Как найти область сходимости степенного ряда калькулятор - Avtoru.top

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор предназначен нахождения области сходимости степенного ряда. Результаты вычисления оформляются в формате Word (см. пример).

Например, исходный ряд подразделяется на три части: n^n, 2^n*n!, (x-5)^n.

Правила ввода функций:

Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, (x-4)ⁿ, записываем как (x-4)^n.
Число π ≡ pi, корень квадратный √¯ ≡ sqrt. Например, sqrt(n^2+n), eⁿ = exp(n)

Пример. .

Решение.

Общий вид степенного ряда . В нашем случае x₀=5, .

Известно, что область сходимости степенного ряда определяется величиной радиуса сходимости R:

|x-x₀|<R или x₀-R<x<x₀+R

Сходимость ряда на границах (при x=x₀±R) необходимо исследовать дополнительно.

Найдем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:

;

;

.

.

Для исследования сходимости этого ряда используем формулу Стирлинга , верную для факториалов больших чисел.

Получим ряд сравнения. Этот ряд расходится.

Проверим сходимость ряда при . Подставляя это значение в исходный ряд, получим числовой ряд

.

Этот ряд сходится (по признаку Лейбница).

Итак, мы получили область сходимости исходного ряда:

Источник

bold{mathrm{Basic}}

bold{alphabetagamma}

bold{mathrm{ABGamma}}

bold{sincos}

bold{gedivrightarrow}

bold{overline{x}spacemathbb{C}forall}

bold{sumspaceintspaceproduct}

bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}}

bold{H_{2}O}

square^{2}

x^{square}

sqrt{square}

nthroot[msquare]{square}

frac{msquare}{msquare}

log_{msquare}

theta

infty

int

frac{d}{dx}

ge	le	cdot	div	x^{circ}	(square)	\|square\|	(f:circ:g)	f(x)	ln	e^{square}
left(squareright)^{‘}	frac{partial}{partial x}	int_{msquare}^{msquare}	lim	sum	sin	cos	tan	cot	csc	sec

alpha	beta	gamma	delta	zeta	eta	theta	iota	kappa	lambda	mu
nu	xi	pi	rho	sigma	tau	upsilon	phi	chi	psi	omega

A	B	Gamma	Delta	E	Z	H	Theta	K	Lambda	M
N	Xi	Pi	P	Sigma	T	Upsilon	Phi	X	Psi	Omega

sin	cos	tan	cot	sec	csc	sinh	cosh	tanh	coth	sech
arcsin	arccos	arctan	arccot	arcsec	arccsc	arcsinh	arccosh	arctanh	arccoth	arcsech

begin{cases}square\squareend{cases}	begin{cases}square\square\squareend{cases}	=	ne	div	cdot	times	<	>	le	ge
(square)	[square]	▭:longdivision{▭}	times twostack{▭}{▭}	+ twostack{▭}{▭}	— twostack{▭}{▭}	square!	x^{circ}	rightarrow	lfloorsquarerfloor	lceilsquarerceil

overline{square}	vec{square}	in	forall	notin	exist	mathbb{R}	mathbb{C}	mathbb{N}	mathbb{Z}	emptyset
vee	wedge	neg	oplus	cap	cup	square^{c}	subset	subsete	superset	supersete

int	intint	intintint	int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square}	sum	prod
lim	lim _{xto infty }	lim _{xto 0+}	lim _{xto 0-}	frac{d}{dx}	frac{d^2}{dx^2}	left(squareright)^{‘}	left(squareright)^{»}	frac{partial}{partial x}

(2times2)	(2times3)	(3times3)	(3times2)	(4times2)	(4times3)	(4times4)	(3times4)	(2times4)	(5times5)
(1times2)	(1times3)	(1times4)	(1times5)	(1times6)	(2times1)	(3times1)	(4times1)	(5times1)	(6times1)	(7times1)

mathrm{Радианы}	mathrm{Степени}	square!	(	)	%	mathrm{очистить}
arcsin	sin	sqrt{square}	7	8	9	div
arccos	cos	ln	4	5	6	times
arctan	tan	log	1	2	3	—
pi	e	x^{square}	0	.	bold{=}	+

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

радиус:сходимости:sum_{n=0}^{infty}frac{x^{n}}{n!}
радиус:сходимости:sum_{n=1}^{infty}nx^{n}
радиус:сходимости:sum_{n=1}^{infty}frac{(x-3)^n}{n}
радиус:сходимости:sum_{n=0}^{infty}x^{n}
Показать больше

Описание

Шаг за шагом найти радиус сходимости степенного ряда

radius-of-convergence-calculator

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

The Art of Convergence Tests

Infinite series can be very useful for computation and problem solving but it is often one of the most difficult…

Введите Задачу

Сохранить в блокнот!

Войти

Источник

Проверить сходимость ряда можно несколькими способами. Во-первых можно просто найти
сумму ряда.
Если в результате мы получим конечное число, то такой
ряд сходится. Например, поскольку

то данный ряд сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, то следует использовать другие методы для проверки сходимости ряда.

Одним из таких методов является
признак Даламбера, который записывается следующим образом:

здесь

и

соответственно

и

члены ряда, а сходимость определяется значением
. Если

— ряд сходится, если

— расходится. При

— данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

В качестве примера, исследуем сходимость ряда

с помощью признака Даламбера. Сначала запишем выражения для

и
.
Теперь найдем соответствующий
предел:

Поскольку
,
в соответствии с признаком Даламбера, ряд сходится.

Еще одним методом, позволяющим проверить сходимость ряда является
радикальный признак Коши, который записывается следующим образом:

здесь

— n-ый член ряда, а сходимость, как и в случае признака Даламбера, определяется значением
. Если

— ряд сходится, если

— расходится. При

— данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

В качестве примера, исследуем сходимость ряда

с помощью радикального признака Коши. Сначала запишем выражение для

Теперь найдем соответствующий предел:

Поскольку
,
в соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.

Стоит отметить, что наряду с перечисленными, существуют и другие признаки сходимости рядов, такие как интегральный признак Коши, признак Раабе и др.

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет протестировать сходимость ряда. При этом, если калькулятор в качестве суммы ряда выдает конкретное число, то ряд сходится. В противном случае, необходимо обращать внимание на пункт «Тест сходимости ряда». Если там присутствует словосочетание «series converges», то ряд сходится. Если присутствует словосочетание «series diverges», то ряд расходится.

Ниже представлен перевод всех возможных значений пункта «Тест сходимости ряда»:

Текст на английском языке	Текст на русском языке
By the harmonic series test, the series diverges.	При сравнении исследуемого ряда с гармоническим рядом , исходный ряд расходится.
The ratio test is inconclusive.	Признак Даламбера не может дать ответа о сходимости ряда.
The root test is inconclusive.	Радикальный признак Коши не может дать ответа о сходимости ряда.
By the comparison test, the series converges.	По признаку сравнения, ряд сходится
By the ratio test, the series converges.	По признаку Даламбера, ряд сходится
By the limit test, the series diverges.	На основнии того, что , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится.

Источник

Пример 1:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:

R — радиус сходимости. Вычислим его:

x₁ = 2 — 1 = 1
x₂ = 2 + 1 = 3
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (1;3)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = 1
Получаем ряд:

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

Второе условие Лейбница выполняется.
Ряд сходится, значит, x = 1 — точка сходимости.
При x = 3
получаем ряд:

числовой знакоположительный ряд.
Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 3 — точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x [1;3)

Пример 4:

Исследовать область сходимости функционального ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Найти область сходимости степенного ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом члены ряда не определены при х=-3/11, а если х≠-3/11, то

при любом х – ряд расходится всюду.

Пример 7:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%20=%20lim_%7bn%20to%20infty%20%7d%7bfrac%7ba_%7bn%7d%7d%7ba_%7bn%2B1%7d%7d%7d$
R — радиус сходимости. Вычислим его:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%20=%20lim_%7bn%20to%20infty%20%7d%7bfrac%7bfrac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d%7d%7bfrac%7bn%2B1%7d%7b2%5e%7bn%2B1%7d%7d%7d%7d%20=%202$
x1 = -1 — 2 = -3
x2 = -1 + 2 = 1
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-3;1)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = -3
Получаем ряд:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sum%7bfrac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d(3(-3)%2B1)%5e%7bn%7d%7d%20=%20sum%7b(-1)%5e%7bn%7dcdot%20n%7d$
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие не выполняется
1<2<3
б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

Второе условие Лейбница не выполняется.
Ряд расходится, значит, x = -3 — точка расходимости.
При x = 1
получаем ряд:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sum%7bfrac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d(3cdot%201%2B1)%5e%7bn%7d%7d%20=%20sum%7bn%7d$
числовой знакоположительный ряд.
Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 1 — точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x (-3;1)

Пример 8:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

Следовательно, ряд сходится, если

и расходится, если

Если x=4/9, то ряд принимает вид — знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).

Если x=2/3, то ряд принимает вид — такой ряд расходится (по признаку сравнения, т.к. и ряд расходится (гармонический ряд)).

Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: [4/9;2/3).

Пример 9:

Найдите множество абсолютной (условной) сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

Следовательно, ряд сходится, если

и расходится, если

Если x=-3/7, то ряд принимает вид — знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).

Если x=-1/7, то ряд принимает вид — такой ряд также сходится (обобщенный гармонический ряд с параметром p=11>1).

Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: [-3/7;-1/7].

Пример 11:

Найдите множества абсолютной (условной) сходимости ряда

Решение от преподавателя:

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.

Проверяем выполнение признака Лейбница:

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, то ряд сходится.

Ряд знакочередующийся. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется