Как найти периметр четырехугольника вписанного в окружность

Четырехугольник, вписанный в окружность — основные свойства, признаки и формулы

Общие сведения

Фигура является вписанной в окружность, когда все ее вершины лежат на ней. Произвести вписание в окружность четырехугольника можно только в том случае, когда он выпуклый. Все его точки находятся по одну сторону от произвольной прямой, которая проходит через соседние вершины фигуры. Нужно отметить, что в этом случае окружность является описанной вокруг фигуры. Если в параллелограмм вписана окружность, то ее центр совпадает с центром окружности, которая описана вокруг него.

Четырехугольники бывают самопересекающимися. Они также могут быть вписанными, однако это встречается крайне редко. Не каждую фигуру можно вписать в круг, поскольку существуют определенные законы. Например, вокруг ромба нельзя описать круг — исключение составляет случай, когда ромб является квадратом.

Основные правила

Выпуклый четырехугольник можно вписать в окружность. Однако для этого существуют некоторые правила (критерии) или признаки. Некоторые задачи сформулированы таким образом, что нужно знать основные критерии, а также уметь доказывать возможность вписывать или описывать окружность. Около четырехугольника можно описать окружность, если выполняются следующие условия:

  • Сумма углов, которые являются противоположными, соответствует 180 градусам.
  • Соблюдается равенство смежного и противоположного углов.
  • Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и диагональю.
  • Произведение двух диагоналей соответствует размерности суммы произведений противоположных сторон.
  • Четыре точки лежат на окружности, когда две прямые АС и BD, образующие диагонали, пересекаются в некоторой точке P, а также выполняется следующее равенство: AP * PC = BP * PD.
  • Произведения тангенсов половины двух противоположных углов равны 1. Кроме того, значения произведений эквивалентны друг другу (tg (A/2) * tg (C/2) = tg (B/2) * tg (D/2) = 1).

Четвертое утверждение является теоремой Птолемея. Все эти правила являются следствиями, полученными при доказательстве различных гипотез. Правила можно применять в зависимости от условия поставленной задачи. Любой параллелограмм можно вписать в окружность, когда он является прямоугольником или квадратом.

Свойства и утверждения

При решении можно воспользоваться некоторыми свойствами, которые были доказаны. Это нужно для того, чтобы не тратить время на выведение какой-либо формулы. Применяется методика для оптимизации вычислений. К ним можно отнести следующие:

  • Если вокруг четырехугольника описана окружность, то центры окружностей, которые вписанных в треугольники, образованные диагоналями фигуры, являются вершинами прямоугольника.
  • Не бывает четырехугольников, вписанных в окружность, с рациональной площадью и сторонами, которые образуют арифметический или геометрический тип прогрессии.
  • При продолжении сторон до точек пересечения Y и Z, внутренние биссектрисы углов Y и Z являются перпендикулярными.

Данные утверждения применяются не всегда. В некоторых случаях можно ограничиться формулами и основными соотношениями — они позволяют легко и быстро искать нужные величины.

Формулы и соотношения

Очень часто необходимо перерыть горы информации для поиска нужной формулы. Это сказывается на оптимизации решения. Кроме того, некоторые соотношения могут содержать ошибки, поскольку материал излагается неквалифицированными специалистами.

Педагоги утверждают, что обучение какой-либо дисциплине с физико-математическим уклоном должно быть основано на алгоритмах. Кроме того, рекомендуется прочитать условие задачи несколько раз до полного его понимания. В основном необходимо находить площадь, диагонали и углы четырехугольника.

Периметр и полупериметр

Периметром выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c и d называется сумма длин всех его сторон. Величина обозначается литерой «Р», и вычисляется по следующей формуле: P = a + b + c +d. Кроме того, в некоторых формулах встречается величина, которая называется полупериметром. Обозначается она литерой «р». Для ее нахождения применяется такое соотношение: p = P / 2 = (a + b + c +d) / 2. Единицей измерения полупериметра являются метрические величины: мм, см, дм, м и т. д.

Для квадрата формула периметра имеет вид: P = 4 * a. Равенство легко доказывается для фигуры со стороной а. Из определения периметра получается соотношение: P = a + a + a + a. Если привести подобные слагаемые, то результирующая формула имеет вид: P = 4 * a. У прямоугольника противоположные стороны равны. Чтобы найти его периметр, нужно воспользоваться равенством: P = a + b + a + b = 2 * (a + b). Необходимо отметить, что квадрат является правильным четырехугольником, поскольку его стороны равны между собой.

Понятие площади

Площадь двумерных фигур — понятие геометрии, которое показывает ее численную характеристику или размер. Очень часто она обозначается литерой S. Измеряется величина в квадратных единицах (см 2 , м 2 и т. д. ). Фигура, имеющая характеристику S, называется квадратируемой.

Для нахождения S применяется интегральный метод, но существуют частные случаи, при которых интегрировать необязательно. Очень часто возникает необходимость перевода одной единицы в другую. Для этого существует простой алгоритм, позволяющий корректно выполнить данную операцию. Например, нужно перевести м 2 в см 2 . Необязательно заучивать единицы площади и их эквивалентность другим. Достаточно выполнить следующие действия:

  • Определить базовую единицу: м и см.
  • Выполнить перевод одной метрической величины в другую: 1 м = 100 см.
  • Возвести обе части выражения во втором пункте в квадрат: 1 м 2 = 100 2 см 2 = 10000 см 2 .

Однако бывают и другие единицы, которые применяются для измерения размерности земельных участков: 1 ар (сокращенно а) = 1 сотке = 100 м 2 и 1 гектар (га) = 10000 м 2 .

Когда известны все стороны четырехугольника (a, b, c и d), который вписан в окружность, можно найти его S. Для этого нужно знать еще одну величину. Она называется полупериметром. Расчет выполняется по формуле: S = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½). Соотношение называется формулой Брахмагупты.

Необходимо отметить, что вписанный четырехугольник обладает максимальным значением S среди остальных эквивалентных фигур. Если известны четыре стороны, которые являются последовательными (a, b, c и d), а также угол В между a и b, то можно воспользоваться более упрощенной формулой: S = [(a * b + c * d) * sin (B)] / 2. В случае, когда известны все стороны и любой угол (Y) между диагоналями, соотношение можно записать таким образом: S = [(a * с + и * d) * sin (Y)] / 2.

Площадь можно выразить и другим соотношением, когда известны все стороны и угол А, который не является прямым: S = [(a 2 — b 2 — c 2 + d 2 ) * tg (A)] / 4. При известном радиусе описанной окружности и углах (A, B и Y) можно воспользоваться такой формулой: S = 2 * R^(2) * sin (A) * sin (B) * sin (Y). Следствием из последнего соотношения является S 2 . Если четырехугольник является квадратом, то неравенство преобразуется в равенство, т. е. S = 2 * R 2 .

Диагонали и углы

Для вписанного четырехугольника ABCD существуют определенные соотношения, по которым можно найти его диагонали. Для фигуры со сторонами a = AB, b = BC, c = CD и d = DA диагонали (s = АС и t = DA) находятся таким образом: s = [((a * c + b * d) * (a * d + b * c)) / (a * b + c * d)]^(½) и t = [((a * c + b * d) * (a * b + d * c)) / (a * d + c * b)]^(½). Если умножить диагональ s на t и привести подобные слагаемые, то в результате получится формула Птолемея: s * t = a * c + b * d.

При отношении двух диагоналей получается вторая теорема Птолемея: s / t = (a * d + b * c) / (a * b + d * c). Сумма диагоналей — есть неравенство такого вида: s + t >= 2 * [a * c + b * d]^(½). Неравенство преобразуется в равенство, когда диагонали равны. Однако в этом случае можно воспользоваться следующим выражением: [s + t]^(½) >= [a * c]^(2) + [b * d]^(2).

Необходимо отметить, что в произвольном выпуклом четырехугольнике диагонали делят его на 4 треугольника, которые являются между собой подобными по парам. Кроме того, при пересечении двух диагоналей AC и BD в некоторой точке М, справедливо следующее соотношение: AM / CM = (AB * AD) / (CB * CD).

Можно находить и некоторые углы фигуры. Для этого существуют определенные соотношения. Во вписанном четырехугольнике со сторонами, которые соответствуют значениям a, b, c и d, углом A между сторонами a и d, а также полупериметром p, функции тригонометрического типа для А вычисляются таким образом:

  1. cos (A) = (a 2 + d 2 — b 2 — c 2 ) / (2 * (a * d + b + c)).
  2. sin (A) = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½) / (a * d + b + c).
  3. tg (A/2) = [((p — a) * (p — d)) / ((p — b) * (p — c))]^(½).

В некоторых случаях нужно вычислить значение тангенса для угла Y, который находится между диагоналями, по формуле: tg (Y/2) = [((p — b) * (p — d)) / ((p — a) * (p — c))]^(½).

В геометрии существует вписанный четырехугольник, стороны которого являются целыми числами. Кроме того, целочисленными являются также его диагонали и площадь. Он называется четырехугольником Брахмагупты. Однако для преобразования любого четырехугольника в данную фигуру необходимо выполнить некоторые математические операции. Пусть он имеет следующие целочисленные параметры:

  1. Стороны: a, b, c и d.
  2. Диагонали: s и t.
  3. Площадь: S.
  4. Радиус описанной окружности: R.

В некоторых случаях возникает необходимость избавиться от рациональных значений в знаменателе. При значениях дробных параметров k, l и m нужно использовать такие соотношения:

  1. a = [k * (l + m) + (1 — (l * m))] * [l + m — k * (1 — (l * m))].
  2. b = (1 — l 2 ) * (m — k) * (1 + k * m).
  3. c = k * (1 + l 2 ) * (1 + m 2 ).
  4. d = (1 + m 2 ) * (l — k) * (1 + k * l).
  5. s = l * (1 + k 2 ) * (1 + m 2 ).
  6. t = m * (1 + k 2 ) * (1 + l 2 ).
  7. S = l * m * [2 * k * (1 — l * m) — (l + m) * (1 — k 2 )] * [2 * k (l + m) + (1 — l * m) * (1 — k 2 )].
  8. 4 * R = (1 + l 2 ) * (1 + m 2 ) * (1 + k 2 ).

Существуют также соотношения для описанной вокруг четырехугольника окружности. Математики утверждают, что при комбинации двух и более геометрических фигур время поиска некоторых параметров увеличивается.

Параметры для окружности

Радиус окружности R для четырехугольника c полупериметром р и со сторонами a, b, c, d находится по формуле Парамешвары: R = (¼) * [((a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b * c)) / ((p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d))]^(½). Соотношение было выведено в XV веке математиком из Индии Ватассери Парамешварой.

При комбинации данной формулы с соотношением Брахмагупты можно получить следующее соотношение: 4 * S * R = [(a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b *c)]^(½). Следует отметить, что величина S является площадью вписанного четырехугольника. Для ортогонального четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, которые делятся на отрезки s1, s2, t1 и t2, существует некоторое соотношение, позволяющее найти диаметр окружности (D): D 2 = (s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 .

Радиус в этом случае находится таким образом: R = D / 2 = [(s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2] / 2 = [a 2 + c 2 ] / 2 = [b 2 + d 2 ] / 2. Если выполнить сложение квадратов сторон, то получится такое равенство: 8 * R = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 . По формуле Эйлера R можно также выразить через диагонали (s и t) и расстояние v между их серединами: R = [(s 2 + t 2 + 4 * v 2 ) / 8]^(½).

Таким образом, специалисты рекомендуют на начальных этапах обучения использовать уже готовые формулы для вычисления основных параметров выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность.

Решение №986 В четырёхугольник ABCD вписана окружность, АВ = 13, СD = 18.

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, АВ = 13, СD = 18. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

Источники: fipi, os.fipi, Основная волна 2019

P = AB + CD + BC + AD

Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

AB + CD = BC + AD
13 + 18 = BC + AD
31 = BC + AD

Найдём периметр:

P = AB + CD + BC + AD = 13 + 18 + 31 = 31 + 31 = 62

Ответ: 62.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.4 / 5. Количество оценок: 5

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:


где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Фигура Рисунок Свойство
Окружность, описанная около параллелограмма Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:


где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Окружность, описанная около параллелограмма
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Окружность, описанная около параллелограмма

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромба

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Основные правила

Общие сведения

Свойства и утверждения

Фигура является вписанной в окружность, когда все ее вершины лежат на ней. Произвести вписание в окружность четырехугольника можно только в том случае, когда он выпуклый. Все его точки находятся по одну сторону от произвольной прямой, которая проходит через соседние вершины фигуры. Нужно отметить, что в этом случае окружность является описанной вокруг фигуры. Если в параллелограмм вписана окружность, то ее центр совпадает с центром окружности, которая описана вокруг него.

Четырехугольники бывают самопересекающимися. Они также могут быть вписанными, однако это встречается крайне редко. Не каждую фигуру можно вписать в круг, поскольку существуют определенные законы. Например, вокруг ромба нельзя описать круг — исключение составляет случай, когда ромб является квадратом.

Основные правила

Выпуклый четырехугольник можно вписать в окружность. Однако для этого существуют некоторые правила (критерии) или признаки. Некоторые задачи сформулированы таким образом, что нужно знать основные критерии, а также уметь доказывать возможность вписывать или описывать окружность. Около четырехугольника можно описать окружность, если выполняются следующие условия:

Формулы и соотношения

  • Сумма углов, которые являются противоположными, соответствует 180 градусам.
  • Соблюдается равенство смежного и противоположного углов.
  • Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и диагональю.
  • Произведение двух диагоналей соответствует размерности суммы произведений противоположных сторон.
  • Четыре точки лежат на окружности, когда две прямые АС и BD, образующие диагонали, пересекаются в некоторой точке P, а также выполняется следующее равенство: AP * PC = BP * PD.
  • Произведения тангенсов половины двух противоположных углов равны 1. Кроме того, значения произведений эквивалентны друг другу (tg (A/2) * tg (C/2) = tg (B/2) * tg (D/2) = 1).

Четвертое утверждение является теоремой Птолемея. Все эти правила являются следствиями, полученными при доказательстве различных гипотез. Правила можно применять в зависимости от условия поставленной задачи. Любой параллелограмм можно вписать в окружность, когда он является прямоугольником или квадратом.

Свойства и утверждения

При решении можно воспользоваться некоторыми свойствами, которые были доказаны. Это нужно для того, чтобы не тратить время на выведение какой-либо формулы. Применяется методика для оптимизации вычислений. К ним можно отнести следующие:

  • Если вокруг четырехугольника описана окружность, то центры окружностей, которые вписанных в треугольники, образованные диагоналями фигуры, являются вершинами прямоугольника.
  • Не бывает четырехугольников, вписанных в окружность, с рациональной площадью и сторонами, которые образуют арифметический или геометрический тип прогрессии.
  • При продолжении сторон до точек пересечения Y и Z, внутренние биссектрисы углов Y и Z являются перпендикулярными.

Данные утверждения применяются не всегда. В некоторых случаях можно ограничиться формулами и основными соотношениями — они позволяют легко и быстро искать нужные величины.

Формулы и соотношения

Очень часто необходимо перерыть горы информации для поиска нужной формулы. Это сказывается на оптимизации решения. Кроме того, некоторые соотношения могут содержать ошибки, поскольку материал излагается неквалифицированными специалистами.

Педагоги утверждают, что обучение какой-либо дисциплине с физико-математическим уклоном должно быть основано на алгоритмах. Кроме того, рекомендуется прочитать условие задачи несколько раз до полного его понимания. В основном необходимо находить площадь, диагонали и углы четырехугольника.

Периметр и полупериметр

Четырехугольник, вписанный в окружность

Периметром выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c и d называется сумма длин всех его сторон. Величина обозначается литерой «Р», и вычисляется по следующей формуле: P = a + b + c +d. Кроме того, в некоторых формулах встречается величина, которая называется полупериметром. Обозначается она литерой «р». Для ее нахождения применяется такое соотношение: p = P / 2 = (a + b + c +d) / 2. Единицей измерения полупериметра являются метрические величины: мм, см, дм, м и т. д.

Для квадрата формула периметра имеет вид: P = 4 * a. Равенство легко доказывается для фигуры со стороной а. Из определения периметра получается соотношение: P = a + a + a + a. Если привести подобные слагаемые, то результирующая формула имеет вид: P = 4 * a. У прямоугольника противоположные стороны равны. Чтобы найти его периметр, нужно воспользоваться равенством: P = a + b + a + b = 2 * (a + b). Необходимо отметить, что квадрат является правильным четырехугольником, поскольку его стороны равны между собой.

Понятие площади

Площадь двумерных фигур — понятие геометрии, которое показывает ее численную характеристику или размер. Очень часто она обозначается литерой S. Измеряется величина в квадратных единицах (см 2 , м 2 и т. д. ). Фигура, имеющая характеристику S, называется квадратируемой.

Для нахождения S применяется интегральный метод, но существуют частные случаи, при которых интегрировать необязательно. Очень часто возникает необходимость перевода одной единицы в другую. Для этого существует простой алгоритм, позволяющий корректно выполнить данную операцию. Например, нужно перевести м 2 в см 2 . Необязательно заучивать единицы площади и их эквивалентность другим. Достаточно выполнить следующие действия:

  • Определить базовую единицу: м и см.
  • Выполнить перевод одной метрической величины в другую: 1 м = 100 см.
  • Возвести обе части выражения во втором пункте в квадрат: 1 м 2 = 100 2 см 2 = 10000 см 2 .

Однако бывают и другие единицы, которые применяются для измерения размерности земельных участков: 1 ар (сокращенно а) = 1 сотке = 100 м 2 и 1 гектар (га) = 10000 м 2.

Основные свойства четырехугольника, вписанного в окружность

Когда известны все стороны четырехугольника (a, b, c и d), который вписан в окружность, можно найти его S. Для этого нужно знать еще одну величину. Она называется полупериметром. Расчет выполняется по формуле: S = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½). Соотношение называется формулой Брахмагупты.

Необходимо отметить, что вписанный четырехугольник обладает максимальным значением S среди остальных эквивалентных фигур. Если известны четыре стороны, которые являются последовательными (a, b, c и d), а также угол В между a и b, то можно воспользоваться более упрощенной формулой: S = [(a * b + c * d) * sin (B)] / 2. В случае, когда известны все стороны и любой угол (Y) между диагоналями, соотношение можно записать таким образом: S = [(a * с + и * d) * sin (Y)] / 2.

Площадь можно выразить и другим соотношением, когда известны все стороны и угол А, который не является прямым: S = [(a 2 — b 2 — c 2 + d 2 ) * tg (A)] / 4. При известном радиусе описанной окружности и углах (A, B и Y) можно воспользоваться такой формулой: S = 2 * R^(2) * sin (A) * sin (B) * sin (Y). Следствием из последнего соотношения является S <= 2 * R 2 . Если четырехугольник является квадратом, то неравенство преобразуется в равенство, т. е. S = 2 * R 2.

Диагонали и углы

Периметр и полупериметр

Для вписанного четырехугольника ABCD существуют определенные соотношения, по которым можно найти его диагонали. Для фигуры со сторонами a = AB, b = BC, c = CD и d = DA диагонали (s = АС и t = DA) находятся таким образом: s = [((a * c + b * d) * (a * d + b * c)) / (a * b + c * d)]^(½) и t = [((a * c + b * d) * (a * b + d * c)) / (a * d + c * b)]^(½). Если умножить диагональ s на t и привести подобные слагаемые, то в результате получится формула Птолемея: s * t = a * c + b * d.

При отношении двух диагоналей получается вторая теорема Птолемея: s / t = (a * d + b * c) / (a * b + d * c). Сумма диагоналей — есть неравенство такого вида: s + t >= 2 * [a * c + b * d]^(½). Неравенство преобразуется в равенство, когда диагонали равны. Однако в этом случае можно воспользоваться следующим выражением: [s + t]^(½) >= [a * c]^(2) + [b * d]^(2).

Необходимо отметить, что в произвольном выпуклом четырехугольнике диагонали делят его на 4 треугольника, которые являются между собой подобными по парам. Кроме того, при пересечении двух диагоналей AC и BD в некоторой точке М, справедливо следующее соотношение: AM / CM = (AB * AD) / (CB * CD).

Можно находить и некоторые углы фигуры. Для этого существуют определенные соотношения. Во вписанном четырехугольнике со сторонами, которые соответствуют значениям a, b, c и d, углом A между сторонами a и d, а также полупериметром p, функции тригонометрического типа для А вычисляются таким образом:

В параллелограмм вписана окружность

  1. cos (A) = (a 2 + d 2 — b 2 — c 2 ) / (2 * (a * d + b + c)).
  2. sin (A) = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½) / (a * d + b + c).
  3. tg (A/2) = [((p — a) * (p — d)) / ((p — b) * (p — c))]^(½).

В некоторых случаях нужно вычислить значение тангенса для угла Y, который находится между диагоналями, по формуле: tg (Y/2) = [((p — b) * (p — d)) / ((p — a) * (p — c))]^(½).

В геометрии существует вписанный четырехугольник, стороны которого являются целыми числами. Кроме того, целочисленными являются также его диагонали и площадь. Он называется четырехугольником Брахмагупты. Однако для преобразования любого четырехугольника в данную фигуру необходимо выполнить некоторые математические операции. Пусть он имеет следующие целочисленные параметры:

  1. Стороны: a, b, c и d.
  2. Диагонали: s и t.
  3. Площадь: S.
  4. Радиус описанной окружности: R.

В некоторых случаях возникает необходимость избавиться от рациональных значений в знаменателе. При значениях дробных параметров k, l и m нужно использовать такие соотношения:

  1. a = [k * (l + m) + (1 — (l * m))] * [l + m — k * (1 — (l * m))].
  2. b = (1 — l 2 ) * (m — k) * (1 + k * m).
  3. c = k * (1 + l 2 ) * (1 + m 2 ).
  4. d = (1 + m 2 ) * (l — k) * (1 + k * l).
  5. s = l * (1 + k 2 ) * (1 + m 2 ).
  6. t = m * (1 + k 2 ) * (1 + l 2 ).
  7. S = l * m * [2 * k * (1 — l * m) — (l + m) * (1 — k 2 )] * [2 * k (l + m) + (1 — l * m) * (1 — k 2 )].
  8. 4 * R = (1 + l 2 ) * (1 + m 2 ) * (1 + k 2 ).

Существуют также соотношения для описанной вокруг четырехугольника окружности. Математики утверждают, что при комбинации двух и более геометрических фигур время поиска некоторых параметров увеличивается.

Параметры для окружности

Нахождение радиуса и диаметра окружности

Радиус окружности R для четырехугольника c полупериметром р и со сторонами a, b, c, d находится по формуле Парамешвары: R = (¼) * [((a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b * c)) / ((p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d))]^(½). Соотношение было выведено в XV веке математиком из Индии Ватассери Парамешварой.

При комбинации данной формулы с соотношением Брахмагупты можно получить следующее соотношение: 4 * S * R = [(a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b *c)]^(½). Следует отметить, что величина S является площадью вписанного четырехугольника. Для ортогонального четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, которые делятся на отрезки s1, s2, t1 и t2, существует некоторое соотношение, позволяющее найти диаметр окружности (D): D 2 = (s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2.

Радиус в этом случае находится таким образом: R = D / 2 = [(s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2] / 2 = [a 2 + c 2 ] / 2 = [b 2 + d 2 ] / 2. Если выполнить сложение квадратов сторон, то получится такое равенство: 8 * R = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 . По формуле Эйлера R можно также выразить через диагонали (s и t) и расстояние v между их серединами: R = [(s 2 + t 2 + 4 * v 2 ) / 8]^(½).

Таким образом, специалисты рекомендуют на начальных этапах обучения использовать уже готовые формулы для вычисления основных параметров выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность.

Четырехугольник не является прямоугольником.

Периметр искать легко в отличие от площади. В периметре сложить величины всех сторон четырехугольника можно за несколько секунд, потому что стороны редко бывают больше 10 сантиметров, значит все подсчеты производим в уме.

Это четырехугольник.

Это формула периметра, обозначается буквой Р.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

Tanye­tta
[298K]

9 лет назад 

Вспоминая уроки геометрии. Найти периметр четырехугольника очень просто! Для этого надо сложить длину всех его сторон. А если четырехугольник прямоугольный, то короткая сторона плюс длинная сторона умножить на 2! Удачных решений примеров и задач!

Носор­ог
[63.1K]

9 лет назад 

Четырехугольник не всегда является прямоугольником или квадратом, все верно было сказано. И в то же время квадрат и прямоугольник можно назвать четырехугольниками. Четырехугольник может иметь как одинаковую длину сторон, так и разную. Ну а что такое периметр, периметр плоской фигуры (а в данном случае четырехугольник как раз плоская двухмерная фигура) — это сумма сторон. Так что чтобы узнать, вычислить периметр, необходимо знать длину каждой из сторон, а затем складываем длины и получаем конечную сумму.

У квадрата измеряем одну сторону и умножаем на 4. У квадрата же все стороны равны по длине. Это известно еще со школы с уроков геометрии.

Четырехугольник-это геометрическая фигура с четырьмя углами и с четырьмя сторонами. Так что найти периметр легко. Нужно измерить длину всех сторон и сложить их длины. И данный ответ и будит являться периметром.

ИнгаМ­ус
[16.7K]

9 лет назад 

Четырехугольник имеет четыре стороны, как мы видим уже из названия. Еще со школьных времен прочно запомнилась формула нахождения периметра четырехугольника.

Если он не является прямоугольником, то нам надо будет знать длину его каждой стороны по отдельности. Сложив их все вместе, мы и узнаем периметр этой фигуры.

Если кому — то потребуется вот здесь есть калькулятор расчета периметра четырехугольника.

текст при наведении

elena-kh
[245K]

9 лет назад 

Чтобы найти периметр, нужно сложить длины всех сторон. Если бы являлся прямоугольником, было бы проще, ведь можно было каждую длину умножить на 2, а потом сложить. У квадрата все еще проще — нужно длину одной стороны умножить на 4. У остальных прямоугольников, как правило, необходимо просто сложить все стороны. Хотя для параллелограммов тоже есть свои формулы.

Афана­сий44
[443K]

9 лет назад 

Четырёхугольник может быть неправильной формы и все стороны его могут иметь разную длину. Например, такие четырёхугольники:

текст при наведении

В таких случаях, чтобы найти периметр неправильного четырёхугольника, надо просто измерить длину каждой его стороны и потом всё сложить.

Для того чтобы вам найти периметр четырёхугольника вам нужно вспомнить уроки геометрии в школе которые раньше для меня были очень интересными, так вот что надо сделать, надо сложить все длины четырёх сторон и у вас получится периметр.

Edvar­d
[10.5K]

9 лет назад 

Найти периметр четырехугольника не представляет из себя ничего сложного. Надо всего лишь найти сумму длин всех четырех сторон четырехугольника. Этот нехитрый способ известен нам еще со школьной скамьи.

Безра­зличн­ый
[257K]

10 лет назад 

Сложите длины всех четырех сторон и получите периметр.

Агафь­я
[118K]

8 лет назад 

Вообще просто для этого достаточно перемерить все стороны прямоугольника и их величины сложить вместе. Вот эта сумма и будет являться периметром неправильного четырёхугольника. Меня этому ещё в школе научили.

Знаете ответ?

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

Рассмотрим теоремы о вписанных и описанных четырехугольниках и их свойствах.

Теорема 1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180^{circ }.

angle A +angle C = 180^{circ }

Теорема 2. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

a+c=b+d

Теорема 3. Диагонали вписанного четырёхугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.

triangle AOBsim triangle COD, triangle BOCsim triangle AOD

Теорема 4. (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

ACcdot BD=ABcdot CD+BCcdot AD

Теорема 5. Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра четырёхугольника на радиус вписанной в него окружности.

displaystyle S=frac{a+b+c+d}{2}cdot r=pr

Теорема 6. Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Теорема 7. Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Теорема 8. Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.

Теорема 9. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Теорема 10. В любой ромб можно вписать окружность.

Теорема 11. В любой квадрат можно вписать окружность.

Теорема 12. В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом.

Теорема 13. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Теорема 14. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.

c+d=a+b

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

Задача 1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82^{circ} и 58^{circ}. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рисунок к задаче 1

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180^{circ}. Пусть угол A равен 82^{circ}. Тогда напротив него лежит угол в 98 градусов. Если угол B равен 58^{circ}, то угол D равен 180^{circ}-58^{circ}=122^{circ}.

Ответ: 122.

Задача 2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

Решение:

Рисунок к задаче 2

Пусть сторона AB равна x, AD равна 2x, а DC - 3x. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
x+3x=BC + 2x.
Получается, что BC равна 2x. Тогда периметр четырехугольника равен 8x. Мы получаем, что x=4, а большая сторона равна 12.

Ответ: 12.

Задача 3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Рисунок к задаче 3

Решение:

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны a и c, а боковые стороны — b и d. По свойству описанного четырехугольника,
a+c=b+d, и значит, периметр равен 2left( a+c right).
Получаем, что a+c=40, а средняя линия равна 10.

Ответ: 10.

Задача 4.  Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 32^{circ }. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Значит, сумма его противоположных углов равна 180^{circ }.

Поэтому angle C=180^{circ } -angle A=180^{circ }-32^{circ }=148^{circ }.

Ответ: 148.

Задача 5.  Углы A, B, C четырехугольника  ABCD относятся как 1:2:3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть angle A=x, angle B=2x, angle C=3x, angle D=y.

Сумма всех углов четырехугольника равна 360^{circ }.

А сумма каждой пары противоположных углов равна 180^{circ } (т.к. четырехугольник вписан в окружность).

Запишем эти два условия в виде двух уравнений с двумя неизвестными:

x+2x+3x+y=360;
2x+y=180.

Подставляем второе уравнение в первое и получаем 4x=180, x=45, y=90^{circ }.

Ответ: 90.

Задача 6Стороны четырехугольника ABCD  BC и CD  стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 107^{circ } и 39^{circ }. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180^{circ }.

Поэтому angle C=180^{circ } -angle A.

Угол А – вписанный, опирается на дугу BD, равную сумме дуг BC и CD, т.е. 107^{circ }+39^{circ }=146^{circ }.

Тогда вписанный угол А равен половине дуги BD, т.е. 146^{circ }:2=73^{circ }.

angle C=180^{circ } -angle A=180^{circ }-73^{circ }=107^{circ }.

Ответ: 107.

Задача 7Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 7 : 1 : 2 : 26. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол А – вписанный, опирается на дугу BD, равную сумме дуг BC и CD. Найдем дуги BC и CD.

Обозначим градусные величины дуг AB, BC, CD и AD как 7x, x, 2x, 26x согласно заданному соотношению между дугами.

Тогда 7x+x+2x+26x=360 или 36x=360, x=10^{circ }.

Сумма дуг BC и CD составляет x+2x=30^{circ }.

Вписанный угол А равен половине дуги BD, т.е. 30^{circ }:2=15^{circ }.

Ответ: 15.

Задача 8.  Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 16sqrt{2}.  Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Тогда диагональ квадрата равна d=2cdot 16sqrt{2}=32sqrt{2}=asqrt{2}.

Выразим сторону квадрата через его диагональ: displaystyle a=frac{d}{sqrt{2}}=32.

Ответ: 32.

Задача 9Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Решение:

Если правильный шестиугольник вписан в окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому сторона равна 6.

Ответ: 6.

Задача 10Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60^{circ }, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение:

Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD=2a, BC=a.

Тогда боковые стороны AB=CD=a.

Проведем BO параллельно CD. Тогда треугольник ABO – равнобедренный, т.к. angle BAO = angle AOB, и равносторонний, т.к. angle A = 60^{circ }. Поэтому AO=a.

BCDO – параллелограмм по построению, но BC=CD, поэтому BCDO – ромб, и OD=a.

Получаем, что О – центр описанной окружности с радиусом, равным меньшему основанию – 12:2 = 6.

Ответ: 6.

Задача 11Найти диагональ параллелограмма, вписанного в окружность радиусом 6 см.

Решение:

Согласно одной из теорем, окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру, 6cdot 2=12 см.

Ответ: 12.

Задача 12Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому сумма оснований AD+BC=25cdot 2=50.

Сумму боковых сторон найдем как разность между периметром и суммой оснований: AB+CD=60-50=10.

Трапеция вписана в окружность, следовательно, трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: AB=CD=10:2=5.

Ответ: 5.

Задача 13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и sqrt{155}.

Решение:

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру окружности.

В то же время по теореме Пифагора диагональ найдем как d=sqrt{169+155}=18.

Радиус окружности равен половине диаметра: 18:2=9.

Ответ: 9.

Задача 14Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. Поэтому r = 8.

Ответ: 8.

Задача 15Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 11 (половине периметра).

Боковая сторона CB = 7, тогда боковая сторона AD = 11-7 = 4.

Радиус вписанной окружности равен половине AD, т.е. 2.

Ответ: 2.

Задача 16Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.

Решение:

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности: 2cdot 14=28.

Ответ: 28.

Задача 17Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 19+13=32.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований 32:2=16.

Ответ: 16.

Задача 18Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.

