Как найти определенный интеграл методом трапеций

Вычисление определённых интегралов: базовые алгоритмы

В этой публикации описаны простейшие методы вычисления интегралов функций от одной переменной на отрезке, также называемые квадратурными формулами. Обычно эти методы реализованы в стандартных математических библиотеках, таких как GNU Scientific Library для C, SciPy для Python и других. Публикация имеет целью продемонстрировать, как эти методы работают «под капотом», и обратить внимание на некоторые вопросы точности и производительности алгоритмов. Также хотелось бы отметить связь квадратурных формул и методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, о которых хочу написать ещё одну публикацию.

Определение интеграла

Интегралом (по Риману) от функции на отрезке называется следующий предел:

где — мелкость разбиения, , , — произвольное число на отрезке .

Если интеграл от функции существует, то значение предела одно и то же вне зависимости от разбиения, лишь бы оно было достаточно мелким.

Более наглядно геометрическое определение — интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью 0x, графиком функции и прямыми x = a и x = b (закрашенная область на рисунке).

Квадратурные формулы

Определение интеграла (1) можно переписать в виде

где — весовые коэффициенты, сумма которых должна быть равна 1, а сами коэффициенты — стремиться к нулю при увеличении числа точек, в которых вычисляется функция.

Выражение (2) — основа всех квадратурных формул (т.е. формул для приближенного вычисления интеграла). Задача состоит в том, чтобы выбрать точки и веса таким образом, чтобы сумма в правой части приближала требуемый интеграл как можно точнее.

Вычислительная задача

Задана функция , для которой есть алгоритм вычисления значений в любой точке отрезка (имеются в виду точки, представимые числом с плавающей точкой — никаких там функций Дирихле!).

Требуется найти приближённое значение интеграла .
Решения будут реализованы на языке Python 3.6.

Для проверки методов используется интеграл .

Кусочно-постоянная аппроксимация

Идейно простейшие квадратурные формулы возникают из применения выражения (1) «в лоб»:

Т.к. от метода разбиения отрезка точками и выбора точек значение предела не зависит, то выберем их так, чтобы они удобно вычислялись — например, разбиение возьмём равномерным, а для точек вычисления функции рассмотрим варианты: 1) ; 2) ; 3) .

Получаем методы левых прямоугольников, правых прямоугольников и прямоугольников со средней точкой, соответственно.

def _rectangle_rule(func, a, b, nseg, frac):
    """Обобщённое правило прямоугольников."""
    dx = 1.0 * (b - a) / nseg
    sum = 0.0
    xstart = a + frac * dx # 0 <= frac <= 1 задаёт долю смещения точки, 
                           # в которой вычисляется функция,
                           # от левого края отрезка dx
    for i in range(npoints):
        sum += func(xstart + i * dx)

    return sum * dx

def left_rectangle_rule(func, a, b, nseg):
    """Правило левых прямоугольников"""
    return _rectangle_rule(func, a, b, nseg, 0.0)

def right_rectangle_rule(func, a, b, nseg):
    """Правило правых прямоугольников"""
    return _rectangle_rule(func, a, b, npoints, 1.0)

def midpoint_rectangle_rule(func, a, b, nseg):
    """Правило прямоугольников со средней точкой"""
    return _rectangle_rule(func, a, b, nseg, 0.5)

Для анализа производительности квадратурных формул построим график погрешности в координатах «число точек — отличие численного результата от точного».

Что можно заметить:

1. Формула со средней точкой гораздо точнее, чем с правой или левой точками
2. Погрешность формулы со средней точкой падает быстрее, чем у двух остальных
3. При очень мелком разбиении погрешность формулы со средней точкой начинает возрастать
   Первые два пункта связаны с тем, что формула прямоугольников со средней точкой имеет второй порядок аппроксимации, т.е. , а формулы правых и левых прямоугольников — первый порядок, т.е. .
   Возрастание погрешности при измельчении шага интегрирования связано с нарастанием погрешности округления при суммировании большого числа слагаемых. Эта ошибка растёт как , что не даёт при интегрировании достигнуть машинной точности.
   Вывод: методы прямоугольников с правой и левой точками имеют низкую точность, которая к тому же медленно растёт с измельчением разбиения. Поэтому они имеют смысл разве что в демонстрационных целях. Метод прямоугольников со средней точкой имеет более высокий порядок аппроксимации, что даёт ему шансы на использование в реальных приложениях (об этом чуть ниже).

Кусочно-линейная аппроксимация

Следующий логический шаг — аппроксимировать интегрируемую функцию на каждом из подотрезков линейной функцией, что даёт квадратурную формулу трапеций:

Иллюстрация метода трапеций для n=1 и n=2.

В случае равномерной сетки длины всех отрезков разбиения равны, и формула имеет вид

def trapezoid_rule(func, a, b, nseg):
    """Правило трапеций
       nseg - число отрезков, на которые разбивается [a;b]"""
    dx = 1.0 * (b - a) / nseg
    sum = 0.5 * (func(a) + func(b))
    for i in range(1, nseg):
        sum += func(a + i * dx)

    return sum * dx

Построив график ошибки от числа точек разбиения, убеждаемся, что метод трапеций тоже имеет второй порядок аппроксимации и вообще даёт результаты, слабо отличающиеся от метода прямоугольников со средней точкой (в дальнейшем — просто метод прямоугольников).

Контроль точности вычисления

Задание в качестве входного параметра числа точек разбиения не слишком практично, поскольку обычно требуется вычислить интеграл не с заданной плотностью разбиения, а с заданной погрешностью. Если подынтегральная функция известна наперёд, то можно оценить погрешность заранее и выбрать такой шаг интегрирования, чтобы заданная точность заведомо достигалась. Но так редко бывает на практике (и вообще, не проще ли при известной наперёд функции и сам интеграл протабулировать наперёд?), поэтому необходима процедура автоматической подстройки шага под заданную погрешность.

