 целых клетки и 4 не целых. 3+4/2=5 пощадь треугольника 5 клеток.

Outline
[18.3K]

3 года назад

Для того, чтобы определить площадь фигуры на бумаге в клеточку есть универсальная формула Пика, позволяющая вычислить площадь изображения, но в только в том случае, если вершины искомой фигуры имеют целые (натуральные числа) координаты. Называется эта формула, в честь Георга Пика:

S=В + Г / 2 − 1

В этой формуле буквенные обозначения означают следующее:

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника;

Г — количество целочисленных точек на границе (вершинах и сторонах) многоугольника;

S – площадь фигуры.

Здесь используется понятие «целочисленные» – это те, точки, которые расположены на пересечениях сетки (в ее узлах).

Для примера, найдем площадь треугольника:

Обозначим внутренние точки нашей фигуры красными кружками, а те, что на границах – синим цветом. Считаем красные и синие точки:

В=12, Г=4.

Исходя из подсчетов определяем площадь треугольника по формуле:

S=В+Г/2-1=12+2-1=13.

Можно убедиться в правильность проведенных выше расчетах. Рассчитываем площадь квадрата, обведенного красным, и вычитаем площади зеленого, синего и фиолетового треугольников:

S квадрата равна 36, площади треугольников: синего – 6, зеленого – 2, фиолетового – 15.

Исходя из полученных данных, S белого треугольника равна 13:

S=36-6-15-2=13.

KritikSPb
[93.7K]

3 года назад

Подсчет клеточек — дело полезное. С их помощью можно найти площадь геометрической фигуры.

Достаточно воспользоваться формулой, доказанной Георгом Пиком в 1899 году.

Подходит для расчета площади фигур с прямыми сторонами и целым количеством углов, чаще всего применяют для нахождения площади разносторонних треугольников и многоугольников с числом углов больше 4-х.

На теорему Пика есть задания в ЕГЭ.

127771
[273K]

3 года назад

Сначала я подумал, что нужно будет фигуру, которая указана на рисунке в клеточку разбить по фигурам так, чтобы можно посчитать площадь каждой фигуры по-отдельности, но оказалось все намного проще. Существует для данной задачи специальная формула Пика, которая выглядит следующим образом:

Площадь = В + Г/2 — 1, где:

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника.
Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Теперь разберемся на примере, у нас есть такой пример:

Перед нами трапеция. Допустим площадь одной клетки 1 кв.см. Теперь можно воспользоваться формулой:

11+12/2-1=16 кв.см.

Бекки Шарп
[71.2K]

3 года назад

Найти площадь фигуры можно если вершины фигуры находятся в уголках клеточек, так называемые Целочисленные вершины или узловые точки. Решать задачу будем по формуле Пика, где

В — количество внутренних узловых точек,
Г — количество граничных узловых точек,

Вот такая фигура у нас —

Считаем точки и подставляем в формулу: S = 17 + 14/2 — 1 = 23

Ответ мы получаем в квадратных единицах, то есть клеточках.

Знаете ответ?

Источник

Оборудование. Учебник Э.И.Александровой
(изд-во ВИТА-ПРЕСС), на каждого ученика листочки
четырёх цветов, листочки с четырьмя вариантами
заданий, непрозрачные конверты с палетками из
целлофана, два больших демонстрационных листа с
рисунками 2 и 3, 6 листов для работы (по количеству
групп) с фигурой на рисунке 2, 12 листов с фигурой
на рисунке 3.

Тема. Измерение площадей криволинейных
фигур. Палетка.

Цели.

Образовательная: познакомить с способом
измерения площадей криволинейных фигур; с
устройством для измерения площадей — палеткой;
закреплять умение находить площади
прямолинейных фигур.

Развивающая: развивать внимание,
наблюдательность, умение рассуждать, обобщать и
делать выводы.

Воспитательная: воспитывать умение общаться,
аккуратность, внимательность.

1. Учебная ситуация успеха

Учитель. Чем мы занимались на вчерашнем уроке?

Ученики. Находили площади и периметры фигур.

Учитель. Как найти площадь геометрической
фигуры?

Ученики. Площадь прямоугольника и треугольника
находят по формуле. Если это не прямоугольник и
не треугольник, то сначала многоугольник надо
разбить или достроить до фигур, площади которых
мы уже знаем как находить.

Учитель. Я предлагаю вам выполнить эти задания.
Здесь 4 варианта заданий. Посмотрите на них и
выберите себе любое. Все 4 варианта лежат у вас на
партах.

На доске четыре варианта заданий. Каждое
записано своим цветом. У детей на партах кроме
карточек с фигурами четырёх цветов, квадраты
соответствующих цветов.

На доске

Дети, решив задание, поднимают карточку с
соответствующим заданию цветом. По цвету они
находят группу, сверяют решение, выбирают одного
представителя от группы, который записывает
решение на доске. Остальные сверяют свои ответы с
доской.

Учитель. Ребята, научились мы находить площади
геометрических фигур?

Ученики. Да.

2. Постановка учебной задачи

Учитель. А теперь найдите площадь этой фигуры.

Показывает и вывешивает на доску

Ученики молчат.

Учитель. Почему вы не можете выполнить задание?

Ученики. Это не прямоугольник и не треугольник.
Это не многоугольник.

Учитель. Чем эта фигура отличаются от нам
известных фигур, многоугольников?

Ученики. Непонятно, где длина, ширина. Нет углов.
Фигуры некрасивые, какие-то кривые.

Учитель. Да, все многоугольники состоят из
прямых линий. Поэтому их называют прямолинейными
фигурами. А из каких линий состоят эти фигуры?

Как бы вы их назвали?

Ученики. Кривые.

Учитель. В математике такие фигуры называют криволинейными.

Учитель. Чем же мы будем заниматься сегодня на
уроке?

Ученики. Учиться находить площади
криволинейных фигур.

Учитель фиксирует проблему на доске:

S = ?

3. Поиск решения поставленной задачи

Учитель. Как же мы будем решать эту задачу? Как
вы находили площадь прямоугольника, когда ещё не
знали формулу его площади?

Ученики. Мы измеряли площадь прямоугольника с
помощью мерки.

Учитель. А для криволинейной фигуры такой
способ можно попробовать?

Ученики. Да.

Учитель. Как можно узнать площадь
криволинейной фигуры с помощью мерки в одну
клетку?

Ученики. Разбить на мерки, продолжив линии
клеток-мерок.

Учитель. Что будете делать, когда разобьёте
фигуру на мерки, чтобы узнать площадь фигуры?

Ученики. Посчитаем количество мерок в фигуре.

Учитель. Работаем в группах.

Представители от групп записывают свои ответы
на доске. Ответы оказываются разными.

Учитель. Почему ответы оказались разными? Наши
ребята не умеют считать?

Группа, у которой количество мерок меньше,
объясняют: “Мы не считали нецелые мерки”.

Учитель. Правильно будет вообще не считать
неполные мерки?

Ученики. Нет.

Учитель. А считать половинку как полную
мерку-квадрат можно?

Ученики. Нет.

Учитель. Что же делать с неполными мерками,
ребята? Как их считать?

Ученики. Складывать по две мерки.

Учитель. Да, в математике договорились считать
всё количество неполных мерок и делить на 2.

Учитель. Посчитайте ещё раз количество полных
мерок. Неполных мерок.

Ученики работают в группах.

Учитель. Скольким квадратным меркам равна
площадь фигуры?

Представители от групп называют ответы. Все
сверяют со своими ответами.

4. Моделирование

Учитель. Что мы сейчас нашли?

Ученики. Мы узнали площадь криволинейной
фигуры.

Учитель. Давайте вспомним, как мы это делали.

Дети говорят, учитель записывает на доске.

1. Разбить на мерки.

1. Посчитать полные мерки.

2. Посчитать неполные мерки и разделить на 2.

3. Сложить.

Учитель. Так можно найти площадь только этой
криволинейной фигуры?

Ученики. Можно найти площадь и другой фигуры.

Учитель. Как записать, чтобы было понятно, что
таким способом можно воспользоваться для
вычисления площади любой криволинейной фигуры?

Как обозначить полные мерки? Неполные мерки?

Дети предлагают разные варианты. Учитель
сообщает, что в математике договорились полные
мерки обозначать буквой n, а неполные мерки
буквой m.

Учитель. Кто закончит запись S_o = ?

На доске появляется запись: S_o = n + m : 2

Физминутка

5. Рефлексия

Учитель. Откройте учебники на стр. 61. Найдите №
88. Работая в парах, узнайте площади криволинейных
фигур: 1 ряд – площадь первой фигуры, 2 ряд –
площадь второй фигуры, 3 ряд – площадь третьей
фигуры.

Проверка

Представители от пар, выполнивших задание
первыми, записывают на доске ответы. Остальные
сравнивают свои ответы с их записями.

Учитель. По какой формуле вы находили площадь
криволинейной фигуры?

Ученики. S = n + m : 2

Учитель. При таком способе нахождения площади
(путём разбиения фигуры на мерки-квадраты)
измерения получаются неточными.

Какие единицы измерения площадей вы знаете?

Ученики. Кв.см, кв.мм, кв.м, кв.км.

Учитель. Откройте учебник на с. 62 , № 89.

Одну и ту же фигуру измеряли сначала в кв.см,
потом в кв. мм

Как вы думаете, в каком случае измерения
выполнены более точно: в кв. см или в кв.мм?

Ученики. Более точно измерили квадратными мм .

6. Конкретизация способа нахождения площади
криволинейной фигуры

Учитель. Мы научились измерять площади
криволинейных фигур, разбивая их на клетки –
мерки.

А сейчас посмотрите вот на эту фигуру:

Надо узнать площадь этой фигуры с помощью мерки
в 1 кв. см.

Чем отличается данное задание от предыдущего?

Ученики. Нет клеточек, по которым можно
провести линии мерок.

Учитель. Да, здесь нет сетки из квадратов. Как же
узнать, сколько полных и неполных кв. см
поместилось в данной фигуре?

Все задумались и молчат. Один ученик предлагает
свою версию – накинуть сверху какую-нибудь сетку
из квадратиков.

Учитель. Да, можно изготовить специальное
устройство (показываю). Это палетка.

Достаньте из конверта палетку. Кто догадался,
как её сделали?

Ученики. Расчертили на квадраты со стороной в 1
см.

Учитель. А как ей пользоваться?

Ученики. Наложить на фигуру и посчитать
количество клеток.

Посчитайте в парах площадь этой криволинейной
фигуры.

Учитель. Выполните задание в учебнике №
90.Каждый самостоятельно.

Проверка.

Три первых ученика, выполнивших задание,
выходят к доске и записывают свои ответы

Класс сверяет ответы.

7. Дз.

Учитель. Дома вам надо найти площади фигур из №
91. Что вам для этого понадобится?

Ученики. Палетка.

Учитель. Кто сможет сделать её сам?

Как это сделать?

Думаю, что все справятся с этой работой.

Если вы увидите фигуру, площадь которой можно
найти другим способом, то вычислите площадь
такой фигуры двумя способами: с помощью палетки и
без неё.

8. Итоговая рефлексия

Учитель. Какую задачу решали на уроке?

Ученики. Учились находить площадь
криволинейной фигуры.

Учитель. Кто сможет дома рассказать родителям
,как найти площадь криволинейной фигуры?

Как это сделать?

Учитель. А как вы думаете, чем мы будем
заниматься на следующих уроках?

Ученики. Будем решать задачи на нахождение
площадей фигур.

Будем находить новые формулы для нахождения
площадей фигур.

Учитель. Да, на следующих уроках мы будем
использовать полученные знания в решении задач.

Источник

Круг на клетчатой бумаге

Рассмотрим задачи, в которых изображён круг на клетчатой бумаге и требуется по известной площади круга найти площадь заштрихованного сектора либо найти площадь круга по данному значению площади сектора.

Для решения обеих задач надо определить величину соответствующего ему центрального угла.

Градусная мера окружности — 360°. Зная центральный угол, найдем, какую часть площадь закрашенного сектора составляет от площади круга.

Самые простые задания этого вида — те, в которых центральный угол — прямой. 90° составляют четверть от 360°. Отсюда, для нахождения площади сектора площадь круга следует разделить на 4. И наоборот, для нахождения площади круга по известной площади сектора площадь сектора умножаем на 4.

Стороны прямого угла, чаще всего, либо проведены по клеточкам (одна сторона — горизонтально, другая — вертикально), либо делят каждую клеточку по диагонали (как диагональ квадрата).

Определить прямой угол можно даже с помощью листа бумаги (приложив его к центру круга).

1) На клетчатой бумаге изображён круг площадью 60.

Найти площадь заштрихованного сектора.

Так как центральный угол, соответствующий данному сектору, равен 90º, то

2) На клетчатой бумаге изображён круг.

Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 17?

Так как стороны угла делят каждую клеточку по диагонали, образуя с горизонтальной прямой, проходящей из вершины угла, углы по 45°, то центральный угол равен 90º.

Следовательно, площадь сектора составляет 1/4 от площади круга: S_круга=S_{сектора}:(1/4)=17·4=68.

3) Найти площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 21.

Площадь заштрихованного сектора составляет 3/4 площади круга.

Следовательно, чтобы найти площадь круга, надо площадь сектора разделить на 3/4:

4) Какова площадь круга если известно, что площадь закрашенного сектора равна 11?

Соответствующий центральный угол равен 45° (одно сторона угла проведена по горизонтали, другая делит каждую клеточку по диагонали (является диагональю квадрата).

Так как 45° составляет от 360° 1/8 часть, то

5) На клетчатой бумаге изображен круг площадью 96.

Найдите площадь заштрихованного сектора.

Центральный угол, соответствующий незакрашенной части, равен 45°, то есть составляет 1/8 площади круга.

S_{закрашенного сектора}=S_{незакрашенного сектора}-S_круга=96-12=84.

А как определить на клетчатой бумаге центральные углы в 60° и 30°?

Можно рассуждать следующим образом.

Рассмотрим треугольник ABC.

Так как BH — его высота и медиана, то ABC — равнобедренный с основанием AO. Значит, AB=BO.

Но AO=BO (как радиусы).

Следовательно, AB=BO=AO, то есть треугольник ABC — равносторонний. Следовательно, все его углы равны по 60°, в частности, ∠AOB=60°.

6) Найти площадь заштрихованного сектора, если площадь круга равна 30.

Соответствующий центральный угол равен 60°. Значит, площадь сектора составляет 1/6 от площади круга и S_{сектора}=S_круга:6=30:6=5.

7) Найти площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 24.

Так как центральный угол заштрихованного сектора равен 30°, то площадь сектора составляет 1/12 часть от площади круга.

Найти площадь круга, изображенного на клетчатой бумаге, если площадь заштрихованного сектора равна 60.

Центральный угол, соответствующий незакрашенному сектору, равен 60°. Значит, площадь незакрашенной части составляет 1/6 площади круга.

Следовательно, на площадь закрашенной части приходится 5/6 круга:

В некоторых случаях центральный угол можно найти как сумму или разность других центральных углов.

9) Центральный угол равен 30+45=75°,

площадь заштрихованного сектора составляет

1/12+1/8=5/24 площади круга, то есть

10) Центральный угол равен 180-30=150°,

площадь заштрихованного сектора составляет 1/2-1/12=5/12 площади круга,

11) Центральный угол равен 60-45=15°,

площадь заштрихованного сектора составляет 1/24 площади круга

12) Центральный угол равен 15+90=105°

Как найти площадь окружности по клеточкам

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён вписанный в окружность угол ABC. Найдите его градусную величину.

