Как найти площадь грани abc по векторам

1. Записать векторы (vec{АВ}), (vec{АС}) и (vec{АD}) в системе орт  (i , j , k)  и найти модули этих векторов;
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости.
Вектор — это направленный отрезок, имеющий начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z: ( vec{a}(x_a ; y_a ; z_a )) 
Координаты вектора находятся— из координаты конца вычитаем координату начала ( vec{a} =  vec{AB}(x_B − x_A ; y_B − y_A ; z_B − z_A ))
Найдем вектора:
(vec{AB}(-3-(-4); 3-5;-3-(-5)) => vec{AB}(1; -2; 2)) 
(vec{AC}(7-(-4); 7-5; 5-(-5)) => vec{AC}(11;2; 10))  
(vec{AD}(4-(-4); 9-5; 3-(-5)) => vec{AD}(8;4; 8))   

Длина вектора ( |vec{a}| = vec{AB}) в пространстве (модуль вектора) –– это расстояние между точками (A) и (B). Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора: $$ |vec{a}| = sqrt{x^2_a + y^2_a + z^2_a} = sqrt{ (x_B − x_A )^2 + (y_B − y_A )^2 + (z_B − z_A )^2}$$
Найдем длины (модули) векторов:
 ( |vec{AB}| =  sqrt{1^2+(-2)^2+2^2} = 3) 
 ( |vec{AC}| = sqrt{11^2+2^2+10^2} = 15)   
 ( |vec{AD}| = sqrt{8^2+4^2+8^2} = 12)  

2. найти угол между векторами  (vec{АВ}), (vec{АС});

Для решения задачи воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
Скалярное произведение векторов: $$ vec{a} cdot vec{b} = | vec{a}| cdot | vec{b}| cdot cos(phi) = x_a cdot x_b + y_a cdot y_b + z_a cdot z_b quad (1)$$
Косинус угла между векторами выразим из этой формулы, получим: $$ cos(phi) = frac{ vec{a} cdot vec{b}}{ |vec{a}| cdot |vec{b}|}= frac{x_a cdot x_b + y_a cdot y_b + z_a cdot z_b}{ sqrt{x^2_a + y^2_a + z^2_a } cdotsqrt{x^2_b + y^2_b + z^2_b}} quad (2)$$
Подставляем координаты векторов ( vec{AB}(1; -2; 2)) и  ( vec{AC}(11;2; 10)) в формулу (2), получаем $$ cos(phi) = frac{1*11+(-2)*2+2*10}{3*15} = frac{3}{5} => phi approx 53^0$$ 

3. Найти проекцию вектора ( vec{AD}) на вектор ( vec{AC});
Для решения задачи воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
Скалярное произведение векторов: $$ vec{a} cdot vec{b} = | vec{a}| cdot | vec{b}| cdot cos(phi) = x_a cdot x_b + y_a cdot y_b + z_a cdot z_b quad (1)$$
Рассмотрим в этой формуле произведение:
( Пр_ab =  | vec{b}| cdot cos(phi) =  frac{ vec{a} cdot vec{b}}{ |vec{a}|}) — проекция вектора (vec{b}) на вектор (vec{a})
( Пр_ba =  | vec{a}| cdot cos(phi)  = frac{ vec{a} cdot vec{b}}{ |vec{b}|}) — проекция вектора (vec{a}) на вектор (vec{b}) 

Подставляем данные задачи и находим проекцию вектора ( vec{AD}) на вектор ( vec{AC})
$$ Пр_{vec{AC}}vec{AD}= frac{ vec{AD} cdot vec{AC}}{ |vec{AC}|} =>$$
$$ Пр_{vec{AC}}vec{AD}= frac{ 11*8+2*4+10*8}{ 15} approx 11.73$$

4. Найти площадь грани АВС;

Для решения задачи воспользуемся формулой векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов (vec{a} = (a_x; a_y; a_z)) и (vec{b} = (b_x; b_y; b_z)) в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы: $$vec{a}timesvec{b} = left|begin{array}{c} i & j & k \ a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z end{array}right| = i(a_yb_z — a_zb_y) — j(a_xb_z — a_zb_x) + k(a_xb_y-a_yb_x) =>$$$$vec{a}timesvec{b} = (a_yb_z — a_zb_y;  a_zb_x  — a_xb_z; a_xb_y-a_yb_x)$$

Геометрическое свойство векторного произведения: модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

таким образом площадь треугольника будет равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах (vec{AB}(1; -2; 2)) и  ( vec{AC}(11;2; 10)) $$S_{ΔABC} = frac{1}{2}| vec{AB}timesvec{AC}| =>$$ найдем векторное произведение ( vec{AB}timesvec{AC} = (-2*10-2*2; 2*11 -1*10; 1*2+2*11 ) = (-24; 12; 24 )  ), тогда получаем площадь искомой грани $$S_{ΔABC} = frac{1}{2} sqrt{(-24)^2+12^2+24^2} = 18$$

5. Найти объем пирамиды АВСD.

Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов — произведение равно объему (V_{пар}) параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах (vec{a}, vec{b},vec{c}). Объем пирамиды будет равен (V_{пир} = frac{1}{6}V_{пар}).

Смешанное произведения трех векторов, которое равно объему параллелепипеда, находится по формуле $$(vec{a}timesvec{b})*vec{c} = left|begin{array}{c} a_x & a_y & a_z\ b_x & b_y & b_z \ c_x & c_y & c_zend{array}right|$$ нам нужно (frac{1}{6}) от этого объема.

Подставим координаты векторов (vec{AB}(1; -2; 2)), ( vec{AC}(11;2; 10)), ( vec{AD}(8;4; 8)) и вычислим определитель  $$V_{пир} = pm frac{1}{6}(vec{AB}timesvec{AC})*vec{AD} = $$$$ pm frac{1}{6} left|begin{array}{c}1 & -2 & 2 \ 11 & 2 & 10 \ 8 & 4 & 8end{array}right| = $$ выносим (4) из третьей строки $$ =  pm frac{4}{6} left|begin{array}{c} 1 & -2 & 2 \ 11 & 2 & 10 \ 2 & 1 & 2 end{array}right|   =$$ для упрощения расчетов вычтем из первой строки третью $$ =  pm frac{2}{3} left|begin{array}{c} -1 & -3 & 0 \ 11 & 2 & 10 \ 2 & 1 & 2 end{array}right|   =$$ и из второй строки третью, умноженную на 5 (результат при этом не изменится) и вынесем (-1) из первой строки $$ =  pm frac{2}{3} left|begin{array}{c} -1 & -3 & 0 \ 1 & -3 & 0 \ 2 & 1 & 2 end{array}right|   =$$ вычтем из первой строки вторую $$ =  pm frac{2}{3} left|begin{array}{c} -2 &0 & 0 \ 1 & -3 & 0 \ 2 & 1 & 2 end{array}right|   =$$ разложим определитель по первой строке (фактически по члену первому члену, т.к. два других равны 0) $$ = pm frac{2}{3}*(-2)left|begin{array}{c}  -3 & 0 \ 1 & 2 end{array}right| = pm frac{2}{3}*(-2)(-6) = 8 ед^3$$ Знак (pm) означает, что объем это положительное число.

Ответ: объем треугольной пирамиды равен (V_{пир} =  8 ед^3).