Как найти общий делитель для данных одночленов

Одночленом в алгебре называют произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, возведённых в неотрицательные степени. Например, выражения 2a^3b, 2x^4z^3 являются одночленами.

Говорят, что один одночлен делится на другой, если в результате деления получается одночлен. Например, одночлен 3a делится на a, но не делится на a^2, так как frac{3a}{a^2} = frac{3}{a} = 3a^{-1} — в результате деления получается выражение, не являющееся одночленом.

Наибольший общий делитель двух одночленов

Одночлены 3a^3b^2 и 2ab^3 делятся на одночлен ab. Дейсвительно, 3a^3b^2 = ab cdot 3a^2b, а 2ab^3 = abcdot 2b^2. Поэтому ab называют общим делителем одночленов 3a^3b^2 и 2ab^3.

Определение. Общий делитель двух одночленов, содержащий каждую из переменных в наивысшей возможной степени, называется наибольшим общим делителем (НОД) этих одночленов.

Для того, чтобы найти НОД двух одночленов, нужно выбрать перменные, входящие в оба одночлена, затем выбрать наименьшие показатели степени, с которыми эти переменные входят в одночлены, и составить произведение переменных в этих степенях.

Наименьшее общее кратное двух одночленов

Одночлен 2a^3bc^2 делится на одночлены 3ac и a^2bc:

    [2a^3bc^2 : 3ac = frac{2}{3}a^2bc, qquad 2a^3bc^2 : a^2bc = 2ac.]

Поэтому одночлен 2a^3bc^2 называется общим кратным одночленов 3ac и a^2bc.

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) двух одночленов называется общее кратное этих одночленов, которое содержит каждую из переменных в наименьшей возможной степени.

Для того, чтобы найти НОК двух одночленов, нужно взять все перменные, входящие в эти одночлены, затем выбрать наибольшие показатели степени, с которыми эти переменные входят в одночлены, и составить произведение переменных в этих степенях.

Наименьшее общее кратное также определено с точностью до коэффициента.

← назад | далее →

Автор статьи

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Одночлен

Определение 1

Выражения, являющиеся произведением чисел, переменных и их степеней, называются одночленами. Например, ${6х}^2,-11 sqrt{у, }{34a}^5b^4$. Также одночленами являются и сами числа, например $-243$, и переменные, например, y и их степени, например $x^{23}$.

Стандартным видом записи одночлен является такая, в которой на первом месте произведения стоит число, далее в произведении записаны переменные по их следовании в алфавите.

Например, одночлен ${34a}^5b^4$ записан в стандартном виде, а одночлен ${b^434a}^5$ — нет.

Число, стоящее на первом месте при стандартной записи одночлена, называется коэффициентом одночлена. Коэффициент одночлена ${34a}^5b^4$ равен $34$, а у одночлена $,-11 sqrt{y }$ равен $-11$.

Наибольший общий делитель

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$, называется наибольшим общим делителем и часто обозначается НОД.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, необходимо:

1) разложить числа на простые множители

2) выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

3) найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 1

Найти НОД чисел $121$ и $132$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

  1. разложить числа на простые множители

    $242=2cdot 11cdot 11$

    $132=2cdot 2cdot 3cdot 11$

  2. Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

    $242=2cdot 11cdot 11$

    $132=2cdot 2cdot 3cdot 11$

  3. Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

    $НОД=2cdot 11=22$

Наибольший общий делитель одночленов

«Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов» 👇

Определение 2

Одночлен, на который делится каждый из исходных одночленов, называется общим одночленом.

Например, для одночленов $a^2b^3$ и abc общим одночленом будет одночлен $ab$.

Наибольшим общим делителем одночленов будет являться одночлен, содержащий общие переменные с наибольшими показателями степеней.

Например, для одночленов $a^4b^3$ и $a^2b^5c^3$ наибольшим общим делителем будет $a^2b^3$.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух одночленов, необходимо:

1) найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов;

2) выбрать из показателей степеней выбранных переменных наименьшие и НОД коэффициентов исходных одночленов;

3) найти произведение переменных и чисел, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наибольшим общим делителем одночленов.

Пример 2

Найти НОД одночленов ${ 63a}^2b^6c^{11} $ и ${81a}^3b^4c^9$

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

  1. найти переменные, входящие в состав исходных одночленов

    ${a}^2b^6c^{11} $ и $a^3b^4c^9$

  2. выбрать из показателей степеней выбранных переменных наименьшие и НОД коэффициентов исходных одночленов

    ${a}^2b^6c^{11} $ и $a^3b^4c^9$

    Найдем НОД коэффициентов одночленов, т.е. чисел $63$ и $81$

    Разложим числа на простые множители

    $63=3cdot 3cdot 7$

    $81=3cdot 3cdot 3cdot 3$

    Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

    $63=3cdot 3cdot 7$

    $81=3cdot 3cdot 3cdot 3$

    Найдем произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

    $НОД=3cdot 3=9$

  3. Найти произведение переменных и чисел, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наибольшим общим делителем одночленов

    $НОД({63a}^2b^6c^{11} $ и ${81a}^3b^4c^9)=9a^2b^4c^9$

Наименьшее общее кратное двух чисел

Определение 3

Общими кратными чисел называются числа, которые делятся на исходные без остатка. Например, для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д.

Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

  1. Разложить числа на простые множители

  2. Выписать множители, входящие в состав первого числа, и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;

  3. Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

Пример 3

Найти НОК чисел $9$ и $77$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

  1. Разложить числа на простые множители:

    $99=3cdot 3cdot 11$

    $77=7cdot 11$

  2. Выписать множители, входящие в состав первого:

    $3,3,11 $

    Добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого:

    $7$

  3. Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

    $НОК=3cdot 3cdot 11cdot 7=693$

Наименьшее общее кратное двух одночленов

Определение 4

Общим кратным двух одночленов называется одночлен, который делится на исходные без остатка. Например, для одночленов $b^6c^{11}$ и ${ b}^4c^9$ общими кратными будут одночлены $b^6c^{11}$, $b^7c^{22}$ и т.д. Наименьший из них и будет наименьшим общим кратным двух одночленов.

Чтобы найти НОК двух одночленов, необходимо:

1) Найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов;

2) Выбрать из показателей степеней выбранных переменных наибольшие степени и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;

3) Найти произведение переменных, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наименьшим общим кратным одночленом.

Пример 4

Найти НОК${3a}^4b^7c^{12}d $ и ${8a}^3b^5c^9d^{12}$

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

  1. Найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов

    ${a}^4b^7c^{12}d $ и $a^3b^5c^9d^{12}$

  2. Выбрать из показателей степеней выбранных переменных наибольшие степени и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

    ${a}^4b^7c^{12}d $ и $a^3b^5c^9d^{12}$

  3. Найти произведение переменных, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наименьшим общим кратным одночленом

    $НОК{3a}^4b^7c^{12}d $;${8a}^3b^5c^9d^{12}= {a}^4b^7c^{12}d^{12}$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Найдите общий делитель для данных одночленов:
а)
3

a
2

b
3

,
12

a
3

b
2

;
б)
15

b

12

c
2

,
25

b
3

c
4

;
в)
6

x
2

y
,
9

y
5

;
г)

p
5

q
2

,
12

p
2

q
5

.

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Мордкович. §35. Сокращение алгебраических дробей. Номер №35.1.

Решение а

Получай решения и ответы с помощью нашего бота


3

a
2

b
3

,
12

a
3

b
2


общий делитель:
3

a
2

b
2

Решение б


15

b

12

c
2

,
25

b
3

c
4


общий делитель:
5

b
3

c
2

Решение в


6

x
2

y
,
9

y
5


общий делитель:
3
y

Решение г

p
5

q
2

,
12

p
2

q
5


общий делитель:

p
2

q
2

Алгоритм отыскания общего множителя

нескольких одночленов

1.Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, — он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

2.Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

3.Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем нескольких одночленов.

Алгоритм отыскания общего множителя

нескольких одночленов

1.Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, — он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

2.Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

3.Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем нескольких одночленов.

Алгоритм отыскания общего множителя

нескольких одночленов

1.Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, — он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

2.Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

3.Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем нескольких одночленов.

Алгоритм отыскания общего множителя

нескольких одночленов

1.Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, — он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

2.Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

3.Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем нескольких одночленов.

Алгоритм отыскания общего множителя

нескольких одночленов

1.Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, — он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

2.Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

3.Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем нескольких одночленов.

Классы

Все классы

  • 7
  • 8
  • 9

Предметы

Все предметы

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Алгебра
  • Геометрия
  • Физика

    войтирегистрация

      1. Ответкин
      2. Решебники
      3. 7 класс
      4. Алгебра
      5. Мордкович
      6. Задание №35.1

      Назад к содержанию

      ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) на Задание №35.1 по учебнику Алгебра. 7 класс. Часть 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович и др. — 17-е издание. Мнемозина, 2013-2019г.

      Условие

      Найдите общий делитель для данных одночленов:
      а) 3а^2b^3, 12а^3b^2;
      б) 15b^12с^2, 25b^3с^4;
      в) 6х^2у, 9у^5;
      г) р^5q^2, 12р^2q^5.

      Решение 1

      Фото решения 3: Задание №35.1 из ГДЗ по Алгебре 7 класс: Мордкович А.Г. г.

      Другие задачи из этого учебника

      Популярные решебники

      ГДЗ по Алгебре 7 класс: Макарычев Ю.Н.ГДЗ по Алгебре 7 класс: Макарычев Ю.Н.

      Издатель: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2013-2022г.

      ГДЗ по Алгебре 7 класс: Мордкович А.Г.ГДЗ по Алгебре 7 класс: Мордкович А.Г.

      Издатель: А.Г. Мордкович и др., 2013-2019г.

      ГДЗ по Алгебре 7 класс: Мерзляк А.Г.ГДЗ по Алгебре 7 класс: Мерзляк А.Г.

      Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2015-2022г.

      Сообщить об ошибке

      Выберите тип ошибки:

      Решено неверно

      Опечатка

      Плохое качество картинки

      Опишите подробнее
      в каком месте ошибка

      Ваше сообщение отправлено
      и скоро будет рассмотрено

      ОК, СПАСИБО

      Понравилась статья? Поделить с друзьями:

      Не пропустите также:

    • Как правильно составить выводы к проекту
    • Как найти интересное порно
    • Как найти количество оксида цинка
    • Как составить список игр
    • Плей маркет для телефона как найти

    • 0 0 голоса
      Рейтинг статьи
      Подписаться
      Уведомить о
      guest

      0 комментариев
      Старые
      Новые Популярные
      Межтекстовые Отзывы
      Посмотреть все комментарии