Как найти отношения вероятностей

Каждый год я участвую примерно в сотне собеседований в образовательных проектах JetBrains: собеседую абитуриентов в Computer Science Center и корпоративную магистратуру ИТМО (кстати, набор на программу идёт прямо сейчас). Все собеседования устроены по одному шаблону: мы просим на месте порешать задачи и задаём базовые вопросы по дисциплинам, которые студенты изучали в университетах. Большинство вопросов, которые мы задаём, довольно простые — нужно дать определение некоторого понятия, сформулировать свойство или теорему. К сожалению, у значительной доли студентов все эти определения выветриваются сразу после экзаменов в университетах. Казалось бы, что тут удивительного? В современном мире любое определение можно за пару секунд нагуглить, если это нужно. Но невозможность восстановить базовое определение свидетельствует о непонимании сути предмета.

Если непонимание алгебры или математического анализа может мало влиять на вашу жизнь, то непонимание теории вероятностей делает из вас лёгкую мишень для обмана и манипулирования. Суждения о вероятностях различных событий настолько глубоко вошли в нашу повседневную жизнь, что умение правильно рассуждать и отличать правду от невежества или манипуляции является необходимым. В этом небольшом обзоре мы поговорим о базовых понятиях теории вероятностей, научимся правильно формулировать утверждения про простые случайные процессы и разберём несколько парадоксов. Часть материала позаимствована из брошюры А. Шеня «Вероятность: примеры и задачи», которую я очень рекомендую для самостоятельного изучения.

Перед тем, как говорить об определениях, нам нужно договориться о том, откуда же в нашем мире берётся случайность. Например, почему мы считаем, что подбрасывание монеты — это случайный процесс? С точки зрения классической физики, описывающей процессы в макромире, всё детерминировано, поэтому по параметрам подброса монеты можно однозначно определить, какой стороной она упадёт. Однако на практике оказывается, что измерить и учесть все силы, которые действуют на монетку фактически, невозможно, и поэтому результат этого эксперимента принято считать случайным. Важно понимать, что этот вопрос не является вопросом теории вероятностей. Теория вероятностей работает с моделями — для неё монетка, у которой орёл и решка выпадают одинаково часто, и монетка, у которой орлов в два раза больше, чем решек, — это просто две разные модели. Вопрос о том, какая из моделей больше соответствует наблюдаемой действительности — это вопрос нашего опыта (опыт показывает, что частота орла и решки примерно одинаковая). Таким образом, первым делом мы должны договориться о модели.

Определения

Для определения модели, которая позволит нам говорить о вероятностях, нужно описать вероятностное пространство.

Вероятностное пространство в самом простом конечном случае состоит из множества элементарных исходов

и набора неотрицательных чисел

, таких что их сумма равна

. Довольно часто все исходы считаются равновероятными, т.е.

. В более сложном бесконечном случае нужно отдельно выделять множество интересующих нас событий и задавать вероятности событий при помощи функции, называемой вероятностной мерой. Событием называется множество, состоящее из элементарных событий, т.е. любое подмножество

. Вероятность события

, обозначается

, — это сумма всех таких

, что

. В частности, вероятность пустого события

равна нулю, а события

равна 1. В случае, когда все исходы считаются равновероятными, вероятность события просто равна отношению количества исходов, содержащихся в событии, к общему количеству элементарных исходов, т.е.

.

Вероятность любого события заключена между 0 и 1. Если вероятность события нулевая, то такое событие называется невозможным, если же вероятность события равна единице, то такое событие называется достоверным.

Важно, что без определения вероятностного пространства нельзя (в математическом смысле) говорить о вероятности чего-либо.

Замечание

На основе определения вероятностного пространства легко провести разделение между теорией вероятностей и статистикой: теория вероятностей предсказывает частоты на основе знания вероятностного пространства, а статистика решает обратную задачу — на основе наблюдаемых частот определяет параметры неизвестного вероятностного пространства.

Пример: подбрасывание монетки

Будем считать, что монетка

чеканная

«правильная» или «симметричная», т.е. она одинаково часто выпадает орлом и решкой, а на ребро никогда не встаёт. Тогда множество элементарных исходов состоит из двух элементов,

. Так как мы договорились, что монетка «правильная», то разумно считать, что

. Теперь давайте перечислим все возможные события и их вероятности.

1. Не выпадет ни орёл, ни решка. Это соответствует событию , .
2. Выпадет орёл, , .
3. Выпадет решка, , .
4. Выпадет орёл или решка, , .

Пример: подбрасывание игрального кубика

Как и в случае с монеткой мы будем предполагать, что игральный кубик выпадает всеми гранями одинаково часто. Тогда множество элементарных исходов состоит из шести элементов,

, все их вероятности равны

. Количество различных событий в этом эксперименте равно

(это количество всех подмножеств множества из 6 элементов). Удивительным образом вопрос «сколько существует различных событий в эксперименте с подбрасывание игрального кубика?», по моим наблюдения, ставит в тупик 9 из 10 абитуриентов.
Давайте рассмотрим некоторые примеры событий.

1. Выпадет 1, , .
2. Выпадет число большее трёх, , .
3. Выпадет число кратное трём, , .

Пример: два подбрасывания монетки

В тех же предположениях о «симметричености» монеты мы определим множество элементарных исходов как множество упорядоченных пар

Симметриченость монетки позволяет нам заключить, что все элементарные исходы равновероятны, т.е.

.
Примеры событий.

1. В первом броске выпадет решка, , .
2. Выпадет хотя бы одна решка, , .
3. Монетка дважды выпадет одной стороной, , .

Пример: выбираем случайное число из календаря 2020 года

Множество элементарных исходов

. Как выбрать вероятности? Это зависит от того, как устроен эксперимент. Например, мы можем вырвать случайный лист отрывного календаря и посмотреть число на нем. Наиболее точной моделью, описывающей этот эксперимент, было бы вероятностное пространство с

исходами, где одинаковые числа разных месяцев различаются. И тогда вероятность того, что выпадет число 1, была бы суммой вероятностей элементарных исходов, соответствующих первым числам разных месяцев, т.е.

. Но мы можем для удобства рассмотреть более простое множество элементарных исходов

с 31 исходом, но с разными вероятностями:

,

,

.

Пример события: «выпавшее число месяца делится на 10». Это соответствует событию

.

Замечание

Как только мы определили вероятностное пространство (т.е. определились с множеством

и вероятностями, которые мы приписываем элементарным исходам), то вопрос о вероятности некоторого события становится чисто арифметическим. Другими словами, как только мы выбрали некоторую математическую модель, которая с нашей точки зрения описывает физический процесс, то вероятности всех событий однозначно определены.

Задачи для самопроверки

В каждой задаче следует сначала описать вероятностное пространство, а уже только потом производить вычисления.

1. Бросаем два игральных кубика: красный и синий. Определите вероятность того, что цифры на красном и синем кубиках совпадут.
2. В этом же эксперименте с кубиками нужно найти наиболее вероятную сумму цифр на кубиках.
3. Наудачу выбирается одно число от 1 до 20. Считая все числа равновозможными, определите вероятность того, что выбранное число:
   • чётно;
   • делится на 3;
   • делится и на 2, и на 3;
   • не делится ни на 2, ни на 3;
   • имеет сумму цифр 9;
   • имеет сумму цифр, делящуюся на 3.

Пример вероятностного пространства, не соответствующего физическому миру

Рассмотрим следующий эксперимент: подбрасываем две монетки и смотрим на то, какими сторонами они выпали. Можно было бы сказать, что в данной задаче всего три исхода: две решки, два орла и орёл и решка. Если предполагать, что все исходы равновозможны, то получается, что вероятность выпадения двух орлов равна 1/3. Математика не запрещает нам рассматривать такое вероятностное пространство, но экспериментальная проверка подсказывает, что в физическом мире ответ скорее ближе к 1/4. Поэтому не стоит по умолчанию предполагать все исходы равновозможными, иначе мы получим 1/2 в ответ на вопрос о вероятности встречи динозавра.

Формула суммы вероятностей

Будем называть два события несовместными, если их пересечение равно пустому множеству. Т.е., нет исходов, которые соответствовали бы обоим событиям. Пример: события «на игральном кубике выпало чётное число» и «на игральном кубике выпала единица или тройка» несовместны.

Несовместные события обладают следующим свойством. Пусть

и

— два несовместных события. Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из них, равна сумме вероятностей

и

, другими словами

, событие

также называют суммой событий и и обозначают

. Это свойство не выполняется для произвольных событий. Например, события «на игральном кубике выпало чётное число» и «на игральном кубике выпало число больше четырёх» не несовместны и сумма их вероятностей (5/6) больше вероятности их суммы (4/6).

Рассмотрим следующую задачу. В мешке лежат шарики трёх цветов: белые, жёлтые и чёрные. Причём известно, что белых

от общего числа, а жёлтых —

. Какова вероятность того, что случайно вытащенный шар будет светлым? Аккуратный подсчёт показывает, что если в мешке

шаров, то рассматриваемому событию соответствует

шаров, т.е.

от общего числа шаров. События «вытащен белый шар» и «вытащен жёлтый шар» несовместны, поэтому вероятность, что шар будет светлым равна сумме вероятностей этих событий.

События называются противоположными, если всегда происходит ровно одно из них. Из этого определения можно заключить, что во-первых, эти события несовместны, а во-вторых, их суммарная вероятность равна 1. Событие, противоположное событию

, выражается, как

(если все элементарные исходы имеют положительную вероятность, то это единственное такое событие).

Задача для самопроверки

Наудачу выбирается число

от 1 до 100. Рассмотрим следующие события:

1. число чётно;
2. число нечётно;
3. число делится на 4;
4. число имеет остаток 2 при делении на 4;
5. число имеет остаток 1 при делении на 4.

Какие из этих событий несовместны? (укажите все пары)

Формула включений и исключений

Как определить вероятность суммы двух событий, которые не являются несовместными? Рассмотрим следующий пример. Среди учеников школы

процентов знают французский язык и

знают немецкий. Доля тех, кто владеет обоими языками всего

. Какова доля учеников, знающих хотя бы один из этих двух языков? Если нарисовать диаграмму, если мы сложим доли знающих французский и знающих немецкий, то мы дважды посчитаем тех, кто знает оба языка. Поэтому ответ:

.

Этот же вопрос можно сформулировать и на языке теории вероятностей: с какой вероятностью случайно выбранный школьник знает хотя бы один из двух языков? Аналогичное рассуждение приводит нас к следующей формуле:

где

 — это пересечение событий

и

, т.е. это событие состоящее из тех элементарных исходов, которые входят одновременно и в

, и в

(такое событие также называют произведением событий и и обозначают

).

Задача для самопроверки

Известно, что ученики класса, имеющие двойки по алгебре, составляют 25%, а ученики, имеющие двойки по геометрии, составляют 15%. Сколько учеников имеют двойки и по алгебре, и по геометрии, если ученики, не имеющие двоек ни по одному из предметов, составляют 70%?

Условная вероятность

Снова рассмотрим задачу про учеников и иностранные языки. Какая доля среди школьников знающих немецкий знает и французский? Ответ легко вычислить, посмотрев на картинку. Нужно вычислить отношение количества школьников знающих оба языка к количеству школьников знающих немецкий, т.е.

. Переходя к языку теории вероятностей можно задаться следующим вопросом: какова вероятность, что случайно выбранный школьник знает французский при условии, что он знает немецкий? Пусть события

и

соответствуют тому, что случайно выбранный школьник знает французский и немецкий соответственно. Тогда искомая вероятность называется условной вероятностью наступления при условии и обозначается

. По аналогии получаем следующую формулу для условной вероятности:

Какова вероятность, что случайно выбранный школьник знает немецкий при условии, что он знает французский?

Из формулы условной вероятности можно получить формулу для вероятности произведения двух событий.

Словами: чтобы найти вероятность того, что произойдут оба события

и

, надо умножить вероятность события

на условную вероятность события

при известном

.

Задача для самопроверки

В классе 50% мальчиков; среди мальчиков 60% любит мороженое. Какова доля мальчиков, любящих мороженое, среди учеников класса? Как это переформулировать на языке теории вероятностей?

Независимость

Рассмотрим эксперимент с бросанием двух игральных кубиков: красного и синего. В этом эксперименте имеются 36 исходов, которые мы считаем равновозможными. Вероятность того, что на красном кубике выпадет тройка, равна

(6 исходов из 36), вероятность того, что на синем кубике выпадет тройка, тоже равна

. Какова вероятность того, что на синем кубике выпадет тройка при условии, что на красном выпала тройка? По формуле условной вероятности нужно посчитать отношение вероятности выпадения тройки на обоих кубиках к вероятности выпадения тройки на красном. Получаем

. Заметим, что наличие информации о том, что на красном кубике выпала тройка, никак не влияет на вероятность выпадения тройки на синем. Такие события будем называть независимыми. Будем говорить, что события

и

независимы, если

(В этом определении предполагаются, что обе вероятности событий

и

строго больше нуля.)

Альтернативное определение можно получить, если воспользоваться определением условной вероятности: два события называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

Задачи для самопроверки

1. Являются ли события «знать немецкий» и «знать французский» независимыми?
2. Бросаем один игральный кубик. Являются ли независимыми события:
   1. «выпало чётное» и «выпало нечётное»,
   2. «выпало чётное» и «выпало 2»,
   3. «выпало чётное» и «выпало кратное трём».

Следующий шаг — это разговор про формулу Байеса, которая выводится из определения условной вероятности. Перепишем определение:

И подставив это в определение получаем формулу Байеса

которая позволяет менять местами событие и условие под знаком вероятности. Думаю, что про применение формулы Баейса нужно писать отдельный пост, например, такой.

На этом мы закончим с определениями и перед тем, как перейти к парадоксам, давайте обсудим, а в каких случаях мы можем говорить о вероятности.

Когда мы можем говорить о вероятности?

Предлагаю рассмотреть несколько вопросов, которые проиллюстрируют важность формулировок.

Какова вероятность того, что гуляя по улице вы встретите динозавра?

Я думаю, что всем ясно, что это не 1/2. Но всё же, как правильно ответить на этот вопрос? Проблема этого вопроса в том, что он сформулирован некорректно — из него нельзя однозначным образом определить вероятностное пространство, а следовательно и о вероятности говорить нельзя. Можно предложить какую-нибудь другую формулировку вопроса, в которой это будет очевидно. Например, начиная с завтрашнего дня на каждой улице города каждую минуту с вероятностью 0.00001 материализуется динозавр и существует в течение часа, никуда не уходя. В данной формулировке понятен случайный процесс и можно оценить вероятность встречи, если определить, как устроена прогулка, сколько длится и сколько улиц она затрагивает.

Вы подбросили монетку и не подглядывая накрыли её рукой. Какова вероятность того, что монетка повёрнута орлом вверх?

Очень хочется сказать, что в данном случае уж точно вероятность — 1/2. Однако, строго говоря, никакого случайного процесса уже нет. Монетка уже упала какой-то стороной. От того, что вы чего-то не знаете, не значит, что это что-то случайное. Например, если вы не знаете решение уравнения — это не значит, что его решением с одинаковой вероятностью может быть любое число. Поэтому в данном случае описать вероятностное пространство не получится. Можно переформулировать вопрос, например, так: «Какова вероятность, что вы угадаете сторону монетки, если наугад равновероятно выберите орёл или решку?». В такой формулировке уже ясно, что является случайным процессом (выбор орла или решки), как определить вероятностное пространство и получить ответ 1/2. При этом, в такой формулировке уже совершенно неважно, была монетка «честной» или нет.

Замечание. Нашу уверенность в чём-то тоже можно описывать в терминах теории вероятностей — это делается в рамках Байесовской интерпретации теории вероятностей. Эта интерпретации позволяет использовать аппарат теории вероятностей для оценки нашей уверенности в истинности каких-то утверждений (не обязательно случайных) основываясь на информации, которая нам известна. Однако стоит заметить, что в этом случае понятие вероятности становится субъективным — у одного и того же события с точки зрения разных наблюдателей может быть разная вероятность. Например, в покере вы можете считать вероятность выпадения пиковой дамы положительной (так как вы не видите её на столе и в своей руке), а ваш противник, у которого в руке уже есть пиковая дама, будет оценивать вероятность её выпадения как нулевую. При этом можно придумать и такой вариант, в котором обе оценки окажутся отличными от «реальной», объктивной, вероятности. В этом нет противоречия, т.к. в это три различные величины (игроки обладают разной информацией, а объективная вероятность в данном случае соответствует полной информации).

Вы проснулись утром. Какова вероятность того, что сегодня воскресенье?

Думаю, что вы уже поняли, что ответ 1/7 — неправильный, а точнее, вопрос некорректный. Не понятно, что является случайный процессом. Для того, чтобы получить 1/7 нужно уточнить вопрос, например, так: вы засыпаете в воскресенье вечером и случайным образом просыпаетесь в любое утро на следующей неделе, какова вероятность, что вы проснётесь в воскресенье? Но даже с этим уточнением, если спросить вас о дне недели уже после того, как вы проснулись (после того, как случайный выбор был сделан), то такой вопрос останется некорректным — иначе придётся предполагать, что вы находитесь в суперпозиции всех дней недели до тех пор, пока не посмотрите на календарь.

Я написал на доске некоторое (конкретное) число и утверждаю, что дважды успешно проверил его на простоту вероятностным алгоритмом, который ошибается с вероятность менее 1%. С какой вероятностью это число простое?

Хотелось бы сказать, что это число простое с вероятностью более 99.99%. Однако, с математической точки зрения число может быть либо простым, либо нет. Поэтому так говорить некорректно. После того, как алгоритм завершил работу, ничего случайного в этой постановке задачи уже нет, следовательно нет и вероятности. Правильно было бы сказать, что вы уверены на 99.99%, что это число простое, но и это вы можете заявить только в том случае, если доверяете мне на 100%

Парадоксы

В этом разделе мы попробуем разобрать несколько известных «парадоксов» теории вероятностей и понять, что в них либо нет противоречий, либо вопросы поставлены некорректно.

Парадокс Монти-Холла

Этот очень известный парадокс. Об него было сломано много копий, в том числе даже именитые математики давали неправильный ответ.

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Как подсказывает Википедия, для того, чтобы задача была определена корректно, нам требуется уточнить, что участнику игры заранее известны следующие правила:

1. автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
2. ведущий знает, где находится автомобиль;
3. ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
4. если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

Если вы не знакомы с этим парадоксом, то я предлагаю вам несколько минут подумать о том, каким будет правильный ответ.

Для того, чтобы ответить на заданный вопрос, давайте разберёмся, что тут является случайным процессом. По уточнению видно, что случайный процесс упоминается только в пунктах 1 и 4: «автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей» и «если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью». Вопрос, на который мы должны научиться отвечать, звучит так: «Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор». Т.е. нас спрашивают о том, какая из двух стратегий даёт большую вероятность выигрыша. Замечу, что условие номер 4 никак не влияет на факт выигрыша игрока, поэтому нет смысла включать его в вероятностное пространство. Поэтому предлагается выбрать вероятностное пространство с множеством элементарных исходов

, соответствующим номеру двери, за которым находится автомобиль, и вероятностями

. Теперь рассмотрим две стратегии игрока: «оставить выбранную дверь», обозначим

, и «сменить дверь», обозначим

.

Мы не знаем, как игрок делает выбор первой двери, но нам и не нужно это знать. Достаточно проверить, как работает стратегия при всех выборах первой двери. Обозначим через

дверь, которую игрок выбрал изначально, а через

— дверь, за которой спрятан автомобиль. Тогда для любого

событие «игрок выиграл при использовании стратегии

» соответствует тому, что он угалад правильную дверь с первой попытки. Говоря формально, нас интересует событие

, т.е.

, и его вероятность

. Событие «игрок выиграл при использовании стратегии

» соответствует противоположному событию

, т.е.

, и его вероятность

. Осталось ещё раз отметить, что, если этот анализ верен для любого выбора

, поэтому верен и при любой стратегии выбора первой двери. Кроме того, заметим, что мы никак не использовали условие 4.

Как видите, никаких неоднозначностей тут нет, парадоксом эта задача называется только потому, что ответ может не соответствовать интуиции. Но так в математике случается довольно часто.

Парадокс мальчика и девочки

Цитирую Википедию.

Впервые задача была сформулирована в 1959 году, когда Мартин Гарднер опубликовал один из самых ранних вариантов этого парадокса в журнале Scientific American под названием «The Two Children Problem», где привёл следующую формулировку:

• У мистера Джонса двое детей. Старший ребёнок — девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка — девочки?
• У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребёнок — мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка — мальчики?

Сам Гарднер изначально давал ответ и соответственно, но впоследствии понял, что ситуация во втором случае неоднозначна. Ответом на второй вопрос может быть и в зависимости от того, как было выяснено, что один из детей — мальчик.

Вероятностное пространоство задано

и все вероятности равны

. В первом случае нам известно, что выполнено событие

. Поэтому при условии

вероятность двух девочек равна 1/2.

Во втором случае всё сложнее, т.к. не понятно, как мы узнали, что у мистера Смита один из детей мальчик. Можно предположить два варианта:

1. Выбирается случайный человек с двумя детьми и его спрашивают, есть ли среди его детей мальчик. Тогда вероятность двух мальчиков получится 1/3, т.к. это соответствует вероятности ММ при условии события .
2. Выбирается случайный человек с двумя детьми, выбирается случайный его ребёнок (старший или младший) и спрашивается его пол. Этот эксперимент соответствует другому вероятностному пространству, в котором нужно ещё учесть выбор того ребёнка, про которого спрашивают. В нём будет 8 элементарных исходов, и нам подойдут четыре из них (ММ и спросили про старшего, ММ и спросили про младшего, МД и спросили про старшего, ДМ и спросили про младшего). Нам подходят два исхода, поэтому ответом будет 1/2.

Парадокс Спящей Красавицы

Обсуждение этого парадокса мотивировано вот этим постом на хабре, который вызвал широкое обсуждение, но описание этого парадокса есть и в википедии.

Испытуемой («Спящей Красавице») делается укол снотворного. Бросается симметричная монетка. В случае выпадения орла её будят, и эксперимент на этом заканчивается. В случае выпадения решки её будят, делают второй укол (после чего она забывает о побудке) и будят на следующий день, не бросая монеты (в таком случае эксперимент идёт два дня подряд). Вся эта процедура Красавице известна, однако у неё нет информации, в какой день её разбудили.

Представьте себя на месте Спящей Красавицы. Вас разбудили. Какова вероятность того, что монетка упала решкой?

Предлагается рассмотреть два альтернативных решения с разными результатами.

Решение 1

У вас нет никакой информации о результате выпадения монеты и предыдущих побудках. Поскольку известно, что монетка честная, можно предположить, что вероятность выпадения решки равна

.

Решение 2

Проведём эксперимент 1000 раз. Спящую Красавицу будят в среднем 500 раз с орлом и 1000 раз с решкой (т.к. при выпадении решки Спящую Красавицу спрашивают 2 раза). Поэтому вероятность выпадения решки равна

.

Кажется, что оба решения могут претендовать на звание правильного. Однако, при попытке определить вероятностное пространство нас ожидают серьёзные трудности. Что же является случайным процессом? Дело в том, что когда Спящая Красавица просыпается, никакого случайного процесса уже нет. Выбор уже сделан. Ей не известен результат этого выбора, но ничего случайного уже нет. Это возвращает нас к примеру с динозавром. Если вы не знаете, есть ли за углом динозавр, то это не значит, что он там есть с вероятностью 1/2. Поэтому «Решение 1» отвечает не на вопрос про вероятность, а на вопрос про степень уверенности Спящей Красавицы. А «Решение 2» предлагает рассмотреть совершенно другой эксперимент, в котором задаётся в общем-то совершенно другой вопрос, на который предлагается ответить внешнему наблюдателю до начала эксперимента.

Для того, чтобы придать этому вопросу математический смысл и получить желаемый ответ 2/3, придётся воспользоваться каким-нибудь философским приёмом, вроде «подселения душ». Например, так: вы заходите в аппарат переселения душ, после этого подбрасывается монетка для Спящей Красавицы, которая создаёт две параллельные вселенные: одну, где монетка выпала орлом, и другую, где выпала решкой. Суммарно в пространстве-времени этих двух альтернативных вселенных есть три различных пробуждения Спящей Красавицы. Аппарат по переселению душ с вероятностью 1/3 подселяет вашу душу в тело Спящей Красавицы незадолго до одного из этих пробуждений. Какова вероятность, что вы проснетесь в параллельной вселенной, где выпала решка?

Как видите, для придания математического смысла этому вопросу, придётся хорошенько пофантазировать, но этим занимаются не математики, а философы (подробнее в этом посте). Утверждать, что «оба решения правильные», некорректно с математической точки зрения.

Задача для самопроверки

Объясните, почему в задаче о детях моряка, с которой начинается этот пост, вопрос поставлен некорректно (т.е. ни 1/2, ни 1/3 не являются правильным ответом).

Бесконечный случай

Когда мы переходим к бесконечному случаю, т.е. рассматриваем эксперименты с бесконечным числом элементарных исходов, то всё становится значительно сложнее. Я не буду вдаваться в детали и даже не буду определять вероятностное пространство для бесконечного случая, т.к. это требует более сложной математики. Однако, для иллюстрации отмечу, что в бесконечном случае могут быть такие (плохие) множества элементарных исходов, которые не имеют вероятности (неизмеримые множества). При этом для всех хороших (измеримых) событий вероятность определена однозначно. Поэтому и те «парадоксы», которые возникают в бесконечном случае, тоже возникают из-за неоднозначности выбора вероятностного пространства. Хорошим наглядным примером служит парадокс Бертрана, показывающий, как казалось бы эквивалентные (на самом деле нет) вероятностные пространства приводят к разным результатам.

Вместо заключения

Даже если вы не собираетесь никуда поступать или проходить собеседования на технические позиции в IT-компании, то вы всё равно можете захотеть освежить знания по математике, которые могут пригодиться в программировании. Могу посоветовать онлайн-курс СS центра по теории вероятностей, который читает А.И. Храбров.

БОНУС

Приглашаю всех послушать лекция Александра Шеня «Генераторы «случайных чисел»: теория и практика» в это воскресенье 26 апреля в 14:00 в Computer Science клубе. Лекция будет читаться в zoom-е, для участия нужно записаться на курс или подписаться на рассылку.

На этой странице вы узнаете

• Как кот может быть одновременно жив и мертв? 
• Можно ли всегда выигрывать спор с монеткой? 
• Если рандомно ответить на вопрос теста, какой шанс угадать ответ?

Какова вероятность выиграть в лотерею? Исследователи подсчитали: один на восемь миллионов. «Или выиграю, или проиграю», — решаю я, покупая лотерейный билет. Так понятие вероятности преследует нас в обычной жизни. И не только в лотерее. Давайте разберемся подробнее.

Вероятность

Выходя утром из дома, мы задумываемся: брать ли с собой зонт? Проверяем прогноз погоды — вероятность выпадения осадков 2%. Зонтик нам сегодня вряд ли понадобится. В пути нас настигает ливень…

Прогноз погоды — самый яркий пример вероятности. Он не всегда бывает точный, не всегда сбывается. Мы не можем с уверенностью сказать, что будет завтра. Зато можем по совокупности факторов определить, на какую погоду стоит ориентироваться. 

Теория вероятности — один из разделов математики, в котором изучаются модели случайных экспериментов. 

Случайными экспериментами называются такие, результаты которых неизвестны заранее. Подбрасывая монетку, мы не знаем, что выпадет — орел или решка. Только поймав монетку, мы узнаем результат. 

Рассмотрим чуть подробнее пример с монеткой. Есть всего два варианта, какое событие может произойти:

• выпадет орел;
• выпадет решка. 

Эти два события образуют множество элементарных событий. 

Множество элементарных событий — множество всех возможных результатов случайного эксперимента. 

В случае выше их всего два. А если мы будем подбрасывать игральную кость, то их будет уже 6. Множество элементарных событий будет менять в зависимости от ситуации. 

Допустим, мы поспорили с друзьями, что выпадет орел. Для нас это событие будет благоприятным, поскольку мы выиграем спор. Второе событие будет неблагоприятным, потому что спор будет проигран. 

Как найти вероятность, что мы выиграем спор? Нужно разделить число благоприятных событий на общее число событий. Таким образом, мы получили классическое определение вероятности. 

Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 

Пусть m — количество благоприятных исходов, а n — количество всех событий. Получаем следующую формулу. 

(P = frac{m}{n})

Вероятность можно обозначить, как P(x), где х — некоторое событие. 

Заметим, что количество благоприятных исходов должно быть либо меньше, либо равно количеству всех исходов. Если благоприятных событий больше, чем всех, значит, мы нашли не все множество элементарных событий.

Когда вероятность равна 1, то такое событие точно наступит. Иначе говоря, мы можем быть уверены на 100% — оно произойдет.

Вероятность всегда будет меньше или равна 1. Но ее можно выразить и через проценты. Для этого достаточно умножить полученный результат на 100%. 

Пример 1. На ресепшене одного из отелей стоит ваза с конфетами. В вазе 56 яблочных конфет, 49 апельсиновых и 35 малиновых. Гость отеля наугад тянет конфету. Какова вероятность, что ему попадется апельсиновая конфета?

Решение. Найдем, сколько всего конфет в вазе: 56 + 49 + 35 = 140. Вероятность вытащить апельсиновую конфету будет равна 
(frac{49}{140} = 0,35)

Выразим в процентах:  
0,35 * 100% = 35%

Задача решена. Обычно в ответе пишут значение вероятности через дробное число, а не проценты. Поэтому получаем следующий ответ. 

Ответ: 0,35

Чтобы выразить вероятность через проценты в одно действие, достаточно воспользоваться следующей формулой. 

(P = frac{m}{n} * 100%)

Но что, если нам нужно найти вероятность для более сложных экспериментов? Первым делом нужно определить, какие события перед нами.

Равновозможные и противоположные события

Когда мы бросаем игральную кость, вероятность выпадения любого из чисел равна 16. То есть вероятности выпадения чисел равны между собой. Такие события называются равновозможными. 

Равновозможные события — такие события, что по условиям опыта ни одно из них не является более возможным, чем другие. 

Вероятности появления событий равны. 

Для игрального кубика существует всего шесть событий, которые могут произойти: выпадет число 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Все эти события образуют полную группу событий. 

Полная группа событий — такая группа событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. 

В результате подбрасывания монеты выпадет либо орел, либо решка. То есть полная группа событий состоит из двух событий. 

Мы подбросили монету и выпал орел. Следовательно, не выпала решка. 

А если не выпадет орел? Обязательно выпадет решка. Эти события будут называться противоположными. 

Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 

Обозначим событие “выпала решка” как A. Противоположное ему событие “выпал орел” обозначим как (overline{A}). 

Заметим, что вероятность события A равняется 12, как и вероятность события (overline{A}). Чему равна их сумма?

)frac{1}{2} + frac{1}{2} = 1) 

Так мы вывели связь между противоположными событиями. Поскольку они всегда образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей будет равна 1. 

(P(A) + P(overline{A}) = 1)

Какие еще примеры противоположных событий можно назвать? Ясная и дождливая погода. Если наступает одно из этих событий, то второе уже не может наступить. 

Объединение и пересечение событий 

Допустим, у нас есть два события: сегодня пойдет снег и сегодня пойдет дождь. Что будет, если мы их объединим? 

Объединение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий. 

В этом случае мы получим событие, которое будет выполняться при любом из исходов: и если пойдет снег, и если не пойдет снег. 

Объединение событий обозначается знаком (cup). Объединение событий А и В можно записать как (A cup B). 

Рассмотрим немного другой пример. В первое событие входит, что Илья получит пятерку по физике, а второе событие — Антон получит пятерку по физике. А как можно назвать событие, если оба мальчика получат пятерку по физике?

Пересечение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям. 

Пересечение событий обозначается знаком (cap). Пересечение событий А и В можно записать как (A cap B). 

Несовместные и совместные события

Рассмотрим два события: “чайник исправно работает” и “чайник сломался”. Могут ли эти события существовать одновременно? Нет, поскольку появление одного из них исключает появление другого.

Такие события называются несовместными. Название само говорит, что события не могут существовать одновременно. 

Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. 

Решим небольшую задачу. На экзамене есть несколько билетов. С вероятностью 0,5 попадется билет по планиметрии. С вероятностью 0,3 попадется билет по экономике. При этом не существует билетов, которые включают обе эти темы. С какой вероятностью на контрольной попадется билет по одной из этих тем?

Представим билеты в виде схемы. Заметим, что нам нужно объединить два из трех кругов, то есть сложить их вероятности. 

Следовательно, вероятность будет равна 0,5 + 0,3 = 0,8.

Сформулируем определение суммы вероятностей двух несовместных событий. 

Если существуют несовместные события, то существуют и совместные. 

Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. 

В магазине работают два консультанта. Один из них занят общением с клиентом. Означает ли это, что второй консультант тоже занят?  Нет, поскольку они работают независимо друг от друга. Если занят первый консультант, второй может быть как занят, так и нет. 

Подбросим игральный кубик и рассмотрим два вида событий. Пусть событие А — это “выпадет число 2”, событие В — “выпадет четное число”. 

Найдем вероятность события А: (frac{1}{6}). 

Для события В всего три благоприятных исхода из шести: выпадет число 2, 4 или 6. Тогда вероятность наступления события В равна (frac{3}{6} = frac{1}{2})

Исключают ли события А и В друг друга? Нет, поскольку если произойдет событие А, произойдет и событие В. Когда произойдет событие В, есть вероятность, что произойдет и событие А. 

Найдем объединение совместных событий на примере кругов. Если мы наложим их друг на друга, то в середине получится как бы два слоя. Проверить это можно, если наложить друг на друга два листа бумаги. 

А нужно получить вот такую картину:

Поэтому для объединения двух кругов нам нужно будет исключить одну из серединок. 

В каких случаях нужно пользоваться формулой со сложением? Достаточно, чтобы задачу можно было сформулировать с помощью “или”. Например, нужно, чтобы выпали темы по планиметрии или по экономике. 

Независимые и зависимые события 

Прогуляемся в магазин за булочками. В упаковке две булочки, а сама упаковка непрозрачная, то есть увидеть булочки до вскрытия упаковки мы не можем. 

Известно, что на заводе, где изготавливаются булочки, 5 из 100 булочек подгорают. Значит, 95 из 100 булочек не подгорают. По классическому определению вероятности находим, что вероятность каждой булочки не подгореть равна (frac{95}{100} = 0,95). 

Какова вероятность, что в упаковке попадутся только не подгорелые булочки? Как найти вероятность сразу для двух булочек?

Ответим на вопрос: зависят ли булочки друг от друга? 

Если подгорит одна из булочек в упаковке, не обязательно подгорит другая. Следовательно, булочки не зависят друг от друга. Такие события называются независимыми. 

Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. 

Определим вероятность независимых событий. 

Пусть вероятность, что подгорела первая булочка, будет равна Р(А) = 0,95, а вероятность для второй булочки будет равна Р(В) = 0,95. 

А чтобы найти вероятность независимых событий, нужно воспользоваться следующей формулой:

(P(A cap B) = P(A) * P(B))

Тогда вероятность, что булочки в одной упаковке не подгорят, равняется P = 0,95 * 0,95 = 0,9025. 

В каком случае нужно пользоваться этой формулой? Нужно подставить союз “и”. 

Мы хотим, чтобы в упаковке первая булочка была не подгорелой и вторая булочка была не подгорелой. 

Приведем еще один пример. В здании два автомата с кофе на разных этажах. Даже если сломается один из них, работа второго не будет зависеть от первого. 

Но если автоматы стоят  рядом и включены в одну розетку, то при поломке одного из них есть вероятность выхода из строя розетки, а значит, и второй автомат тоже сломается. Такие события будут зависимыми: появление одного из них зависит от появления другого. 

Предположим, что в мешке лежит семь кубиков: два из них оранжевые, а пять — фиолетовые. Из мешка дважды вытаскивают кубики. Какова вероятность, достать во второй раз именно фиолетовый кубик?

Нужная последовательность может быть в двух случаях:

• сначала вытащат фиолетовый кубик и потом снова фиолетовый;
• сначала вытащат оранжевый кубик, а потом фиолетовый. 

Разберем первый случай. Вероятность в первый раз вытащить фиолетовый кубик равна (frac{5}{7}). После этого в мешке останется шесть кубиков, четыре из которых будут фиолетовые. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик равна (frac{5}{7} * frac{4}{6} = frac{20}{42} = frac{10}{21}). 

Теперь рассмотрим второй случай. Вероятность в первый раз достать оранжевый кубик равна (frac{2}{7}). В мешке останется шесть кубиков, пять из которых будут фиолетовыми. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик будет уже равна (frac{2}{7} * frac{5}{6} = frac{10}{42} = frac{5}{21}). 

В этом примере очень наглядно видно, что вероятность напрямую зависит от того, какой кубик попался первым. Следовательно, эти события зависимы. 

Как отличить зависимые и независимые события? Если после наступления первого события меняется количество благоприятных и всех исходов, то такие события — зависимые. Если количество благоприятных и всех исходов не меняется, то события независимые.

Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Условная вероятность обозначается P(B|A). В нашем примере условной вероятностью будет вычисление, что во второй раз попадется именно фиолетовый кубик.   

Найдем вероятность двух зависимых событий. Формула похожа на ту, что используется для независимых событий. Но в этот раз нам нужно применить условную вероятность. 

Формула Бернулли

Рассмотрим случаи, когда испытание повторяется многократно. Для этого еще раз обратимся к игральному кубику. Подбросим кубик 8 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпала ровно три раза?

Пусть p — вероятность, что выпадет цифра 5. Тогда (p = frac{1}{6}). 

Теперь возьмем q — противоположное р событие — вероятность, что цифра 5 не выпадет. (q = frac{5}{6}). 

Обозначим количество всех бросков за n, а количество выпадения цифры 5 за k. 

Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться формулой Бернулли. 

(P_n(k) = C_n^k * p^k * q^{n — k}) 

Множитель (C_n^k) — это число сочетаний. Подробнее узнать про сочетания можно в статье «Основы комбинаторики». 

Решим задачу, подставив значения в формулу:

(P_8(3) = C_8^3 * (frac{1}{6})^3 * (frac{5}{6})^5 = frac{8!}{5!3!} * frac{1}{6^3} * frac{5^5}{6^5} = frac{6 * 7 * 8}{1 * 2 * 3} * frac{5^5}{6^8} approx 0,1) 

Фактчек

• Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 
• События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 
• События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A (cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B).
• События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A cap B) = P(A) * P(B | A). 
• Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие события являются несовместными?

1. Подбрасывание монетки.
2. Брак батареек в одной упаковке.
3. “Миша идет” и “Миша стоит”.
4. Случайное вытаскивание конфет из вазы. 

Задание 2. 
Алена делает ошибку при решении задач по математике с вероятностью 0,17. С какой вероятностью она не сделает ошибку при решении задачи?

1. 0,17
2. 1
3. 0,83
4. 1,17 

Задание 3. 
Артем решал задачи на вероятность. Ниже приведены его ответы. В какой из задач он точно совершил ошибку?

1. 1
2. 0,216
3. 0,45
4. 1,5 

Задание 4. 
В упаковке три шариковые ручки. С вероятностью 0,1 такая ручка не будет писать. Найдите вероятность, что все три ручки в упаковке пишут. 

1. 0,3
2. 0,001
3. 2,7
4. 0,729 

Задание 5. 
Перед Дашей лежит несколько карточек. Она случайно переворачивает одну из них. С вероятностью 0,5 на карточке окажется рисунок природы. С вероятностью 0,27 на карточке окажется мотивационная цитата. Карточек и с рисунком, и с цитатой нет. Найдите вероятность, что Дана перевернет карточку или с рисунком, или с цитатой. 

1. 0,77
2. 0,135
3. 0,23
4. -0,23

Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1

Вероятность — очень лёгкая тема, если концентрироваться на смысле задач, а не на формулах. Найти вероятность того что — не просто. И  как решать задачи на вероятность?. Во-первых, что такое вероятность? Это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если мы говорим, что вероятность некоторого события 50%, что это значит? Что оно либо произойдет, либо не произойдет — одно из двух. Таким образом подсчитать значение вероятности очень просто — нужно взять количество подходящих нам вариантов и разделить на количество всех возможных вариантов. Например, шанс получить решку при подбрасывании монеты это ½. Как мы получаем ½? Всего у нас два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), так мы и получаем вероятность ½.

Как мы уже с вами увидели, вероятность может быть выражена как в процентах, так и в обычных числах. Важно: на ЕГЭ вам нужно будет записать ответ в числах, не в процентах. Принято, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет) до 1 (абсолютно точно произойдет). Также можно сказать, что всегда

Вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1

Теперь мы точно понимаем, как считать вероятность отдельного события, и даже такие задачи есть в банке ФИПИ, но понятно, что на этом всё не заканчивается. Чтобы жизнь была веселее, в задачах на вероятность обычно происходят как минимум два события, и надо посчитать вероятность с учетом каждого из них.

Вероятность нескольких событий

Подсчитываем вероятность каждого события в отдельности, затем между дробями ставим знаки:

1. Если нужно первое И второе событие, то умножаем.

2. Если нужно первое ИЛИ второе событие, то складываем.

Задачи и решения задач на вероятность

Задача 1. Среди натуральных чисел от 23 до 37 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно не делится на 5.

Решение:

Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству.

Всего в этом промежутке 15 чисел. Из них на 5 делится всего 3, значит не делится 12.

Вероятность тогда: 

Ответ: 0,8.

Задача 2. Для дежурства в столовой случайно выбирают двух учащихся класса. Какова вероятность того, что дежурить будут два мальчика, если в классе обучается 7 мальчиков и 8 девочек?

Решение: Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству. В классе 7 мальчиков, это благоприятные варианты. А всего 15 учеников.

Вероятность что первый дежурный мальчик:

Вероятность что второй дежурный мальчик:

Раз оба должны быть мальчики, вероятности перемножим:

Ответ: 0,2.

Задача 3. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение: Пассажиру В. удобны 30 мест (12 + 18 = 30), а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30/300, т. е. 0,1.

Задача 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение: Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25, т. е. 0,6.

Задача 5. В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам.

Решение: Из 35 билетов 28 не содержат вопроса по кислотам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам, равна 28/35, т. е. 0,8.

Задача 6. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: Если из 500 насосов 2 подтекают, то 498 не подтекают. Следовательно, вероятность выбора хорошего насоса — 498/500, т. е. 0,996.

Задача 7. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 70 штук.

На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение: Частота события «гарантийный ремонт» равна 70/1000, т. е. 0,07. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).

Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 18 из России, 14 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.

Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.

Решение: Всего участниц на чемпионате 50, а спортсменок из Белоруссии — 18 (50 – 18 – 14 = 18).

Вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Белоруссии — 18 из 50, т. е. 18/50, или 0,36.

Задача 9. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.

Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: За первые три дня будут прочитаны 36 докладов (12 ∙ 3 = 36), на последние два дня планируется 44 доклада. Поэтому на последний день запланировано 22 докладов (44 : 2 = 22). Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 22/80, т. е. 0,275.

Задача 10.

Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 участников из России, в том числе Егор Косов.

Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России?

Решение: В первом туре Егор Косов может сыграть с 25 шахматистами (26 – 1 = 25), из которых 13 ― из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна 13/25, или 0,52.

Задача 11.

В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек, т. е. 4/16, или 0,25.

Задача 12.  В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение: Выбирают двоих туристов из пяти. Следовательно, вероятность быть выбранным равна 2/5, т. е. 0,4.

Задача 13. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист полетит первым рейсом вертолёта, равна 6/30, или 0,2.

Задача 14. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Решение: Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на 3 делятся три числа: 12, 15 и 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3/10, т. е. 0,3.

Вероятность нескольких событий

Задача 1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стратор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Нас устроит следующий вариант: «Статор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность такого развития событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, следовательно: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.

Задача 2. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей ― 1 очко, если проигрывает ― 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют несколько вариантов:

Вероятность происхождения какого-либо их этих 3-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.

Задача 3. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Решение: 

Тип вопроса: уменьшение групп.

Вероятность попадания Ани в одну из групп равна 1. Вероятность попадания Нины в ту же группу равна 2 из 20 (2 оставшихся места в группе, а человек осталось 20). 2/20 = 1/10 = 0,1.

Задача 4. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.

Решение:

Способ №1

Тип задачи: уменьшение групп.

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая однорублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1.

Вероятность, что две двухрублевые монеты попадут в этот же карман = количество оставшихся мест в этом кармане/на количество оставшихся мест в обоих карманах = 2/5 = 0,4.

Способ №2

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют в несколько вариантов:

Если Петя переложил в другой карман три из четырех рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 

Задача 5. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение:

Тип задачи: уменьшение групп.

Способ №1

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая двухрублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1. Вероятность, что вторая монета попадет в другой карман = количество оставшихся мест в другом/ на количество оставшихся мест в обоих карманах = 3/5 = 0,6.

Способ №2

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют несколько вариантов:

Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 

Задача 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: Тип вопроса: нахождение желаемого и действительного совмещение событий Нас устраивают три варианта:

Орёл ― решка ― орёл;

Орёл ― орёл ― решка;

Решка ― орёл ― орёл;

Вероятность каждого случая ― 1/2, а каждого варианта ― 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)

Нас устроит либо первый, либо второй, либо третий вариант. Следовательно, складываем их вероятности и получаем 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), т. е. 0,375.

Задача 7. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

В любом случае А. будет играть как белыми, так и черными, поэтому нас устроит вариант, когда гроссмейстер А. выиграет, играя белыми (вероятность ― 0,5), а также играя чёрными (вероятность ― 0,34). Поэтому надо перемножить вероятности этих двух событий: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.

Задача 8. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,98. Покупателю надо, чтобы и первая, и вторая батарейка были исправны: 0,98 · 0,98 = 0,9604.

Задача 9. На рок-фестивале выступают группы ― по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из США будет выступать после группы из Канады и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (КИТ — Китай, КАН = Канада):

… США, КАН, КИТ …

… США, КИТ, КАН …

… КИТ, США, КАН …

… КАН, США, КИТ …

… КАН, КИТ, США …

… КИТ, КАН, США …

США находится после Китая и Канады в двух последних случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна:

≈ 0,33.

Дополняющая вероятность

Задача 1. 

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05.

Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована.

Решение: 

Существуют 2 варианта, которые нам подходят:

Вариант А: батарейка забракована, она неисправна;

Вариант Б: батарейка забракована, она исправна.

Вероятность варианта А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;

Вероятность варианта Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;

Нас устроит либо первый, либо второй вариант: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.

Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая — 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение: 

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,6 · 0,03 = 0,018.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,4 · 0,05 = 0,02.

Вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,018 + 0,02 = 0,038.

Задача 3. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Решение: 

Предположим, у нас х тарелок изначально (ведь мы постоянно имеем дело с процентами, поэтому нам ничего не мешает оперировать конкретными величинами).

Тогда 0,1х — дефектные тарелки, а 0,9х — нормальные, которые поступят в магазин сразу. Из дефектных убирается 80%, то есть 0,08х, и остаётся 0,02х, которые тоже пойдут в магазин. Таким образом, общее количество тарелок на полках в магазине окажется: 0,9х + 0,02х = 0,92х. Из них нормальными будет 0,9х. Соответственно, по формуле вероятность будет 0,9х/0,92х ≈ 0,978.

Задача 4. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,91. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,89. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар, равна 1 − 0,91 = 0,09. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар, равна 1 − 0,89 = 0,11. Вероятность происхождения двух этих событий одновременно равна произведению вероятностей каждого из них: 0,09 · 0,11 = 0,0099.

Задача 5. При изготовлении подшипников диаметром 70 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 69,99 мм или больше чем 70,01 мм.

Решение: Нам дана вероятность события, при котором диаметр будет в пределах между 69,99 мм и 70,01 мм, и она равна 0,961. Вероятность всех остальных вариантов мы можем найти по принципу дополняющей вероятности: 1 − 0,961 = 0,039.

Задача 6. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что верно решит больше 8 задач, равна 0,78. Найдите вероятность того, что верно решит ровно 9 задач.

Решение: Вероятность того, что Т. верно решит более 8 задач, включает в себя вероятность решения ровно 9 задач. При этом, события, при которых О. решит больше 9 задач, нам не подходят. Следовательно, отняв от вероятности решения более 9 задач вероятность решения более 8 задач, мы и найдём вероятность решения только 9 задач: 0,78 – 0,68 = 0,1.

Задача 7. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,88. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,66. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20.

Решение. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 21 пассажира, включает в себя вероятность, что в нём окажутся от 12 до 20 пассажиров. При этом события, при которых пассажиров будет меньше 12, нам не подходят. Следовательно, отняв от первой вероятности (менее 21) вторую вероятность (менее 12), мы и найдём вероятность того, что пассажиров будет от 12 до 20 : 0,88 – 0,66 = 0,22.

Задача 8. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 10 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 13 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Задачу выполняют несколько вариантов («Х» — хорошая погода, «О» — отличная погода):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.

Задача 9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Задачу выполняют несколько вариантов («Х» ― хорошая погода, «О» ― отличная погода):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4 ― х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.

Теория вероятности — подробнее

Что такое вероятность?

Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от ( 1) до ( 6).

Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало ( 5) или ( 6). И нам выпадает ( 5).

В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие.

Если бы выпало ( 6), событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.

А сколько неблагоприятных?

Раз всего возможных событий ( 6), значит, неблагоприятных из них ( 6-2=4) события (это если выпадет ( 1,text{ }2,text{ }3) или ( 4)).

Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.

То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.

Обозначают вероятность латинской буквой ( p) (видимо, от английского слова probability — вероятность).

Принято измерять вероятность в процентах (см. темы «Дроби, рациональные числа» и «Проценты»).

Для этого значение вероятности нужно умножать на ( 100%).

В примере с игральной костью вероятность ( p=frac{благоприятных}{всего}=frac{2}{6}=frac{1}{3}).

А в процентах: ( p=frac{1}{3}cdot 100%=frac{100}{3}%approx 33,3%).

И еще события бывают зависимыми друг от друга и независимыми. Начнем с зависимых событий.

Зависимые события

Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой ( 3) двери на выбор.

Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры ( 3), а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.

Но каков этот шанс?

Дверей ( 3), нужная дверь ( 1). Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: ( frac{1}{3}). То есть один раз из трех ты точно угадаешь.

Мы хотим узнать, позвонив ( 1) раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:

1. Ты позвонил в 1-ю дверь
2. Ты позвонил в 2-ю дверь
3. Ты позвонил в 3-ю дверь

А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:

а. За 1ой дверью
б. За 2ой дверью
в. За 3ей дверью

Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком – когда не совпадает.

Как видишь, всего возможно ( 9) вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.

А благоприятных исходов всего ( 3). То есть ( 3) раза из ( 9) ты угадаешь, позвонив в дверь ( 1) раз, т.е. ( frac{3}{9}=frac{1}{3}).

Это и есть вероятность – отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.

Определение – это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:

( displaystyle p=frac{text{благоприятных}}{всего})

Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие – это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.

Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.

Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?

Если ты подумал, что ( displaystyle frac{1}{3}), то это ошибка. Давай разбираться.

У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:

1. Позвонить в 1-ую дверь
2. Позвонить во 2-ую дверь

Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):

а. Друг за 1-ой дверью
б. Друг за 2-ой дверью

Давай снова нарисуем таблицу:

Как видишь, всего есть ( 4) варианта, ( 2) из которых – благоприятны. То есть вероятность равна ( displaystyle frac{2}{4}=frac{1}{2}).

А почему не ( displaystyle frac{1}{3})?

Рассмотренная нами ситуация – пример зависимых событий. Первое событие – это первый звонок в дверь, второе событие – это второй звонок в дверь.

А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других?

Правильно, ( 0%).

Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые? Верно, бывают.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Что такое независимые события ты уже знаешь.

А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?

Можно конечно посчитать, но есть способ проще.

Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку ( 2) раза, мы два раза увидим орла?

Мы уже считали: ( p=0,25).

А если бросаем монетку ( 3) раза? Какова вероятность увидеть орла ( 3) раза подряд?

Всего возможных вариантов ( 8):

• Орел-орел-орел
• Орел-орел-решка
• Орел-решка-орел
• Орел-решка-решка
• Решка-орел-орел
• Решка-орел-решка
•  Решка-решка-орел
• Решка-решка-решка

Не знаю, как ты, но я ( 3) раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только ( 1) вариант (первый).

( displaystyle p=frac{{{N}_{б}}}{N}=frac{1}{8})

Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.

Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.

Другими словами,

Вероятность определенной последовательности независимых событий равна произведению вероятностей каждого из событий

Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.

Вероятность выпадения орла в ( 1) испытании? ( displaystyle frac{1}{2}). Теперь мы бросаем монетку ( 5) раз.

Какова вероятность выпадения ( 5) раз подряд орла?

( displaystyle p=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}={{left( frac{1}{2} right)}^{5}}=frac{1}{32})

Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.

Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при ( 3) бросках подряд, мы поступили бы также.

Вероятность выпадения решка – ( displaystyle frac{1}{2}), орла – ( displaystyle frac{1}{2}).

Правило сложения вероятностей несовместных событий

Так стоп! Новое определение.

Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента.

Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.

Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её ( 3) раза. Возможные варианты:

• Орел-орел-орел
• Орел-орел-решка
• Орел-решка-орел
• Орел-решка-решка
• Решка-орел-орел
• Решка-орел-решка
•  Решка-решка-орел
• Решка-решка-решка

Так вот, несовместные события – это определенная, заданная последовательность событий. ( 1),text{ }2),text{ }3),text{ }4)ldots text{ }8)) – это несовместные события.

Вероятности несовместных событий складываются.

Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий, то мы складываем вероятности этих событий.

Нужно понять, что выпадение орла или решки – это два независимых события.

Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности ( 1)) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.

Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?

( displaystyle p=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}=frac{1}{8})

Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно ( 1) раз, т.е. варианты ( 4),text{ }6)) и ( 7)), то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.

Правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:

Опишите, что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ». Затем вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.

Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку ( 3) раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла ( 1) раз.

Что должно произойти?

Должны выпасть:

(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).

Содержание:

1. Сумма событий
2. Произведение событий
3. Противоположное событие
4. Следствия событий. Равные события
5. Разность событий
6. Некоторые тождества
7. Элементы комбинаторики
8. Правило произведения
9. Формула включения-исключения
10. Размещения
11. Перестановки
12. Бином Ньютона
13. Некоторые примеры вычисления вероятностей

Рассмотрим опыт, состоящий в подбрасывании монеты. Ясно, что у этого опыта при каждом испытании может быть только два исхода: выпал герб или выпала цифра. Очевидно, что, во-первых, мы не можем предсказать, какая сторона монеты выпадет в очередном испытании, и, во-вторых, из соображений симметричности монеты эти два исхода можно считать равновозможными.

Следующий пример связан с подбрасыванием игральной кости — симметричного кубика с гранями, помеченными цифрами от 1 до 6. У данного опыта имеется шесть исходов: при каждом испытании может выпасть любая цифра в указанном диапазоне. Выпадение той или иной грани является случайным и равновозможным событием.

Легко усложнить любой из рассмотренных примеров. Допустим, что опыт состоит в том, что мы подбрасываем сразу три монеты. Тогда общее число исходов возрастет до восьми и мы можем все их перечислить. Обозначим для краткости выпадение герба буквой Г и цифры буквой Ц. Тогда все возможные исходы опыта можно записать в виде последовательностей из трех таких букв. Например, последовательность означает, что на первой и второй монетах выпал герб, а на третьей цифра. Таким образом, перечень всевозможных исходов имеет вид:

Поскольку мы считаем, что все монеты симметричные, то можно считать все эти исходы равно-возможными. Допустим, что мы хотим выяснить, насколько часто произойдет случайное событие состоящее в том, что цифра выпала ровно два раза. Глядя на этот перечень, легко увидеть, что благоприятных исходов три, а именно Разделив это число на общее число исходов, мы получим число — вероятность случайного события

Рассмотрим математическую модель таких и подобных им примеров. Итак, пространством элементарных событий назовем конечное множество состоящее из исходов или элементарных событий Случайным событием назовем любое подмножество пространства элементарных событий и будем говорить, что исходы благоприятны для события

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Будем говорить, что событие наступило, если в опыте наблюдался один из благоприятных исходов. Вероятностью случайного события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов

• В этой модели отражены существенные (и идеализированные) черты рассмотренных нами опытов. А именно, все элементарные события равноправны, что характеризует симметричность исходов, и все они различны. Такое определение вероятности называется классическим.

В опыте с подбрасыванием монеты пространство элементарных событий состоит из двух исходов а вероятность выпадения герба равна опыте с подбрасыванием игральной кости пространство элементарных событий состоит из шести исходов Найдем вероятность случайного события — выпадения четного числа, большего трех. В этом случае событие состоит из двух исходов: поэтому В опыте с подбрасыванием трех монет пространство элементарных событий состоит из восьми исходов Найдем вероятность случайного события состоящего в выпадении одинаковых сторон всех трех монет. Событие состоит из двух благоприятных исходов: так что В общем случае из определения вероятности случайного события (1.1) легко следует его свойства

1. Вероятность случайного события заключена в пределах от 0 до 1.

Крайние значения вероятности: 0 и 1 тоже принимаются. Введем следующие определения.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Событие которое произойдет при любом испытании, называется достоверным. Это означает, что выполняется равенство

Например, в опыте с подбрасыванием игральной кости событие задаваемое условием «число выпавших очков положительно», будет достоверным.

2. Вероятность достоверного события равна 1.

Событие которое не может произойти ни при одном испытании, называется невозможным. Иными словами, выполняется равенство Например, событие задаваемое условием «при подбрасывании игральной кости выпало 7 очков», является невозможным.

3. Вероятность невозможного события равна 0.

Мы видим, что в рамках этой модели подсчет вероятности состоит в установлении того, как случайное событие выражается через более простые события и, в конечном счете, через элементарные, а также подсчета чисел

Алгебра случайных событий

При нахождении вероятностей приходится, естественно, учитывать связи между событиями. Формы таких связей весьма многообразны. Наиболее простые из них заключаются в том, что одни события являются комбинациями других. Далее мы ознакомимся с тремя основными видами комбинаций: суммой событий, произведением событий, противоположным событием.

Сумма событий

Пусть с некоторым пространством элементарных событий связаны события Их суммой называется третье событие которое (по определению) состоит из исходов, благоприятных либо для либо для Если мы условимся исход, благоприятный для события, обозначать знаком «1», а неблагоприятный — знаком «0», то полную характеристику события будет давать следующая таблица:

Аналогично определяется сумма трех событий, четырех и т.д. Вообще, сумма любого множества событий есть событие, состоящее из тех и только тех исходов, которые являются благоприятными хотя бы для одного из событий данного множества.

Пример 1:

Пусть пространство элементарных событий заключается в выборе наугад точки из области являющейся квадратом на плоскости (такой опыт осуществляет брошенный наугад биллиардный шар — после ряда отражений от бортов биллиардного стола шар останавливается в случайной точке).

Решение: 

Если означает попадание точки в верхнюю половину квадрата (рис. 1.1), а попадание в правую половину, то будет означать попадание в область, являющуюся объединением указанных половин.

Пример 2:

Пусть в опыте с бросанием игральной кости событие есть выпадение числа, кратного 2, а — выпадение числа, кратного 3. Тогда будет выпадение хотя бы одного из чисел 2,3,4, 6.

Произведение событий

Пусть — два события. Их произведением называется третье событие которое состоит из тех и только тех исходов, которые благоприятны одновременно для

Таблица, характеризующая событие имеет вид:

Аналогично определяется произведение любого множества событий. Это событие, состоящее из исходов, которые благоприятны для всех событий данного множества.

Если, например, — события из приведенного выше примера с выбором точки внутри квадрата, то будет означать попадание точки в правую верхнюю четверть квадрата. В примере с бросанием игральной кости событие означает выпадение 6 очков. Если в том же примере в качестве принять выпадение четного числа очков, а в качестве — выпадение нечетного числа очков, то будет означать невозможное событие.

Противоположное событие

Противоположное событие для события обозначается По определению в событие входят те и только те исходы, которые не благоприятны для

Например, если есть выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, то -это выпадение нечетного числа очков; если — это попадание при выстреле, то — промах; если означает исправность всех элементов некоторой системы, то — выход из строя хотя бы одного из элементов.

Таблица, характеризующая событие выглядит так:

Беря несколько событий и применяя к ним в любом порядке операции сложения и умножения, а также используя переход к противоположным событиям, можно строить различные комбинации, например: и т.п. Читатель должен отчетливо понимать смысл подобных выражений, научиться быстро и безошибочно перечислять благоприятные или неблагоприятные исходы той или иной комбинации. Укажем, например, таблицу, характеризующую событие

Пример 3:

Покупаются три лотерейных билета; событие означает выигрыш по первому билету, -выигрыш по второму, — по третьему. Рассмотрим следующую комбинацию:

Решение: 

Согласно определению операций сложения и умножения благоприятными исходами для события (1.3) являются любой из трех случаев: выигрывают 1-й и 2-й билеты, выигрывают 2-й и 3-й, выигрывают 1-й и 3-й. Другими словами, событие (1.3) означает выигрыш не менее чем по двум билетам.

Аналогичным образом, рассмотрев комбинацию

легко убедиться, что событие (1.4) означает выигрыш ровно по двум билетам.

Следствия событий. Равные события

По определению, событие влечет за собой событие или событие является следствием события (обозначение: если каждый исход, благоприятный для является благоприятным и для

Иными словами, все элементарные события, из которых состоит событие входят в событие

Например, пусть событие состоит в том, что при бросании игральной кости выпало нечетное число, меньшее 5, а событие — выпавшее число меньше 4. Легко видеть, что

Другой пример. Условие: если в семье муж старше жены и жене больше 50 лет то мужу больше 50 лет — можно записать в виде импликации

События равны (обозначение: в случае, когда они являются следствиями друг друга.

Иными словами, события равны, если всякий раз, когда наступает одно из них, наступает и другое, или они состоят из одних и тех же исходов.

Разумеется, равные события могут иметь отличающиеся по форме словесные описания. Например, события «не все студенты данного курса успешно сдали теорию вероятностей» и «по крайней мере один из студентов данного курса не сдал теорию вероятностей» равны, хотя и выражены различными оборотами речи.

Разность событий

Событие является разностью событий (обозначение: если оно содержит все исходы, благоприятные для не являющиеся исходами, благоприятными для

Легко видеть, что выполняется равенство

И наоборот, противоположное событие можно выразить с помощью этой операции:

Надо иметь в виду, что так определенные операции сложения и вычитания событий все-таки отличаются от аналогичных действий с числами. В частности, событие вообще говоря, не равно невозможному событию.

Пример 4:

Пусть в группе из 20 студентов имеются три подгруппы, состоящие из 10 студентов, которые знают английский и французский языки, 6 — знающих французский и немецкий, 4 — английский и немецкий.

Решение: 

Рассмотрим событие — студент знает английский язык, — студент знает французский. Тогда состоит из студентов, знающих английский и немецкий языки, а из студентов, знающих французский и немецкий. Таким образом, событие состоит из 10 студентов, входящих во вторую и третью подгруппы.

Некоторые тождества

При рассмотрении операций над событиями часто приходится пользоваться двумя важными равенствами:

Проверим справедливость первого из них; второе проверяется аналогично.

Наступление события означает, что наступает по меньшей мере одно из событий

Наступление противоположного события означает, следовательно, что не наступает ни одно из событий или, по-другому, что наступают одновременно все события но это в точности означает наступление события

Для наглядного истолкования различных соотношений между событиями удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна. В этом случае каждое событие рассматривается как попадание случайно брошенной точки в некоторую область на плоскости; иначе говоря, каждое событие задается некоторой фигурой на плоскости. При таком истолковании событие будет не что иное, как попадание точки в область, являющуюся объединением фигур (рис. 1.2), событие — попадание в область, являющуюся пересечением фигур а событие — попадание в область, дополнительную к фигуре Позже мы увидим, что такой подход является универсальным: с определенной точки зрения (см. § 1.6, п. 2°) каждое событие можно истолковать как некоторое множество, а операции над событиями — как операции объединения, пересечения и дополнения для множеств.

Элементы комбинаторики

В этом параграфе рассматриваются задачи комбинаторного характера. В каждой из них требуется подсчитать число различных вариантов, ответить на вопрос «сколько? » или «сколькими способами?». Например, интересно узнать, сколькими способами можно рассадить людей в аудитории, где имеется мест каким количеством способов студент может набрать на сессии, состоящей из 4 экзаменов, сумму баллов не ниже 12, сколькими способами можно купить 10 акций трех предприятий и т.п.

Комбинаторика имеет весьма непосредственное отношение к теории вероятностей. Близость этих разделов обусловлена, прежде всего, классическим способом подсчета вероятностей.

Формула

где — число всех исходов опыта, а — число исходов, благоприятных для сводит вычисление к нахождению двух чисел последняя задача во многих случаях носит явно комбинаторный характер. Кроме теории вероятностей, комбинаторика используется в теории вычислительных машин, теории автоматов, в некоторых задачах экономики, биологии и т.д.

Правило произведения

Будем рассматривать последовательности данной длины

состоящие из некоторых элементов (не обязательно различных). Условимся для краткости называть такие последовательности строками. Две строки будем считать различными в том и только том случае, если хотя бы для одного номера (из совокупности 1, 2,…, элемент отличен от

Правило произведения может быть сформулировано следующим образом.

Пусть элемент может быть выбран способами; при каждом выборе элемент может быть выбран способами; при каждом выборе пары элемент может быть выбран способами Тогда число различных строк равно произведению

Докажем это правило сначала для т.е. для строк длины 2.

Обозначим через различные значения для Среди строк имеется ровно строк, начинающихся с (т.е. строк вида ровно строк, начинающихся с и т.д. Следовательно, число всех строк будет:

Пусть теперь Любую строку

можно рассматривать как строку из двух объектов: строки и элемента Первый объект, по доказанному, может быть выбран способами; при любом из этих способов элемент по условию, может быть выбран способами. Применяя опять-таки правило произведения для строк длины 2, получим, что число различных строк вида (1.7) будет

Ясно, что такое же рассуждение можно применить к строкам длины 4, затем 5 и т.д.

Пример 5:

Рассматриваются 5 различных языков. Сколько словарей нужно иметь для непосредственного перевода с любого языка на любой?

Решение: 

Любой словарь задается строкой где — язык, с которого делается перевод, а — язык, на который переводят. Объект может быть выбран 5 способами; при каждом выборе объект может быть выбран 4 способами. По правилу произведения находим, что число различных словарей будет

Пример 6:

Сколько можно составить пятизначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры числа были различны?

Решение: 

Пятизначному числу с цифрами можно сопоставить строку При этом выбор цифры возможен 9 способами; если цифра выбрана, то для выбора имеется тоже 9 возможностей может быть любой из цифр 0, 1, 2, …, 9, отличной от , после выбора для цифры имеется снова 9 возможностей и т.д. Применяя правило произведения, находим, что искомое количество чисел есть

Пример 7:

Сколько различных подмножеств имеет множество состоящее из элементов?

Решение: 

Пусть — подмножество в Сопоставим этому подмножеству строку длиной — нечто вроде «шифра» подмножества А именно: положим равным 1 или 0, смотря по тому, входит или не входит элемент в подмножество положим равным 1 или 0, смотря по тому, входит или не входит и так далее. В результате каждому подмножеству будет соответствовать строка длины состоящая из единиц и нулей. И обратно, любая строка длины состоящая из единиц и нулей, однозначно определяет некоторое подмножество (например, в случае строка (0, 0, 0, 1, 1) определяет подмножество Но число различных строк

по правилу произведения равно Значит, число различных подмножеств множества будет также

Формула включения-исключения

Для любого конечного множества обозначим через число его элементов. Тогда для любых двух конечных множеств выполняется формула

Очевидно, что если не пересекаются, то Общий случай сводится к рассмотренному, поскольку (см. рис. Формула (1.8) обобщается на случай трех множеств, а именно

Графическая иллюстрация формулы (1.9) приведена ниже (рис. 1.4). Ее вывод мы предлагаем читателю.

Пример 8:

В группе из 30 студентов 20 студентов (множество изучают английский язык, 15 студентов — немецкий и

10 — французский. При этом 8 студентов изучают одновременно английский и немецкий, 5 студентов — английский и французский, 4 — французский и немецкий. Сколько студентов изучают все три языка?

Решение: 

Имеем По условию,

Применим формулу (1.9):

откуда видно, что искомое число равно 2.

Формула (1.9) по индукции легко обобщается на случай объединения любого числа множеств и в этом случае называется формулой включения-исключения.

Размещения

Пусть — множество, состоящее из элементов. Любой упорядоченный набор различных элементов множества называется размещением из элементов по

Для множества состоящего из трех элементов все размещения из двух элементов выглядят следующим образом:

Число размещений обозначается и вычисляется по формуле

Для вывода этой формулы применим правило произведения. Действительно, для выбора первого элемента у нас имеется возможностей, так как на первом месте может стоять любой элемент множества Фиксируя первый элемент, мы видим, что для выбора второго элемента у нас остается возможность, для выбора третьего при выбранных первых двух элементах возможности и т.д. Вид последнего множителя в формуле (1.10) обусловлен тем, что число множителей равно

Пример 9:

Найти число способов распределения первых трех призовых мест для восьми участников финального забега.

Решение: 

Всякий такой способ является размещением из восьми участников по три. Поэтому число способов вычисляется по формуле (1.10):

Перестановки

Пусть — множество, состоящее из элементов. Перестановкой элементов множества называется их расположение в каком-либо определенном порядке:

Иными словами, перестановка является размещением из элементов по Число различных перестановок обозначим Из формулы (1.10) следует, что справедлива формула (1.11)

Заметим, что произведение обозначается (читается факториал»). Итак,

Например, 5 человек могут выстроиться в очередь (скажем, к кассе кинотеатра) 5! = 1 • 2 • 3 • 4 5 = 120 способами.

С помощью факториала формулу (1.10) можно переписать следующим образом

Для доказательства достаточно умножить и разделить правую часть формулы (1.10) на Добавим к определению числа равенство которое примем по определению.

Сочетания. Число сочетаний. Пусть снова — множество, состоящее из элементов. Любое подмножество множества содержащее элементов, называется сочетанием элементов из при этом, разумеется,

Число различных сочетаний элементов из обозначается Одной из важнейших формул комбинаторики является следующая формула для числа

Ее можно преобразовать после очевидных сокращений следующим образом:

В частности,

это вполне согласуется с тем, что в множестве имеется только одно подмножество из 0 элементов -пустое подмножество.

Приведем доказательство формулы (1.13). Пусть — какое-либо подмножество множества содержащее элементов. Составив всевозможные перестановки из этих элементов, получим все размещения элементов длиной Если указанную операцию проделать с каждым подмножеством содержащим элементов, то получим все размещения из по число которых равно Получим формулу

откуда следует формула (1.14) или (1.13) в зависимости от того, какую формулу для числа размещений подставить: (1.10) или (1.12).

Числа обладают рядом замечательных свойств. Эти свойства, в конечном счете, выражают различные соотношения между подмножествами данного множества Их можно доказывать непосредственно, исходя из формулы (1.13), но более содержательными являются доказательства, опирающиеся на теоретико-множественные рассуждения. 1) Справедлива формула

вытекающая из (1.13) очевидным образом. Смысл формулы (1.15) состоит в том, что имеется взаимнооднозначное соответствие между множеством всех членных подмножеств из X и множеством всех членных подмножеств из чтобы установить это соответствие, достаточно каждому членному подмножеству сопоставить его дополнение во множестве

2) Справедлива формула

Поскольку сумма, стоящая в левой части, выражает собой число всех подмножеств множества есть число 0-членных подмножеств, число 1-членных подмножеств и т.д.), то для доказательства формулы (1.15) достаточно сослаться на уже известный читателю факт (см. пример 4 из пункта 1°): число различных подмножеств членного множества равно 2″ .

3) При любом справедливо равенство

Это равенство нетрудно получить с помощью формулы (1.13). В самом деле,

Вывод формулы (1.17), основанный на теоретико-множественных соображениях, мы предоставляем провести читателю. Укажем, что для этого следует выделить какой-то определенный элемент и все членные подмножества разбить на две группы: подмножества, содержащие и подмножества, не содержащие

4) Рассмотрим так называемый арифметический треугольник Паскаля.

Равенство (1.17) позволяет вычислять значения если известны Иными словами, с помощью этого равенства можно последовательно вычислять сначала при затем при и т.д. Вычисления удобно записывать в виде треугольной таблицы:

в строке которой по порядку стоят числа При этом крайние числа строки, т.е. равны 1, а остальные числа находятся по формуле (1.17). Поскольку располагаются в этой таблице строкой выше, чем число и находятся в этой строке слева и справа от него, то для получения числа надо сложить находящиеся слева и справа от него числа предыдущей строки. Например, число 10 в шестой строке мы получаем, сложив числа 4 и 6 пятой строки. Указанная таблица и есть как раз «арифметический треугольник Паскаля».

Пример 10:

Пусть два целых числа, причем Сколько существует различных строк длиной состоящих из букв с условием, что в каждой из этих строк буква встречается раз (и, следовательно, буква раз)?

Решение: 

Для примера приведем несколько строк с двумя буквами и тремя

Пусть — одна из строк указанного вида. Рассмотрим все номера такие, что Совокупность таких номеров является подмножеством множества состоящим из элементов. Обратно, если любое подмножество множества состоящее из элементов, то, положив для всех для всех получим строку требуемого вида. Значит, число указанных в задаче строк равно числу элементных подмножеств в элементном множестве т.е. равно числу

Бином Ньютона

Из школьного курса читателю известны формулы:

Обобщением этих формул является следующая формула, называемая обычно формулой бинома Ньютона:

В этой формуле может быть любым натуральным числом. Вывод формулы (1.18) несложен. Прежде всего, запишем:

где число перемножаемых скобок равно Из обычного правила умножения суммы на сумму вытекает, что выражение (1.19) равно сумме всевозможных произведений, которые можно составить следующим образом: любое слагаемое первой из сумм умножается на любое слагаемое второй суммы на любое слагаемое третьей суммы и т.д. Например, при имеем:

Из сказанного ясно, что слагаемым в выражении для соответствуют (взаимно однозначно) строки длиной составленные из букв Среди слагаемых будут встречаться подобные члены; очевидно, что таким членам соответствуют строки, содержащие одинаковое количество букв Но число строк, содержащих ровно раз букву равно (см. задачу в конце предыдущего пункта 4°). Значит, сумма всех членов, содержащих букву множителем ровно раз, равна Поскольку может принимать значения то из нашего рассуждения следует формула (1.18).

Используя знак суммирования, формулу (1.18) можно записать короче:

Хотя формулу (1.18) называют именем Ньютона, в действительности она была открыта еще до Ньютона (например, ее знал Паскаль). Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашел обобщение этой формулы на случай нецелых показателей.

Числа входящие в формулу (1.18), принято называть биномиальными коэффициентами. Из формулы (1.18) можно получить целый ряд свойств этих коэффициентов. Например, полагая получим: т.е. формулу (1.16). Если положить то будем иметь:

или

Некоторые примеры вычисления вероятностей

Мы рассмотрели классическое определение вероятности случайного события как отношение числа благоприятных исходов опыта к общему числу исходов — формулу (1.1)

В этом параграфе мы разберем ряд примеров непосредственного вычисления вероятности случайного события.

Пример 11:

В урне находятся 10 шаров: 4 белых и 6 черных. Из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что он окажется черным (событие

Решение: 

Представим себе, что шары снабжены номерами 1, 2,…, 10, причем черные шары получили номера 1, 2,…, 6.

Обозначим через где исход опыта: извлечение шара с номером Интересующему нас событию благоприятны исходы Значит, в данном случае

Пример 12:

Дважды бросается игральная кость. Какова вероятность того, что сумма очков при обоих бросаниях окажется больше 10 (событие

Решение: 

Через обозначим исход опыта, состоящий в том, что при первом бросании выпало очков, а при втором Тогда 36 событий

можно рассматривать как элементарные исходы опыта, заключающегося в двукратном бросании игральной кости. Действительно, при каждом осуществлении опыта наступает один и только один из этих исходов, а соображения «равноправия» (между гранями игральной кости, а также между первым

и вторым бросанием) позволяют считать указанные события равновозможными. Интересующему нас событию благоприятны исходы (остальные неблагоприятны). Отсюда имеем:

Пример 13:

В лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыши падают на 10 билетов. Некто

покупает три билета. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выиграет?

Решение: 

В данном случае опыт заключается в выборе наугад трех лотерейных билетов.

Перенумеруем все возможные тройки билетов. В качестве номеров будут фигурировать числа

Пусть — исход опыта, заключающийся в покупке тройки с номером Тогда события можно рассматривать как все исходы данного опыта.

Интересующее нас событие состоит в том, что хотя бы один из выбранных билетов оказался выигрышным. Благоприятными для являются такие группы из трех билетов, которые содержат хотя бы один выигрышный билет, неблагоприятными — такие, в которых ни на один билет не падает выигрыш. Число неблагоприятных групп равно следовательно, число благоприятных есть Отсюда

Полученное выражение приближенно равно:

Впрочем, выражение (1.20) нетрудно подсчитать точно. Такой подсчет дает Рассмотрим в связи с последним примером еще один пример.

Пример 14:

В условиях лотереи примера 1.10 выяснить, какое минимальное число билетов нужно купить, чтобы вероятность получения хотя бы одного выигрыша оказалась большей, чем 0,5.

Решение: 

Пусть покупаются билетов. Обозначим вероятность выигрыша хотя бы по одному из них через Понятно, что с ростом число будет возрастать. Наша цель — найти наименьшее значение при котором это число больше 0,5. Рассуждая, как в примере 1.10, получим:

Следовательно, должно выполнятся неравенство

Таким образом, для наших целей достаточно, чтобы выполнялось неравенство

или Логарифмируя по десятичному основанию и решая полученное неравенство, получим

Таким образом, искомое значение равно 7. Непосредственное вычисление вероятности по формуле (1.21) дает следующие значения:

Многие задачи на подсчет вероятностей можно свести к так называемой схеме случайного выбора. Рассмотрим два основных варианта этой схемы: выбор с возвращением и выбор без возвращения.

1) Выбор с возвращением. Представим себе, что в некотором ящике собрано различных предметов Из ящика наугад извлекается один из предметов, регистрируется, затем кладется обратно в ящик. Если осуществить таких извлечений, то получим некоторую строку длиной составленную из элементов множества Она называется выборкой с возвращением

объема из множества Число различных выборок объема согласно правилу произведения равно

Описанная процедура носит название случайного выбора с возвращением. Слово «случайный» в этом названии означает нечто большее, нежели просто тот факт, что состав выборки предсказать заранее невозможно. Мы условимся вкладывать в это слово следующий смысл: все выборок равно-возможны. Другими словами, опыт состоит из исходов, и вероятность появления любой конкретной выборки равна

К схеме случайного выбора с возвращением можно свести большое число опытов. Например, бросание монеты можно представить как случайный выбор одного элемента из множества {герб, цифра}. Вместо двукратного бросания игральной кости можно рассматривать случайный выбор с возвращением двух элементов из множества Выяснение дней рождения случайных прохожих можно заменить случайным выбором с возвращением элементов из множества и т.д.

2) Выбор без возвращения. В этом случае выбранный предмет не кладется обратно в ящик и следующее извлечение производится из меньшего числа предметов. После извлечений получаем строку длиной без повторений. Число таких строк, как следует из правила произведения, будет равно числу размещений из по

Случайный характер выбора понимается, как и выше, в том смысле, что опыт состоит из всех равновозможных выборок данной длины.

Пример 15:

Пусть из совокупности предметов извлекаются с возвращением предметов. Найти вероятность того, что все предметы, составляющие выборку, окажутся различными (событие

Решение: 

В данном случае число всех элементарных исходов опыта равно а число исходов, благоприятных для события равно Отсюда искомая вероятность

Остановимся на одном частном случае разобранного выше примера — так называемом парадоксе дня рождения.

Пример 16:

На лекции присутствует студентов. Какова вероятность того, что хотя бы у двух студентов дни рождения совпадают (событие

Решение: 

Как уже отмечалось, выяснение дней рождения у случайно собравшихся людей можно заменить выбором с возвращением элементов из множества Нам необходимо найти вероятность события — совпадения дней рождения у каких-либо двух студентов. Событие, противоположное заключается в том, что все дни рождения различны — выше это событие было обозначено Формула (1.22) при дает:

откуда следует:

Найденное нами выражение для зависит, естественно, от — числа студентов на лекции. Подсчитав для различных значений можно получить такую таблицу:

(все знаки после запятой, начиная с четвертого, отброшены). Из таблицы видно, что если в аудитории

находятся всего лишь 23 человека, то уже и тогда имеется более половины шансов на то, что, по крайней мере, у двух из них дни рождения совпадают!

Пример 17:

Монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что герб при этом выпадет ровно 3 раза (и, следовательно, цифра выпадет 7 раз)?

Решение: 

Десятикратное бросание монеты можно рассматривать как составление строки длиной 10 (с повторениями) из элементов множества Число всех строк такого рода равно Строк, в которых элемент встречается 3 раза, а входит 7 раз, будет Отсюда искомая вероятность

Пример 18:

Слово «карета», составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекают буквы одну за другой. Какова вероятность получить при таком извлечении слово «ракета»?

Решение: 

Здесь нет схемы случайного выбора в прежнем понимании, так как буквы, сложенные в коробке, не все различны (три одинаковые буквы «а»). Представим себе, что одинаковые буквы (в данном случае индивидуализированы с помощью знаков 1, 2, 3 (превратились в Следовательно,

Пример 19:

(задача о выборке). Партия готовых изделий содержит ровно изделий — стандартных и бракованных Из партии наудачу извлекают изделий. Какова вероятность того, что в выборке будет стандартных изделий и бракованных (где

Решение: 

Выбор изделий из возможен равновероятными способами. Подсчитаем, в скольких случаях будет получаться выборка, содержащая стандартных и бракованных. Число различных групп, состоящих из стандартных изделий, равно Число различных групп, состоящих из бракованных изделий, равно По правилу произведения число различных выборок, содержащих стандартных изделий и бракованных, будет Следовательно, вероятность получить выборку из стандартных изделий и бракованных равна