Как это реализовать? Один из простых методов оценки погрешности — правило Рунге — разность значений интегралов, рассчитанных по n и 2n точкам, даёт оценку погрешности: . Метод трапеций удобнее для удвоения мелкости разбиения, чем метод прямоугольников с центральной точкой. При расчёте методом трапеций для удвоения числа точек нужны новые значения функции только в серединах отрезков предыдущего разбиения, т.е. предыдущее приближение интеграла можно использовать для вычисления следующего.

Отсюда получаем следующий код для метода трапеций с контролем точности:

def trapezoid_rule(func, a, b, rtol = 1e-8, nseg0 = 1):
    """Правило трапеций
       rtol - желаемая относительная точность вычислений
       nseg0 - начальное число отрезков разбиения"""
    nseg = nseg0
    old_ans = 0.0
    dx = 1.0 * (b - a) / nseg
    ans = 0.5 * (func(a) + func(b))
    for i in range(1, nseg):
        ans += func(a + i * dx)

    ans *= dx
    err_est = max(1, abs(ans))
    while (err_est > abs(rtol * ans)):
        old_ans = ans
        ans = 0.5 * (ans + midpoint_rectangle_rule(func, a, b, nseg)) # новые точки для уточнения интеграла
                                                                      # добавляются ровно в середины предыдущих отрезков
        nseg *= 2
        err_est = abs(ans - old_ans)

    return ans

С таким подходом подынтегральная функция не будет вычисляться по нескольку раз в одной точке, и все вычисленные значения используются для окончательного результата.

Но нельзя ли при том же количестве вычислений функции добиться более высокой точности? Оказывается, что можно, есть формулы, работающие точнее метода трапеций на той же самой сетке.

Кусочно-параболическая аппроксимация

Следующим шагом аппроксимируем функцию элементами парабол. Для этого требуется, чтобы число отрезков разбиения было чётным, тогда параболы могут быть проведены через тройки точек с абсциссами {(x₀=a, x₁, x₂), (x₂, x₃, x₄), …, (x_n-2, x_n-1, x_n=b)}.

Иллюстрация кусочно-параболического приближения на 3 и 5 точках (n=2 и n=3).

Приближая интеграл от функции на каждом из отрезков [x_k;x_k+2] интегралом от параболической аппроксимации на этом отрезке и считая точки равномерно распределенными (x_k+1=x_k+h), получаем формулу Симпсона:

Из формулы (4) напрямую получается «наивная» реализация метода Симпсона:

def simpson_rule(func, a, b, nseg):
    """Правило трапеций
       nseg - число отрезков, на которые разбивается [a;b]"""
    if nseg%2 = 1:
        nseg += 1
    dx = 1.0 * (b - a) / nseg
    sum = (func(a) + 4 * func(a + dx) + func(b))
    for i in range(1, nseg / 2):
        sum += 2 * func(a + (2 * i) * dx) + 4 * func(a + (2 * i + 1) * dx)

    return sum * dx / 3

Для оценки погрешности можно использовать точно так же вычисление интеграла с шагами h и h/2 — но вот незадача, при вычислении интеграла с более мелким шагом результат предыдущего вычисления придётся отбросить, хотя половина новых вычислений функции будет в тех же точках, что и раньше.

Бесполезной траты машинного времени, к счастью, можно избежать, если реализовать метод Симпсона более хитроумным образом. Присмотревшись повнимательнее, заметим, что интеграл по формуле Симпсона может быть представлен через два интеграла по формуле трапеций с разными шагами. Яснее всего это видно на базовом случае аппроксимации интеграла по трём точкам :

Таким образом, если реализовать процедуру уменьшения шага вдвое и хранить два последних вычисления методом трапеций, метод Симпсона с контролем точности реализуется более эффективно.

class Quadrature:
    """Базовые определения для квадратурных формул"""
    __sum = 0.0
    __nseg = 1  # число отрезков разбиения
    __ncalls = 0 # считает число вызовов интегрируемой функции

    def __restart(func, x0, x1, nseg0, reset_calls = True):
        """Обнуление всех счётчиков и аккумуляторов.
           Возвращает интеграл методом трапеций на начальном разбиении"""
        if reset_calls:
            Quadrature.__ncalls = 0
        Quadrature.__nseg = nseg0
        # вычисление суммы для метода трапеций с начальным числом отрезков разбиения nseg0
        Quadrature.__sum = 0.5 * (func(x0) + func(x1))
        dx = 1.0 * (x1 - x0) / nseg0
        for i in range(1, nseg0):
            Quadrature.__sum += func(x0 + i * dx)

        Quadrature.__ncalls += 1 + nseg0
        return Quadrature.__sum * dx

    def __double_nseg(func, x0, x1):
        """Вдвое измельчает разбиение.
           Возвращает интеграл методом трапеций на новом разбиении"""
        nseg = Quadrature.__nseg
        dx = (x1 - x0) / nseg
        x = x0 + 0.5 * dx
        i = 0
        AddedSum = 0.0
        for i in range(nseg):
            AddedSum += func(x + i * dx)

        Quadrature.__sum += AddedSum
        Quadrature.__nseg *= 2
        Quadrature.__ncalls += nseg
        return Quadrature.__sum * 0.5 * dx

    def trapezoid(func, x0, x1, rtol = 1e-10, nseg0 = 1):
        """Интегрирование методом трапеций с заданной точностью.
           rtol - относительная точность,
           nseg0 - число отрезков начального разбиения"""
        ans = Quadrature.__restart(func, x0, x1, nseg0)
        old_ans = 0.0
        err_est = max(1, abs(ans))
        while (err_est > abs(rtol * ans)):
            old_ans = ans
            ans = Quadrature.__double_nseg(func, x0, x1)
            err_est = abs(old_ans - ans)

        print("Total function calls: " + str(Quadrature.__ncalls))
        return ans

    def simpson(func, x0, x1, rtol = 1.0e-10, nseg0 = 1):
        """Интегрирование методом парабол с заданной точностью.
           rtol - относительная точность,
           nseg0 - число отрезков начального разбиения"""
        old_trapez_sum = Quadrature.__restart(func, x0, x1, nseg0)
        new_trapez_sum = Quadrature.__double_nseg(func, x0, x1)
        ans = (4 * new_trapez_sum - old_trapez_sum) / 3
        old_ans = 0.0
        err_est = max(1, abs(ans))
        while (err_est > abs(rtol * ans)):
            old_ans = ans
            old_trapez_sum = new_trapez_sum
            new_trapez_sum = Quadrature.__double_nseg(func, x0, x1)
            ans = (4 * new_trapez_sum - old_trapez_sum) / 3
            err_est = abs(old_ans - ans)

        print("Total function calls: " + str(Quadrature.__ncalls))
        return ans

Сравним эффективность метода трапеций и парабол:

>>> import math
>>> Quadrature.trapezoid(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1 / 16), 0, 1.5, rtol=1e-9)
Total function calls: 65537
4.250000001385811
>>> Quadrature.simpson(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1 / 16), 0, 1.5, rtol=1e-9)
Total function calls: 2049
4.2500000000490985

Как видим, обоими методами ответ можно получть с достаточно высокой точностью, но количество вызовов подынтегральной функции разительно отличается — метод более высокого порядка эффективнее в 32 раза!

Построив график погрешности интегрирования от числа шагов, можно убедиться, что порядок аппроксимации формулы Симпсона равен четырём, т.е. ошибка численного интегрирования (а интегралы от кубических многочленов с помощью этой формулы вычисляются с точностью до ошибок округления при любом чётном n>0!).

Отсюда и возникает такой рост эффективности по сравнению с простой формулой трапеций.

Что дальше?

Дальнейшая логика повышения точности квадратурных формул, в целом, понятна — если функцию продолжать приближать многочленами всё более высокой степени, то и интеграл от этих многочленов будет всё точнее приближать интеграл от исходной функции. Этот подход называется построением квадратурных формул Ньютона-Котеса. Известны формулы вплоть до 8 порядка аппроксимации, но выше среди весовых коэффициентов w_i в (2) появляются знакопеременные члены, и формулы при вычислениях теряют устойчивость.

Попробуем пойти другим путём. Ошибка квадратурной формулы представляется в виде ряда по степеням шага интегрирования h. Замечательное свойство метода трапеций (и прямоугольников со средней точкой!) в том, что для неё этот ряд состоит только из чётных степеней:

На нахождении последовательных приближений к этому разложению основана экстраполяция Ричардсона: вместо того, чтобы приближать подынтегральную функцию многочленом, по рассчитанным приближениям интеграла строится полиномиальная аппроксимация, которая при h=0 должна давать наилучшее приближение к истинному значению интеграла.

Разложение ошибки интегрирования по чётным степеням шага разбиения резко ускоряет сходимость экстраполяции, т.к. для аппроксимации порядка 2n нужно всего n значений интеграла методом трапеций.

Если считать, что каждое последующее слагаемое меньше предыдущего, то можно последовательно исключать степени h, имея приближения интеграла, рассчитанные с разными шагами. Поскольку приведённая реализация легко позволяет дробить разбиение вдвое, удобно рассматривать формулы для шагов h и h/2.

Легко показать, что исключение старшего члена погрешности формулы трапеций в точности даст формулу Симпсона:

Повторяя аналогичную процедуру для формулы Симпсона, получаем:

Если продолжить, вырисовывается такая таблица:

В первом столбце стоят интегралы, вычисленные методом трапеций. При переходе от верхней строки вниз разбиение отрезка становится вдвое мельче, а при переходе от левого столбца вправо повышается порядок аппроксимации интеграла (т.е. во втором столбце находятся интегралы по методу Симпсона и т.д.).

Элементы таблицы, как можно вывести из разложения (5), связаны рекуррентным соотношением:

Погрешность приближения интеграла можно оценить по разности формул разных порядков в одной строке, т.е.

Применение экстраполяции Ричардсона вместе с интегрированием методом трапеций называется методом Ромберга. Если метод Симпсона учитывает два предыдущих значения по методу трапеций, то метод Ромберга использует все ранее вычисленные методом трапеций значения для получения более точной оценки интеграла.

class Quadrature:
    """Базовые определения для квадратурных формул"""
    __sum = 0.0
    __nseg = 1  # число отрезков разбиения
    __ncalls = 0 # считает число вызовов интегрируемой функции

    def __restart(func, x0, x1, nseg0, reset_calls = True):
        """Обнуление всех счётчиков и аккумуляторов.
           Возвращает интеграл методом трапеций на начальном разбиении"""
        if reset_calls:
            Quadrature.__ncalls = 0
        Quadrature.__nseg = nseg0
        # вычисление суммы для метода трапеций с начальным разбиением на nseg0 отрезков
        Quadrature.__sum = 0.5 * (func(x0) + func(x1))
        dx = 1.0 * (x1 - x0) / nseg0
        for i in range(1, nseg0):
            Quadrature.__sum += func(x0 + i * dx)

        Quadrature.__ncalls += 1 + nseg0
        return Quadrature.__sum * dx

    def __double_nseg(func, x0, x1):
        """Вдвое измельчает разбиение.
           Возвращает интеграл методом трапеций на новом разбиении"""
        nseg = Quadrature.__nseg
        dx = (x1 - x0) / nseg
        x = x0 + 0.5 * dx
        i = 0
        AddedSum = 0.0
        for i in range(nseg):
            AddedSum += func(x + i * dx)

        Quadrature.__sum += AddedSum
        Quadrature.__nseg *= 2
        Quadrature.__ncalls += nseg
        return Quadrature.__sum * 0.5 * dx

    def romberg(func, x0, x1, rtol = 1e-10, nseg0 = 1, maxcol = 5, reset_calls = True):
        """Интегрирование методом Ромберга
           nseg0 - начальное число отрезков разбиения
           maxcol - максимальный столбец таблицы"""
        # инициализация таблицы
        Itable = [[Quadrature.__restart(func, x0, x1, nseg0, reset_calls)]]
        i = 0
        maxcol = max(0, maxcol)
        ans = Itable[i][i]
        error_est = max(1, abs(ans))
        while (error_est > abs(rtol * ans)):
            old_ans = ans
            i += 1
            d = 4.0
            ans_col = min(i, maxcol)
            Itable.append([Quadrature.__double_nseg(func, x0, x1)] * (ans_col + 1))
            for j in range(0, ans_col):
                diff = Itable[i][j] - Itable[i - 1][j]
                Itable[i][j + 1] = Itable[i][j] + diff / (d - 1.0)
                d *= 4.0

            ans = Itable[i][ans_col]
            if (maxcol <= 1): # методы трапеций и парабол обрабатываются отдельно
                error_est = abs(ans - Itable[i - 1][-1])
            elif (i > maxcol):
                error_est = abs(ans - Itable[i][min(i - maxcol - 1, maxcol - 1)])
            else:
                error_est = abs(ans - Itable[i - 1][i - 1])

        print("Total function calls: " + str(Quadrature.__ncalls))
        return ans

Проверим, как работает аппроксимация высокого порядка:

>>> Quadrature.romberg(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1/16), 0, 1.5, rtol=1e-9, maxcol = 0) # трапеции
Total function calls: 65537
4.250000001385811
>>> Quadrature.romberg(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1/16), 0, 1.5, rtol=1e-9, maxcol = 1) # параболы
Total function calls: 2049
4.2500000000490985
>>> Quadrature.romberg(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1/16), 0, 1.5, rtol=1e-9, maxcol = 4)
Total function calls: 257
4.250000001644076

Убеждаемся, что, по сравнению с методом парабол, число вызовов подынтегральной функции снизилось ещё в 8 раз. При дальнейшем увеличении требуемой точности преимущества метода Ромберга проявляются ещё заметнее:

Некоторые замечания

Замечание 1. Количество вызовов функции в этих задачах характеризует число суммирований при вычислении интеграла. Уменьшение числа вычислений подынтегрального выражения не только экономит вычислительные ресурсы (хотя при более оптимизированной реализации и это тоже), но и уменьшает влияние погрешностей округления на результат. Так, при попытке вычислить интеграл тестовой функции метод трапеций зависает при попытке достигнуть относительной точности 5×10^-15, метод парабол — при желаемой точности 2×10^-16(что является пределом для чисел в двойной точности), а метод Ромберга справляется с вычислением тестового интеграла вплоть до машинной точности (с ошибкой в младшем бите). То есть, повышается не только точность интегрирования при заданном числе вызовов функции, но и предельно достижимая точность вычисления интеграла.

Замечание 2. Если метод сходится при задании некоторой точности, это не означает, что вычисленное значение интеграла имеет ту же самую точность. В первую очередь, это относится к случаям, когда задаваемая погрешность близка к машинной точности.

Замечание 3. Хотя метод Ромберга для ряда функций работает почти магическим образом, он предполагает наличие у подынтегральной функции ограниченных производных высоких порядков. Это значит, что для функций с изломами или разрывами он может оказаться хуже простых методов. Например, проинтегрируем f(x)=|x|:

>>> Quadrature.trapezoid(abs, -1, 3, rtol=1e-5)
Total function calls: 9
5.0
>>> Quadrature.simpson(abs, -1, 3, rtol=1e-5)
Total function calls: 17
5.0
>>> Quadrature.romberg(abs, -1, 3, rtol=1e-5, maxcol = 2)
Total function calls: 17
5.0
>>> Quadrature.romberg(abs, -1, 3, rtol=1e-5, maxcol = 3)
Total function calls: 33
5.0
>>> Quadrature.romberg(abs, -1, 3, rtol=1e-5, maxcol = 4)
Total function calls: 33
5.000001383269357

Замечание 4. Может показаться, что чем выше порядок аппроксимации, тем лучше. На самом деле, лучше ограничить число столбцов таблицы Ромберга на уровне 4-6. Чтобы понять это, посмотрим на формулу (6). Второе слагаемое представляет собой разность двух последовательных элементов j-1-го столбца, поделенную на примерно 4^j. Т.к. в j-1-м столбце находятся аппроксимации интеграла порядка 2j, то сама разность имеет порядок (1/n_i)^2j ~ 4^—ij. C учётом деления получается ~4^-(i+1)j ~ 4^—j2. Т.е. при j~7 второе слагаемое в (6) теряет точность после приведения порядков при сложении чисел с плавающей точкой, и повышение порядка аппроксимации может вести к накоплению ошибки округления.

Замечание 5. Желающие могут ради интереса применить описанные методы для нахождения интеграла и эквивалентного ему . Как говорится, почувствуйте разницу.

Заключение

Представлено описание и реализация базовых методов численного интегрирования функций на равномерной сетке. Продемонстрировано, как с помощью несложной модификации получить на базе метода трапеций класс квадратурных формул по методу Ромберга, что значительно ускоряет сходимость численного интегрирования. Метод хорошо работает для интегрирования «обычных» функций, т.е. слабо меняющихся на отрезке интегрирования, не имеющих особенностей на краях отрезка (см. Замечание 5), быстрых осцилляций и т.д.

Продвинутые методы численного интегрирования для более сложных случаев можно найти в книгах из списка литературы (в [3] — с примерами реализации на C++).

Литература

1. А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы. М.: Наука. 1989.
2. J. Stoer, R. Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis: Second Edition. Springer-Verlag New York. 1993.
3. W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery. Numerical Recipes: Third Edition. Cambridge University Press. 2007.

Для получения
формулы трапеций интервал интегрирования
[a,
b]
разбивается на n
подынтервалов равной длины (шагов)
точками: x₀
=
a,
x₁,
x₂,
… , x_i,
x_i+1,
… , x_n
= b
так, что

x_i+1
— x_i
= h
=
,
i
= 1, 2, …, n.

На каждом отрезке
(x_i,
x_i+1)
дугу X_i
X_i+1
графика подынтегральной функции y
= f(x)
заменяют стягивающей ее хордой (рис.
2.5) и вычисляют площади трапеций x_iX_i
X_i+1x_i+1,
высота которых равна h,
а основания определяются значением
функции f(x_i),
f(x_i+1).

Рис. 2.5

Так как площадь
трапеции равняется полусумме оснований,
умноженной на высоту, интеграл приближенно
равен сумме площадей всех полученных
трапеций:

=

=
=

=
[f(x₀)
+ 2f(x₁)
+ 2f(x₂)+…+
+ 2f(x_n-1)
+ f(x_n)]=

=

[f(x_a)
+ 2f(x₁)
+ 2f(x₂)+…+
+ 2f(x_n-1)
+ f(x_b)]=

=
[
f(x_a)
+ f(x_b)
+

].
(7)

Таким образом,
формула
трапеций
имеет вид:

I
=

≈

.
(8)

Точность
интегрирования для этого метода
приближенно равняется ε ≈ h².

Пример
(продолжение). □Пользуясь формулой
трапеций, вычислить

при h
= 0,2.

Решение. Вычисление
интеграла

методом трапеций (8) выполним в таблице
Excel
(рис. 6, 6-а).

Режим решения

Рис. 6

∑ = -0,68
-1,12 -1,32 -1,28 = -4,4 I
= 0,1·[(0-1)-2·4,4] = -0,98

Режим показа формул

Рис. 6 — а

Разбивая интервал
интегрирования на большее число отрезков,
например, на 10, можно получить более
точное решение (рис. 7).

Рис. 7

∑ =
-0,37 -0,68 -0,93 -1,12 -1,25 -1,32 -1,33 -1,28 -1,17 = -9,45

I
= 0,05∙ [(0 -1) + 2∙(-9,45) = -1,00■

2.3. Метод парабол (Симпсона)

Для получения
формулы парабол функция f(x)
на интервале (x_i,
x_i+1)
заменяется параболой, проходящей через
три точки кривой с абсциссами

x_i,
(x_i
+x_i+1)/2,
x_i+1
(x_i,
x_i+h,
x_i+2h)
(рис. 2.8).

Весь интервал
интегрирования при этом разбивается
на четное число отрезков (n
= 2m).

Рис. 8

Формула парабол
имеет вид:

I
=

≈

Пример.
□Пользуясь формулой парабол, вычислить

при n
= 10.

Решение.

h
=

Вычисление интеграла

выполним в таблице Excel
(рис. 9, 9-а).

Режим решения

Рис. 9

∑₁
= -0,37-
0,93-1,25-1,32-1,17 = -5,05 ∑₂
= -0,68 -1,12 -1,32-1,28 = -4,4

∑ =
(0- 1) + 4·(-5,05) +2·(-4,4) = -30,00 ∫ = 0,033 · (-30)
= 1.■

Режим формул

Рис. 9 — а

3. Порядок
выполнения работы

1. Вычислить интеграл
индивидуального задания всеми описанными
методами в Excel
с числом шагов, равным 5. При реализации
решения в Excel
увеличить число шагов в два раза, в три
раза. Сравнить результаты вычислений,
полученные при использовании данных
методов с точным решением.

Лабораторная
работа 5

Решение
дифференциальных уравнений методом
Эйлера

1. Цель работы

Изучение метода
Эйлера для интегрирования дифференциальных
уравнений.

2. Основные
теоретические положения

Решить дифференциальное
уравнение y‘
= f(x,
y)
численным методом –значит для заданной
последовательности аргументов x₀,
x₁,
…, x_n
и числа y₀,
не определяя функцию y
= F(x),
найти такие значения у₁,
у₂,
…, y_n,
что y_i
= F(x_i)
(i
= 1, 2, …, n)
и F(x₀)
= y₀.
Другими словами, численные методы
позволяют вместо нахождения функции y
= F(x),
получить таблицу значений этой функции
для заданной последовательности
аргументов. Величина h
= x_k
– x_k-1
называется шагом интегрирования.

Для решения данной
задачи используются различные численные
методы, среди которых наиболее простым
является метод Эйлера.

Пусть
дано дифференциальное уравнение первого
порядка

y‘
= f(x,
y)
(1)

с начальными
условиями

x
= x₀,
у(x₀)
= y₀.

Требуется найти
решение уравнения (1) на отрезке [a,
b].

Разобьем отрезок
[a,
b]
на n
равных частей и получим последовательность
x₀,
x₁,
…, x_n,
где x_i
= x₀
+ i·h
(i
= 1, 2, …, n),
а h
= (b
– a)/n
– шаг сетки. Величина h
= ∆ x_m
= x_m+1
— x_i
обычно выбирается постоянной и достаточно
малой. При численном решении задачи
вычисляются приближенные значения y_i
(x_i)
≈ y_i
в узлах сетки x_i
(i
= 1, 2, …, n).

Идея метода состоит
в том, что при малом шаге сетки h
производная искомой функции y‘(x_i)
может быть
приближенно заменена конечными разностями

(2)

где y_i
– значение функции в узле x_i.

Тогда y‘(x_i)∙h
= y_i+1
— y_i,
отсюда
y_i+1
= y_i+
y‘(x_i)∙h,
а, так как y‘(x_i)
= f(x_i,
y_i),
то

y_i+1
= y_i
+ h·f(x_i,y_i).
(3)

Т.е.
на каждом отрезке [x_i,
x_i+1]
выражение (1) можно заменить приближенным
выражением (3).

Зная начальное
значение y₀,
и используя соотношение (3), можно
последовательно от узла x_i
к узлу x_i+1
определить все искомые значения y_i+1.

На практике, как
правило, применяют «двойной просчет».
Сначала расчет ведется с шагом h,
затем шаг дробят и повторный расчет
ведется с шагом h/2
и

т.д.

Для достижения
требуемой точности ε численного решения
необходимо выполнение условия: |y_2n
— y_n|
< ε.

Пример 1.
Используя метод Эйлера, составить на
отрезке [0, 1] таблицу значений решения
дифференциального уравнения

с начальными
условиями x₀
= 0, y₀
= 1, выбрав шаг h
= 0,2.

□Решение.

Результаты
вычислений представим в таблице Excel
(рис.1). Заполняется она следующим образом:

1) В первую строку,
соответствующую значению i
= 0, запишем
начальные условия: x₀
= 0, y₀
= 1. По ним вычислим значение f(x₀,
y₀):

а затем значение
∆y₀.
Из (2) и (1) имеем

∆y₀
= y‘(x₀)∙
∆x₀
= y‘(x₀)∙h
= f(x₀,
y₀)
∙h,

следовательно,
∆y₀
= h∙f(x₀,
y₀)
= 0,2∙1 = 0,2. Отсюда по формуле (3) для i
= 0 получим

y₁
= y₀
+ h∙f(x₀,
y₀)
= y₀+
∆y₀
= 1 + 0,2 = 1,2.

2) Значение x₁
= x₀
+ h
= 0
+ 0,2
= 0,2 и соответствующее ему значение y₁
=1,2 запишем во вторую строку таблицы,
соответствующую i
= 1.

Для x₁
= 0,2 и y₁
= 1,2 вычислим
f(x₁,
y₁).

Затем вычислим
∆y₁
= h∙f(x₁,
y₁)
= 0,2∙0,8667 = 0,1733.

Тогда по формуле
(3) для i
= 1 получим

y₂
= y₁
+ h∙f(x₁,
y₁)
= y₁+
∆y₁
= 1,2 + 0,1733 = 1, 3733.

3) Значения x₂
= x₁
+ h
= 0,2
+ 0,2
= 0,4 и соответствующее ему значение y₂
=1,3733 запишем в третью строку таблицы
(i
= 2).

Аналогично следует
выполнить вычисления для i
= 2, 3, 4, 5 (см. рис. 1).■

Режим формул

Режим решения

Рис. 1

Метод Эйлера легко
распространяется на решение дифференциальных
уравнений высших порядков. Для этого
такое дифференциальное уравнение надо
предварительно привести к дифференциальному
уравнению первого порядка.

Пусть дано
дифференциальное уравнение

y»
= f(x,
y,
y‘) (4)

с начальными
условиями

x
= x₀,
у(x₀)
= y₀,
у’(x₀)
= y‘₀.

Требуется найти
решение уравнения (4) на отрезке [a,
b].

С помощью подстановки
y‘
= z,
y»
= z’
заменим уравнение (4) системой уравнений

и

(5)

Таким образом,
f₁(x,
y,
z)
= z,
f₂(x,
y,
z)
= f(x,
y,
z)
и задачу можно записать в общем виде:

и

(6)

Аналогично можно
свести к системе дифференциальных
уравнений и уравнения более высокого
порядка.

Пример
2. Используя метод Эйлера, составить на
отрезке [1; 1,5] таблицу значений решения
дифференциального уравнения

(7)

с
начальными условиями y
= 0,77, y‘
= -0,44 и выбрав шаг h
= 0,1.

□Решение. С помощью
подстановки y‘
= z,
y»
= z’
заменим уравнение (7) системой уравнений

y‘
= z,

с начальными
условиями y₀(1)
= 0,77 и z₀
= -0,44.

Таким образом,

f₁(x,
y,
z)
= z,
f₂(x,
y,
z)
=

Результаты
вычислений по формулам (6) запишем в
таблице Excel
(рис. 2). Заполняется она следующим
образом:

в первую строку i
= 0 запишем начальные условия: x₀
= 1,0, y₀
= 0,77, z₀
= -0,44.

Используя их,
вычислим

f₁₀(x₀,
y₀,
z₀)
= z₀
= -0,44,

f₂₀(x₀,
y₀,
z₀)
=

а
затем

∆y₀
= h∙f₁₀
= 0,1∙(-0,44) = -0,044, y₁
= y₀
+ ∆y₁
= 0,77 + (-0,044) = 0,726,

∆z₀
= h∙f₂₀
= 0,1∙(-0,33) = -0,033, z₁
= z₀
+ ∆z₁
= -0,44 + (-0,033) = -0,473.

Таким образом, во
вторую строку таблицы, соответствующую
i
= 1, можно записать:

y₁
= 0,726, z₁
= -0,473.

По этим значениям
можно вычислить

f₁₁(x₁,
y₁,
z₁)
= z₁
=
-0,473,

f₂₁(x₁,
y₁,
z₁)
=

а
затем

∆y₁
= h∙f₁₁
= 0,1∙(-0,473) = -0,047, y₂
= y₁
+ ∆y₁
= 0,726 + (-0,047) = 0,679,

∆z₁
= h∙f₂₁
= 0,1∙(-0,296) = -0,030, z₂
= z₁
+ ∆z₁
= -0,473 + (-0,030) =-0,503.

Аналогично следует
выполнять вычисления для i
= 2, 3, 4, 5 (см.
рис. 2).■

Режим формул

Режим решения

Рис. 2

Метод трапеций — это метод приближённого интегрирования, полезный в тех случаях, когда нет возможности найти первообразную функции и вычислить интеграл через неё.

Помимо метода трапеций существуют другие методы приближённого интегрирования, например, метод прямоугольников и метод парабол.

Метод трапеций по сути похож на метод прямоугольников, но при этом он менее точный, чем метод средних прямоугольников.

Сущность метода трапеций

Предположим, требуется вычислить интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $left[a;bright]$.

Также как и в случае с методом прямоугольников разобьём график кривой на элементарные сегменты c помощью точек с абсциссами $x_i$, и получим ломаную с вершинами в точках $(x_i;y_i)$, при этом $y_i=f(x_i)$, а $i$ принимает значения от $0$ до $n-1$.

Для этого выберем количество отрезков, на которые разбиваем исследуемый интервал и воспользуемся формулой для вычисления длины одного такого отрезка, которую мы уже использовали для метода прямоугольников:

$∆x=frac{b-a}{n}$

Для вычисления по методу трапеций между собой соединяются две рядом стоящие точки разбиения, в результате образуя элементарные сегменты. Как видно дальше, значение функции $f(x)$ берётся на границах исследуемого отрезка.

Площадь первой такой трапеции составит:

$S_1=frac{b-a}{n} cdot frac{y_1+y_2}{2}$,

а площадь $i$-ой трапеции составит:

$S_i=frac{b-a}{n} cdot frac{y_{i-1}+y_i}{2}$,

Сложим площади всех элементарных трапеций:

$int^b_a f(x)dx =frac{b-a}{n}(frac{y_0+y_n}{2}+y_1+y_2+…+y_{n-1})$

Таким образом, площади всех элементарных трапеций, сложенные вместе, являются приближённой площадью фигуры, ограниченной линиями $x=a$, $x=b$, осью абсцисс и графиком кривой $f(x)$.

Погрешность при использовании метода трапеций

Погрешность метода составляет:

Как видно из вышеприведённой формулы, здесь погрешность несколько больше чем погрешность метода средних прямоугольников, однако, не всегда удобно использовать именно этот метод. Метод трапеции удобен если самого графика функции нет, но есть значения, которые принимает функция $f(x)$ в точках разбиения. В случаях же когда всё же есть график, целесообразнее пользоваться методом средних прямоугольников.

Также при невозможности определения максимума функции сложно определить вычисляемую погрешность. В этом случае можно прибегнуть к следующему: сначала провести численное интегрирование методом трапеций для $n=10$, а затем на том же отрезке провести вычисление при $n=20$. Если разница двух полученных значений интегралов составляет меньше чем требуемая по условию погрешность, то в качестве ответа выбирают приближённое значение интеграла при $n=20$, а вычисления заканчивают. В противном случае если требуемая точность не достигнута, продолжают удваивать дальше количество отрезков.

Учебно-воспитательные задачи:

• Дидактическая цель. Познакомить учащихся с методами
  приближённого вычисления определённого интеграла.
• Воспитательная цель. Тема данного занятия имеет большое
  практическое и воспитательное значение. Наиболее просто к идее численного
  интегрирования можно подойти, опираясь на определение определённого
  интеграла как предела интегральных сумм. Например, если взять какое-либо
  достаточно мелкое разбиение отрезка [a; b] и построить для
  него интегральную сумму, то её значение можно приближённо принять за
  значение соответствующего интеграла. При этом важно быстро и правильно
  производить вычисления с привлечением вычислительной техники.

Основные знания и умения. Иметь понятие о приближённых методах
вычисления определённого интеграла по формулам прямоугольников и трапеций.

Обеспечение занятия

• Раздаточный материал. Карточки-задания для самостоятельной работы.
• ТСО. Мультипроектор, ПК, ноутбуки.
• Оснащение ТСО. Презентации: “Геометрический смысл производной”, “Метод
  прямоугольников”, “Метод трапеций”. (Презентации можно взять у автора).
• Вычислительные средства: ПК, микрокалькуляторы.
• Методические рекомендации

Вид занятия. Интегрированное практическое.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Очень часто приходится
вычислять определённые интегралы, для которых невозможно найти первообразную. В
этом случае применяют приближённые методы вычисления определённых интегралов.
Иногда приближённый метод применяют и для “берущихся” интегралов, если
вычисление по формуле Ньютона-Лейбница не рационально. Идея приближённого
вычисления интеграла заключается в том, что кривая
заменяется
новой, достаточно “близкой” к ней кривой. В зависимости от выбора новой кривой
можно использовать ту или иную приближённую формулу интегрирования.

Последовательность занятия.

1. Формула прямоугольников.
2. Формула трапеций.
3. Решение упражнений.

План занятия

1. Повторение опорных знаний учащихся.

Повторить с учащимися: основные формулы интегрирования, сущность изученных
методов интегрирования, геометрический смысл определённого интеграла.

1. Выполнение практической работы.

Решение многих технических задач сводится к вычислению определённых
интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не
всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближённого
значения.

Пусть, например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение
которой неизвестно. В этом случае можно заменить данную линию более простой,
уравнение которой известно. Площадь полученной таким образом криволинейной
трапеции принимается за приближённое значение искомого интеграла.

Простейшим приближённым методом является метод прямоугольников. Геометрически
идея способа вычисления определённого интеграла по формуле прямоугольников
состоит в том, что площадь криволинейной трапеции АВСD заменяется суммой
площадей прямоугольников, одна сторона которых равна
, а друга —
.

Если суммировать площади прямоугольников, которые показывают площадь
криволинейной трапеции с недостатком [Рисунок1], то получим формулу:

[Рисунок1]

то получим формулу:

Если с избытком

[Рисунок2],

то

Значения у₀, у₁,…, у_n находят из
равенств ,
к
=
0, 1…,
n
.Эти
формулы называются формулами прямоугольников и дают приближённый
результат. С увеличением n результат становится более точным.

Итак, чтобы найти приближённое значение интеграла
, нужно:

• разделить отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей
  точками х₀=

  а,

  х₁, х₂,…, х
  _{n
  -1},
  х
  _n
  =
  b
  ;

• вычислить значения подынтегральной функции
  в
  точках деления, т.е. найти

  у
  ₀
  
  =
  f (x₀),
  у
  ₁
  
  =
  f (x₁),
  у
  ₂
  
  =
  f (x₂),
  у
  _{n
  -1}
  =
  f (x_n-1),
  у
  _n
  
  =
  f (x_n)
  ;

• воспользоваться одной из приближённых формул.

Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами:

Пример 1. Вычислить по формуле прямоугольников
. Найти
абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Решение:

Разобьём отрезок [a, b] на несколько (например, на 6) равных
частей. Тогда а

0,

b =

3
,

х
_k = a + k


х
х₀ = 2 + 0

= 2
х₁ = 2 + 1

= 2,5
х₂ = 2 + 2

=3
х₃ = 2 + 3

= 3
х₄ = 2 + 4

= 4
х₅ = 2 + 5

= 4,5

f (x₀) = 2² = 4

f

(x
₁
)
= 2
,5
²

=

6,25

f

(x
₂
)
=
3²

=

9

f

(x
₃
)
=
3,5²

=

12,25

f

(x
₄
)
=
4²

=
16

f

(x
₅
)
=
4,5²

=

20,25.

По формуле (1):

Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти
точное значение интеграла:

Вычисления проходили долго и мы получили довольно-таки грубое округление.
Чтобы вычислить этот интеграл с меньшим приближением, можно воспользоваться
техническими возможностями компьютера.

Для нахождения определённого интеграла методом прямоугольников необходимо
ввести значения подынтегральной функции f(x) в рабочую таблицу Excel в
диапазоне х

[2
;5
]
с заданным шагом
х = 0,1.

1. Открываем чистый рабочий лист.
2. Составляем таблицу данных (х и f(x)). Пусть первый столбец
   будет значениями х, а второй соответствующими показателями f(x).
   Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 –
   слово Функция. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента – левая
   граница диапазона (2). В ячейку А3 вводится второе значение аргумента
   – левая граница диапазона плюс шаг построения (2,1). Затем, выделив
   блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый
   нижний угол блока протягиваем до ячейки А32, до значения х=5).
3. Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо
   записать её уравнение. Для этого табличный курсор необходимо установить в
   ячейку В2 и с клавиатуры ввести формулу =А2^2 (при английской
   раскладке клавиатуры). Нажимаем клавишу Enter. В ячейке В2 появляется
   4. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2.
   Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В32.
   В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.
4. Теперь в ячейке В33 может быть найдено приближённое значение интеграла.
   Для этого в ячейку В33 вводим формулу = 0,1*, затем вызываем Мастер
   функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (f(x)).
   В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле
   Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция — функцию Сумм.
   Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле
   мышью вводим диапазон суммирования В2:В31. Нажимаем кнопку ОК. В
   ячейке В33 появляется приближённое значение искомого интеграла с недостатком
   (37,955) .

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла (39),
можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае
равна

=

|39 — 37
,
955| = 1
,045

Пример 2. Используя метод прямоугольников, вычислить
с
заданным шагом х =
0,05.

Решение:

1. Для нахождения определённого интеграла значения подынтегральной функции
   f(x) должны быть введены в рабочую таблицу Excel в диапазоне 
   с
   заданным шагом х
   = 0,05. В созданную уже таблицу данных в ячейку А2 вводится левая граница
   интегрирования (0). В ячейку А3 вводится второе значение аргумента –
   левая граница диапазона плюс шаг построения (0,05). Затем, выделив
   блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый
   нижний угол блока протягиваем до ячейки А33, до значения х=1,55).
2. Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо
   записать её уравнение. Для этого табличный курсор необходимо установить в
   ячейку В2. Здесь должно оказаться значение косинуса, соответствующее
   значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения косинуса
   воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку
   Вставка функции (
   f
   _х
   )
   .
   В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле
   Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция — функцию COS.
   Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно COS. Наведя
   указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем поле
   вправо, чтобы открыть столбец данных (А). Указываем значение
   аргумента косинуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В
   ячейке В2 появляется 1. Теперь необходимо скопировать функцию из
   ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В33. В
   результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.
3. Теперь в ячейке В34 может быть найдено приближённое значение интеграла.
   Для этого в ячейку В34 вводим формулу = 0,05*, затем вызываем Мастер
   функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции

   (
   (
   f
   _х
   ))
   .
   В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле
   Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция — функцию Сумм.
   Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле
   мышью вводим диапазон суммирования В2:В32. Нажимаем кнопку ОК. В
   ячейке В34 появляется приближённое значение искомого интеграла с избытком (1,024056).

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла
, можно
видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна

Метод трапеций обычно даёт более точное значение интеграла, чем метод
прямоугольников. Криволинейная трапеция заменяется на сумму нескольких трапеций
и приближённое значение определённого интеграла находится как сумма площадей
трапеций

[Рисунок3]

Пример 3. Методом трапеций найти
с шагом
х = 0,1.

Решение.

1. Открываем чистый рабочий лист.
2. Составляем таблицу данных (х и f(x)). Пусть первый столбец
   будет значениями х, а второй соответствующими показателями f(x).
   Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 –
   слово Функция. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента – левая
   граница диапазона (0). В ячейку А3 вводится второе значение аргумента
   – левая граница диапазона плюс шаг построения (0,1). Затем, выделив
   блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый
   нижний угол блока протягиваем до ячейки А33, до значения х=3,1).
3. Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо
   записать её уравнение (в примере синуса). Для этого табличный курсор
   необходимо установить в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение синуса,
   соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения
   синуса воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов
   кнопку Вставка функции  f(x). В появившемся диалоговом окне
   Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические.
   Справа в поле Функция — функцию SIN. Нажимаем кнопку ОК.
   Появляется диалоговое окно SIN. Наведя указатель мыши на серое поле
   окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем поле вправо, чтобы открыть столбец
   данных (А). Указываем значение аргумента синуса щелчком мыши на
   ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь
   необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту
   формулу в диапазон В2:В33. В результате должна быть получена таблица данных
   для нахождения интеграла.
4. Теперь в ячейке В34 может быть найдено приближённое значение интеграла
   по методу трапеций. Для этого в ячейку В34 вводим формулу =
   0,1*((В2+В33)/2+, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели
   инструментов кнопки Вставка функции  (f(x)). В появившемся
   диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем
   Математические. Справа в поле Функция — функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК.
   Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон
   суммирования В3:В32. Нажимаем кнопку ОК и ещё раз ОК. В ячейке
   В34 появляется приближённое значение искомого интеграла с недостатком (1,997)
   .

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла
можно
видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае вполне
приемлемая для практики.

1. Решение упражнений.

1. Вычислить
   
   методом прямоугольников, разделив отрезок [0;1] на 20 равных частей.
   
2. Вычислить методом трапеций
      
3. Вычислить методом трапеций
   
4. Вычислить методом трапеций
   
5. Вычислить 
   
   разделив отрезок [0;4] на 40 равных частей.
6. Вычислить
    
   разделив отрезок [0;8] на 40 равных частей.
7. Вычислить