Как найти периметр прямоугольника с одной неизвестной

Началом пропедевтики изучения геометрии являются знания, которые учащиеся получают, переходя во 2 класс. Применяя правила умножения, здесь впервые вычисляют периметр прямоугольника. 

Переходя в следующий, 3 класс, школьники на основе этой формулы начинают знакомиться с правилами раскрытия скобок.

Как вычислить периметр прямоугольника

Учитывая, что периметр любой фигуры есть сумма длин её сторон, выводят две формы записи для нахождения этой величины.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому, обозначив смежные стороны a и b, получают по определению:

P = a + b + a + b,

откуда после приведения подобных слагаемых, вытекает формула

P = 2a + 2b,

или, вынося двойку за скобки,

P = 2 (a + b).

Рассматривая квадрат, как прямоугольник с равными сторонами, получают формулу его периметра:

P = 4a.

Стандартный метод

В зависимости от сложности вычислений, применяют одну из формул, чтобы высчитать периметр. Учащиеся начальной школы знакомятся с понятием, сталкиваясь с практическими задачами.

Задача

Найти длину забора участка прямоугольной формы, который надо построить Сидору Карловичу, если общая граница с участком Ивана Петровича составляет 3 метра, а с плантацией Марии Ивановны – 5 метров.

Решение

Чтобы решить задачу и помочь незадачливому Сидору Карловичу, ученику приходится использовать формулу периметра прямоугольника. Учитывая, что a = 3, b = 5, дети легко находят, что длина забора равна

P = 2 (a + b) = 2 * (3 + 5) = 2 * 8 = 16 (метров)

Важные требования, предъявляемые к ученикам на данном этапе изучения материала, заключаются в правильном соизмерении длины и ширины, а также в умении начертить фигуру. 

Работа выполняется только при одинаковых единицах измерения, все чертежи делаются строго с использованием инструментов!

Часто длина заданного отрезка измеряется непосредственно.

Нахождение периметра через площадь и одну сторону

При более близком знакомстве с прямоугольником, способы нахождения его периметра начинают варьироваться в зависимости от исходных данных в задаче.

Если известны одна из сторон и площадь, то, чтобы узнать, чему равен периметр, выражается неизвестная сторона, а затем она подставляется в формулу.

Так как

S = a * b,

то

то есть, соотношение площади и периметра при известной стороне есть

Как найти периметр прямоугольной фигуры

В начальной школе для запоминания принципа детям часто предлагается понятие «неправильного четырёхугольника» (не прямоугольника). 

Для нахождения его периметра предлагается рассчитать сумму длин сторон непосредственно, предварительно измерив каждую из них.

Для любой более сложной фигуры производят разбиение, если возможно, на небольшие прямоугольники, с которыми и работают.

Заключение

Современный онлайн калькулятор позволяет ввести значения сторон и задать необходимую точность вычислений, мгновенно производя расчёт и выдавая необходимый результат.

Предыдущая

ГеометрияПлощадь сектора круга — формулы и примеры расчетов

Следующая

ГеометрияБиссектриса — свойства, признаки и формулы

Периметр прямоугольника

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все четыре угла прямые, то есть, составляют 90 градусов. Частным случаем прямоугольника могут быть квадрат или ромб.

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его ребер.

Основные свойства прямоугольника:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

• противоположные стороны фигуры равны и параллельны друг другу;
• сумма всех углов равна 360 градусов;
• диагонали прямоугольника равны по длине и точкой пересечения делятся пополам;
• диагонали делят фигуру на два одинаковых прямоугольных треугольника;
• по теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних ребер;
• стороны рассматриваемого четырехугольника также являются его высотами;
• точка пересечения диагоналей — это центр прямоугольника и также центр вписанной окружности;
• диагональ этого четырехугольника — это диаметр описанной окружности;
• вокруг него всегда можно описать окружность.

Варианты нахождения периметра прямоугольника

По сторонам

Если нам известны все стороны прямоугольника (или две смежные), мы можем использовать следующую формулу для нахождения суммы длин всех ребер:

(P=2(a+b))

где (a) и (b) — это две соседние стороны фигуры.

По любой стороне и площади

Зная значение любого из ребер четырехугольника и его площадь, мы можем найти значение второго и периметр фигуры.

Так как площадь прямоугольника — это произведение двух его смежных сторон ((S=atimes b)), чтобы найти неизвестную сторону, нужно поделить площадь на известную величину: (b=frac Sa).

Получается, что формула для расчета (P) рассматриваемой фигуры будет выглядеть следующим образом:

(P=2(frac Sa+a))

По любой стороне и диагонали

В случае, если мы знаем длину одного из ребер и диагональ данного четырехугольника, мы можем найти вторую сторону с помощью теоремы Пифагора.

(b=sqrt{d^2-a^2})

где (d) — диагональ прямоугольника, а (b) — неизвестная сторона.

Чтобы рассчитать сумму длин всех сторон, нужно воспользоваться формулой:

(P=2(a+sqrt{d^2-a^2}))

По любой стороне и радиусу описанной окружности

Когда нам известна одна из сторон и радиус описанной окружности вокруг прямоугольника, мы можем узнать его неизвестное ребро. Из свойств прямоугольника помним, что точка пересечения диагоналей фигуры — это центр описанной окружности. Это значит, что 1/2 диагонали — это радиус этой окружности. Таким образом, по теореме Пифагора мы можем узнать неизвестную сторону прямоугольника:

(b=sqrt{4R^2-a^2})

где (R) — радиус описанной окружности.

Тогда формула для расчета P будет выглядеть так:

(P=2(a+sqrt{4R^2-a^2}))

Примеры решения задач

Задача 1

Известно, что стороны прямоугольника равны 5 см и 7 см. Найти его периметр.

Решение:

Применяем самую первую формулу для расчета:

(P=2(a+b))

Получается:

(P=2(5+7)=24) см

Ответ: 24 см.

Задача 2

Мы знаем, что площадь четырехугольника с прямыми углами составляет 24 (см^2), одна из его сторон равна 6 см. Вычислить Р фигуры.

Решение:

Берем формулу (P=2(frac Sa+a)) и подставляем известные значения:

(P=2(frac{24}6+6)=2times10=20) см

Ответ: 20 см.

Задача 3

Дан прямоугольник со стороной 3 см и диагональю 5 см. Нужно высчитать P данной фигуры.

Решение:

Вспоминаем формулу для расчета (P=2(a+sqrt{d^2-a^2})) и вставляем известные величины:

(P=2;(3+sqrt{5^2-3^2})=2(3+sqrt{25-9})=2times7=14) см

Ответ: 14 см.

Задача 4

Вокруг прямоугольника с ребром 3 см описали окружность с радиусом 5 см. Определить P заданной фигуры.

Решение:

В этом случае для расчета суммы длин всех сторон применяем формулу (P=2(a+sqrt{4R^2-a^2})). Используем известные значения и получаем:

(P=2;(3+sqrt{4times5^2-3^2})=2(3+sqrt{100-9})=2(3+sqrt{91})=6+2sqrt{91}) см.

Ответ: (6+2sqrt{91}) см.

Памятка
для решения задач, нахождение периметра фигур

1.      Задача

Найди
периметр треугольника со сторонами 3см, 5см, 6см.

Объясняю:
Чтобы найти периметр треугольника, нужно все 3 стороны сложить.

Запись в тетради:

Р
= 3 + 5 + 6 = 14 (см)

Ответ:
14 см периметр треугольника.

2.      Задача

Найди
периметр прямоугольника со сторонами 2см и  5см.

Объясняю:

1
способ: Чтобы найти периметр прямоугольника,
нужно все 4 стороны сложить.

Запись в тетради:

Р
= 2 + 5 + 2 + 5 = 14 (см) или Р = 2 + 2 + 5 + 5 = 14 (см)

Ответ:
14 см периметр прямоугольника.

2
способ: Чтобы найти периметр прямоугольника
применю формулу Р = (а + b)·2, 
где а – длина одной стороны, b
– длина второй стороны.

В
формулу вместо букв поставлю  известные данные Р = (2 + 5)·2
= 14 (см)

Запись в тетради:

Р
= (2 + 5)·2 = 14 (см)

Ответ:
14 см периметр прямоугольника.

3.      Задача

Найди
периметр квадрата со стороной 3 см.

Объясняю:

1 способ:
Чтобы найти периметр квадрата, нужно все 4 стороны сложить

Запись в тетради:

Р = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
(см)

Ответ: 12 см периметр
квадрата.

2 способ: Чтобы
найти периметр квадрата применю формулу Р = а·4,
где а – длина стороны квадрата. В формулу вместо буквы а,
поставлю  известные данные

Запись в тетради:

Р = 3·4
= 12 (см)

Ответ: 12 см периметр
квадрата.

4.      Задача

Длина одной
из сторон прямоугольника равна 6 см, длина другой стороны – на 4 см больше. 
Найди периметр прямоугольника.

 Объясняю:
У прямоугольника противоположные стороны равны. Чтобы найти периметр прямоугольника,
нужно все 4 стороны сложить. Но неизвестна вторая сторона, найду сначала её. В
задаче сказано, что она больше первой на 4см, буду прибавлять:  1) 6 + 4 = 10
(см) – вторая сторона. Все стороны известны, могу найти периметр, сложу все
четыре стороны: 2) 6 + 6 + 10 + 10 = 32 (см)

Запись в тетради:

1)      6
+ 4 = 10 (см) – вторая сторона.

2)       6
+ 6 + 10 + 10 = 32 (см)    или  Р = (6 + 10)·2 = 16·2
= 32 (см)

Ответ: 32 см периметр
прямоугольника.

5.      Задача

Длина одной
из сторон прямоугольника равна 8 см, длина другой стороны – на 5 см меньше. 
Найди периметр прямоугольника.

 Объясняю:
У прямоугольника противоположные стороны равны. Чтобы найти периметр прямоугольника,
нужно все 4 стороны сложить. Но неизвестна вторая сторона, найду сначала её. В
задаче сказано, что она меньше первой на 5 см, буду вычитать:  1) 8 — 5 = 3
(см) – вторая сторона. Все стороны известны, могу найти периметр, сложу все
четыре стороны: 2) 8 + 8 + 3 + 3 = 22 (см)

Запись в тетради:

1)      8
— 5 = 3 (см) – вторая сторона.

2)       8
+ 8 + 3 + 3 = 22 (см)   или   Р = (8 + 3)·2 = 11·2
= 22 (см)

Ответ: 22 см периметр
прямоугольника.

6.      Задача

Начерти
квадрат, периметр которого равен 16 см.

Объясняю: Чтобы начертить
квадрат, нужно знать длину стороны, а она неизвестна. Я знаю, что у квадрата
все четыре стороны равны, что периметр квадрата равен 16 см. Разделю периметр
16 см на 4 стороны, получу одну сторону.

Запись в тетради:

16 : 4 = 4 (см) – сторона
квадрата

Черчу квадрат