Как найти периметр четырехугольника со вписанной окружностью

Вписанная в четырехугольник окружность

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.

Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

O — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.

AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,

то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.

3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.

AM=AN,

5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

где p — полупериметр четырехугольника.

Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.

Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и

Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен

Периметр четырехугольника со вписанной окружностью

В четырехугольник ABCD вписана окружность, Найдите периметр четырехугольника ABCD.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, CD = 16. Найдите периметр четырехугольника ABCD.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB + CD = BC + AD. Тогда

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .

. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.

Обозначим точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD, DA через F, G, H, I соответственно. Тогда:

AF = BI (как радиус окружности)

BG = CH (как радиус окружности)

AH = DI (как радиус окружности)

Также заметим, что стороны AB и CD являются диаметрами окружности. Поэтому длины этих сторон равны двойному радиусу окружности.

AB = 2AF = 2BI

CD = 2CH = 2DI

Таким образом, мы получили систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными (длиными сторон BI, BG, CH, DI). Решив ее, мы можем найти длины всех сторон четырехугольника.

BI = BG = 12

CH = DI = 8

Теперь можно найти длины оставшихся двух сторон:

AC = BI + BG = 24

BD = CH + DI = 16

Периметр четырехугольника ABCD будет равен:

AB + BC + CD + DA = 17 + 24 + 11 + 16 = 68.

Ответ: 68.

Нужно найти периметр четырехугольника ABCD, для этого нам нужно знать длины всех его сторон. Также нам дано, что в четырехугольник ABCD вписана окружность. Это значит, что противоположные стороны будут иметь равные суммы, т.е. AB + CD = AD + BC.

Для того чтобы найти периметр четырехугольника, мы можем воспользоваться формулой: P = AB + BC + CD + DA.

Итак, у нас уже есть AB и CD: AB = 41, CD = 46. Осталось найти BC и DA.

Для этого нам нужно заметить, что точки A и C, B и D являются точками касания окружности со сторонами четырехугольника. Это значит, что отрезки, проведенные от центра окружности до точек касания, будут равны радиусу окружности.

Назовем центр окружности O и проведем от него отрезок OF, перпендикулярный стороне AB. Тогда OF будет равен радиусу окружности, и мы сможем найти BC и DA.

Очевидно, что OF является высотой прямоугольника OABF, который мы можем разбить на два треугольника: AOF и BFO.

По теореме Пифагора в треугольнике AOF находим длину AF: AF^2 = AO^2 — OF^2. Затем, используя то же самое соотношение, находим BF.

Теперь мы знаем длины всех сторон четырехугольника: AB = 41, BC = BF + FC, CD = 46, DA = AF + AE. Подставляем значения и находим периметр:

P = AB + BC + CD + DA = 41 + (BF + FC) + 46 + (AF + AE).

Пусть точки касания окружности со сторонами четырехугольника обозначены как E, F, G, H. Тогда AE = BF и CG = DH, так как они являются радиусами вписанной окружности. Обозначим AD как x и BC как y. Тогда:

x + y + AE + CG = x + y + BF + DH = x + y + 12 + 50

Таким образом, периметр четырехугольника ABCD равен:

P = x + y + 62

Осталось найти значения x и y. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников ABE и CDF:

AB² — AE² = BE²
CD² — CG² = DG²

При этом BE = DG, так как они являются радиусами вписанной окружности. Следовательно,

AB² — AE² = CD² — CG²

12² — AE² = 50² — CG²

AE² — CG² = 50² — 12²

(AE + CG)(AE — CG) = 50² — 12²

(2x)(2y) = 50² — 12²

4xy = 2304

xy = 576

Таким образом, периметр четырехугольника ABCD равен:

P = x + y + 62 = √xy + √xy + 62 = 2√576 + 62 = 2(24) + 62 = 110.

Ответ: периметр четырехугольника ABCD равен 110.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим