Как найти НОД
- Нахождение путём разложения на множители
- Алгоритм Евклида
Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.
Нахождение путём разложения на множители
Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.
Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.
Пример 1. Найти НОД (84, 90).
Решение: Раскладываем числа 84 и 90 на простые множители:
Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой:
2 · 3 = 6.
Таким образом, НОД (84, 90) = 6.
Пример 2. Найти НОД (15, 28).
Решение: Раскладываем 15 и 28 на простые множители:
Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.
НОД (15, 28) = 1.
Алгоритм Евклида
Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.
Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.
Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.
Пример 1. Возьмём два числа 27 и 9. Так как 27 делится на 9 и 9 делится на 9, значит, 9 является общим делителем чисел 27 и 9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что 9 не может делиться ни на какое число, большее 9. Следовательно:
НОД (27, 9) = 9.
В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:
- Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
- Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
- Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
- Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
- Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.
Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 140 и 96:
1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)
2) 96 : 44 = 2 (остаток 
3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)
4) 8 : 4 = 2
Последний делитель равен 4 — это значит:
НОД (140, 96) = 4.
Последовательное деление так же можно записывать столбиком:
Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:
- Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
- Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
- Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.
Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 140, 96 и 48. НОД чисел 140 и 96 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 4). Осталось найти наибольший общий делитель числа 4 и третьего данного числа — 48:
48 : 4 = 12
48 делится на 4 без остатка. Таким образом:
НОД (140, 96, 48) = 4.
Нахождение НОК и НОД двух натуральных чисел
Содержание:
- Что такое НОК и НОД двух натуральных чисел
- Особенности вычисления, алгоритм Евклида
- Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД)
- Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК)
Что такое НОК и НОД двух натуральных чисел
Натуральными числами называют числа, которые используются при счете – 1, 2, 3, 16, 25, 101, 2560 и далее до бесконечности. Ноль, отрицательные и дробные или нецелые числа не относятся к натуральным.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел a и b – это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое из рассматриваемых чисел.
Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел a и b – это наибольшее число, на которое делится без остатка каждое рассматриваемое число.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Свойства НОК и НОД для натуральных чисел a и b
- (НОД (a, b) = НОД (b, a);)
- (НОК (a, b) = НОК (b, a);)
- (НОК;(a,b)=frac{a;times;b}{НОД;(a,b)}.)
Особенности вычисления, алгоритм Евклида
Рассмотрим два способа определения НОД и НОК с помощью алгоритма Евклида:
- Способ деления.
При делении целых чисел с остатком, где a — делимое, b – делитель (b не равно 0) находят целые числа q и r согласно равенству (a=btimes) q+r, в котором q – неполное частное, r – остаток при делении (не отрицательное, по модулю меньше делителя).
Чтобы вычислить НОД, первоначально нужно выбрать наибольшее из двух чисел и поделить его на меньшее. Пока остаток не станет равным нулю, повторяется цикл деления делителя на остаток от деления в соответствии с формулой.
Пример №1
Вычислим НОД для чисел 12 и 20. Делим 20 на 12 и получаем 1 и 8 в остатке. Запишем иначе:
(20=12times1+8), так как остаток не равняется нулю, продолжаем деление. Делим 12 на 8 и получаем 1 и 4 в остатке. Записываем: (12=8times1+4) и по аналогии делим 8 на 4 и получаем 2 и 0 в остатке. НОД равен остатку, предшествующему нулю.
НОД (12;20) = 4
НОК получаем согласно свойству (НОК (a, b) = НОК;(a,b)=frac{a;times;b}{НОД;(a,b)}.) Подставляем числовые значения:
НОК (12; 20) = (12times20div4=60)
НОК (12;20) = 60
- Способ вычитания.
Здесь повторяется цикл вычитания из наибольшего числа меньшего числа до момента, пока разность не станет равна нулю. НОД равен предшествующей нулю разности.
Пример №2
Вычислим НОД для тех же чисел, 12 и 20.
20 – 12 = 8 (разность не равна нулю, продолжаем)
12 – 8 = 4
8 – 4 = 4
4 – 4 = 0
НОД (12;20) = 4
НОК находим также, как и при методе деления.
Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД)
Для нахождения наибольшего общего делителя воспользуемся пошаговым алгоритмом:
- Разложить числа на простые множители.
- Найти общий множитель одного и другого числа.
- Перемножить общие множители, если их несколько, и их произведение будет НОД.
Пример №3
Возьмем натуральные числа 24 и 36.
(24=2times2times2times3)
(36=2times2times3times3)
Правильно записать следующим образом:
(НОД (24;36)=2times3=6)
Примечание
В случае, когда одно или оба числа относятся к простым, т.е. делятся только на единицу и на само себя, то их НОД равняется 1.
Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК)
Для нахождения наименьшего общего кратного воспользуемся подробным алгоритмом:
- Наибольшее из чисел, а затем остальные разложить на простые множители.
- Выделить те множители, которые отсутствуют у наибольшего.
- Перемножить множители п. 2 и множители наибольшего числа, получить НОК.
Пример №4
Возьмем натуральные числа 9 и 12.
(12=2times2times3)
(9=3times3) (видим, что у числа 12 отсутствует одна тройка)
Правильно записать следующим образом:
(НОК (9;12)=2times2times3times3=36)
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 3.00 (Голосов: 4)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
В данной статье мы рассмотрим определение наибольшего общего делителя, научимся его находить для двух или нескольких чисел, а также разберем практические примеры для закрепления изложенного материала.
- Определение наибольшего общего делителя
-
Нахождение НОД
- Для двух (или небольших) чисел
- Для нескольких (или больших) чисел
Определение наибольшего общего делителя
Делитель натурального числа a – это такое натуральное число b, которое делит a нацело (без остатка). Обозначается буквой Д. Например Д(6) означает “делитель числа 6”.
Если у числа больше двух делителей, его называют составным.
Примеры делителей:
- Число 12 имеет следующие делители: 1, 2, 3, 4, 6.
- Число 15 имеет следующие делители: 1, 3, 5.
В отличие от кратных, количество делителей числа ограничено.
Общий делитель двух натуральных чисел – это такое число, на которое оба этих числа делятся без остатка.
Наибольший общий делитель двух натуральных чисел – наибольшее число из общих делителей данных чисел. Обозначается как НОД.
Например, НОД (12, 24) – это наибольший общий делитель чисел 12 и 24.
Нахождение НОД
Чтобы найти наибольший общий делитель, можно применить один из способов ниже.
Для двух (или небольших) чисел
- Записываем в ряд все делители для каждого числа (по возрастанию).
- Находим наибольшее значение, встречающееся в обоих рядах. Это и есть НОД.
Пример
Найдем наибольший делитель чисел 18 и 30.
Решение
Д(18): 1, 2, 3, 6, 9.
Д(30): 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15.
Таким образом, НОД (18, 30) = 6.
Для нескольких (или больших) чисел
Этот метод обычно применяется, если приходится иметь дело с большим числами, или нужно найти НОД для нескольких чисел.
- Для начала раскладываем числа на простые множители – простые числа, которые делят число без остатка.
- Отмечаем одинаковые простые множители, встречающиеся в обоих раскладках.
- Произведение найденных простых множителей и есть НОД.
Пример
Найдем НОД (16, 24, 40).
Решение
Разложим эти числа на простые множители.
Для всех трех чисел одинаковыми являются три множителя – это три двойки.
Следовательно, НОД (16, 24, 40) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) для определенного количества чисел может быть легкой задачей, если вы умеете это делать.
-
1
Найдите делители чисел. Начните с поиска всех делителей первого и второго числа.
-
2
Сравните делители обоих чисел и найдите самое большое число, которое есть в списке делителей как первого, так и второго числа. Это число равно НОД.
Реклама
-
1
Разложите каждое число на простые множители. Простое число — это число, большее 1 и которое делится только на 1 и на само себя. Примеры простых чисел: 5, 17, 97, 331.
-
2
Найдите общие простые множители. Общий простой множитель может быть только один, или их может быть несколько.
-
3
Если у двух чисел есть только один общий простой множитель, то он равен НОД. Если у двух чисел есть несколько общих простых множителей, то их произведение равно НОД.
-
4
Изучите пример. Чтобы продемонстрировать этот метод, изучите пример, приведенный на рисунке.
Реклама
Советы
- Простое число — это число, которое делится только на 1 и на само себя.
- Знаете ли вы, что в третьем веке до н.э. математик Евклид создал алгоритм для вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и двух многочленов?
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 7409 раз.