Как найти ось куба

Определение.

Куб (гексаедр) — это трехмерная фигура, которая состоит из шести динаковых квадратов так, что каждый квадрат полностью соприкасается своими четырьмя сторонами к сторонам остальных четырех квадратов под прямым углом. Куб является правильным многогранником, у которого грани образованы из квадратов. Также кубом можно назвать прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.

Определение. Грань куба — это часть плоскости, ограниченная сторонами квадрата.

Определение. Ребро куба — это отрезок, образованный пересечением двух граней куба.

Определение. Вершина куба — это самая отдаленная от центра куба точка, которая лежит на пересечения трех граней куба.

Определение. Ось куба (i) — это прямая, проходящая через центр куба и центры двух параллельных граней куба.

Определение. Диагональ куба (d₁) — отрезок, который соединяет противоположные вершины куба и проходит через центр куба.

Определение. Диагональ грани куба (d₂) -отрезок, который соединяет противоположные углы грани куба и проходит через центр грани куба.

Определение. Объём куба — это совокупность всех точек в пространстве, ограниченные гранями куба.

Определение. Площадь поверхности куба — это совокупность плоскостей всех граней.

Определение. Периметр куба — это совокупность длин всех ребер куба.

Свойства куба

Координаты вершин куба

Пересечение куба плоскостью

Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.

Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:

• многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;
• прямая призма, все грани которой есть квадраты;
• прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями.

Другое название – стороны.

Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть.

Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать.

Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.

Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.

Центр куба

Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.

Диагональ куба

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба — одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Перспективный рисунок куба

ЦЕЛЬ И ПОСТАНОВКА ЗАДАНИЯ. Чтобы научиться рисовать куб в перспективе, сначала изобразите куб в произвольном положении на основе горизонтального квадрата. Проанализируйте перспективные закономерности построения куба на примере вашего рисунка. Затем изобразите кубы в произвольном и заданном повороте, выше и ниже линии горизонта.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ

Приступая к работе над рисунком, продумайте композицию листа. На нем должны разместиться 7 – 8 кубов (рис. 3.2). В верхней части листа изображайте кубы, на которые вы смотрите снизу, в нижней части листа – кубы, на которые вы смотрите сверху -так, как будто примерно посередине листа проходит линия горизонта. При желании можно действительно провести ее на рисунке, тогда раскрытие квадратов в основании кубов будет задано более точно. Обозначьте на листе место и приблизительный размер каждого куба легкими линиями.

Наилучшее представление о геометрическом теле дает анализ его ортогональных проекций. Рассмотрите перспективный рисунок куба на рис. 3.3 и его ортогональные проекции на рис. 3.4. Перспектива куба строится на перспективе квадратов, его образующих. Чувство перспективы квадрата, а также куба, должно быть развито у архитектора особенно хорошо, так как квадрат и куб являются основными модулями площади и объема для других плоских и пространственных форм.

Для выполнения задания внимательно изучите схемы построения куба в угловой и фронтальной перспективах. Сначала изобразите куб ниже линии горизонта в угловой перспективе. Рисунок куба начните с горизонтального квадрата верхнего основания. Квадрат постройте на основе эллипса (рис. 3.5). Проведите из вершин квадрата вертикальные ребра куба и отложите на ближнем вертикальном ребре высоту куба. Она, примерно, равна большой оси эллипса, вписанного в квадрат основания куба. Определив высоту куба, последовательно достраивайте недостающие ребра, сводя параллельные линии в точки схода на горизонте. Эти построения лучше совершать в определенной последовательности – в той, которая позволит вам постоянно контролировать ход работы и своевременно исправлять замеченные ошибки. Сначала из полученной точки в нижнем основании куба проведите горизонтальное ребро, достроив до квадрата ту вертикальную грань, которая имеет большее раскрытие (рис. 3.6). Визуально проверьте правильность этого квадрата и, если это необходимо, исправьте его, увеличив или уменьшив выбранную высоту куба. Направление второго горизонтального ребра легко определить, продлив его линию на рисунке и проверив, насколько она сходится в перспективе с горизонтальными ребрами верхнего основания куба (рис. 3.7). Третье ребро также проведите, ориентируясь на уже существующие линии параллельного направления (рис. 3.8). Последнее ребро нижнего основания соединяет две вершины, место которых на рисунке уже определено предыдущим построением (рис. 3.9). Изображенный куб должен выглядеть убедительно и правдиво – каждая его грань, вне зависимости от того, видим мы ее или нет, должна по ощущению быть похожа именно на квадрат. Проверьте это визуально, а затем графически, вписав в видимые нам вертикальные грани куба окружности (рис. 3.10).

Закончив рисунок, еще раз проанализируйте закономерности раскрытия граней куба и перспективных сокращений его ребер:

• горизонтальные параллельные линии, на которых лежат ребра куба, равномерно сходятся в точки схода на линии горизонта, а вертикальные ребра куба сохраняют на листе свое вертикальное направление (рис. 3.11);

• те горизонтальные ребра, что идут в точку схода, расположенную ближе к кубу, сходятся быстрее, чем те, что идут в точку схода, расположенную дальше (рис. 3.12);

• те ребра, которые расположены ближе к зрителю, на рисунке имеют больший размер по сравнению с ребрами, которые расположены дальше. Заметьте, что подобным образом можно сравнивать только те ребра, которые лежат на параллельных прямых. Так, например, из четырех вертикальных ребер куба наибольший размер имеет ближнее к нам ребро, а по мере удаления от зрителя размер ребер на рисунке уменьшается (рис. 3.13);

• верхняя горизонтальная грань куба, расположенная ближе к линии горизонта, раскрыта меньше, чем нижняя горизонтальная грань (рис. 3.14). Из двух параллельных вертикальных граней больше раскрыта та грань, которая расположена дальше от зрителя (рис. 3.15 и 3.16);

• из двух видимых вертикальных граней куба больше раскрыта та грань, точки схода горизонтальных ребер которой находятся дальше от куба, таким образом, больший угол при основании а соответствует менее раскрытой вертикальной грани куба, меньший угол р – более раскрытой грани (рис. 3.17);

• параллельные диагонали, проведенные в горизонтальных гранях куба, сходятся на линии горизонта (рис. 3.18).

Если вы обнаружили ошибки в своем рисунке, исправьте их. В следующих кубах старайтесь отслеживать перспективные закономерности в процессе рисунка, а не в конце, когда построение уже закончено.

На рисунке куба во фронтальной перспективе фронтальные грани куба изображаются как квадраты различного размера – в зависимости от того, ближе или дальше от зрителя они расположены. Ребра, ограничивающие фронтальные грани, имеют вертикальное и горизонтальное направления. Горизонтальные ребра куба, уходящие от зрителя, сходятся в точке схода на линии горизонта. Сначала изобразите верхнее основание куба – горизонтальный квадрат во фронтальной перспективе на основе эллипса (рис. 3.19). Опустите из вершин основания вертикальные ребра куба и достройте до квадрата переднюю вертикальную грань (рис. 3.20). Из нижних точек фронтальной грани проведите прямые в точку схода на линии горизонта. Точки пересечения этих прямых с дальними вертикальными ребрами определят на вашем рисунке размеры остальных граней куба (рис. 3.21). Завершите рисунок, вписав окружности во фронтальные грани куба (рис. 3.22).

Для того, чтобы нарисовать куб в определенном повороте, сначала необходимо изобразить в соответствующем повороте его горизонтальное основание. Вы можете самостоятельно задать этот поворот, определяя его как отношение проекций боковых граней куба на горизонтальную прямую (рис. 3.23). Выберите простые отношения – 1:2, 1:3, 1:4. Изображая куб в заданном положении, сначала, как обычно, изобразите эллипс, а затем опишите вокруг него квадрат, добиваясь заданного положения квадрата путем последовательных приближений. На основе квадрата постройте куб.

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:

Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).

рисуем куб

Все окружающие нас вещи, которые мы хотели бы нарисовать, какими бы сложными по форме они нам не казались, всегда можно схематически представить с помощью простых геометрических фигур, таких как куб, цилиндр, шар. Поэтому, нужно понять, как правильно рисовать эти простейшие фигуры, и потом в рисовании более сложных фигур у вас будет гораздо меньше сложностей.