Аналоги к заданию № 27890: 26237 27891 509571 Все

На клетчатой бумаге с размером клетки изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Отрежем от закрашенной фигуры сектор, отмеченный синим цветом, и добавим к ней сектор, выделенный красным цветом. Указанные секторы равны, поэтому площадь фигуры не изменилась. Следовательно, она равна трём четвертям площади круга, радиус которого см. Поэтому

см 2 .

Хотелось бы более «научного» доказательства. Аргумент «это видно» не достаточен, так как всем видно разное. Спасибо!

На рисунке ВИДНО, что они равны. Или задайте прямые уравнениями и и найдите угол между ними. Но то, что уравнения именно такие, тоже ВИДНО по рисунку. Задания на работу с рисунками предполагают считывание информации с рисунка.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Треугольник прямоугольный, значит, радиус описанной вокруг него окружности равен половине гипотенузы.

На клетчатой бумаге нарисованы два круга

Здравствуйте, друзья! В состав ЕГЭ по математике входят задачи связанные с нахождением площади круга или его частей (сектора, кольцевых элементов). Фигура задаётся на листе в клетку. В одних задачах масштаб клетки задаётся 1×1 сантиметр, в других он не оговаривается – даётся площадь элемента круга или самого круга.

Задания неглубокие, необходимо помнить формулу площади круга, уметь визуально (по клеткам) определить радиус круга, какую долю от круга составляет выделенный сектор. Кстати, на блоге имеется статья о площади сектора. Её содержание к решению представленных ниже задач отношения не имеет, но для тех, кто хочет вспомнить формулу площади круга и площади сектора будет весьма полезна. Рассмотрим задачи (взяты из открытого банка заданий):

Найдите (в см 2 ) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе запишите S/л.

Для того, чтобы площадь фигуры (кольца) необходимо из площади круга радиусом равным 2 вычесть площадь круга с радиусом 1. Формула площади круга:

Разделим результат на число Пи и запишем ответ.

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Площадь заштрихованной фигуры можно найти вычислив разность между площадью большего круга и площадью меньшего. Определим во сколько раз площадь большего отличается от площади меньшего. Пусть радиус меньшего равен R, тогда его площадь равна:

Радиус большего круга в два раза больше (видно по клеткам). Значит, его площадь равна:

Получили, что его площадь в 4 раза больше.

Следовательно, она равна 51∙4 = 204 см 2

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 204 – 51 = 153 см 2 .

*Второй способ. Можно было вычислить радиус малого круга, затем определить радиус большего. Далее найти площадь большего и вычислить площадь искомой фигуры.

На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Данная задача по ходу решения практически не отличается от предыдущей, разница состоит лишь в том, что круги имеют разные центры.

Несмотря на то, что видно, что радиус большего круга в 2 раза больше радиуса меньшего, советую вам обозначить размер клетки переменной х (икс).

Так же, как и в предыдущей задаче, определим во сколько раз площадь большего отличается от площади меньшего. Выразим площадь меньшего круга, так как его радиус равен 3х:

Выразим площадь большего круга, так как его радиус равен 6х:

Как видно, площадь большего круга в 4 раза больше.

Следовательно, она равна 1∙4 = 4 см 2

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 4 – 1 = 3 см 2 .

На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Обозначим размер клетки переменной х (икс).

Определим во сколько раз площадь большего круга отличается от площади меньшего. Выразим площадь меньшего круга. Так как его радиус равен 3 ∙ х, то

Выразим площадь большего круга. Так как его радиус равен 4 ∙ х, то

Разделим площадь большего на площадь меньшего:

То есть, площадь большего круга в 16/9 раза больше площади меньшего, следовательно, она равна:

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 16 – 9 = 7 см 2 .

Вычислим радиус меньшего круга. Его площадь равна 9, значит,

Найдём размер клетки и затем сможем определить радиус большего круга. Размер клетки равен:

Так как радиус большего круга соответствует 4 клеткам, то его радиус будет равен:

Определяем площадь большего круга:

Находим разность: 16 – 9 = 7 см 2

На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 48. Найдите площадь заштрихованного сектора.

В этой задаче очевидно, что заштрихованная часть составляет половину от площади всего круга, то есть равна 24.

На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?

По рисунку видно, что площадь сектора составляет треть от площади круга. Значит, площадь круга будет равна 32∙3 = 96.

Найдите площадь S круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите S/л.

В задачах связанных с площадью сектора круга необходимо уметь определять какую долю он составляет от площади круга. Это сделать не сложно, так как в подобных задачах центральный угол сектора кратен 30 либо 45.

В задачах связанных с нахождением площадей кольцевых элементов есть разные пути для решения, оба показаны в решённых заданиях. Способ, в котором размер клетки обозначается через переменную х, и затем определяются радиусы более универсален.

Но самое главное – не запоминать эти способы. Можно найти и третий и четвёртый путь решения. Главное – это знать формулу площади круга и уметь логически рассуждать.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, автор проекта Александр Крутицких.

источники:

http://ege.sdamgia.ru/test?theme=123

http://matematikalegko.ru/plocshadi-figur/krug-chasti-kruga-na-liste-v-kletku.html

Источник

Почему бы просто не считать клеточки?

Возможно, вы читаете всё это и думаете: зачем все эти сложности? Формулы запоминать. Дорисовывать. Тут ведь сразу видно, сколько клеточек в фигуре.

Вот, например, трапеция:

Посчитаем клеточки: их всего 46, верно?

Но стоп, там же некоторые из них только наполовину внутри фигуры. Отметим их – всего таких 10. Итого, 36 полных (красные точки) и 10 половинчатых, вместе ( 36+frac{10}{2} = 41)

trapetsiya ploshad po polnym i nepolnym kletochkam

Вроде бы всё верно. Но, если присмотреться, можно заметить ещё маленькие треугольнички, которые попали внутрь. А также, что «синие» клеточки слева на самом деле разрезаны не ровно пополам – какие-то чуть больше, какие-то меньше…

Как всё это учитывать?

Попробуем рассуждать так: заметно, что тот маленький розовый треугольник дополняет серый кусок клетки.

А жёлтые сколько занимают? Постарайтесь ответить сами.

Если всё сделать правильно, то увидите, что жёлтые кусочки можно сложить вместе в одну целую клетку.

Итак, 2 жёлтых куска = 1 клетка.

Розовый треугольник + серый кусок = 1 клетка. Всего у нас две таких пары (розовый+серый) – это 2 полных клетки.

Всё остальное как было: 36 полных клеток и 6 половинок у правой стороны – это ( 36+frac{6}{2}=39) клетки.

Итого клеток: ( 1 + 2 + 39 = 42).

Проверим результат по формуле площади трапеции: нижнее основание 11, верхнее основание 3, высота 6. Полусумма оснований равна 7, умножаем на высоту – получилось 42. Всё совпало.

Но! Настолько ли проще был наш способ подсчёта клеточек? Не сказал бы. А если там будет несколько косых линий, то вообще можно замучиться собирать этот паззл (искать, какие кусочки друг друга дополняют).

Вычислите площадь простых фигур тремя способами

Стороны клеток равны 1. Вычислите самостоятельно площадь фигуры всеми тремя способами. Сравните результаты.

Вычислите площадь произвольных фигур по формуле Пика

Вычислите самостоятельно площади фигур с помощью формулы Пика:

Посчитайте площадь корабля и котика по формуле Пика

Посчитайте самостоятельно для тренировки и чтобы запомнить формулу Пика!

ploshad teorema pika po kletochkam zadacha 8

ploshad teorema pika po kletochkam zadacha 9

Фигуры с отверстиями — посчитайте площади двумя способами

Ну и напоследок фигуры с «дырками». Как думаешь, здесь придётся вычислять сначала площадь целой фигуры, а потом площадь дырки?

Или достаточно просто посчитать точки внутри закрашенной области и на её границах (в том числе, на границе с дыркой)?

Проверим на простом примере: это квадрат ( 4times 4), и в нём вырезан прямоугольник ( 1times 2), значит, его площадь ( 16-2=14).

А теперь по точкам. На границах (включая внутренние) ( Г = 22). Внутри ( В = 3). Тогда площадь по формуле Пика

( S = frac{22}{2} + 3 -1 = 13.)

Хм, близко, но не совпало. Может, я где-то ошибся? Давай ещё одну фигуру, для верности.

Сосчитай сам и проверь.

Что получилось?

У меня снова на 1 меньше.

Так может быть просто формулу немного «подкрутить»? Нет!

Очень и очень не рекомендую вам запоминать несколько похожих формул для похожих случаев, потому что придёт время, и вы обязательно перепутаете формулу.

Даже если вы уверены, что не перепутаете, оно всё равно того не стоит. В общем, наилучший вариант – это запомнить одну формулу. А если попалась фигура с дыркой, вычислить всю фигуру, а потом дырку. И вычесть.

Площадь поверхности пирамиды

Для пирамиды тоже действует общее правило:

Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей всех граней.( displaystyle {{S}_{полн. пов. }}={{S}_{боков.пов. }}+{{S}_{основания }})

Теперь давай посчитаем площадь поверхности самых популярных пирамид.

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle {{S}_{осн}}) и ( displaystyle {{S}_{ASB}}).

И тогда

( displaystyle {{S}_{полн. пов. }}=3{{text{S}}_{ASB}}+{{text{S}}_{text{осн}.}})

Вспомним теперь, что

( displaystyle {{S}_{осн}}) — это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).

И еще вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

( displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sin gamma ).

У нас «( displaystyle a)» — это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» — это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}).

Значит, ( displaystyle {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}frac{sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}).

Теперь найдем ( displaystyle {{S}_{Delta ASB}}).

Пользуясь основной формулой площади и теоремой Пифагора, находим

( displaystyle {{S}_{Delta ASB}} = frac{1}{2}asqrt{b^2-frac{a^2}{4}})

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. ( displaystyle b=a)), то формула получается такой:

( displaystyle S={{a}^{2}}sqrt{3}).

Источник

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: $frac{AD+BC}{2}=frac{4+2}{2}=3.$

Ответ: 3.

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла alpha равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна ${90}^{circ}.$ Тогда $angle alpha =frac{{90}^{circ}}{2}={45}^{circ}.$

Ответ: 45.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на $frac{sqrt{5}}{2}.$

Решение:

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

${sin alpha }={sin angle AOB}=frac{4}{2sqrt{5}}=frac{2}{sqrt{5}}.$ Осталось умножить найденное значение синуса на $frac{sqrt{5}}{2}.$

$frac{2}{sqrt{5}}cdot frac{sqrt{5}}{2}=1$

Ответ: 1.

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где d_1 и d_2 — диагонали.

Получим:

Ответ: 12.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Ответ: 18.

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: 12,5 .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: 10,5 .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна $frac{1}{2}cdot 3cdot 2=3.$

Площадь каждого из маленьких треугольников равна $frac{1}{2}cdot 1cdot 2=1.$

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

Решение:

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Ответ: 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как R=1 . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как R=1 ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще $frac{1}{8}$ круга, то есть $frac{3}{8}$ круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на $frac{3}{8}$ . Получим:

$frac{3}{8}cdot 2,8 =1,05$

Ответ: 1,05.

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна pi R^2 , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в ${frac{4}{3}}^2 = frac{16}{9}$ раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Ответ: 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

Ответ: 20

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Ответ: 16.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Геометрия. Применение формул. Задача 1 Базового ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Круг на клетчатой бумаге

Как найти площадь окружности по клеточкам

На клетчатой бумаге нарисованы два круга

Вычислите площадь простых фигур тремя способами

Вычислите площадь произвольных фигур по формуле Пика

Посчитайте площадь корабля и котика по формуле Пика

Фигуры с отверстиями — посчитайте площади двумя способами

Площадь поверхности пирамиды

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

Не пропустите также: