Как найти обратную матрицу с неизвестными

Матрица
называется обратнойк квадратной матрице,
если

,

где
— единичная матрица, имеющая тот же
порядок, что и матрица. Обратная
матрица существует только в том случае,
если,
и ее элементы находятся по формуле

,

где
— алгебраическое дополнение к элементу.

Внимание! Алгебраические дополнения
вычисляются к элементам строки, а
записываются в столбец.

Если
,
то матрицаназываетсявырожденной,
в противном случаеневырожденной,т.е. обратная матрица существует только
для невырожденных матриц.

Обозначается обратная матрица
,
т.е.

,

при этом ее определитель
.

Для невырожденных матриц
ивыполнены соотношения

,

.

Введение обратной матрицы позволяет
решать матричные уравнения. В конечном
счете, матричные уравнения сводятся к
двум простейшим уравнениям:

или.

Если матрица
— квадратная, невырожденная, то эти
уравнения имеют единственное решение,
которое можно получить с помощью обратной
матрицы. Так как при умножении матриц
коммутативный закон не выполняется,
указанные уравнения имеют различные
решения.

При поиске решения первое из уравнений
надо умножать на обратную матрицу
слева, а второе справа, т.е.

,
(5)

.
(6)

►Пример 5. Найти решение матричного
уравнения,
то есть определить матрицу,
если;.

Решение.

Решение в матричном виде определяется
формулой (5), т.е.
,
если матрицаневырожденная. Вычислим определитель
матрицы:

.

Следовательно, матрица
невырожденная, и для нее существует
обратная матрица. Проведем вычисления,
необходимые для построения обратной
матрицы. Вычислим алгебраические
дополнения:

Составим обратную матрицу
и
найдем неизвестную матрицу.

,.
◄

При вычислениях множитель
лучше оставлять перед матрицей и
проводить умножение полученной матрицы
на него на последнем этапе вычислений.

Упражнения.

1. Для заданных матриц найти обратную
матрицу:

а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.

Ответы:

а)
;
б) ; в)
;
г)
;

д)
.

2. Найти неизвестную матрицу из уравнений:

а)
;
б);
в);

г)
;
д).

Ответы: а);
б);
в);
г);
д).

4. Ранг матрицы

Рангомматрицы(обозначение:)
называетсяпорядок отличного от
нуля минора этой матрицы при условии,
что все ее миноры более высоких порядков
равны нулю. Минор наивысшего порядка,
отличный от нуля, называетсябазисным
миноромили просто базисом.
Матрица может иметь несколько различных
базисов. Для определения базиса над
матрицей производятэлементарные
преобразования, при которых ранг
матрицы не изменяется.

К элементарным
преобразованиямматрицы относятся:

— транспонирование;

— удаление или добавление строки
(столбца), состоящей из нулей;

— умножение строки (столбца) на число,
отличное от нуля;

— перестановка строк (столбцов);

-прибавление к элементам какой-либо
строки элементов другой строки,
умноженных на постоянное число (то же
самое для столбцов).

Выполняя элементарные преобразования
над матрицей, получаем другую матрицу,
называемую эквивалентной.
Переход от исходной матрицы к эквивалентной
будем обозначать символом.

Используя выше перечисленные действия,
матрицу можно преобразовать к треугольному
виду, что позволяет легко определить
ее ранг.

►Пример 7.Найти ранг матрицы.

Решение.

Преобразуем матрицу:

Минор
,
а все миноры четвертого порядка равны
нулю, т.к. содержат нулевую строку.
Следовательно,.
◄

При преобразовании матрицы мы проводили
операции только со строками и по
определенному алгоритму. Этот метод
стандартный, но не является обязательным.

Упражнения.

1. Найти ранг матриц:

а);
б);

в);
г).Ответы:а) 4; б) 2; в) 4; г) 3.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Как найти обратную матрицу

1. Быстрый способ для матриц $2 times 2$
   1. Пример 1
   2. Пример 2
2. Нахождение с помощью метода Гаусса
   1. Пример 3
   2. Пример 4
3. Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)
   1. Пример 5

Обратная матрица обозначается $ A^{-1} $ и существует только для матриц, у которых определитель не равен нулю $ det A neq 0 $.

Быстрый способ для матриц $2 times 2$

Пусть задана матрица $A = begin{pmatrix} a&b\c&d end{pmatrix}$. Для быстрого способа нахождения обратной матрицы необходимо поменять местами элементы стоящие на главной диагонали, а для оставшихся элементов поменять знак на противоположный. Затем каждый элемент разделить матрицы разделить на определитель исходной матрицы. Математическая формула выглядит следующим образом $$A^{-1} = frac{1}{det A} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix}.$$ 

Нахождение с помощью метода Гаусса

На практике чаще всего метод Гаусса используется как способ нахождения обратной матрицы. Суть метода в том, что к основной матрице добавляется дополнительная единичная матрица с такой же размерностью.

$$ Bigg (begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{matrix} Bigg | begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg ) $$

Далее нужно путем простейших элементарных преобразований привести левую матрицу к единичной, а одновременно с ней справа получится обратная матрица:

$$ Bigg (begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg | begin{matrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{matrix} Bigg ) $$

$$A^{-1} = begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{pmatrix}$$

Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)

Формула нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения выглядит следующим образом

$$A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T. $$

Матрица $A^*$ называется союзной (присоединенной) матрицей и представляет собой набор алгебраических дополнений матрицы $ A $:

$$ A^* = begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\A_{21}&A_{22}&A_{23}\A_{31}&A_{22}&A_{33} end{pmatrix}, text{ где } A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} $$

$M_{ij} $ называется минором матрицы, который получается путем вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-того столбца из матрицы.

Содержание:

• Нахождение обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы
• Нахождение обратной матрицы с помощью союзной матрицы
• Облегченный способ для матрицы второго порядка

Обратную матрицу
можно найти с помощью двух ниже описанных методов.

Нахождение обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы

Облегченный способ для матрицы второго порядка

Для матрицы второго порядка можно немного облегчить нахождение обратной, используя следующий алгоритм:

Шаг 1. Находим определитель $ Delta $ заданной матрицы,
если он равен нулю, то делаем вывод, что обратной матрицы не существует, иначе переходим к следующему шагу.

Шаг 2. Элементы, стоящие на
главной диагонали меняем местами, а у элементов
побочной диагонали меняем знак на противоположный.

Шаг 3. Делим все элементы на $ Delta $ и получаем обратную матрицу.

Нахождение обратной матрицы с помощью союзной матрицы

Имеет место следующее свойство: $ A cdot widetilde{A}^{T}=|A| cdot E $

Тогда, если $ |A| neq 0 $ , то
$ A cdot tilde{A}^{T} cdot frac{1}{|A|}=E $ , а тогда
$ A^{-1}=frac{1}{|A|} cdot tilde{A}^{T} $

Таким образом, матрица имеет союзную тогда и только тогда, когда она
невырожденная.

Читать дальше: линейно зависимые и линейно независимые строки.