Для начала нужно построить куб. Чтобы понять, как будут изменяться пропорции куба в перспективе, рассмотрим рисунок, на котором изображен непрозрачный и прозрачный куб. Точка F на рисунке – точка схода.

Тут показано фронтальное положение куба в трех возможных случаях:

1) когда линия горизонта пересекает куб – значит, мы смотрим на прямо куб, находящийся на уровне наших глаз;

2) когда куб находится ниже линии горизонта – мы смотрим на куб прямо и немного сверху и

3) когда куб находится над линией горизонта – мы смотрим прямо и снизу. Вот всех этих случаях вся передняя грань куба находится на одинаковом расстоянии от наших глаз, поэтому она не изменится в перспективе. Чтобы построить куб во всех этих положениях, достаточно построить переднюю грань, провести линии из четырех углов в точку схода, отложить на этих линиях верхние и нижние ребра и соединить их между собой.

На рисунке 1 видно, что когда куб расположен на линии горизонта, его передние боковые ребра не подвергаются перспективным изменениям, а задние ребра кажутся короче передних, из-за этого верхние и нижние ребра, уходящие в глубину, кажутся не параллельными, и продлив их до линии горизонта, мы получим точку схода.

Если куб поставить ниже или выше линии горизонта (рис 2 и 3), то ребра, уходящие в глубину, поднимутся вверх или, соответственно, опустятся вниз, сходясь на линии горизонта.

Возможны еще случаи, когда линия горизонта проходит через верхнюю или нижнюю грани куба, такие положения построить тоже достаточно легко. Теперь рассмотрим вариант, если куб развернут к нам одним из своих боковых ребер, так же в трех положениях: на линии горизонта, ниже и выше линии горизонта. В этом случае точек схода будет две.

В первом случае, нам будут видны только две грани, расположенные под углом. Ближе всего к зрителю будет находиться переднее боковое ребро, и только оно не подвергнется перспективным сокращениям. Из углов куба проводим вправо и влево прямые, сходящиеся на линии горизонта, на них будут лежать верхние и нижние ребра куба.

Если поставить куб выше или ниже линии горизонта, то нам будет видна верхняя или нижняя грань. В этом упражнении мы будем рисовать куб, развернутый к нам одним из боковых ребер, расположенный ниже линии горизонта.

Вам нужно будет нарисовать линейный рисунок прозрачного куба, прорисовывая задние ребра. Во время рисования можно использовать линейку. Если вы выполняли упражнения на развитие моторики кисти, то, скорее всего, у вас вполне получится сделать это и без линейки, во всяком случае, хотя бы попробуйте. Вполне можно наметить все линии от руки, а потом нарисовать окончательный контур с помощью линейки. Пусть размен нашего куба будет 5х5 см. Наверняка вам придется вытирать черновые линии, поэтому возьмите лист ватмана. Карандаш подойдет любой от Н до 2В.

Начните с переднего бокового ребра, которое мы видим без перспективных искажений, и только это ребро будет иметь реальный размер 5 см. На уровне нижнего угла ребра проведите вспомогательную горизонтальную прямую, потом ее можно будет вытереть, она нужна нам, чтобы определить углы, под которыми мы будем строить боковые грани куба. Если они равны, обе боковые грани мы видим одинаково, но в нашем варианте это разные углы.

Чем больше угол, тем меньше открыта соответствующая боковая грань. Определившись с углами, проведите прямые, содержащие горизонтальные ребра. Для тренировки глазомера на листе бумаги желательно не располагать точки схода, и если вы разместите ваш рисунок на вертикально развернутом листе, то они просто не поместятся, главное, чтобы из рисунка было понятно, что эти прямые сойдутся, Но вполне можно довести прямые до точек схода и указать их на линии горизонта, так нарисовать куб будет проще. Теперь, помня о том ,что исходя из законов перспективы, чем дальше от нас что-то тем оно меньше, откладываем на прямых нижние и верхнее горизонтальные ребра.

Здесь можно проверить себя с помощью линейки. Все ребра, кроме переднего бокового должны быть меньше 5 см. Например, дальнее ребро, будет меньше противоположному ему ближнему, так как более удалено от зрителя.

После того, как куб будет построен, попробуйте придать линиям разную толщину, чтобы подчеркнуть этим перспективу. Самым тонким будет дальнее вертикальное ребро, а самым толстым – ближнее. На горизонтальных ребрах нужно сделать плавный переход от более тонкого (дальнего) угла к более толстому (ближнему). Так будет выглядеть ваш куб.

Градации светотени. Тоновый рисунок куба

Теперь, зная, как правильно построить куб, мы будем разбираться, как его нарисовать тоном. Чтобы правильно нарисовать даже простейшие геометрические фигуры, нам понадобится немного теории. Мы видим предметы, если они освещены. Лучи света по-разному попадают на разные участки поверхности предметов и вы видим его форму, сам предмет закрывает собой доступ для лучей света на какую-нибудь поверхность и образуется падающая тень. Светотеневые участки на любом предмете можно представить в виде нескольких градаций:

Свет – это участок поверхности предмета, получающий наибольший поток прямых лучей света.

Полутон – участок поверхности предмета, освещенных скользящими лучами света. Полутон делится на полутон света и полутон тени.

Тень (собственная тень) – участок поверхности предмета, куда прямые и скользящие лучи света не попадают. Это самый темный участок на поверхности предмета. Блик – бывает на блестящих или лакированных поверхностях, чаще всего на территории света.

Рефлекс – участок теневой поверхности предмета, получающий поток отраженных лучей света от окружающих предметов или от поверхности, на которой предмет расположен.

Цвет рефлекса зависит от цвета окружающих предметов, а яркость или светлота зависит от характера поверхности предмета: на блестящих объектах рефлексы более светлые и ярче выражены, чем на матовых. Падающая тень – это тень, отбрасываемая объектом на какую-нибудь поверхность. Падающая тень темнее, чем собственная, а наиболее темный участок падающей тени ближе всего к источнику света. Позже я сделаю дополнение к этому уроку о том, как правильно построить падающую тень. Источников света может быть несколько, мы рассмотрим вариант с одним источником света, расположенным вверху слева относительно объекта.

На стыках по-разному освещенных граней можно наблюдать так называемый краевой контраст. На границе светлого и темного светлое кажется светлее, а темное – темнее.

Для того, чтобы выполнить это упражнение, вам потребуется настольная лампа и гипсовый куб. Гипсовые геометрический фигуры продаются в магазинах для художников, но в домашних условиях вполне можно обойтись, сделав, например, бумажный кубик, вырезанный из белого листа ватмана или картона по такой схеме:

После того, как вы сделаете куб из бумаги, поставьте его на ровную горизонтальную поверхность справа от настольной лампы так, чтобы свет от нее был направлен на куб немного сверху и слева. Желательно, чтобы поверхность стола и фон сзади куба были однотонными, чтобы не отвлекать ваше внимание. Рассмотрите куб в различных положениях, о которых мы говорили в первой части этого урока, И подробнее остановимся на том положении, которой нам предстоит нарисовать. Обратите внимание, как распределяются светотеневые участки на гранях, как ведет себя падающая тень, если приближать или удалять куб от источника света, постарайтесь увидеть краевой контраст и рефлекс.

Дальше можно выполнять это упражнение по-разному. Более простой вариант – снова начертить линейный куб и раскрасить его тоном, а более сложный – сделать рисунок куба с натуры. При рисовании с натуры тоже начинаем с переднего бокового ребра, строим сходящиеся линии, необязательно доводить их до точки схода. После определяем углы. Можно применять визирование, этот метод помогает определять углы и расстояния. Прищурив один глаз, держа на вытянутой руке карандаш, используют его, для измерения. Например, замерив одну из граней куба карандашом, смотрим, на сколько процентов или частей другая грань больше или меньше. Чтобы измерить углы, держим карандаш горизонтально на вытянутой руке как бы образуя им вспомогательную линию, параллельную линии горизонта и проходящую через нижний угол передней грани куба.

При визировании обязательно рука всегда должна быть вытянутой, иначе все время будут получаться разные результаты. Визирование тормозит развитие глазомера, поэтому не стоит им пользоваться постоянно.

Старайтесь штриховать параллельно ребрам куба, плотно и аккуратно. В результате у вас получится примерно такой куб как на рисунке выше или ниже.