1) Абсолютная погрешность.
Абсолютную погрешность принято обозначать прописной греческой буквой дельта (Δ).
Чтобы найти абсолютную погрешность, следует воспользоваться формулой:
Δ = |x – x0|
где
Δ — абсолютная погрешность;
x — приближённое (практическое) значение измеряемой величины;
x0 — точное (истинное/теоретическое) значение измеряемой величины.
Абсолютная погрешность имеет ту же единицу измерения, что и измеряемая величина. Например: если измеряемая величина измеряется в метрах, то и абсолютная погрешность будет измеряться в метрах; если изм. величину мы измеряем в килограммах, то и абсолютную погрешность — тоже в килограммах. И так далее.
2) Относительная погрешность.
Относительная погрешность, как правило, обозначается строчной греческой буквой дельта (δ).
Чтобы найти относительную погрешность, следует воспользоваться формулой:
δ = |x – x0|/x0
где
δ — относительная погрешность;
x — приближённое (практическое) значение измеряемой величины;
x0 — точное (истинное/теоретическое) значение измеряемой величины.
Относительная погрешность является безразмерной величиной. Относительная погрешность либо имеет единицу измерения 1 (доли единицы), либо измеряется в процентах.
Чтобы перевести относительную погрешность из долей единицы в проценты, необходимо умножить её на 100.
δ (%) = δ * 100 = (|x – x0|/x0) * 100
Для примера рассмотрим такую задачу.
Ученик измерял линейкой длину карандаша. В результате измерений ученик получил результат, равный 152 мм. Истинная же длина карандаша, измеренная штангенциркулем, равняется 151,7 мм. Вопрос: чему равна абсолютная и относительная погрешность результата измерений ученика?
Дано:
x = 152 мм;
x0 = 151,7 мм.
Найти:
Δ — ?
δ — ?
Решение.
1) Найдём абсолютную погрешность.
Δ = |x – x0| = |152 мм – 151,7 мм| = |0,3 мм| = 0,3 мм.
2) Найдём относительную погрешность.
δ = |x – x0|/x0 = (|152 мм – 151,7 мм|/151,7 мм) * 100% = (0,3 мм : 151,7 мм) * 100% = 0,198 %.
Ответ: Δ = 0,3 мм; δ = ок. 0,198 % (приближённое значение).
Абсолютная и относительная погрешность
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2187.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2187.
Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.
Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
- при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
- при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
- при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.
Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
Что мы узнали?
Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Светлана Лобанова-Асямолова
10/10
-
Валерий Соломин
10/10
-
Анастасия Юшкова
10/10
-
Ксюша Пономарева
7/10
-
Паша Кривов
10/10
-
Евгений Холопик
9/10
-
Guzel Murtazina
10/10
-
Максим Аполонов
10/10
-
Olga Bimbirene
9/10
-
Света Колодий
10/10
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2187.
А какая ваша оценка?
Определение относительной погрешности измерений
Относительная погрешность измерений – это отношение абсолютной погрешности измерений к истинному значению измеряемой величины, в долях или процентах:
$ δ = frac{Delta x}{x_{ист}}$ или $ δ = frac{Delta x}{x_{ист}} cdot 100 text{%} $
Правила округления
На практике относительную погрешность округляют до двух значащих цифр, выполняя округление с избытком, т.е. всегда увеличивая последнюю значащую цифру на единицу.
Например:
Для x = 1, $7 pm 0,2$ относительная погрешность измерений
$δ = frac{0,2}{1,7} cdot 100 text{%} approx 11,8 text{%} approx 12 text{%}$ — погрешность достаточно велика.
Внимание!
Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно точнее.
Примеры
Пример 1. Согласно данным эксперимента, проведенного в 1975 году, скорость света равна $c = 299 792 458 pm 1,2 м/с$. Найдите относительную погрешность измерений в этом эксперименте в долях и процентах.
$$ δ = frac{1,2}{299 792 458} approx 4,0 cdot 10^{-9} $$
$$δ = 4,0 cdot 10^{-9} cdot 100 text{%} approx (4,0 cdot 10^{-7} ) text{%} $$
Пример 2. В результате школьного эксперимента ускорение свободного падения оказалось равным $g = 10,0 pm 0,1 м/с^2$. Определите относительную погрешность для данного эксперимента, а также относительную погрешность по отношению к табличной величине $g_0 = 9,81 м/с^2$. Что вы можете сказать о систематической ошибке эксперимента?
Для данного эксперимента $δ = frac{0,1}{10,0} cdot 100 text{%} = 1,0 text{%} $
Относительная погрешность по отношению к табличной величине:
$$ δ_{таб} = frac{|g-g_0 |}{g_0} cdot 100 text{%}, δ_{таб} = frac{|10,0-9,81|}{9,81} cdot 100 text{%} approx 1,9 text{%} $$
Согласно полученным результатам $9,9 le g le 10,1$, табличное значение в этот отрезок не входит. В эксперименте присутствует систематическая ошибка: результаты систематически завышены.
Пример 3. При взвешивании масса слона оказалась равной $M = 3,63 pm 0,01$ т, а масса муравья $m = 41,2 pm 0,5$ мг. Какое измерение точнее?
Найдем относительные погрешности измерений:
$$ δ_M = frac{0,01}{3,63} cdot 100 text{%} approx 0,28 text{%} $$
$$ δ_m = frac{0,5}{41,2} cdot 100 text{%} approx 1,21 text{%} approx ↑1,3 text{%} $$
Таким образом, масса слона определена точнее.
Пример 4. Вольтметр измеряет напряжение с относительной погрешностью 0,5%. Найдите границы точного значения величины, если при измерении получено $V_0$ = 5 В.
Абсолютная погрешность измерений данным вольтметром:
$$ Delta V = V_0 cdot δ, Delta V = 5 cdot 0,005 = 0,025 (В) approx 0,03(В) $$
Границы точного значения:
$$ V = 5,00 pm 0,03 (В) или 4,97 le V le 5,03 (В) $$
Допустим, что абсолютная погрешность проведенного измерения равна 1 см. Если с такой погрешностью измеряли длину тетради, то это большая погрешность, а если измеряли длину комнаты — небольшая. Таким образом, имеет значение не только какова погрешность, но и её отношение к измеряемой величине.
Относительной погрешностью 
приближенного числа 
называют отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю приближенного значения: 
.
Относительная погрешность — безразмерная величина. Но чаще относительную погрешность выражают в процентах, используя при этом формулу: 
.
Пример №45.2.
Найти относительную погрешность измерения диаметра детали в примере 45.1.
Решение:
Поскольку 
то найдем относительную погрешность измерения по формуле : 
.
Тот же результат может быть выражен в процентах:
Ответ: 
или 
.
Итак, для расчета относительной погрешности числа должна быть известна абсолютная погрешность, которая обычно бывает неизвестной (известна лишь граница абсолютной погрешности). На практике вместо понятия относительной погрешности чаще используют понятие границы относительной погрешности числа.
Границей относительной погрешности 
приближения 
называют отношение границы абсолютной погрешности к модулю приближенного значения: 
или в процентах 
.
Граница относительной погрешности является показателем качества измерения: чем меньше граница относительной погрешности, тем точнее произведены измерения.
Пример №45.3.
При измерении длины 
и диаметра 
кабеля были получены значения 
. Оцените границы относительной погрешности 
и 
. Какое измерение проведено точнее?
Решение:
Поскольку длина кабеля задана в виде 
, то 
. Найдем границу относительной погрешности по формуле 
: 
.
Поскольку диаметр кабеля можно представить как 
, то 
, 
. Найдем границу относительной погрешности по формуле 
: 
.
Получили, что 
, a 
. При измерении длины кабеля граница относительной погрешности меньше, чем при измерении диаметра кабеля, следовательно, измерение длины проведено точнее.
Ответ: , .
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Предмет высшая математика
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
х – точное число
а – приближенное число
Разность х – а между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.
| х – а | = ∆ – абсолютная погрешность
Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного числа, называется относительной погрешностью
– относительная погрешность является показателем качества данного приближения, и ее часто выражают в процентах %
Граница относительной погрешности больше или равна относительной погрешности:
Если дана граница относительной погрешности, то говорят, что приближение дано с относительной точностью до Ꜫ % и записывают:
х = а (± Ꜫ) или х = а (± Ꜫ %)
В ряде задач границу абсолютной погрешности находят по данной относительной погрешности и модулю приближенного значения величины:
∆а = δ ∙ |а|
Задачи:
- Скорость света в вакууме 299792,5 ± 0,4 км/ч
Скорость звука в воздухе 331,63 ± 0,04 м/с
Какое измерение точнее?
– значит скорость света точнее
- Найдите границы значений грузоподъемности автомобиля, если она равна 2,5 ± (15%)
Дана граница относительной погрешности и необходимо найти границу абсолютной погрешности, используем
∆а = δ ∙ |а|
0,15*2,5 = 0,375 ≈ 0,4
Значит границы значений грузоподъемности автомобиля 2,5 ± 0,4 или 2,1 ≤ 2,5 ≤ 2,9
- Какие из равенств точнее:
?
, значит
точнее
Найдите относительную погрешность в % с точностью до десятых
А = 240 ± 1
Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле
Найдите относительную погрешность в % с точностью до сотых
Радиус Земли (в км): R = 6380 ± 1
Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле
Найдите относительную погрешность в % с точностью до сотых
Скорость света в вакууме (в км/с):
Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия <100, значит ∆а=100, далее по формуле
Диаметр Луны (в км): d = 3476 ± 1
Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле