Как найти периметр параллелограмма mnkp

Геометрия 8 класс (УМК Атанасян). Решение задач по теме «Параллелограмм» с ответами. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. М.: Просвещение». Урок 7. Решение задач: Параллелограмм

Основные дидактические цели урока: закрепить свойства и признаки параллелограмма в процессе решения задач; совершенствовать навыки решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент. Мотивация к учебной деятельности

(Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.)

II. Актуализация знаний учащихся

1. Работа у доски.

(Три ученика готовят у доски доказательства признаков параллелограмма.)

2. Проверка домашнего задания.

(Учитель проверяет решение задачи № 373. Один ученик готовит решение задачи на доске. Решение заслушать после проверки задач по готовым чертежам.)

Задача № 373. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠C = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.
Решение: В ΔВСН ∠H = 90°, ∠C = 30°, следовательно, ВС = 2 • НВ, т. е. ВС = 13 см (рис. 5.51). P_ABCD = АВ + ВС + CD + DA,   АВ = DC, ВС = DA как противолежащие стороны параллелограмма, значит, 2 • АВ + 13 • 2 = 50. Таким образом, АВ = 12 см, тогда CD = АВ = 12 см, AD = ВС = = 13 см.
Ответ: АВ = CD = 12 см, AD = ВС = 13 см.

Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о треугольнике ВСН. Можно ли найти другие его стороны?
– Как найти стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 50 см.

3. Работа по индивидуальным карточкам.

(3–6 учеников работают по карточкам.)

I уровень сложности
1. Точки Е и К – середины сторон АВ и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что АЕСК – параллелограмм.
2. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О, причем АС = 2 дм, АО = 10 см, BD = 1,5 дм, ВО = 7 см. Выясните, является ли ABCD параллелограммом?

II уровень сложности
1. В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD отмечены соответственно точки М и N так, что ∠BMC = ∠AND. Докажите, что AMCN – параллелограмм.
2. Точки А и В делят диагональ МК параллелограмма MNKP на три равные части. Является ли четырехугольник ANBP параллелограммом? Ответ обоснуйте.

III уровень сложности
1. Дано: ABCD – параллелограмм, AM = СК, АР = CN (рис. 5.52). Доказать: MNKP – параллелограмм.
2. Через точку пересечения диагоналей О параллелограмма ABCD проведена прямая MN, пересекающая стороны AD и ВС в точках М и N соответственно. Является ли MBND параллелограммом? Ответ обоснуйте.

4. Решение задач по готовым чертежам.

(Ученики решают задачи с последующей самопроверкой по готовым ответам. В это время учитель может заслушать доказательства признаков параллелограмма и проверить решение дополнительных домашних задач индивидуально у тех учащихся, которые их решали.)

1. Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.53). Найти: ∠C, ∠D.
2. Дано: MNKP – параллелограмм (рис. 5.54). Найти: МР, РК.
3. Рис. 5.55. Найти: углы параллелограмма ABCD.
4. Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.56). Найти: Р_ABCD.
5. Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.57). Найти: AD.
6. Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.58). Найти: P_ABCD, ∠AED.
7. Дано: NBFD – параллелограмм. AD = 4 см, NB = 5 см (рис. 5.59). Найти: ВС, CD.
8. Дано: ABCD – параллелограмм. P_MNKP = 20 см (рис. 5.60). Найти: MN, МР.
9. Дано: BNDM – параллелограмм. АВ : ВС = 4:5, P_ABCD = 18 см (рис. 5.61). Найти: AD, DC.

(После окончания самостоятельного решения задач и самопроверки по готовым ответам выполняется самооценка.) Критерии оценивания:

• оценка «5» – правильно решены восемь–девять задач;
• оценка «4» – правильно решены шесть–семь задач;
• оценка «3» – правильно решены три–пять задач;
• оценка «2» – правильно решено менее трех задач.

Ответы к задачам по готовым чертежам:

• 1) ∠C= 64°, ∠D = 116°.
• 2) МР = 4 см, РК = 10 см.
• 3) ∠B = ∠D = 115°, ∠A = ∠C = 65°.
• 4) P_ABCD = 16 см.
• 5) AD = 10 см.
• 6) P_ABCD = 30 см, ∠AED = 90°.
• 7) ВС = 4 см, CD = 5 см.
• MN = 3 см, МР = 7 см.
• 9) AD = 5 см, DC = 4 см.

5. Проверка решения дополнительных домашних задач.

I уровень сложности: В выпуклом четырехугольнике ABCD АВ = CD, ∠В = 70°, ∠BCA = 60°, ∠ACD = 50°. Докажите, что ВС = AD.

Решение. (рис. 5.62) ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 60° + 50° = 110°.
∠ABC и ∠BCD – односторонние углы при прямых CD и АВ и секущей ВС. ∠ABC + ∠BCD = 70° + 110° = 180°, значит, CD || AB.
В четырехугольнике ABCD противолежащие стороны АВ и CD параллельны и равны, следовательно, ABCD – параллелограмм, а это значит, что ВС = AD как противолежащие стороны параллелограмма.

II уровень сложности: Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны АВ и CD соответственно в точках М и К, вторая – стороны ВС и AD соответственно в точках N и L. Докажите, что четырехугольник MNKL – параллелограмм.

Решение. (рис. 5.63)
а) ΔAOL = ΔCON по стороне и прилежащим к ней углам (АО = СО, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, ∠AOL = ∠CON как вертикальные, ∠NCO = ∠LAO как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС), тогда NO = LO.
б) ΔBOM = ΔDOК по стороне и прилежащим к ней углам (ВО = DO, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, ∠BOM = ∠DOK как вертикальные, ∠MBO = ∠KDO как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD), тогда МО = КО.
в) В четырехугольнике MNKL диагонали МК и NL точкой пересечения делятся пополам (МО = КО, NO = АО), следовательно, MNKL – параллелограмм.

III. Решение задач

Решить задачи № 374, 377 (выполнить рисунок и записать краткое решение). (Два ученика работают у доски, остальные – в тетрадях. По окончании работы учащиеся слушают решения задач, а затем исправляют ошибки.)

Задача № 374. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = 9 см.
Решение: ΔАВК – равнобедренный, АВ = ВК = CD = 15 см, ВС = AD = 15 + 9 = 24 см, P_ABCD = (15 + 24) • 2 = 78 см (рис. 5.64). Ответ: 78 см.

Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о ΔАВК, если АК – биссектриса ∠BAD параллелограмма ABCD?
– Чему равны стороны параллелограмма ABCD? Чему равен его периметр?

Задача № 377. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.
Решение: В ΔMNH ∠H = 90°, ∠N = 30°, MN = 3 см, следовательно, MN = 6 см (рис. 5.65). MNPQ – параллелограмм, следовательно, MN = PQ = 6 см, NP = MQ = 8 см.
Ответ: MN = PQ – 6 см, NP = MQ = 8 см.

Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о AMNH? Какую из его сторон можно найти?
– Найдите стороны параллелограмма MNPQ.

IV. Самостоятельная работа № 2 (3 уровня сложности)

Задания I уровня сложности предлагаются менее подготовленным учащимся, задания III уровня сложности – самым подготовленным, задания II уровня сложности – всем остальным, что составляет большинство класса. Учащихся, выполняющих задания I и III уровня, необходимо предупредить о критериях оценивания их работ. Правильное решение всех заданий I уровня может быть оценено максимально в 4 балла, для получения 5 баллов, решающим задания III уровня, необходимо правильно решить или решить с негрубыми ошибками третье задание. Учащиеся сами выбирают уровень сложности.

Самостоятельная работа № 2 с ответами

V. Рефлексия учебной деятельности

1. Сформулируйте признаки параллелограмма.
2. Сформулируйте свойства параллелограмма.

Домашнее задание

1. Решить задачи № 375, 380, 384 (устно).
2. Решить задачу № 14 (рабочая тетрадь).
3. Решить дополнительные задачи.
   I уровень сложности: Дано: ABCD – параллелограмм. AN – биссектриса ∠BAD, ВМ – биссектриса ∠ABC (рис. 5.66). Доказать: ABNM – параллелограмм.
   II уровень сложности: Докажите, что угол между перпендикулярами, проведенными из вершины тупого угла параллелограмма к прямым, содержащим стороны параллелограмма, равен острому углу параллелограмма, а угол между перпендикулярами, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

Вы смотрели: Геометрия 8 класс (УМК Атанасян). Урок 7. Решение задач: Параллелограмм с ответами. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение». В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 8 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО».

Вернуться в Поурочное планирование по геометрии для 8 класса (УМК Атанасян).

Что такое периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма — это сумма длин всех его сторон.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны друг другу. Таким образом, его периметр — это удвоенная сумма двух его смежных ребер.

Свойства

• противоположные стороны равны и параллельны;
• противоположные углы попарно равны;
• сумма соседних углов равна 180 градусов;
• сумма всех углов равна 360 градусов;
• диагонали фигуры делятся пополам в точке пересечения;
• точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма;

• биссектриса образует равнобедренный треугольник.

Как найти периметр

Существует несколько основных способов, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон заданной фигуры. Все они зависят от изначально известных параметров.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

По сумме всех сторон

Так как периметр параллелограмма — это удвоенная сумма двух его смежных ребер, используем  формулу:

P=2(a+b),

где a и b — это две смежные стороны данного четырехугольника.

По стороне и двум диагоналям

Если в задаче дана лишь одна сторона, но обе диагонали четырехугольника, мы можем найти вторую сторону. Для этого используем формулу:

(a=frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2,)

где (d_1) и (d_2) — это обе диагонали фигуры.

Получается, что расчет суммы длин всех сторон для параллелограмма будет выглядеть так:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b).)

По стороне, высоте и синусу угла

В случае, если нам известны лишь одно ребро, высота и один из углов, можем узнать длину второго ребра таким образом:

(a=frac{h_b}{sinalpha})

где (h_b) — высота, проведенная к известной стороне, а (sinalpha) — известный нам угол.

Таким образом, формула для нахождения периметра параллелограмма будет выглядеть так:

(P=2(frac{h_b}{sinalpha}+b))

Примеры решения задач

Попробуем применить полученные знания на практике и рассмотрим несколько задач на периметр параллелограмма.

Задача 1

Дан параллелограмм со сторонами 5 см и 9 см. Вычислить его периметр.

Решение:

Воспользуемся формулой P=2(a+b), так как нам известны обе стороны фигуры. Подставляем значения: P=2(5+9)=28 см.

Ответ: 28 см.

Задача 2

Известно, что одна из сторон параллелограмма равна 4 см, а две его диагонали равны 6 см и 8 см. Найти периметр фигуры.

Решение:

Для расчета суммы длин всех сторон используем формулу:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b))

Подставляем известные значения:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b)=2(frac{sqrt{2times6^2+2times8^2-4times4^2}}2+4)=2(frac{sqrt{72+128-64}}2+4)=2(frac{2sqrt{34}}2+4)=2sqrt{34}+8) см.

Ответ:( 2sqrt{34}+8) см.

Задача 3

Сторона b параллелограмма равна 2 см, высота, проведенная к b — 1 см, а угол α равен (fracpi6). Найти сумму длин всех сторон фигуры.

Решение:

Для расчета будем использовать уравнение:

(P=2(frac{h_b}{sinalpha}+b))

Подставим известные величины:

(P=2(frac1{sin{displaystylefracpi6}}+2)=2(frac1{displaystylefrac12}+2)=8;)см.

Ответ: 8 см.

Прямоугольник, квадрат и ромб являются частными случаями параллелограмма.

Онлайн-калькулятор периметра параллелограмма

Свойства параллелограмма

Перечислим некоторые свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны и параллельны.
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Формула периметра параллелограмма

Чтобы найти периметр параллелограмма, нужно сложить длины всех его сторон.

Разберем задачу на нахождение периметра параллелограмма.

Не знаете, где можно оформить контрольные работы на заказ? На бирже Студворк сотни авторов, которые готовы выполнить ваше задание!

Тест по теме «Периметр параллелограмма»