Решение:

Площадь описанного многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности: S=pr=8cdot 2=16.

Ответ: 16.

Задача 19В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, диагонали взаимно перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 12. Найти радиус вписанной окружности.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, ACperp BD.

Проведем CKparallel BD. Треугольник ACK – прямоугольный (с прямым углом С) и равнобедренный. Его гипотенуза AK равна сумме оснований трапеции (т.к. BCKD – параллелограмм, и BC = KD), 2cdot 12= 24.

Высота трапеции CH является также высотой и медианой, проведенной из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника ACK.

CH = AK:2 = 12.

Радиус вписанной окружности r = CH:2 = 6.

Ответ: 6.

Задача 20Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть О – центр описанной окружности. Проведем высоту MN, проходящую через точку О. Тогда OC = OD = 5 (радиусы окружности), CM = BC:2 = 3,DN = AD:2 = 4.

Треугольники OMC и OND – прямоугольные. Применяя теорему Пифагора, найдем: OM = 4, ON = 3.

MN = OM + ON = 7.

Ответ: 7.

Это были задачи по теме «Вписанные и описанные четырехугольники» из первой части ОГЭ и ЕГЭ. Покажем более сложную задачу, из второй части ОГЭ по математике.

Задача 21В четырёхугольник ABCD можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5, а AB=2BC.

Решение:

Обозначим BC=x. Тогда AB=2x.

Обозначим также CD=z, AD=y.

Вписать окружность в четырехугольник можно тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.

Значит, x+y=2x+z. Отсюда y=x+z.

Пусть О – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD.

При пересечении AC и BD образуется четыре прямоугольных треугольника. Это triangle AOB, triangle COB, triangle COD, triangle AOD.

Пусть AD=a, BO=b, CO=c, DO=d.

Запишем для каждого из этих треугольников теорему Пифагора:

Из triangle AOB: 4x^{2}=a^{2}+b^{2}.

Из triangle BOC: x^{2}=b^{2}+c^{2}.

Из triangle COD: z^{2}=c^{2}+d^{2}.

Из triangle AOD: y^{2}=a^{2}+d^{2}.

Мы получили систему уравнений.

Сложив первое и третье из них и выразив x^{2}+y^{2} как a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}, получим: 4x^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}.

Кроме того, y=x+z. Это мы нашли в самом начале.

Из системы уравнений

begin{cases}3x^{2}+z^{2}=y^{2} \y=x+zend{cases}

находим: y=2x, z=x.

Значит, AD=AB, CD=BC.

Перестроим чертеж. Это надо сделать обязательно. Появились новые данные – рисуем новый чертеж. По условию, четырехугольник ABCD вписан в окружность.

Треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам. Значит, углы ABC и ADC равны.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, поэтому сумма углов ABC и ADC равна 180 градусов. Мы получили, что углы ABC и ADC – прямые. Тогда AC – диаметр окружности.

По условию, R=5, тогда AC=10.

angle CAB опирается на диаметр.

triangle ACB – прямоугольный, AC – его гипотенуза.

По теореме Пифагора для triangle ACB:

100=x^{2}+4x^{2}.

Отсюда x^{2}=20.

S_{ABCD}=2cdot S_{triangle ABC}=2x^{2}=40.

Ответ: 40.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Вписанные и описанные четырехугольники» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Пусть точки касания окружности с сторонами AB, BC, CD, DA обозначены как E, F, G, H соответственно. Также пусть радиус вписанной окружности равен r.
Тогда AE = AF = r, и CG = CH = r. Также мы знаем, что AB = 12 и CD = 50.
Используя теорему Пифагора в треугольниках ABE и CDG, мы можем найти длины BE и DG:
BE = sqrt(AB^2 — AE^2) = sqrt(144 — r^2)
DG = sqrt(CD^2 — CG^2) = sqrt(2500 — r^2)
Теперь мы можем найти длины оставшихся двух сторон:
BC = BE + EF + FG + GC = sqrt(144 — r^2) + 2r + 2r + sqrt(2500 — r^2)
AD = DG + GH + HE + AE = sqrt(2500 — r^2) + 2r + 2r + sqrt(144 — r^2)
Периметр четырехугольника ABCD равен сумме всех четырех сторон:
P = AB + BC + CD + DA = 12 + sqrt(144 — r^2) + 2r + 2r + sqrt(2500 — r^2) + 50 + sqrt(2500 — r^2) + 2r + 2r + sqrt(144 — r^2)
P = 124 + 4r + 2sqrt(144 — r^2) + 2sqrt(2500 — r^2)
Таким образом, периметр четырехугольника ABCD равен 124 + 4r + 2sqrt(144 — r^2) + 2sqrt(2500 — r^2).

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти свой избирательный участок караганда
  • Как исправить смертные грехи
  • Как найти свою магическую цифру
  • Как составить график дежурств по уборке на работе
  • Как найти российские каналы в триколоре

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии