- Добавить материал
- Войти
Гармонические колебания
Оценка 4.9
Гармонические колебания
Оценка 4.9
на прошлом уроке мы с вами рассмотрели динамику колебательного движения и получили для различных колебательных систем похожие связи между ускорением тело в колебательной системе и между его смещением от положения равновесия тут у нас было помните целая такая коллекция этих результатов сейчас я ее не буду выписывать раз закон связывающие ускорение и смещение одинаковы для различных колебательных систем значит и в поведении этих колебательных систем должно быть что-то общее и действительно все те колебательные системы которые мы анализировали на прошлом уроке колеблются одинаково и колебания которые они совершают имеет свое специальное название они называются гармонические колебания и вот сегодня мы с ними познакомимся подробнее тема урока гармонические колебания гармонические колебания . физический смысл физический смысл величин я сейчас их выпишу потом мы с ними познакомимся ближе x с индексом м омега с индексом 0 efi с индексом 0 домашнее задание конспект далее по мякишево для 11 класса рангов и с 21 по 23 21-23 задачи по рымкевича номер 429 затем а гельфгат у задачу с номерами 1 4 1.4 16 17 18 гр отсеки рисовать там в условии задачи даются графики в некоторых задачах их нужно перерисовать в тетрадь обязательно графики рисовать чтобы было понятно как вы выполняете задание ковры на графике показываете те вещи которые спрашивают в условия задачи ну а теперь вернемся к тому на чем мы остановились в прошлый раз итак мы выяснили что ускорение пружинного маятника проекция ускорения на оси x вычисляется по формуле минус к деленный на n до ics для пружинного затем мы рассмотрели математический маятник тангенциальное ускорение у нас вычислялось по формуле минус же делённое на r где l длина маятника умножить на обмен такие смещение от положения равновесия математический маятник для физического маятника у нас угловое ускорение было связано с углом отклонения минус m же l делит на момент инерции умножить на альфа альфа отклонения угловое отклонение положения равновесия физический маятник и наконец мы рассмотрели еще маятник который я условно назвал электрически маятником и у нас там получилось так если заряд колеблется между двумя одноименными зарядами то ускорение его вычисляется по формуле 4 коэффициент законе кулона произведения зарядов и в знаменателе стыд м м куб м эта масса той бусинки которые колеблется это расстояние от положения бусинки до тех зарядов с которыми она взаимодействует электрический маятника и вот мы видим что в любом случае ускорения либо угловое ускорение ну давайте будем говорить о бы просто ускорения алекс прямо пропорционально смещению от положения равновесия и направлена в противоположную сторону да и умножить на x спасибо мигали умножить на x и вот а x равняется минус какой-то коэффициент c постоянная величина умноженное на x ну тоже самое можно говорить его физическом от ники только здесь у нас линейное ускорение физического маятники угловое ускорение c зависит от параметров колебательной системы вот эта цель для пружинного маятника к деленный на f для математического же деленная на для физического сюда входит масса момент инерции расстояние от центра масс до точки подвеса и вот такой вот сложный коэффициент для электрического маятника но все это числа это постоянные величины которые определяются параметрами системы а теперь давайте вот что сделаем вспомним с вами что ускорение это производная по времени скорости а скорость это производная по времени координаты вспомним а x это производная по времени скорости то есть в x с точкой производную по времени мы будем с вами обозначать дальнейшем точкой в x это производная по времени координаты то есть мы можем написать чтоб ускорение это ничто иное как вторая производная координаты по времени следовательно вот это выражение мы можем переписать вот так x с двумя точками равняется минус s умноженное на x или если речь идет о вращательном движении таком как физическом этики то мы можем написать альфа с двумя точками вторая производная по вару угла поворота по времени равняется минус с альфа вот так вот если бы c равнялась единице то у нас просто вторая производная совпадало бы самой функцией ведь альфа эта функция x эта функция функция чего времени мы же описываем движение изменения положения с течением времени и основная задача механики это найти положение тела в любой момент времени основная задача механики колебательных движений основная задача механик них теории механических колебаний скажем так теории механических колебаний найти зависимость координаты тело от времени ну или угла поворота от времени это это характеризует положение тела вот теперь давайте вспомним что мы с вами изучали на прошлой неделе по математическому анализу нам уже встречалась ситуация когда вторая производная совпадает с самой функций с точностью до знака было когда x с двумя точками равнялся минус x только x теперь у нас функция они аргумент то есть можно было бы уточнить x с двумя точками равняется минус x от t скажите пожалуйста какая функция совпадает со своей производной второй производной с точностью до знака косинус и синус мы с вами встречали уже две функции мы знаем что синус ну скажем альфа два штриха равняется минус синус альфа и косинус альфа два штриха равняется минус косинус альфа а здесь у нас x два штриха равняется минус x так значит вот этому уравнению а кстати это уравнение называется дифференциальное уравнение второго порядка потому что она связывает вторую производную в самой функцией вот решением такого дифференциального уравнения могут быть две функции синус и косинус то есть мы можем написать следующее x в любой момент времени t равняется синус x синус t700 а изгадили синус тыыы кс в любой момент времени t равняется косинус то тогда у нас получится что x с точкой равняется производная синуса косинус 3x с двумя точками равняется минус косинус это действительно минус x с двумя точками да здесь одна . а здесь две точки вот мы два раза продифференцировать а здесь будет минус синус правильно минус синус вот первая производная синуса косинус вторая производная минус синус х минус синус это как раз минус x равняется минус x вот она и работает у нас получилось то же самое касается и косинуса x с точкой равняется производная косинуса минус синус т-ты перь у нас время независимо и пили x с двумя точками это производная минус синус а минус выносится за знак производной производная синуса косинус получается минус косинус т то есть минус x все хорошо но нам нужно подобрать немножко другую функцию нам нужно придумать такую функцию чтобы вторая производная совпадало не самой функции отличалась бы от нее на какое-то постоянное число на вот этот коэффициент с каким же должна быть зависимость x от t давайте вспомним правила дифференцирования произвол и правила дифференцирования сложной функции производная сложной функции равняется производная сложной функции равняется произведению производной внешней функции по внутренней на произведе на производную внутренней функции по аргументу какой должна быть внутренняя функция чтобы у нас появился коэффициент при дифференцировании скажите пожалуйста чему равняется производная ну например по иксу икса единица а чему равняется производная cx по иксу c умножить на единицу так вот давайте мы сейчас в качестве такой внутренней функцией возьмем какое-то число умноженное на время пробуем пусть x от t равняется не просто синус т.а. синус а внутреннюю функцию мы возьмем в виде константы умножить на время они просто времени эту константу мы обозначим пока непонятно почему но если мы это сделаем дальше будет этим удобно пользоваться обозначим омега нулевое вот так теперь продифференцируем эту функцию x с точкой равняется производная внешней функции по внутренней внутренняя функция наша вот омега т производная синуса косинус омега 0 ты теперь это надо умножить на производную внутренней функции по аргументу аргумент у нас т производная бот омега 0 и я его напишу вот здесь омега 0 теперь ищем вторую производную их с двумя точками равняется надо продифференцировать вот это выражение у нас получится омега нулевое она выйдет у нас за знак производной производная косинуса минус синус омега 0 и еще надо умножить на производную внутренней функции внутренняя функция мира или войта ее производная омега 0 амида 0 и это получается если навести порядок равняется минус омега 0 квадрат умножить на синус омега 0 т то есть на синус на сам x на x это была вот такая пробная функция возьмём в качестве про данной функции косинус икс от r равняется косинус омега 0 это первая производная x с точкой равняется минус синус омега 0 т на производную внутренней функции омега 0 а вторая производная x с двумя точками равняется минус омега нулевое на производную синуса по его аргументу по внутренней функции то вот просто косинус омега 0 т и умножить на производную внутренней функции омега 0 т при дифференцированию даст нам омега 0 снова у нас получается минус омега 0 квадрат и здесь косинус омега 0 то это есть наш x вот так то есть если мы возьмем и попытаемся описать колебания вот такой функции в виде синуса или вот такой функции в виде косинуса нас ждет успех но этого мало можем сделать следующий шаг и смотрите если я добавлю вот сюда еще постоянное слагаемое возьму вот такую запись x от t равняется оставим здесь свободное место синус а здесь я напишу омега 0 т плюс какое-то постоянное слагаемое и нулевое производная внутренней функции от этого же не изменяется потому что производная константы 0 то есть добавление такого слагаемого не нарушит вот это равенство кроме того а что если мы перед синусом поставим какой-то коэффициент постоянное число постоянно величину обозначим x максимальное если мы введем такой коэффициент то у нас во столько же раз увеличится и вторая производная и функцией вторая производная увеличится в x максимальное число 1 значит равенство вот это слово будет сохраняться отлично то же самое можно сделать и если использовать функцию косинус икс r равняется x максимальная на косинус омега 0 плюс fi 0 если вы эти функции подставить вот в это уравнение то есть возьмете в производную я сейчас этого делать не буду вы увидите что у вас уравнение превращается в тождество так вот оказывается каким законом описываются колебания если ускорение прямо пропорционально смещению от положения равновесия и направлена к положению равновесия колебания описываемые законом синуса или косинуса носят названия гармонически либо не давайте запишем колебания происходящее по закону синуса или косинуса колебания происходящее по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебания происходящее по закону синуса или косинуса называются гармонические значит вот это и это закон движение при гармонических колебаниях закон движения при гармонических колебаниях закон движения при гармонических колебаний хоть то есть те две зависимости которые мы сейчас с вами записали это и есть решение основной задачи механики для того случая когда выполняется вот это условие то есть для гармонических колебаний система в которой происходит гармоническое колебание называется гармонический осциллятор гармонический осциллятор гармонический осциллятор и так колебания происходящее по закону синуса или косинуса называются гармоническими то что я сейчас сказал это просто кинематика мы не интересуемся когда колебания будут гармоническими мы утверждаем что если колебания происходят по закону синуса и косинуса мы присваиваем им название гармонических колебаний а теперь следующий шаг скажите пожалуйста в каком случае колебания будут гармоническими в каком случае то есть при выполнении каких условий это уже динамика это уже причины движения рассматривать нужно в каком случае с динамической точки зрения колебания будут гармоническими замкнутой системе ну хорошо да ну это не обязательно будет гармонические колебания периодически это свойство колебания что можно сказать о силе ведь подождите если речь идет о динамике мы должны подумать о силах какой должна быть сила для того чтобы колебания были гармоническими квази упругая умница и так запишите пожалуйста колебания будут гармоническими если они происходят под действием квази упругой силы колебания будут гармоническими если они происходят под действием квази упругой силы колебания будут гармоническими если они происходят под действием квази упругой силы ну а теперь какой же выбрать закон движение синусный или косинусные оказывается не имеет никакого значения давайте договоримся что мы с вами будем рассматривать колебания в косинус и синус тоже годится но надо же на чем-то определенном останавливаться и так закон движения при гармонических колебаний мы выбираем в косинус най форме то есть он будет таким x м делить умножить на косинус омега 0 это плюс fib нулевое и теперь нам нужно разобраться а что же кроется за этими величинами x м омега 0 финале давайте разберемся прежде всего мы знаем что косинус омега 0 это плюс fi 0 каким бы ни был аргумент по модулю всегда будет меньше либо равен единице косинус не бывает больше единицы и синус тоже на самом деле бывает но только если аргумент не относится к действительным числам синус может быть хоть 50 косинус тоже если аргумент комплексное число но мы еще не знаем что такое вот в нашем случае в наших задачах здесь числа действительно поэтому косинус по модулю не превышает единицы отсюда следует что x от t всегда по модулю меньше либо равно x с индексом м так что же значит тогда индекс м maximum ix с индексом м это модуль максимального отклонения тело от положения равновесия xm носит название амплитуда колебаний амплитуда колебаний амплитуда колебания запишем определение амплитудой колебаний называется модуль максимального отклонения тело от положения равновесия амплитудой колебаний называется модуль максимального отклонения тело от положения равновесия называется модуль максимального отклонения тело от положения равновесия теперь займемся то кстати в каких единицах измеряется амплитуда в метрах если это колебания линейные а если колебательное движение вращательное как у физического маятника то в радианах но можно в градусах лучше вроде она теперь заглянем сюда вот в эту скобку вот эта скобка я ее так вот и отдельно выпишу омега 0 т плюс fi 0 а то что стоит под знаком косинуса и синуса называется фаза колебаний фаза колебаний фаза колебаний фаза неуклонно растет с течением времени причем по линейному закону видите то входит сюда и она постоянно увеличивается значит фаза становится все больше и больше с течением времени другими словами эта величина показывает насколько далеко зашел процесс колебать колебаний но это не очень интересная величина однако обратите внимание вот на что и косинус и синус функции периодические насколько надо увеличить аргумент синуса или косинуса чтобы он снова стал таким как был на 2пи а значит если фаза увеличится на 2пи или на 2пи нгн любое целое число но нас интересует только первое значение 2 пи если фаза увеличится на 2пи что будет сексом он будет таким же как был при значении t но если косинус увеличился на если аргумент косинуса увеличился на 2пи а система вернулась в исходное положение то как называется промежуток времени за которой произошло это изменение период значит если мы ко времени добавим период та фаза увеличится до 2п условия периодичности условия периодичности x-code т плюс период равное x от t влечет за собой следующий факт что фаза омега нулевое когда на часах будет т плюс период плюс fi нулевое минус старое значение фазы омега 0 т плюс 0 должно равняться 2 пи это минимальное время за которая система придет в то же самое состояние то есть это период т найдем отсюда и как-то свежим и вас омега нулевым раскрываем скобки омега 0 тыс омега 0 т большой плюс fi 0 равняется нет минус минус омега нулевое минус 0 равняется 2 пи омега 0 а ты маленькая вот с плюсом вот с минусом взаимное уничтожение fi нулевое здесь с плюсом здесь с минусом тоже происходит взаимное уничтожение что остается омега 0 3 равняется 2 pin отсюда омега 0 равняется 25 делить на период эта формула связывает вот эту самую величину омега нулевое с периодом но давайте ещё вспомним одну вещь вспомним что период связан с частотой помним что единица на т это ничто иное как частота колебаний не то есть количество колебаний в не несу времени тогда вот эту формулу можно переписать так омега 0 равняется 2 пи new обе эти формулы надо помнить величина омега 0 связано с частотой колебаний у нее тоже название частота но только не просто частота от циклическая частота величина омега нулевое называется циклическая частота колебания циклическая частота колебаний циклическая частота колебаний какую впечатлил вот просто частота что это такое количество колебаний в единицу времени отлично а сколько должно смотрите чистота это количество колебаний за ну а за одну секунду а в таком случае а в 2 пи раз большее значение это будет число колебаний за 2 пи раз большее число секунд то есть мы можем записать что циклическая частота колебаний численно равна запишите пожалуйста циклическая частота колебаний численно равна количеству колебаний за промежуток времени 2 пи секунд циклическая частота колебаний численно равна количеству колебаний за промежуток времени 25 секунд в каких единицах измеряется циклическая частота просто частота измеряется в герцах но размерность это обратная секунда и поскольку 2пи тоже безразмерная величина то циклическая частота имеет ту же размерность что и линейная чистота new но для того чтобы не путать циклическую частоту с линейной линейную частоту измеряют в герцах а циклическую измеряют в радианах в секунду радиан в секунду почему радиан потому что фаза стоит под знаком косинуса по знакам косинуса стоят величины измеряемой в радианах угловые величины отсюда видно что для того чтобы аргумент косинуса был радиан нужно чтобы омега 0 имела размерность радиан в секунду тогда секунды сократятся останутся радианы и так не путайте линейная частота измеряется в герцах циклическая в radiant секунду кстати вам ничего не напоминает обозначение где там и буквой омега уже что-то обозначали угловая скорость скоро вы увидите что вращательное движение и гармонические колебания теснейшим образом связаны но сейчас пока об этом говорить не будем следующая величина которая нас интересует fi нулевое fi нулевое входящая в фазу величина фаза равняется fi нулевое когда время равно нулю время равно нулю в начальный момент поэтому fi нулевое получила название начальная начальная фаза начальная фаза какой физический смысл начальной фазы что она характеризует она на действительно характеризует положение тела в начальный момент времени вот давайте рассмотрим несколько примеров допустим у нас есть маятник математически вот он ну это не математически но вполне на него похоже положительное направление у нас вправо и вот мы отведем этот ник и в начальный момент времени запускаем секундомер его отпустим как описать движение этого маятника вот положение равновесия вот направлении вдоль которого происходят колебания это будет наша ось x скажем так мы и буквой s обозначали вот маятник отклонен вот на такое положение это значение мы обозначим x максимально то есть его отклонили до амплитудного значения при t равном нулю x в этот момент когда на часах 0 равен x максимальному значит мы можем написать x максимальная равняется я вот это просто сейчас использую x максимальное равняется x максимально на косинус омега 0 0 ли в плюс fib нулевое вот я записал закон движения для одного момента времени начального какое должно быть fi нулевое чтобы это работало чтобы это работало косинус должен равняться единице поскольку первое слагаемое 0 то аргумент должен равняться нулю значит fi 0 равно нулю вот так вот в таком случае начальная фаза равна нулю это у нас положительное это отрицательное направлении а теперь возьмем другую ситуацию маятник в начальный момент времени отвели назад на величину x максимально минус плюс наши направлении x при t равном нулю отклонение равняется минус x максимальная с одной стороны а с другой стороны она должна подчиняться вот этому закону равно x максимально на косинус омега 0 0 плюс fi 0 в этой ситуации косинус должен быть минус 1 какой будет аргумент пи либо минус пик fi 0 равняется пи то есть начальная фаза при таком способе возбуждения колебаний будет равна пи мы можем по-другому поступить мы можем например запускать маятник щелчком в начальный момент маятник находится в положении равновесия но обладать скоростью в этом случае начальная фаза будет минус пи пополам если мы его в обратную сторону толкнем то есть его скорость будет направлена в сторону отрицательных значений то оказывается что начальная фаза bot plus пополам подробнее мы об этом ещё будем говорить сейчас я из ну на этот тратить времени она заслуживает большего внимания чем сейчас хочу заключить наш сегодняшний разговор вот чем мы с вами записывали в самом начале что x с двумя точками равняется минус c ix и выяснили что то же самое можно записать так x с двумя точками равняется минус омега 0 квадрат x отсюда смотрите следует прямая связь между циклической частотой и коэффициентом который связывает вот эти две величины с параметрами системы следовательно омега 0 а зависит от параметров системы от жесткости пружины от длины маятников циклическая частота определяется параметрами системы а вот величина x максимальная и fi 0 чем определяется тем как мы колебания запустили то есть определяется начальными условиями определяется начальными начальными условиями и последняя вот это уравнение x с двумя точками равняется минус омега 0 квадрат x можно записать еще вот так красиво записать плюс омега 0 квадрат x это что же самое равняется нулю это уравнение физики и математики впрочем той называют уравнение гармонических колебаний уравнение гармонических колебаний уравнение гармонических колебаний оказывается что здесь может быть и не 0 эти случаи мы тоже с вами будем рассматривать в дальнейшем но пока что оставим как есть уравнение гармонических колебаний дифференциальное уравнение линейной а производная функция вход в первой степени второго порядка потому что производная здесь 2 вот с чем нам предстоит иметь дело урок окончен
Электромагнитные колебания
-
Темы кодификатора ЕГЭ: свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания.
-
Колебательный контур
-
Энергетические превращения в колебательном контуре
-
Электромеханические аналогии
-
Гармонический закон колебаний в контуре
-
Вынужденные электромагнитные колебания
Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев
Темы кодификатора ЕГЭ: свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания.
Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.
Колебательный контур
Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.
Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счёт энергии, запасённой в контуре.
Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через 
. Сопротивление катушки будем считать равным нулю.
Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.
Начальный момент: 
. Заряд конденсатора равен 
, ток через катушку отсутствует (рис. 1). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.
Рис. 1.
Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.
Аналогия. Маятник оттянут вправо на величину 
и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.
Первая четверть периода : 
. Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен 
. Ток 
через катушку нарастает (рис. 2).
Рис. 2.
Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.
Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость 
маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины 
(она же — координата маятника) уменьшается.
Конец первой четверти : 
. Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения 
(рис. 3). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.
Рис. 3.
Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.
Аналогия. Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения 
. Деформация пружины равна нулю.
Вторая четверть: 
. Конденсатор перезаряжается — на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4).
Рис. 4.
Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.
Аналогия. Маятник продолжает двигаться влево — от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.
Конец второй четверти 
. Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.
Рис. 5.
Аналогия. Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна .
Третья четверть: 
. Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6).
Рис. 6.
Аналогия. Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.
Конец третьей четверти: 
. Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7).
Рис. 7.
Аналогия. Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении.
Четвёртая четверть: 
. Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8).
Рис. 8.
Аналогия. Маятник продолжает двигаться вправо — от положения равновесия к крайней левой точке.
Конец четвёртой четверти и всего периода: 
. Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9).
Рис. 9.
Данный момент идентичен моменту 
, а данный рисунок — рисунку 1. Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.
Аналогия. Маятник вернулся в исходное положение.
Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими — они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!
Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.
В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.
Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.
к оглавлению ▴
Энергетические превращения в колебательном контуре
Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость 
, индуктивность катушки равна 
.
Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.
Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия 
контура сосредоточена в конденсаторе:
Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:
В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна:
Таким образом,
(1)
Соотношение (1) применяется при решении многих задач.
к оглавлению ▴
Электромеханические аналогии
В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.
Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1):
(2)
Здесь, как вы уже поняли, 
— жёсткость пружины, 
— масса маятника, и — текущие значения координаты и скорости маятника, и — их наибольшие значения.
Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2), мы видим следующие соответствия:
(3)
(4)
(5)
(6)
Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.
В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:
B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость 
. Получим:
(7)
Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона. Мы вскоре приведём её более строгий вывод.
к оглавлению ▴
Гармонический закон колебаний в контуре
Напомним, что колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».
Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока — ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10).
Рис. 10. Положительное направление обхода
Сила тока считается положительной 
, если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной 
.
Заряд конденсатора — это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае — заряд левой пластины конденсатора.
При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: 
(при ином выборе знаков могло случиться 
). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если 
, то заряд левой пластины возрастает, и потому 
.
Величины 
и 
меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:
(8)
Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: 
. Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8); не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если 
— функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: 
):
Подставляя сюда и 
, получим:
Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому
Перепишем это в виде:
(9)
Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида 
, где 
. Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:
(10)
Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:
Мы снова пришли к формуле Томсона.
Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:
(11)
Циклическая частота 
находится по формуле (10); амплитуда и начальная фаза 
определяются из начальных условий.
Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза 
, так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой :
(12)
Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12), опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:
Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз — по закону синуса:
(13)
Амплитуда силы тока равна:
Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2).
Ток течёт в отрицательном направлении: 
. Поскольку 
, фаза колебаний находится в первой четверти: 
. Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13).
А теперь посмотрите на рис. 8. Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!
Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13). Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11).
Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока
Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.
Используя формулу приведения
запишем закон изменения тока (13) в виде:
Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда 
, мы видим, что фаза тока, равная 
, больше фазы заряда 
на величину 
. В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна .
Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ).
к оглавлению ▴
Вынужденные электромагнитные колебания
Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.
Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12).
Рис. 12. Вынужденные колебания
Если напряжение источника меняется по закону:
то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой 
(и с периодом, соответственно, 
). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте 
.
Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты : амплитуда тем больше,чем ближе к собственной частоте контура .При 
наступает резонанс — резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.
Если вам нравятся наши материалы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по физике онлайн
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Электромагнитные колебания» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Уравнение колебания точки имеет следующий вид х = Asin(wt+фи(0)). Здесь А – амплитуда колебаний, w – частота колебаний и фи(0) – начальная фаза колебаний. К сожалению в БВ нельзя использовать греческие буквы, поэтому вместо омега я написал w и вместо греческой буквы фи так и написал по-русски фи. Начальная фаза колебаний равна нулю, то есть фи(0) = 0. Тогда уравнение наших колебаний будет таким
х = Asin(wt) (1)
В начальный момент времени при t = 0 имеем Asin(wt)= 0, тогда х(0) = 0. Я уже забыл, в каком классе проходят производные. Для того чтобы найти уравнение для скорости колебаний v, надо взять производную по времени из уравнения (1). Получим
v = wAcos(wt) (2)
В начальный момент времени (t = 0), cos(wt) = 1. Скорость колебаний будет максимальной и равной v(макс) = wA. Один период колебаний = 2пи, где пи = 3,14 – это греческая буква пи.
Период колебаний обычно обозначается буквой Т. Имеем wТ = 2пи. Или период Т = 2пи/w. В задаче сказано, когда скорость точки станет равной половине максимальной скорости. То есть v = v(макс)/2 = wA/2 = 0,5wA. Из уравнения 2 надо найти это время t. Имеем
0,5wA = wAcos(wt). Отсюда находим cos(wt) = 0,5. Косинус равен 0,5 (или 1/2), когда wt = пи/3. Это уже из тригонометрии. Находим t = пи/3w. Но w = 2пи/Т. Тогда имеем
t = пи/3w = пиТ/(3*2пи) = Т/6, где * — знак умножения. Ответ: скорость колеблющейся точки будет равна половине её максимальной скорости при Т/6, то есть 1/6 от периода колебаний.
А это график гармонических колебаний
А здесь представлен график изменения скорости со временем. Здесь по вертикали надо отложить скорость v, а не х. И амплитуда равна wA, а не А.
Что такое Омега в простом гармоническом движении?
Омега угловая частота или угловое смещение (чистое изменение угла) в единицу времени. Если мы умножим угловую частоту на время, то получим единицы измерения в радианах. (Радианы/секунда * секунды=радианы) и радианы — это измерение углов.
Что означает омега в колебаниях?
угловая частота угловая частота
[омега] является характеристикой системы и не зависит от начальных условий. Единицей угловой частоты является рад/с. Период Т движения определяется как время, необходимое для совершения одного колебания.
Что означает омега в движении?
Угловая скорость Угловая скорость обычно обозначается символом омега (ω, иногда Ω).
Почему омега является константой в простом гармоническом движении?
это постоянная при условии, что колебания системы малы. Например, если вы имеете дело с колеблющимся маятником, вес груза является восстанавливающей силой, которая вызывает SHM, ω = √ gl, где g и l — ускорение свободного падения и длина маятника соответственно.
Что такое омега-единица?
Радиан в секунду (обозначение: рад⋅с−1 или рад/с) — это СИ единица угловой скорости, обычно обозначаемый греческой буквой ω (омега). Радиан в секунду также является единицей угловой частоты в системе СИ. Радиан в секунду определяется как изменение ориентации объекта в радианах каждую секунду.
Что такое Омега в простом маятнике?
ю = угловая частота. f = частота. f = 1/Т.
Смотрите также, как по-другому называется нулевой меридиан.
Что означает омега в физике?
Омега (прописная/строчная Ω ω) — 24-я и последняя буква греческого алфавита. … В электромагнетизме и технике заглавная буква Ω используется как символ омов, которые являются единицами электрического сопротивления. В физике и других науках строчная буква ω часто используется для обозначения угловая частота.
В чем ценность Омеги?
Числовое значение Ω определяется выражением. Ом = 0.567143290409783872999968662210… (последовательность A030178 в OEIS). 1/Ω = 1,763222834351896710225201776951… (последовательность A030797 в OEIS).
Как рассчитывается Омега?
В определенный момент он находится под углом тета, и если для его перемещения требуется время t, его угловая скорость равна омега = тета/t. Таким образом, если линия совершает полный оборот за 1,0 с, ее угловая скорость равна 2π/1,0 с = 2π радиан/с (поскольку в полном круге 2π радиан).
Какова формула Омеги?
Он представлен ω. Формула угловой частоты и единица СИ задаются следующим образом: Формула. ω=2πT=2πf. единица СИ.
Что представляет собой омега в волновом уравнении?
Параметр ω используется для сравнить фазы перемещений частиц в среде в различные моменты времени.
Омега означает конец?
Греческая буква омега
24-я и последняя буква греческого алфавита, омега (Ω), по существу означает конец чего-то, последнее, окончательный предел набораили «Великий конец». Не вдаваясь в урок греческого языка, Омега означает грандиозное завершение, как завершение масштабного события.
Что такое Омега Электрик?
Угловая скорость Цепь переменного тока — это еще один способ выражения ее частоты в единицах электрических радиан в секунду вместо циклов в секунду. Он обозначается строчной греческой буквой «омега» или ω. … Другими словами, чем выше частота, тем больше она противодействует потоку электронов переменного тока.
Как рассчитать Омегу в колебаниях?
Угловая частота ω (в радианах в секунду) больше, чем частота ν (в циклах в секунду, также называемая Гц) в 2π раза. На этом рисунке для обозначения частоты используется символ ν, а не f. Сфера, вращающаяся вокруг оси. Точки, удаленные от оси, движутся быстрее, удовлетворяющие ω = v / r.
Смотрите также, сколько миль от земли до Венеры
Что означает имя омега?
Оно имеет греческое происхождение, а значение Омеги — «конец». Последняя буква греческого алфавита.
Что такое омега в 10 классе физики?
То единицы сопротивления являются омами. Его символ — омега ($Omega $).
Как найти омегу в физике?
ω=Δθ/Δt ω = Δθ/Δt , где угловой поворот Δ происходит за время Δt. Чем больше угол поворота за данный промежуток времени, тем больше угловая скорость. Единицами угловой скорости являются радианы в секунду (рад/с).
Что такое Омега как число?
Не отмечено. Омега (прописная Ω, строчная ω) — 24-я и последняя буква греческого алфавита. В греческой системе счисления он имеет значение 800. Произносится [ɔ:] или «aw», как в «сыром».
Омега — это единица?
Ом (символ: Ω) производная единица электрического сопротивления в системе СИ, названный в честь немецкого физика Георга Ома.
Что означает омега в комплексных числах?
Омега-константа — это математическая константа, определяемая как единственное действительное число, удовлетворяющее уравнению. Это значение W(1), где W — W-функция Ламберта.
Как Omega рассчитывает частоту?
Угловая частота ω определяется выражением ω = 2π/T. Угловая частота измеряется в радианах в секунду. Обратная периоду частота f = 1/T. Частота движения f = 1/T = ω/2π дает число полных колебаний в единицу времени.
Что такое диаграмма Омега?
Омега мера ценообразования опционов, подобно греческим опционам, которые измеряют различные характеристики самого опциона. Омега измеряет процентное изменение стоимости опциона по отношению к процентному изменению базовой цены. Таким образом, он измеряет кредитное плечо опционной позиции.
Как найти Омегу в SHM?
Ускорение частицы, совершающей простое гармоническое движение, определяется выражением а(t) = -ω2 x(t). Здесь ω — угловая скорость частицы.
Какова ценность Омеги в SHM?
Каждая из этих констант несет в себе физический смысл движения: А — амплитуда (максимальное смещение от положения равновесия), ω = 2πf — угловая частота, φ — начальная фаза. По определению, если масса m находится под действием SHM, ее ускорение прямо пропорционально смещению.
Как найти Омегу в волнах?
Поскольку скорость волны равна произведению длины волны на частоту, скорость волны также будет равна угловой частоте, деленной на волновое число, следовательно, v = ω / k.
Что означает омега в грехе?
Обычно напряжение представлено синусоидой или косинусоидой. … Это означает, что минимальное и максимальное напряжения составляют ±x0, угловая частота (в радианах в секунду) равна 1ω (составляя частоту 12πω, то есть в Гц), а фаза равна f.
Что такое Y Asin Omega?
В выражении y=asin(ωt+θ) y — смещение и т — время. Напишите размеры ω.
Почему омега называется омега?
1894: Создание знаменитого 19-го калибра под названием Omega. Компания переименована после этого знаменитого калибра 1903 года от Louis Brandt et Frères.
. Omega впервые участвует в испытаниях обсерватории в Нойенбурге (французский: Невшатель). Альберт Виллемин, первый «реглер точности» в Omega, регулировал механизм.
См. также, что подразумевается под глобальной взаимозависимостью.
Что такое омега в религии?
Символ Омега в религии
Символ Омега в этом контексте представляет вечность и означает, что Бог и Иисус — вечные существа. Символы Альфа и Омега часто использовались ранними христианами в качестве визуальных символов христианства.
С чем связана омега?
Как последняя буква греческого алфавита, омега часто используется для обозначения последний, конец или окончательный предел набора, в отличие от альфы, первой буквы греческого алфавита; см. Альфа и Омега.
Какова ценность Омеги в AC?
Напряжение изменяется со временем со скоростью, определяемой числовым значением ω; ω, называемая угловой частотой, выражается в радианах в секунду. На рис. 22 показан пример с V = 170 вольт и ω = 377 радиан в секунду, так что V = 170 cos(377t).
Какая связь между ω и F?
В целом, ω — угловая скорость – скорость изменения угла (как при круговом движении). Частота (f) равна 1/T или количеству периодических колебаний или оборотов в течение заданного периода времени.
Что такое единица импеданса в СИ?
Ом Единицей импеданса, как и сопротивления, является ом.
Омега — это женское имя?
Имя Омега это женское имя греческого происхождения, означающее «последняя». Омега – идеальный выбор для самого младшего ребенка.
Как решать простые задачи гармонического движения по физике
Угловая скорость в зависимости от угловой частоты
Связь периода и частоты с угловой скоростью | ап Физика 1 | Академия Хана
Простое гармоническое движение (SHM) и угловая частота [IB Physics HL]
Опубликовано 3 года назад по предмету
Физика
от mrsmilecorn
Есть формула для периода затухающих колебаний (смотреть на фотке), так вот, а меня попросили получается как-то из этой формулы найти омега нулевое и бетта. Так как это сделать? Или может быть есть уже готовые формулы?
