Как найти периметр основы

Примечание. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак «√».

Задача.
Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см² (16√3). Вычислить периметр основания пирамиды.

Решение.
Правильный треугольник — это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник.
Площадь равностороннего треугольника равна:

Соответственно:
16√3 = a² √3 / 4
16 = a² / 4
a² = 64
a = 8 см

Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
8 * 3 = 24 см

Ответ: 24 см.

0
 

 Правильная треугольная пирамида (правильная пирамида с треугольником в основании). Тетраэдр |

Описание курса

| Объем правильной треугольной пирамиды 

Зная периметр основания правильной пирамиды, можно легко вычислить сторону основания, разделив периметр на удвоенное количество сторон многоугольника. Площадь основания в свою очередь будет рассчитываться по стандартной формуле площади правильного многоугольника, в которую необходимо будет подставить выражение, соответствующее стороне основания через периметр.
a=P/n
S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )=P^2/(4n tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник в основании пирамиды, как и радиус окружности, описанной вокруг основания, необходимо знать сторону основания, поэтому здесь также пригодится полученное через периметр выражение. (рис.34.1,34.2)
r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )=P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 )
R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )=P/(2n sin⁡〖(180°)/n〗 )

Величина внутреннего угла многоугольника в основании зависит только от количества сторон многоугольника и рассчитывается по следующей формуле. (рис.34.3)
γ=180°(n-2)/n

Зная апофему и сторону основания правильной пирамиды, вычисленной через периметр, можно рассчитать боковое ребро и высоту пирамиды по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках. (рис. 34.4, 35.1)
h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-(P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 )
b=√(l^2+P^2/(4n^2 ))

Чтобы найти угол между основанием и апофемой, а также между основанием и боковым ребром, нужно сначала рассчитать косинусы этих углов в прямоугольных треугольниках, образованных высотой и соответствующим отрезком, которые через основание будут соединяться радиусы вписанной и описанной окружностей. (рис.34.4, 34.5)
cos⁡α=R/b=P/(2n sin⁡〖(180°)/n〗 √(l^2+P^2/(4n^2 )))
cos⁡β=r/l=P/(2nl tan⁡〖(180°)/n〗 )

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания равна произведению периметра на половину апофемы. Площадь полной поверхности вычисляется как сумма полученного значения и площади основания.
S_(б.п.)=lP/2
S_(п.п.)=P(l/2+P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Чтобы найти объем пирамиды, необходимо знать не только периметр основания для расчета его площади, но и высоту пирамиды, которая равна квадратному корню из разности квадратов апофемы и радиуса вписанной в основание окружности.
V=1/3 S_(осн.) h=(P^2 √(l^2-(P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12n tan⁡〖(180°)/n〗 )

Сфера, которую можно вписать в пирамиду, должна иметь радиус, равный отношению трех объемов к площади полной поверхности, которые можно вычислить через периметр и апофему пирамиды. Радиус сферы, которую можно описать вокруг пирамиды, должен быть равен квадрату боковой стороны, деленному на удвоенную высоту. (рис.34.6, 34.7)

r_1=3V/S_(п.п.) =(P√(l^2-(P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 (l/2+P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 )) )
R_1=b^2/2h=(2l^2+P^2/n^2 )/(2√(l^2-(P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))

Как найти периметр треугольной призмы? – Обзоры Вики

Периметр призмы

1. Периметр треугольника = a + b + c текст {Периметр треугольника} = a + b + c Периметр треугольника = a + b + c.
2. Периметр прямоугольника = 2l + 2w текст {Периметр прямоугольника} = 2l + 2w Периметр прямоугольника = 2l + 2w.
3. Площадь поверхности = 2 b + ph текст {Площадь поверхности} = 2b + ph Площадь поверхности = 2b + ph.

Аналогично, как найти площадь поверхности прямой призмы? Формула для нахождения площади поверхности одинакова для всех правильных призм и выглядит следующим образом: Площадь поверхности = 2B + hP. В этой формуле B — площадь одного из оснований, h — высота призмы, а P — периметр основания.

Как найти боковую сторону и площадь поверхности треугольной призмы? Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна сумма площадей всех его боковых граней, которые составляют 3 прямоугольника. Боковая площадь призмы высотой h, при которой размеры треугольных оснований равны a, b и c, равна (a + b + c) h.

Во-вторых, что такое треугольная призматическая сетка? Треугольная призма – это призма, состоящая из двух треугольных оснований и трех прямоугольных сторон. Это пятигранник. …Треугольная призма имеет девять различных сетей, как показано выше.

Что такое прямоугольная призма?

Подобно треугольной призме, прямоугольная призма призма с двумя параллельными и конгруэнтными треугольными гранями и тремя прямоугольными гранями, перпендикулярными треугольным. В прямоугольной призме боковые грани должны быть перпендикулярны основаниям.

то что является основанием треугольной призмы? Верхняя и нижняя, которые треугольников, это базы. Эти три прямоугольника называются боковыми гранями. Треугольная призма имеет пять граней, состоящих из двух треугольных оснований и трех прямоугольных боковых граней, а основание также является гранью.

Чему равны боковые грани треугольной призмы? Верх и низ, которые являются треугольниками, являются основаниями. Чай три прямоугольника называются боковыми гранями. Треугольная призма имеет пять граней, состоящих из двух треугольных оснований и трех прямоугольных боковых граней, причем основание также является гранью. Когда две грани встречаются, они образуют отрезок, называемый ребром.

Как найти недостающую сторону треугольной призмы?

Какие три основания у треугольной призмы?

Обратите внимание, как ваша трехмерная треугольная призма состоит из двухмерных фигур, таких как прямоугольники и треугольники. Есть три прямоугольника и два треугольника. Двумерные фигуры, образующие трехмерную форму, называются гранями. Верх и низ, которые являются треугольниками, являются основаниями. .

Сколько линий на треугольной призме? Он имеет в общей сложности 9 ребра, 5 граней и 6 вершин (соединенных прямоугольными гранями).

Что из перечисленного является треугольной призмой?

Например, призма с треугольным основанием называется треугольной призмой, а призма с квадратным основанием называется квадратной призмой и так далее.
…
Треугольная призма.

Какова площадь поверхности треугольной пирамиды?

Чтобы найти площадь правильной треугольной пирамиды, воспользуемся формулой SA = A + (3/2) bh, где A = площадь основания пирамиды, b = основание одной из граней и h = высота одной из граней.

Сколько треугольных граней у треугольной призмы? Треугольная призма имеет пять лиц. Его основание — треугольник. (Обратите внимание, что даже когда треугольная призма сидит на прямоугольнике, основание остается треугольником.) Две ее грани — треугольники; три его грани — прямоугольники.

Сколько линий на треугольной призме? Свойства треугольной призмы

Он имеет в общей сложности 9 ребра, 5 граней и 6 вершин (соединенных прямоугольными гранями).

Является ли конус треугольной призмой?

Призма – объемная фигура, имеющая две параллельные конгруэнтные стороны, называемые основаниями, которые соединены боковыми гранями, являющимися параллелограммами. Есть оба прямоугольные и треугольные призмы. … Основание конуса — это круг, и это легко увидеть.

Какова площадь поверхности этой треугольной пирамиды? Чтобы найти площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, воспользуемся формулой SA = A + (3/2) bh, где A = площадь основания пирамиды, b = основание одной из граней и h = высота одной из граней.

Чему равна боковая площадь треугольной пирамиды?

Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды

Таким образом, площадь боковой поверхности прямоугольной треугольной пирамиды равна 1⁄2 (периметр основания × наклонная высота), которая далее становится 3/2 (сторона × наклонная высота).

Какие бывают виды треугольных призм? В правильная треугольная призма имеет прямоугольную стороны, в противном случае она косая. Однородная треугольная призма — это прямоугольная призма с равносторонними основаниями и квадратными сторонами.

Какая фигура представляет собой треугольную призму?

В геометрии треугольная призма трехсторонняя призма ; это многогранник, состоящий из треугольного основания, переведенной копии и трех граней, соединяющих соответствующие стороны. Прямоугольная призма имеет прямоугольные стороны, в остальном она наклонная.
…
Треугольная призма.

Сколько существует типов треугольных призм? Треугольная призма – это призма с треугольными основаниями. На рисунке ниже представлены три типа из треугольных призм.

Как определить площадь поверхности и объем треугольной призмы?

Формулы треугольной призмы

1. объем = 0.5 * b * h * длина, где b — длина основания треугольника, h — высота треугольника, а длина — длина призмы.
2. area = length * (a + b + c) + (2 * base_area), где a, b, c — стороны треугольника, а base_area — это базовая площадь треугольника.

Площадь поверхности пирамиды 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Пирамида, основные понятия и элементы

Вспомним понятие n-угольной пирамиды. Она получается следующим образом: в плоскости  лежит n-угольник с вершинами  и т. д. Вне плоскости  лежит точка Р. Точка Р соединяется с вершинами n-угольника – получаем пирамиду (рисунок 1).

Рис. 1. Пирамида

Определение.

Многогранник , составленный из n-угольника  и n треугольников , … называется пирамидой.

Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания:

Площадь основания пирамиды, площади основных правильных многоугольников

Рассмотрим нахождение площади основания правильной n-угольной пирамиды. Правильный n-угольник, как нам известно, имеет равные стороны и равные внутренние углы. Решим следующую задачу: для n-угольника с заданной длиной стороны () и количеством углов (n) найти площадь (рисунок 2).

Рис. 2. Нахождение площади n-угольника

Рассмотрим треугольник , в нем найдем угол . Таких углов всего n штук, значит:

Половина этого угла, угол .

Треугольник , где М – середина стороны , прямоугольный. В нем ОМ – радиус вписанной в n-угольник окружности,  – радиус описанной окружности. Поскольку у нас задан по условию катет рассматриваемого прямоугольного треугольника () и мы нашли острый угол (), то по соотношениям в прямоугольном треугольнике мы легко найдем все остальные элементы.

Чтобы найти площадь n-угольника, нужно сложить n площадей треугольников вида . Чтобы найти площадь этого треугольника, найдем катет ОМ прямоугольного треугольника :

Площадь треугольника определяется по формуле:

Теперь получим площадь всего n-угольника:

Рассмотрим наиболее распространенные частные случаи:

Площадь правильного треугольника:

Площадь квадрата:

Площадь правильного шестиугольника:

Чтобы нарисовать правильный шестиугольник, удобно пользоваться следующим алгоритмом (рисунок 3):

Построить окружность (зеленая пунктирная линия) Провести диаметр (синяя пунктирная линия) Отметить середины радиусов построенного диаметра Провести через середины перпендикуляры (красные пунктирные линии) Получены вершины шестиугольника – построить шестиугольник.

Рис. 3. Правильный шестиугольник

Чтобы найти площадь правильного шестиугольника действуем стандартным методом. Рассматриваем треугольник АОС, в нем находим угол ∠АОВ, таких углов шесть, имеем:

Поскольку отрезки ОА и ОВ равны, то углы ∠ОАВ и ∠ОВА также составляют по . Так, рассматриваемый треугольник правильный. Его площадь нам известна:

Площадь шестиугольника состоит из шести таких площадей:

Площадь боковой поверхности пирамиды

Рассмотрим нахождение площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Где  – периметр основания;  – апофема.

Определение.

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Задача 1

В правильной треугольной пирамиде известна сторона основания и высота. Найти площадь боковой поверхности.

Решение. Проиллюстрируем условие задачи:

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1

Задана правильная пирамида с вершиной Р и основанием АВС. РН – высота пирамиды, РО – апофема. Сторона основания равняется . высота равняется . Высота и сторона основания полностью задают правильную пирамиду.

По вышеприведенной формуле для того, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, необходимо найти ее апофему и полупериметр основания. Периметр основания нам известен, так как задана сторона основания. Найдем апофему из прямоугольного треугольника РНО. Один из катетов задан по условию – . Найдем второй катет ОН, он соответствует радиусу вписанной в треугольник окружности, формула нам известна:

Найдем апофему по теореме Пифагора:

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды:

Связь площади треугольника с площадью его проекции

Площадь боковой поверхности и площадь основания пирамиды связаны через величину двугранного угла при основании.

Решение задач

Задача 2

РН – перпендикуляр к плоскости треугольника АВН. Из точки Н опущен перпендикуляр НМ к прямой АВ. . Доказать:

Решение. Проиллюстрируем условие:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Треугольник АВН – это проекция треугольника АВР. Нужно доказать, что площадь проекции есть площадь исходного треугольника на косинус двугранного угла между ними. Поскольку НМ – перпендикуляр к АВ, то и РМ – перпендикуляр к АВ по теореме о трех перпендикулярах. Значит, угол  – это линейный угол двугранного угла с ребром АВ. АВР – часть боковой поверхности, АВН – часть основания.

Найдем отношение площадей интересующих нас треугольников:

Рассмотрим прямоугольный треугольник РНМ. В нем РМ – гипотенуза, НМ – катет, прилежащий к заданному углу . Отсюда заключаем:

Что и требовалось доказать.

Задача 3

Доказать для правильной треугольной пирамиды: , где  – угол наклона боковой грани к основанию.

Решение. Проиллюстрируем условие:

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3

Задана правильная треугольная пирамида РАВС с основанием АВС и вершиной Р.  – линейный угол двугранного угла с ребром АВ, точкой Р в одной плоскости и точкой С в другой плоскости.

Очевидно, что угол наклона  боковой грани к основанию пирамиды одинаков для всех боковых граней, то есть если  и  – середины отрезков ВС, АС и АВ соответственно, то: .

В задаче 2 мы доказали: .

Аналогично:

Выполним сложение полученных выражений.

Что и требовалось доказать.

Задача 4

Боковые грани пирамиды РАВС наклонены к основанию под одним и тем же углом . Докажите, что вершина пирамиды Р проектируется в центр О вписанной в треугольник АВС окружности и что .

Решение. Проиллюстрируем условие задачи:

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 4

Пусть РО – высота пирамиды. Найдем место расположения точки О. Из точки О опустим перпендикуляры к сторонам треугольника АВС – .

Поскольку  – перпендикуляр к АВ, то по теореме о трех перпендикулярах . Аналогично:  и . Тогда  – линейный угол двугранного угла при ребре АВ,  – линейный угол двугранного угла при ребре ВС,  – линейный угол двугранного угла при ребре АС. По условию . Так, имеем равные прямоугольные треугольники:  (по общему катету и равному острому углу). Из равенства треугольников следует равенство катетов: .

Так, точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то есть это центр его вписанной окружности, что и требовалось доказать.

Поскольку РО – высота пирамиды, то треугольники АОВ, АОС, СОВ – это проекции треугольников АРВ, АРС и ВРС соответственно. Имеем (основываясь на задаче 2):

Выполним сложение полученных выражений.

Что и требовалось доказать.

Итак, мы рассмотрели площадь поверхности пирамиды, в частности, площадь основания и площадь боковой поверхности, следующий урок будет посвящен задачам.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Fmclass.ru (Источник).
2. Rapidus.ru (Источник).
3. 2mb.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Задача 1: основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом . Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите высоту пирамиды и площадь боковой поверхности.
2. Задача 2: основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ – 29 см, катет АС – 21 см. Боковое ребро DA перпендикулярно плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3. Задача 3: основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы  и . Найдите площадь поверхности пирамиды.

Как вычислить периметр: часть 2

В предыдущем посте мы узнали, как вычислить периметр любого многоугольника и формулы для правильных многоугольников и прямоугольников. Сегодня мы научимся вычислять периметр других типов многоугольников: ромбов, равнобедренных треугольников, равнобедренных трапеций и ступенчатых многоугольников.

ПРИМЕЧАНИЕ ДЛЯ НАШИХ ЧИТАТЕЛЕЙ В ВЕЛИКОБРИТАНИИ. В этом посте используется термин трапеция, который используется в США

Вычисление периметра:

Ромб

Ромб имеет четыре равные стороны . Но не все его углы равны, а только углов, лежащих друг напротив друга .

Поскольку четыре стороны равны , мы можем умножить длину одной стороны на четыре , чтобы получить периметр.

Периметр = 4 x 5 см = 20 см

Это правило применимо и к квадратам, поскольку у них также четыре равные стороны.

Периметр ромба = 4 x длина одной стороны

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и одну различную .

Чтобы освежить память о различных типах треугольников, взгляните на этот пост.

Учитывая, что две стороны равны, а одна различна, нам просто нужно умножить длину повторяющейся стороны на два, а затем добавить длину другой стороны.

Периметр = 5см x 2 + 6см = 16см

Итак, для любого равнобедренного треугольника:

Периметр равнобедренного треугольника = длина повторяющейся стороны x 2 + длина другой стороны

Равнобедренная трапеция

Периметр равнобедренных трапеций вычисляется особым образом. Они имеют две противоположные стороны, равные , а другие две стороны , известные как основания (верхнее и нижнее), параллельны, но имеют разную длину .

В этом случае нам нужно умножить длину одной из противоположных сторон на два и сложить длины двух оснований.

Периметр = 5см x 2 + 12см + 6см = 28см

Для расчета периметра любой равнобедренной трапеции:

Периметр равнобедренной трапеции = длина противоположной стороны x 2 + длина верхнего основания + длина нижнего основания

Ступенчатый многоугольник

Ступенчатые многоугольники имеют очень своеобразную характеристику. Сумма длин сторон, параллельных основанию, равна длине основания. И то же самое относится к сумме длин сторон, параллельных высоте, которые измеряют ту же длину, что и высота.

Итак, для вычисления периметра любого ступенчатого многоугольника мы можем использовать ту же формулу, что и для прямоугольников, потому что мы можем приблизиться к сумме длин горизонтальной и вертикальной сторон, как если бы они были равны длине основание и высота. Длина основания и высота как бы повторяются.

Периметр = 2x (6см + 8см) = 28см

Правило работает для любого ступенчатого многоугольника этого типа:

Периметр ступенчатого многоугольника = 2 х (основание + высота)

Если вы хотите узнать больше об этой теме, геометрии и других материалах по начальной математике, адаптированных к вашему уровню, зайдите на Smartick и попробуйте его бесплатно.

Подробнее:

• Автор
• Последние сообщения

Smartick

Команда создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Последние сообщения от Smartick (см. All)

Площадь и периметра (видео) Формулы для прямоугольников, квадратов и кругов

, написанные

Малкольм Маккинси

11 января 2023

Факт-проверенный на

Paul Mazzola

Площадь и периметр – формулы для прямоугольников, квадратов и кругов

Вы можете использовать площадь квадрата или круга, чтобы найти периметр фигуры (или длину окружности). В случае прямоугольников, если вы знаете только площадь и длину одной стороны, вы можете найти периметр. Вы даже можете найти длины сторон прямоугольника, если знаете площадь и периметр. Никаких трюков; просто математические удовольствия!

Определения

1. Площадь — замкнутое пространство внутри двумерной формы. Форма может быть многоугольником, например, треугольником, квадратом или прямоугольником. Это также может быть криволинейная форма, например, круг. Площадь равна , всегда измеряется в квадратных единицах.

2. Периметр — это расстояние вокруг двумерной формы. Для многоугольников периметр можно найти, используя только сложение путем добавления расстояний по мере перемещения по фигуре.

3. Окружность — это множество всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки. Этот набор точек замыкается во внутреннем пространстве, в области круга. Периметр круга называется его окружностью .

Как найти площадь и периметр

Формулы периметра

• кв.{2} a = S2 ( S — длина любой стороны.)

• прямоугольник — A = LWA = LWA = LW ( L и 33333 L и 33333 L и 33333 L и 3 3 3 33333 L и 3 3 L и 3 стороны, длина и ширина).

• Треугольник — A = 12BHA = FRAC {1} {2} BHA = 21 BH ( B является основой и H — высота.) H — высота.) H — высота.) H — высота.) H — высота.) H — высота.) H . Треугольник – A=s(s−a)(s−b)(s−c)A=sqrt{sleft(s-aright)left(sbright)left(s-cright)}A =s(s−a)(s−b)(s−c)​ ( a , b , and c are the side lengths, and s is the semiperimeter. )

• Parallelogram – A=bhA=bhA= bh ( b  – длина основания, а  h  – высота.)

• Трапеция – A=b1+b22hA={b}_frac{} {b}_{2}}{2}hA=2b1​+b2​​h (b1{b}_{1}b1​ и b2{b}_{2}b2​ – длины параллельных сторон, и 9{2}A=πr2 (r  – радиус.)