Как найти перпендикуляр круга - Avtoru.top - решение различных проблем

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Как перпендикуляр делит диаметр

Если в задаче дан перпендикуляр, опущенный из точки окружности на ее диаметр, чтобы выяснить, как перпендикуляр делит диаметр, и найти связь между полученными отрезками и длиной перпендикуляра, необходимо выполнить дополнительное построение.

Пусть AB — диаметр окружности, С — точка окружности, а CD — перпендикуляр, проведенный из точки С к диаметру.

Соединим точку С с концами диаметра. Угол ACB — прямой (как опирающийся на диаметр). Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный, а CD в нем — высота, проведенная к гипотенузе.

Отсюда следует, перпендикуляр CD и отрезки AD и BD, на которые он делит диаметр — пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике . А значит, они связаны соотношением:

Кроме того, в треугольнике ABC

Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на ее диаметр, делит диаметр на отрезки, разность которых равна 21 см. Найти радиус окружности, если длина перпендикуляра 10 см.

Проведем отрезки AC и BC.

∠ ACB=90 º (как вписанный угол, опирающийся на диаметр). Тогда в прямоугольном треугольнике ABC СD — высота, проведенная к гипотенузе. Поэтому

Пусть AD=x см, тогда BD=x+21см. Составляем уравнение:

Возведем в квадрат обе части:

Второй корень — посторонний, так как длина отрезка не может быть отрицательным числом. Значит, диаметр AB=AD+BD=4+4+21=29см, а радиус равен половине диаметра, то есть r=14,5см.

Одной линейкой

Задача

Даны окружность с центром О и точка А вне окружности. а) Проведен диаметр окружности. Пользуясь только линейкой*, опустите перпендикуляр из точки А на этот диаметр. б) Через точку А проведена прямая, не имеющая общих точек с окружностью. Пользуясь только линейкой, опустите перпендикуляр из точки О на эту прямую.

*Примечание. Под «линейкой» в задачах на построение всегда подразумевается не измерительный инструмент, а геометрический — с его помощью можно только проводить прямые (через две имеющиеся точки), но не измерять расстояние между точками. Кроме того, геометрическая линейка считается односторонней — с ее помощью нельзя провести параллельную прямую, просто приложив одну сторону линейки к двум точкам и проведя линию вдоль другой стороны.

Подсказка 1

Используйте концы диаметра, а не центр окружности.

Подсказка 2

Угол с вершиной на окружности, опирающийся на ее диаметр, — прямой. Зная это, вы можете построить две высоты в треугольнике, образованном концами диаметра и точкой А.

Подсказка 3

Попробуйте решить сначала более простой случай, чем заданный в пункте б), — когда данная прямая пересекает окружность.

Решение

а) Пусть ВС — данный диаметр (рис. 1). Для решения задачи просто вспомним первые две подсказки: если провести прямые AВ и АC, а затем соединить точки их пересечения с окружностью с нужными вершинами треугольника ABC, то получатся две высоты этого треугольника. А так как высоты треугольника пересекаются в одной точке, то прямая CH будет третьей высотой, то есть искомым перпендикуляром из А к диаметру ВС.

б) Решение этого пункта, однако, даже в том случае, который дан в третьей подсказке, не кажется более простым: да, мы можем провести диаметры, соединить их концы и получить прямоугольник ABCD (рис. 2, на котором, для простоты, точка А отмечена на окружности), но как это приближает нас к построению перпендикуляра из центра окружности?

А вот как: так как треугольник AOB равнобедренный, то перпендикуляр (высота) OK пройдет через середину K стороны AB. А значит, задача свелась к нахождению середины этой стороны. Как ни удивительно, но окружность больше нам совсем не нужна, да и точка D тоже, в общем, «лишняя». А вот отрезок CD — не лишний, но на нем нам потребуется не какая-то конкретная точка, а совершенно произвольная точка E! Если обозначить за L точку пересечения BE и AC (рис. 3), а затем продлить AE до пересечения с продолжением BC в точке M, то прямая LM — это решение всех наших забот и проблем!

Правда, очень похоже, что LM пересекает AB посередине? Это и правда так. Попробуйте доказать это. Мы же отложим доказательство до конца решения задачи.

Итак, мы научились находить середину отрезка AB, а значит, научились опускать перпендикуляр на AB из центра окружности. Но что делать с исходной задачей, в которой данная прямая не пересекает окружность, как на рис. 4?

Постараемся свести задачу к уже решенной. Это можно сделать, например, так.

Сначала построим прямую, симметричную данной относительно центра окружности. Построение понятно из рис. 5, на котором данная прямая — горизонтальная под окружностью, а построенная симметричная ей — выделена красным (две синие точки могут быть взяты на окружности совершенно произвольно). Заодно проведем через центр О еще одну прямую, перпендикулярную к одной из сторон получившегося в окружности прямоугольника, чтобы получить на данной прямой два равных по длине отрезка.

Имея две параллельные прямые, на одной из которых уже отмечены два конца и середина отрезка, возьмем произвольную точку T (например, на окружности) и построим такую точку S, что прямая TS будет параллельна имеющимся двум прямым. Это построение показано на рис. 6.

Тем самым мы получили хорду окружности, параллельную данной прямой, то есть свели задачу к решенной ранее версии, ведь к такой хорде проводить перпендикуляр из центра окружности мы уже умеем.

Осталось привести доказательство факта, который мы использовали выше.

Четырехугольник ABCE на рис. 3 — трапеция, L — точка пересечения ее диагоналей, а M — точка пересечения продолжений ее боковых сторон. По известному свойству трапеции (его еще называют замечательным свойством трапеции; здесь можно посмотреть, как оно доказывается) прямая ML проходит через середины оснований трапеции.

Собственно, еще раз мы фактически опирались на эту же теорему уже в последней подзадаче, когда проводили третью параллельную прямую.

Послесловие

Теория геометрических построений одной линейкой, когда задана вспомогательная окружность с центром, разработана замечательным немецким геометром XIX века Якобом Штейнером (правильнее произносить его фамилию Steiner как «Штайнер», но в отечественной литературе уже давно закрепилось написание с двумя «е»). О его математических достижениях мы уже однажды рассказывали в задаче «Короче, Склифосовский». В книге «Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга» Штейнер доказал теорему, согласно которой любое построение, которое может быть выполнено с помощью циркуля и линейки, может быть выполнено и без циркуля, если задана всего одна окружность и отмечен ее центр. Доказательство Штейнера сводится к демонстрации возможности осуществления базовых построений, обычно выполняемых с помощью циркуля, — в частности, к проведению параллельных и перпендикулярных прямых. Наша задача, как легко видеть, является частным случаем этой демонстрации.

Впрочем, к некоторым задачам Штейнер привел не единственный способ решения. Приведем второй способ и мы.

Возьмем на данной прямой две произвольные точки A и B (рис. 7). Сначала строим перпендикуляр из A на (синюю) прямую BO — это фактически решение нашей первой задачи, потому что эта прямая содержит диаметр окружности; все соответствующие построения на рис. 7 выполнены синим цветом. Затем строим перпендикуляр из B на (зеленую) прямую AO — это точно такое же решение точно такой же задачи, построения выполнены зеленым цветом. Тем самым мы получили две высоты треугольника AOB. Третья высота этого треугольника проходит через центр O и точку пересечения двух других высот. Она и является искомым перпендикуляром к прямой AB.

Но и это еще не все. Несмотря на всю (относительную) простоту второго способа, он «избыточно длинный». Это означает, что существует другой способ построения, требующий меньшего числа операций (в задачах на построение каждая линия, проведенная циркулем или линейкой, считается как одна операция). Построения, требующие минимального среди известных количества операций, французский математик Эмиль Лемуан (Émile Lemoine, 1840–1912) назвал геометрографическими (см.: Geometrography).

Итак, вашему вниманию предлагается геометрографическое решение пункта б). Оно требует всего 10 шагов, при этом шесть первых — «естественные», а следующие три — «удивительные». Самый последний шаг, проведение перпендикуляра, пожалуй, тоже следует назвать естественным.

Мы хотим провести красный пунктирный перпендикуляр (рис. 8), для этого нам нужно отыскать на нем какую-нибудь точку, отличную от О. Поехали.

1) Пусть A — произвольная точка на прямой, а C — произвольная точка на окружности. Проводим прямую AC.

2)–3) Проводим диаметр OC (вторично пересекающий окружность в точке D) и прямую AD. Отмечаем вторые точки пересечения прямых AC и AD с окружностью — B и E, соответственно.

4)–6) Проводим BE, BD и CE. Прямые CD и BE пересеклись в точке H, а BD и CE — в точке G (рис. 9).

Кстати, а могло ли случиться так, что BE оказалось бы параллельно CD? Да, безусловно. В случае, когда диаметр CD перпендикулярен AO, то именно так и случается: BE и CD параллельны, а точки A, O и G лежат на одной прямой. Но возможность брать точку C произвольно предполагает наше умение выбрать ее так, чтобы CO и AO не были перпендикулярны!

И вот теперь обещанные удивительные шаги построения:

7) Проводим GH до пересечения с данной прямой в точке I.
Проводим CI до пересечения с окружностью в точке J.
9) Проводим BJ, которая пересекается с GH. где? Правильно, в красной точке, которая находится на вертикальном диаметре окружности (рис. 10).

10) Проводим вертикальный диаметр.

Вместо шага 8 можно было бы провести прямую DI, а затем на шаге 9 соединить вторую точку ее пересечения с окружностью с точкой E. Результат был бы той же самой красной точкой. Правда, это удивительно? Причем, даже неясно, что удивляет сильнее — то, что красная точка оказывается одной и той же для двух способов построения, или то, что она лежит на искомом перпендикуляре. Впрочем, геометрия — это ведь не «искусство факта», а «искусство доказательства». Так что постарайтесь доказать это.

Мелкая придирка не по существу:
> правильнее произносить его фамилию Steiner как «Штайнер», но в
> отечественной литературе уже давно закрепилось написание с двумя «е»

— ничего подобного. Так принято передавать немецкое -ei- для всех персон примерно до середины XX века. Причины этого не вполне понятны: фонетический переход -ei- в [-ai-] произошел за много веков до появления этой традиции транскрипции на русский
(в отличие, например, от перехода -ille- из [iλ] в [ij]: Марсель, Гильом — который произошел лишь в XIX веке, когда русская транскрипция уже устоялась).

Но по какой бы причине русская транскрипция с немецкого ни оказалась отстающей от реальной фонетики на много веков, она именно такова. Передавать Штейнера и прочих немцев XIX века через -ай- было бы анахронизмом. Не говоря уже о том, что Штейнер, помимо немецкой, еще и распространенная в России и других странах идишская фамилия, а их принято передавать через -ей- и по сей день.

А по существу вопрос: теорема гласит, что «любое построение, которое может быть выполнено с помощью циркуля и линейки, может быть выполнено и без циркуля, если задана всего одна окружность и отмечен ее центр».

Что имеется в виду под «если задана всего одна окружность»? Имеется ли в виду, что в задаче дана только одна окружность, и задание центра позволяет построить линейкой все то, что можно построить циркулем? Или имеется в виду, что берем любую задачу (скажем, деление отрезка пополам), и достаточно где-нибудь в произвольном месте задать окружность и ее центр, чтобы задача деления отрезка пополам решалась одной линейкой?

Да, имеется в виду ровно это. На плоскости чертежа задана произвольная окружность и ее центр. Это позволяет выполнить одной линейкой всё, что можно сделать циркулем и линейкой.

А деление отрезка пополам и так решается одной линейкой (без вспомогательной окружности). Вот одним циркулем — не решается.

> А деление отрезка пополам и так решается одной линейкой (без вспомогательной окружности

Допускаю, хотя не знаю такого способа.

> Вот одним циркулем — не решается.

Этого не может быть. По теореме Мора-Маскерони.

Этого противоречит вашим словам, будто линейкой можно построить середину отрезка.

Вот смотрите: если мы можем одной линейкой построить касательную к окружности из точки A, значит, возьмем две такие касательные. Проведем хорду, опирающуюся на две точки касания.

По вашим словам (выше), одной линейкой можно найти середину отрезка, а значит, и этой хорды.

Из исходной точки A через середину хорды проведем прямую. Это будет (продолженный) диаметр окружности.

Возьмем произвольную точку B и повторим с ней и той же окружностью то же самое. Получим второй диаметр.

Два диаметра дают нам центр окружности.

Итого получается, что если, как вы утверждаете, одной линейкой можно построить и касательную из заданной точки к заданной окружности, и середину заданного отрезка, то одной линейкой можно построить и центр данной окружности. Однако хорошо известно (доказано, по-моему, тем же Штейнером через сечения наклонного конуса), что это невозможно. А если б было возможно, то рассказанная вами теорема Штейнера-Понселе не имела бы смысла: получается, любое построение циркулем и линейкой можно было бы совершить просто линейкой безо всяких дополнительных условий (или точнее, требовалось бы иметь где-то окружность не обязательно с отмеченным центром).

Касательную одной линейкой точно можно построить, и это ничему не противоречит.

Что касается утверждения о построении середины отрезка, я хотел сказать вот что: для этого не нужно иметь вспомогательную окружность, достаточно иметь вспомогательную параллельную прямую.

Да, это тоже исследовано Штейнером. Он рассмотрел списки задач, разрешимых линейкой при следующих дополнительных условиях
а) дана одна параллельная прямая или отрезок, разделенный в известном рациональном отношении
б) даны две пары параллельных прямых, или два отрезка, деленные в рац. отношениях, или одна пара параллельных и один такой отрезок
в) дан вспомогательный квадрат

Все эти условия позволяют решать линейкой какой-то класс задач на построение, причем а) Ответить

Тогда и задача немного другая, и решение другое. Фактически в вашей задаче требуется построить квадрат по заданным противоположным вершинам (B и C).

PS. Насчет касательных. Да, конечно, построение не очень короткое — в сумме явно больше 15 линий получится. Через точку пересечения высот — экономнее

Окружность. Форма и положение.

Окружность — это замкнутая плоская линия, всякая точки которой равноудалена от одной и той же точки (O), называемой центром.

Прямые (OA, OB, OС. . . ), соединяющие центр с точками окружности — это радиусы.

Бесконечная прямая (MN), прочерченная через какие-нибудь две точки окружности – секущая. а часть ее (EF), заключенная между этими точками, называется хордой.

Всякая хорда (AD), прочерченная через центр — диаметр.

Диаметр представляет наибольшую из хорд..Всякий диаметр делит окружность и круг пополам. Таким образом, всякий диаметр разделит окружность на две полуокружности, а круг на два полукруга.

Какая-нибудь часть окружности (напр. EmF ) называется дугой.

О хорде (EF), соединяющей концы дуги, говорят, что она стягивает эту дугу.

Для определения дуги иногда применяют знак È ; напр., пишут так: ÈEmF.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, именуют кругом.

Часть круга (напр., СOB, заштрихованная на чертеже), ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги, обозначают как сектор.

Часть круга, (напр., EmF), ограниченная дугой и стягивающей ее хордой, обозначают как сегмент.

Из этого получаем:

1. Все радиусы одной окружности равны.

2. Два круга с одинаковыми радиусами будут равны.

3. Диаметр равен двум радиусам.

4. Точка, лежащая внутри круга, ближе к центру, а точка, лежащая вне круга, дальше от центра, чем точки окружности.

5. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.

6. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

При работе с окружностями применяют следующие теоремы:

1. Теорема. Прямая и окружность не могут иметь более двух общих точек.

Из этой теоремы получаем два логично вытекающих следствия:

Никакая часть окружности не может совместиться с прямой, потому что в противном случае окружность с прямой имела бы более двух общих точек.

Линия, никакая часть которой не может совместиться с прямой, называется кривой.

Из предыдущего следует, что окружность есть кривая линия.

2. Теорема. Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и только одну.

Как следствие данной теоремы получаем:

Три перпендикуляра к сторонам треугольника вписанного в окружность проведенные через их середины, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности.

Решим задачу. Требуется найти центр предложенной окружности.

Отметим на предложенной три любые точки A, B и С , начертим через них две хорды, например, AB и СB, и из середины этих хорд укажем перпендикуляры MN и PQ. Искомый центр, будучи одинаково удален от A, B и С, должен лежать и на MN, и на PQ, следовательно, он находится на пересечении этих перпендикуляров, т.е. в точке O.

источники:

http://elementy.ru/problems/1243/Odnoy_lineykoy

http://www.calc.ru/Okruzhnost-Forma-I-Polozheniye.html

Источник

Очень просто — измеряем диаметр круга, строим вокруг нашей окружности равносторонний квадрат, со сторонами равными диаметру круга. Стороны квадрата пройдут по касательной к окружности. Далее делим этот квадрат по диагонали на четыре треугольника. В точке пересечения линий будет цент круга.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

Galina7v7
[120K]

6 лет назад

Когда говорят о нахождении центра круга или окружности, то многие считают, что это просто, мол, проведи два диаметра.и всё.А как провести диаметр, если центра не видно.Но с помощью циркуля и простой линейки это сделать возможно.

Отмечаем на окружности(обрамляющей круг) четыре произвольных точки A,B,C,D,примерно располагающих на одном расстоянии друг от друга(это даже не важно).Из точек А и В произвольным радиусом провести засечки циркулем. Две точки А1 и В1-точки пересечения засечек, соединяем, и она точно лежит на диаметре круга.

Аналогично для точек С и Д получим точки С1 и Д1, соединяем их, и прямая С1Д1 тоже лежит на другом диаметре круга.Пересечение любых двух диаметров окружности даёт её центр, точку О.

И это один из верных способов построения центра круга и окружности.

Bokatashka
[22.5K]

8 лет назад

Чтобы найти середину круга нужно провести две хорды. У каждой из них найти середины и провести к ним перпендикулярные лучи. Точка пересечения этих лучей и будет центром круга.

Также центр круга можно найти при помощи циркуля. Для этого нужно провести горизонтальную линию от одной точки окружности до другой (отмечаем точки А и В):

При помощи циркуля начертить два одинаковых перекрывающихся круга с центрами в точках А и В.

Далее проводим вертикальную линию через точку, в которой круги пересекаются. Отмечаем на окружности точки C и D:

Для удобства стираем два вспомогательных круга и получаем такой рисунок:

Чертим ещё два одинаковых перекрывающихся круга с центрами в точках С и D:

Проводим горизонтальную линию через точки пересечения этих двух кругов. Отмечаем на окружности точки Е и F:

Стираем вспомогательные круги. Точка пересечения прямых СD и EF (назовём её точкой О) и будет искомой серединой круга.

Чтобы найти центр круга, достаточно провести диаметр и построить к нему перпендикуляр с помощью циркуля и линейки.

сначала проводим через круг линию (можно произвольно, но лично я для удобства провожу горизонтальную) и с помощью циркуля и линейки проводим перпендикулярную линию, которая делит нашу хорду и весь круг ровно пополам. Аналогично проводим перпендикуляр к уже полученному диаметру и находим центр круга. Ко всему прочему — мы еще разделили окружность на четыре ровные части.

Но бывает, что диаметр провести нельзя, так как есть только часть круга, тогда можно применить способ. который подходит практически везде:

в произвольном месте провести две хорды и через их центры провести перпендикуляры — в точке пересечения и будет центр

Грустный Роджер
[397K]

8 лет назад

Всех делов тут — вспомнить школьную геометрию. Два радиуса и хорда дают равнобедренный треугольник, в котором высота, опущенная на основание, делит его пополам.

Поэтому на окружности надо отметить три произвольные точки, и одну из них соединить с двумя другими. Это даст две хорды. Теперь делим эти хорды пополам и к каждой проводим перпендикуляр к середине — это стандартная школьная задачка на построение циркулем и линейкой. Точка пересечения перпендикуляров и будет центром круга.

Мне представляется достаточно простой способ нахождения центра окружности путем вписывания в нее прямоугольника. То есть проводим произвольную хорду и принимаем этот отрезок за одну сторону прямоугольника. Достраиваем сперва перпендикулярные стороны из точек пересечения хорды с окружностью, потом достраиваем противоположную параллельную сторону. Вся проблема — в проведении перпендикуляров, но и во всех остальных методах применяется тот же принцип построения. После получения такого прямоугольника проводим в нем диагонали и вуаля, точка их пересечения и будет центром окружности, ну а сами диагонали окажутся диаметрами.

Ксарфакс
[156K]

6 лет назад

Чтобы найти центр круга, можно отметить 2 любые точки на окружности и провести отрезок.

Затем нужно провести ещё один отрезок, имеющий такую же длину и параллельный первому отрезку.

Соединяем противоположные концы отрезков линиями, которые будут параллельными друг другу.

Таким образом, получится прямоугольник, который будет вписан в круг.

Центр пересечения его диагоналей и будет центром нашего круга.

Azamatik
[55.3K]

6 лет назад

Для этого берем треугольник (линейку) и проводим диаметр круга. Далее можно с помощью угольника провести такой же диаметр, перпендикулярный первой линии. Пересечение двух этих линий и будет центром (серединой) круга.

Ярослава Лещинская
[29.9K]

8 лет назад

Найти середину круга очень просто. Надо нарисовать круг и провести диаметр слева направо и сверху вниз, точка соединения линий и будет середина круга. Если круг уже вырезан, сложить его пополам и еще раз пополам, в точке соединений сгибов и будет середина круга.

Водяной
[7.5K]

8 лет назад

Проводим две не параллельные любые хорды. Каждую хорду делим пополам, известным всем способом, как делят отрезки при помощи циркуля и линейки. В точке пересечения разделивших хорды лучей получим центр окружности.

Источник

Загрузить PDF

Найдя центр круга или окружности, вы сможете решать различные геометрические задачи, например, на вычисление длины окружности или площади круга. Найти центр круга можно разными способами. Вы можете провести пересекающиеся отрезки; вы можете начертить пересекающиеся окружности; вы можете воспользоваться линейками.

1
Начертите окружность. Сделайте это при помощи циркуля. Радиус (диаметр) круга может быть любым. Если окружность вам дана, новую окружность чертить не нужно.
- Циркуль – это инструмент, предназначенный для черчения окружностей и их измерения. Циркуль можно купить в канцелярском магазине или в магазине для школьников.^[1]
2
Проведите хорду. Хорда – это отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на окружности, и не проходящий через центр окружности.^[2] Обозначьте эту хорду как АВ.
- Проводите прямые и отрезки при помощи карандаша, чтобы иметь возможность стереть их после нахождения центра окружности. Не давите на карандаш, чтобы вам было легче стереть нарисованные линии.
3

Проведите вторую хорду. Она должна быть параллельна и равна первой хорде АВ. Обозначьте эту хорду как CD.^[3]
4

Соедините точки А и С. Эта третья хорда АС должна проходить через центр окружности, но для его нахождения вам понадобится провести четвертую хорду.
5

Соедините точки B и D. Это четвертая хорда BD, которая должна пересекаться с третьей хордой AC.
6

Найдите центр окружности. Если вы правильно провели все отрезки (хорды), то центр окружности – это точка пересечения хорд AC и BD.^[4] Отметьте центр окружности ручкой или карандашом. Если вам нужно отметить только центр окружности, сотрите четыре хорды, которые вы провели ранее.

Реклама

1

Между двумя точками окружности проведите хорду. Воспользуйтесь линейкой, чтобы соединить две точки на окружности. Точки можно выбрать произвольно. Обозначьте точки как А и В.
2
При помощи циркуля начертите две пересекающиеся окружности. Окружности должны быть одного радиуса. Центром первой окружности сделайте точку А, а второй окружности – точку В. Чертите окружности так, чтобы они пересекались наподобие диаграммы Венна.
- Чертите окружности карандашом, а не ручкой, чтобы иметь возможность стереть их.
3

Проведите вертикальную прямую через точки пересечения начерченных окружностей. Окружности будут пересекаться в двух точках, которые расположены одна над другой. Проведите прямую при помощи линейки; убедитесь, что обе точки лежат на этой прямой. Точки, в которых эта прямая пересекает исходную окружность, обозначьте как С и D. Отрезок СD является диаметром исходной окружности.
4

Сотрите две начерченные вами окружности. Это необходимо для того, чтобы очистить пространство для последующих действий. Теперь на вашем листе останется исходная окружность и два перпендикулярных друг другу отрезка. Не стирайте центры стертых окружностей (эти центры расположены в точках А и В). Далее вы начертите две новые окружности.
5

Начертите две новые окружности. Для этого воспользуйтесь циркулем. Центром первой окружности будет точка С, а второй окружности – точка D. Эти окружности также должны пересекаться наподобие диаграммы Венна. Помните, что точки С и D – это точки пересечения вертикальной прямой с исходной окружностью.
6

Проведите прямую через две точки, в которых пересекаются начерченные вами окружности. Эта прямая будет расположена горизонтально. Полученный отрезок представляет собой второй диаметр исходной окружности и должен быть перпендикулярен первому диаметру.
7

Найдите центр окружности. Точка пересечения двух диаметров является центром исходной окружности. Отметьте эту точку. Если нужно, сотрите начерченные вами окружности и диаметры.

Реклама

1

К данной окружности проведите две касательные. Касательные можно провести к двум произвольным точкам окружности. Но вы облегчите себе работу, если проведете касательные под прямым или острым углом друг к другу.^[5]
2

Теперь проведите еще две касательные, которые будут параллельны касательным, которые вы провели в предыдущем шаге. Таким образом, проведенные четыре касательные образуют подобие параллелограмма или прямоугольника.
3

Проведите диагонали параллелограмма. Точка пересечения этих диагоналей является центром окружности.
4

Проверьте правильность нахождения центра окружности при помощи циркуля. Центр окружности расположен строго в точке пересечения диагоналей, только если вы не допустили ошибку при проведении параллельных касательных или диагоналей. Сотрите параллелограмм и его диагонали.

Реклама

Советы

Вместо чистого листа или листа в линейку работайте на листе в клетку. Так вам будет проще проводить перпендикулярные прямые.
Центр окружности можно вычислить математически через дополнение до полного квадрата.^[6] Это работает в том случае, если вам дано уравнение окружности, а не сама окружность.

Предупреждения

Поверочная линейка немного отличается от обычной линейки. В отличие от обычной линейки на поверочной линейке нет шкалы. Вы можете превратить поверочную линейку в обычную, если нанесете на нее измерительную шкалу.
Чтобы найти «истинный» центр окружности, используйте циркуль и поверочную линейку.

Что вам понадобится

Карандаш
Бумага
Линейка
Циркуль

Об этой статье

Эту страницу просматривали 231 483 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Download Article

Finding the center of a circle can help you perform basic geometric tasks like finding the circumference or area. There are several ways to find the center point! You can draw crossed lines, you can draw overlapping circles, or you can use a straightedge and ruler.

Things You Should Know

Measure out and draw a set of crossed lines inside of a circle to pinpoint the center.
Sketch two separate sets of overlapping circles to identify the exact center point.
Draw a square snugly around the circle. Sketch an «X» between all 4 corners of the square to find the circle’s center.

1
Draw a circle. Use a compass, or trace any circular object. The size of the circle does not matter. If you’re finding the center of an existing circle, then you don’t need to draw a new circle.
- A geometry compass is a tool specifically designed to draw and measure circles. Buy one in a school or office supply store!^[1]
2
Sketch a chord between two points. A chord is a straight line segment that links any two points along the edge of a curve.^[2] Name the chord AB.
- Consider using a pencil to sketch your lines. This way, you can erase the marks once you’ve found the center. Draw with a light touch so that it’ll be easier to erase.
Advertisement
3

Draw a second chord. This line should be parallel and equal in length to the first chord that you drew. Name this new chord CD.^[3]
4

Make another line between A and C. This third chord (AC) should stretch through the center of the circle – but you will need to draw one more line to find the exact center point.
5

Join B and D. Draw one final chord (BD) across the circle between Point B and Point D. This new line should cross over the third chord (AC) that you drew.
6

Find the center. If you have drawn straight and accurate lines, then the center of the circle lies at the intersection of the crossed lines AC and BD.^[4] Mark the center point with a pen or pencil. If you only want the center point marked, then erase the four chords that you drew.

1

Draw a chord between two points. Use a ruler or straightedge to draw a straight line inside the circle, from one edge to another. The points that you use don’t matter. Label the two points A and B.
2
Use a compass to draw two overlapping circles. The circles should be the exact same size. Make A the center of one circle, and B the center of the other. Space the two circles so that they overlap like a Venn diagram.
- Draw these circles in pencil, not pen. The process will be simpler if you are able to erase these circles later on.
3

Draw a vertical line through the two points at which the circles intersect. There will be a point at the top and a point at the bottom of the «Venn diagram» space created between the overlap of the circles. Use a ruler to make sure that the line protrudes straight through these points. Finally, label the two points (C and D) at which this new line crosses the rim of the original circle. This line marks the diameter of the original circle.
4

Erase the two overlapping circles. This should clear up your work space for the next step of the process. Now, you should have a circle with two perpendicular lines running through it. Do not erase the center points (A and B) of these circles! You will be drawing two new circles.
5

Sketch two new circles. Use your compass to draw two equal circles: one with the point C at its center, and one with the point D. These circles, too, should overlap like a Venn diagram. Remember: C and D are the points at which the vertical line intersects the main circle.
6

Draw a line through the points at which these new circles intersect. This straight, horizontal line should cut through the overlap space of the two new circles. This line is the second diameter of your original circle, and it should be exactly perpendicular to the first diameter line.
7

Find the center. The intersection point of the two straight diameter lines is the exact center of the circle! Mark this center point for reference. If you want to clean up the page, feel free to erase the diameter lines and the non-original circles.

1

Draw two straight, intersecting tangent lines onto the circle. The lines can be completely random. However, the process will be easier if you make them roughly square or rectangular.^[5]
2

Translate both of the lines to the other side of the circle. You will end up with four tangent lines forming a parallelogram or a rough rectangle.
3

Draw the diagonals of the parallelogram. The point where these diagonal lines intersect is the circle’s center.
4

Check the accuracy of the center with a compass. The center should be on target as long as you didn’t slip while translating the lines or when drawing the diagonals. Feel free to erase the parallelogram and diagonal lines.

Practice Problems and Answers

Add New Question

Question

How do you find the center of a circle if you’re only given the equation?

David Jia is an Academic Tutor and the Founder of LA Math Tutoring, a private tutoring company based in Los Angeles, California. With over 10 years of teaching experience, David works with students of all ages and grades in various subjects, as well as college admissions counseling and test preparation for the SAT, ACT, ISEE, and more. After attaining a perfect 800 math score and a 690 English score on the SAT, David was awarded the Dickinson Scholarship from the University of Miami, where he graduated with a Bachelor’s degree in Business Administration. Additionally, David has worked as an instructor for online videos for textbook companies such as Larson Texts, Big Ideas Learning, and Big Ideas Math.

Academic Tutor

Expert Answer
Question

How do you find the center of the circle if you’re only given the endpoints of the diameter?

David Jia is an Academic Tutor and the Founder of LA Math Tutoring, a private tutoring company based in Los Angeles, California. With over 10 years of teaching experience, David works with students of all ages and grades in various subjects, as well as college admissions counseling and test preparation for the SAT, ACT, ISEE, and more. After attaining a perfect 800 math score and a 690 English score on the SAT, David was awarded the Dickinson Scholarship from the University of Miami, where he graduated with a Bachelor’s degree in Business Administration. Additionally, David has worked as an instructor for online videos for textbook companies such as Larson Texts, Big Ideas Learning, and Big Ideas Math.

Academic Tutor

Expert Answer
Question

In the first method, what do I do if the chords are of different lengths?

It’s not easy to construct parallel chords of equal length. In practice, it would be a process of trial and error until you get the chords you need. But the real goal here is to find the center of a circle, and here’s a way to do it without worrying about equal and parallel chords: (1) draw any two or more chords; (2) perpendicularly bisect each chord (using either a compass or a ruler and right triangle; (3) the perpendicular bisectors will intersect at the circle’s center.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

You can also find the center of a circle by mathematically «completing the square.»^[6] This is useful if you are given a circle equation, but you aren’t working with a physical circle.
Try using graph paper instead of blank or ruled paper. It might help to have the perpendicular lines and boxes for guidance.
If you have right angled square, place the corner anywhere along the circumference. Draw the 2 lines that intersect the circumference. Draw a line between those 2 points. Repeat on any other point on the circle. Where the lines intersect is the centrepoint.

A straightedge is not the same as a ruler. A straightedge can be any straight and even surface, but a ruler shows measurements. You can turn a straightedge into a functional ruler by marking it with inch or centimeter increments.
In order to find the true center of a circle, you must use a geometric compass and a straightedge.

Things You’ll Need

Pencil
Paper
Straightedge
Geometric compass
Grid paper

References

About This Article

Article SummaryX

To find the center of a circle, start by drawing a straight line between 2 points on the circle. Don’t worry about trying to draw the straight line so it’s in the center — anywhere on the circle will do. Then, draw a second straight line that’s parallel to the first line on the opposite side of the circle. Next, draw a diagonal line from the first end of the first line to the opposite end of the second line. Repeat with the other two ends so that you’ve drawn an “X.” The point where the lines intersect is the center of the circle! If you want to learn how to draw overlapping circles to find the center, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 755,726 times.