Как найти область сходимости функционального ряда примеры - Avtoru.top

Тема 2. Функциональные
ряды. Степенные ряды

2.1. Функциональные
ряды

До сих
пор мы рассматривали ряды, членами
которых были числа. Перейдем теперь к
изучению рядов, членами которых являются
функции.

Функциональным
рядом называется ряд

членами
которого являются функции одного и того
же аргумента, определенные на одном
множестве Е.

Например,

1.
;

2.
;

3.
.

Если
придать аргументу х некоторое
числовое значение,
,
то получим числовой ряд

который может сходиться (сходиться
абсолютно) или расходиться.

Если
при

полученный числовой ряд сходится, то
точка

называется точкой сходимости
функционального ряда. Совокупность
всех точек сходимости называется
областью сходимости
функционального ряда. Обозначим
область сходимости Х, очевидно,
.

Если для
числовых знакоположительных рядов
ставится вопрос: «Сходится ряд или
расходится?», для знакопеременных –
вопрос: «Сходится как – условно или
абсолютно,– или расходится?», то для
функционального ряда основной вопрос
звучит так: «Сходится (сходится абсолютно)
при каких х?».

Функциональный
ряд

устанавливает закон, по которому каждому
значению аргумента
,
,
ставится в соответствие число, равное
сумме числового ряда
.
Таким образом, на множестве Х задается
функция
,
которая называется суммой функционального
ряда.

Пример 16.

Найти область сходимости
функционального ряда

Решение.

Пусть х – фиксированное число,
тогда данный ряд можно рассматривать
как числовой ряд, знакоположительный
при

и знакопеременный при
.

Составим
ряд из абсолютных величин членов данного
ряда:

и применим к нему признак ДАламбера.

т.е для любого значения х этот предел
меньше единицы, значит данный ряд
сходится, причем абсолютно (так как
исследовали ряд из абсолютных величин
членов ряда) на всей числовой оси.

Таким образом, областью абсолютной
сходимости является множество
.

Пример 17.

Найти область сходимости функционального
ряда
.

Решение.

Пусть х – фиксированное число,
,
тогда данный ряд можно рассматривать,
как числовой ряд, знакоположительный
при

и знакопеременный при
.

Рассмотрим
ряд из абсолютных величин членов данного
ряда:

и применим к нему признак ДАламбера.

По признаку ДАламбера
ряд сходится, если величина предела
меньше единицы, т.е. данный ряд будет
сходиться, если
.

Решив это
неравенство, получим:


.

Таким
образом, при
,
ряд, составленный из абсолютных величин
членов данного ряда, сходится, значит,
исходный ряд сходится абсолютно, а при

данный ряд расходится.

При

ряд может сходится или расходится, так
как при этих значениях х величина
предела равна единицы. Поэтому
дополнительно исследуем сходимость
ряда точках

и
.

Подставляя
в данный ряд
,
получим числовой ряд
,
про который известно, что он является
гармоническим расходящимся рядом,
значит, точка
–
точка расходимости заданного ряда.

При

получается знакочередующийся числовой
ряд

про который известно, что он сходится
условно (смотри пример 15), значит, точка

– точка условной сходимости ряда.

Таким образом, область сходимости
данного ряда
,
причем ряд сходится абсолютно при
.

Функциональный ряд

называется мажорируемым
в некоторой области изменения х, если
существует такой сходящийся
знакоположительный ряд

что для всех х из данной области
выполняется условие

при
.
Ряд
называется
мажорантой.

Иначе говоря, ряд является мажорируемым,
если каждый его член по абсолютной
величине не больше соответствующего
члена некоторого сходящегося
знакоположительного ряда.

Например, ряд

является мажорируемым для любого х,
так как для всех х выполняется
соотношение

при
,

а ряд
,
как известно, является сходящимся.

Теорема Вейерштрасса

Ряд,
мажорируемый в некоторой области,
абсолютно сходится в этой области.

Рассмотрим
для примера функциональный ряд
.
Этот ряд является мажорируемым при
,
так как при

члены ряда не превосходят соответствующих
членов знакоположительного ряда
.
Следовательно, по теореме Вейерштрасса,
рассмотренный функциональный ряд
абсолютно сходится при
.

2.2. Степенной ряд.
Теорема Абеля. Область сходимости
степенного ряда

Среди
всего многообразия функциональных
рядов наиболее важными с точки зрения
практического применения являются
степенные и тригонометрические ряды.
Рассмотрим такие ряды подробнее.

Степенным
рядом по степеням

называется функциональный ряд вида

где
–
некоторое фиксированное число,
–
числа, называемые коэффициентами ряда.

При

получаем степенной ряд по степеням х,
который имеет вид

Для
простоты будем рассматривать степенные
ряды по степеням х, так как из такого
ряда легко получить ряд по степеням
,
подставив вместо х выражение
.

Простота
и важность класса степенных рядов
обусловлены в первую очередь тем, что
частичная сумма степенного ряда

является многочленом – функцией,
свойства которой хорошо изучены и
значения которой легко вычисляются с
помощью только арифметический операций.

Поскольку
степенные ряды являются частным случаем
функционального ряда, то для них так же
необходимо находить область сходимости.
В отличие от области сходимости
произвольного функционального ряда,
которая может быть множеством произвольного
вида, область сходимости степенного
ряда имеет вполне определенный вид. Об
этом говорит следующая теорема.

Теорема Абеля.

Если
степенной ряд

сходится при некотором значении
,
то он сходится, причем абсолютно, при
всех значениях х, удовлетворяющих
условию
.
Если степенной ряд расходится при
некотором значении
,
то он расходится и при значения,
удовлетворяющих условию
.

Из теоремы
Абеля следует, что все точки сходимости
степенного ряда по степеням х расположены
от начала координат не далее, чем
любая из точек расходимости. Очевидно,
что точки сходимости заполняют некоторый
промежуток с центром в начале координат.
справедлива теорема об области сходимости
степенного ряда.

Теорема.

Для всякого степенного ряда

существует число R
(R>0) такое, что
при всех х, лежащих внутри интервала
,
ряд сходится абсолютно и при всех х,
лежащих вне интервала
,
ряд расходится.

Число
R называется
радиусом сходимости степенного
ряда, а интервал
–
интервалом сходимости
степенного ряда по степеням х.

Заметим,
что в теореме ничего не говорится о
сходимости ряда на концах интервала
сходимости, т.е. в точках
.
В этих точках различные степенные ряды
ведут себя по-разному: ряд может сходиться
(абсолютно или условно), а может
расходиться. Поэтому сходимость ряда
в этих точках следует проверять
непосредственно по определению.

В частных
случаях радиус сходимости ряда может
быть равен нулю или бесконечности. Если
,
то степенной ряд по степеням х
сходится лишь в одной точке
;
если же
,
то степенной ряд сходится на всей
числовой оси.

Еще раз
обратим внимание на то, что степенной
ряд
по
степеням
может
быть сведен к степенному ряду

с помощью замены
.
Если ряд

сходится при
,
т.е. для
,
то после обратной замены получим



или
.

Таким
образом, интервал сходимости степенного
ряда

имеет вид
.
Точку

называют центром сходимости. Для
наглядности принято интервал сходимости
изображать на числовой оси (рисунок 1)

Таким
образом, область сходимости состоит из
интервала сходимости, к которому могут
быть добавлены точки
,
если в этих точках ряд сходится. Интервал
сходимости можно находить, применяя
непосредственно признак ДАламбера
или радикальный признак Коши к ряду,
составленному из абсолютных величин
членов данного ряда.

Пример 18.

Найти
область сходимости ряда
.

Решение.

Данный
ряд является степенным рядом по степеням
х, т.е.
.
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных
величин членов данного ряда, и воспользуемся
признаком ДАламбера.

Ряд будет
сходиться, если величина предела меньше
1, т.е.

,
откуда
.

Таким
образом, интервал сходимости данного
ряда
,
радиус сходимости
.

Исследуем сходимость
ряда на концах интервала, в точках
.
Подставляя в данный ряд значение
,
получим ряд

Полученный ряд
является гармоническим расходящимся
рядом, следовательно, в точке

ряд расходится, значит, точка

не входит в область сходимости.

При
получим знакочередующийся ряд

который является
условно сходящимся (пример 15), следовательно,
точка

– точка
сходимости (условной).

Таким образом,
область сходимости ряда
,
причем в точке

ряд сходится условно, а в остальных
точках — абсолютно.

Рассуждениям,
использованным при решении примера,
можно придать общий характер.

Рассмотрим степенной
ряд

Составим ряд
из абсолютных величин членов ряда и
применим к нему признак Д’Аламбера.

Если существует
(конечный или бесконечный) предел, то
по условию сходимости признака Д’Аламбера
ряд будет сходиться, если

Отсюда из определения
интервала и радиуса сходимости имеем

Применяя радикальный
признак Коши и рассуждая аналогично,
можно получить еще одну формулу для
нахождения радиуса сходимости

Найти область
сходимости ряда

Решение.

Ряд является
степенным по степеням х.
Для нахождения
интервала сходимости вычислим радиус
сходимости по приведенной выше формуле.
Для данного ряда формула числового
коэффициента имеет вид

,
тогда

Следовательно,

Так как R
= ,
то ряд сходится (причем абсолютно) при
всех значения х,
т.е. область
сходимости х

(–;
+).

Заметим, что можно
было бы найти область сходимости без
использования формул, а применяя
непосредственно признак Д’ Аламбера:

Так
как величина предела не зависит от х
и меньше 1,
то, значит, ряд сходится при всех значениях
х, т.е.
при х(-;+).

Пример
20

Найти область
сходимости ряда

1!(х+5)+2!(х
+ 5)²
+3!(х
+ 5)³
+… + п!(х
+ 5)^п
+…

Решение.

Данный ряд является
степенным рядом по степеням (х
+ 5),
т.е. центр
сходимости х₀
= —5.
Числовой коэффициент ряда а_п
= п!.

Найдем
радиус сходимости ряда

Таким
образом, интервал сходимости состоит
из одной точки – центра интервала
сходимости х
= —5.

Пример 21

Найти область
сходимости ряда
.

Решение.

Данный ряд является
степенным рядом по степеням (х–2),
т.е.

центр сходимости
х₀
= 2.
Заметим, что
ряд является знакоположительным при
любом фиксированном х,
так как
выражение (х-2)
возводится
в степень 2п.
Применим к
ряду радикальный признак Коши.

Ряд будет сходиться,
если величина предела меньше 1, т.е.

значит, радиус
сходимости
,
тогда интеграл
сходимости

Таким образом, ряд
сходится абсолютно при х

.
Обратим
внимание, что интеграл сходимости
симметричен относительно центра
сходимости х_о
= 2.

Исследуем
сходимость ряда на концах интервала
сходимости.

Полагая
,
получим числовой знакоположительный
ряд

Воспользуемся
необходимым признаком сходимости:

следовательно,
числовой ряд расходится, и точка

является точкой расходимости. Заметим,
что при вычислении предела использовали
второй замечательный предел.

Полагая
,
получим тот же числовой ряд (проверить
самостоятельно!), значит, точка

также не входит в интервал сходимости.

Итак, область
абсолютной сходимости данного ряда
х.

2.3. Свойства сходящихся степенных рядов

Мы знаем, что
конечная сумма непрерывных функций
непрерывна; сумма дифференцируемых
функций дифференцируема, причем
производная суммы равна сумме производных;
конечную сумму можно интегрировать
почленно.

Оказывается, для
«бесконечных сумм» функций – функциональных
рядов в общем случае свойства не имеют
места.

Например, рассмотрим
функциональный ряд

Очевидно, что все
члены ряда – непрерывные функции. Найдем
область сходимости этого ряда и его
сумму. Для этого найдем частичные суммы
ряда

тогда сумма ряда

Таким образом,
сумма S(х)
данного
ряда, как предел последовательности
частичных сумм, существует и конечна
при х 
(-1;1),
значит, этот
промежуток является областью сходимости
ряда. При этом его сумма является
разрывной функцией, так как

Итак, этот пример
показывает, что в общем случае свойства
конечных сумм не имеют аналога для
бесконечных сумм – рядов. Однако для
частного случая функциональных рядов
– степенных рядов – свойства суммы
аналогичны свойствам конечных сумм.

Источник

Область сходимости функционального ряда

Содержание:

Примеры с решением

Рассмотрим теперь ряды, членами которых являются не числа, а функции.

Определение 3.1. Пусть функции заданы на одном и том же множестве Назовем функциональным рядом с общим членом выражение

Если заменять в этом выражении переменную любым числом из то получим числовой ряд:

Таким образом, каждый функциональный ряд определяет множество числовых рядов, получаемых из него подстановкой вместо переменной ее значений.

Эти числовые ряды могут сходиться при одних значениях аргументов и расходиться при других значениях. Например, как мы знаем, ряд

сходится, если и расходится, если

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Определение 3.2. Множество значений аргумента

при которых сходится функциональный ряд называется областью сходимости этого ряда.

Таким образом, каждому значению из области сходимости ряда соответствует число —сумма данного ряда при Тем самым в области сходимости ряда определена функция называемая суммой этого ряда. Частичные суммы ряда будем обозначать а его остаток обозначим Таким образом, в области сходимости имеем:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Чаще всего используют функциональные ряды двух типов: степенные и тригонометрические.

1. Степенные ряды — это ряды вида:

Таким образом, степенной ряд является частным случаем функционального ряда, где имеет вид:

Частичная сумма степенного ряда является многочленом. Поэтому вычисление ее значения сводится к арифметическим операциям над значениями аргументов, числом и коэффициентами ряда. При степенной ряд принимает вид:

Из произвольного степенного ряда можно получить ряд типа (3.2), сделав замену Поэтому ясно, что если ряд (3.2) сходится в области то ряд (3.1) сходится в области вида:

2. Тригонометрические ряды — это функциональные ряды вида:

где — постоянные числа, причем При получаем тригонометрический ряд в форме

Из общего тригонометрического ряда с помощью замены

получаем ряд вида (3.4). Отсюда следует, что если — область сходимости ряда (3.4), то ряд (3.3) сходится в области

Примеры с решением

Пример 1.

Найти область сходимости функционального рада

Так как то, применяя признак

Коши, имеем

Следовательно, ряд сходится, если т.е. при

При получаем знакочередующийся ряд который

сходится по признаку Лейбница. Таким образом, область сходимости ряда — полуинтервал

Пример 2.

Область сходимости функционального ряда. Пусть функции определены в области Выражение

называется функциональным рядом. Если для числовой ряд сходится, то говорим, что функциональный ряд (1) сходится в точке Если в каждой точке числовые ряды

сходятся, то ряд (1) называется сходящимся в области

Критерий Коши. Для того чтобы функциональный ряд (1) был сходящимся в области необходимо и достаточно чтобы для любого и любого существовало такое, что

всех

Для определения области абсолютной сходимости функционального ряда (1) следует воспользоваться либо признаком Даламбера, либо признаком Коши. Именно, если или

то для определения области абсолютной сходимости ряда (1) следует решить функциональное неравенство а для определения области расходимости — функциональное неравенство При этом для изучения поведения ряда в граничных точках получаемой области, т.е. в точках, описываемых уравнением требуется дополнительное исследование.

Лекции:

Нахождение обратной матрицы
Формула Симпсона: пример решения
Матрицы и системы линейных уравнений
Первообразная функция
Предельный признак сравнения
Сходимость степенного ряда
Матрица перехода
Дифференциальные уравнения второго порядка
Сюръекция, инъекция и биекция.
Множество

Источник

Пример 1:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:

R — радиус сходимости. Вычислим его:

x₁ = 2 — 1 = 1
x₂ = 2 + 1 = 3
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (1;3)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = 1
Получаем ряд:

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

Второе условие Лейбница выполняется.
Ряд сходится, значит, x = 1 — точка сходимости.
При x = 3
получаем ряд:

числовой знакоположительный ряд.
Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 3 — точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x [1;3)

Пример 4:

Исследовать область сходимости функционального ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Найти область сходимости степенного ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом члены ряда не определены при х=-3/11, а если х≠-3/11, то

при любом х – ряд расходится всюду.

Пример 7:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%20=%20lim_%7bn%20to%20infty%20%7d%7bfrac%7ba_%7bn%7d%7d%7ba_%7bn%2B1%7d%7d%7d$
R — радиус сходимости. Вычислим его:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%20=%20lim_%7bn%20to%20infty%20%7d%7bfrac%7bfrac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d%7d%7bfrac%7bn%2B1%7d%7b2%5e%7bn%2B1%7d%7d%7d%7d%20=%202$
x1 = -1 — 2 = -3
x2 = -1 + 2 = 1
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-3;1)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = -3
Получаем ряд:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sum%7bfrac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d(3(-3)%2B1)%5e%7bn%7d%7d%20=%20sum%7b(-1)%5e%7bn%7dcdot%20n%7d$
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие не выполняется
1<2<3
б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

Второе условие Лейбница не выполняется.
Ряд расходится, значит, x = -3 — точка расходимости.
При x = 1
получаем ряд:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sum%7bfrac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d(3cdot%201%2B1)%5e%7bn%7d%7d%20=%20sum%7bn%7d$
числовой знакоположительный ряд.
Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 1 — точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x (-3;1)

Пример 8:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

Следовательно, ряд сходится, если

и расходится, если

Если x=4/9, то ряд принимает вид — знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).

Если x=2/3, то ряд принимает вид — такой ряд расходится (по признаку сравнения, т.к. и ряд расходится (гармонический ряд)).

Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: [4/9;2/3).

Пример 9:

Найдите множество абсолютной (условной) сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

Следовательно, ряд сходится, если

и расходится, если

Если x=-3/7, то ряд принимает вид — знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).

Если x=-1/7, то ряд принимает вид — такой ряд также сходится (обобщенный гармонический ряд с параметром p=11>1).

Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: [-3/7;-1/7].

Пример 11:

Найдите множества абсолютной (условной) сходимости ряда

Решение от преподавателя:

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.

Проверяем выполнение признака Лейбница:

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, то ряд сходится.

Ряд знакочередующийся. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

Второе условие Лейбница выполняется.

Данный ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница для знакочередующихся рядов.

Следовательно, ряд условно сходящийся.

Следовательно, сходится условно и исходный ряд.

Область сходимости ряда:(-∞; +∞)

Пример 12:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид — обобщенный гармонический ряд с параметром .

Такой ряд сходится, если

Однако и поэтому при любом х – ряд всюду расходится.

Пример 13:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

По признаку Лейбница ряд расходится

Т. о., область сходимости имеет вид (-1; 1)

Пример 14:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

Следовательно, ряд сходится, если

и расходится, если

Если x=1/6, то ряд принимает вид — такой ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости).

Если x=3/2, то ряд принимает вид — такой ряд также расходится (также не выполнено необходимое условие сходимости).

Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: .

Пример 15:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Источник

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

Решение функциональных рядов

Область сходимости

Функциональным рядом называется ряд

членами которого являются функции определенные на некотором множестве Е числовой оси. Например, члены ряда

определены на интервале а члены ряда

определены на отрезке

Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке если сходится числовой ряд Если ряд (1) сходится в каждой точке х множества и расходится в каждой точке, множеству D не принадлежащей, то говорят, что ряд сходится на множестве D, и называют D областью сходимости ряда.

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся на множестве D, если на этом множестве сходится ряд

В случае сходимости ряда (1) на множестве D его сумма S будет являться функцией, определенной на D,

Область сходимости некоторых функциональных рядов можно найти с помощью известных достаточных признаков, установленных для рядов с положительными членами, например, признака Даламбера, признака Коши.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Так как числовой ряд

сходится при р > 1 и расходится при р 1, то, полагая р = lg x, получим данный ряд, который будет сходиться при Ig x > 1, т.е. если x > 10, и расходиться при Ig x 1, т.е. при 0 < х 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч

Пример:

Найти область сходимости ряда

Рассмотрим ряд

Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем

При т. е. при х < 0, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале

При х > 0 ряд расходится, так как Расходимость ряда при x = 0 очевидна.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Члены данного ряда определены и непрерывны на множестве Применяя признак Коши, найдем

для любого Следовательно, ряд расходится при всех значениях x.

Обозначим через (x) n-ю частичную сумму функционального ряда (1). Если этот ряд сходится на множестве D и его сумма равна S(x), то ее можно представить в виде

где есть сумма сходящегося на множестве D ряда

который называется n-м остатком функционального ряда (1). Для всех значений имеет место соотношение

и поэтому.

т. е. остаток сходящегося ряда стремится к нулю при каково бы ни было .

Равномерная сходимость

Среди всех сходящихся функциональных рядов важную роль играют так называемые равномерно сходящиеся ряды.

Пусть дан сходящийся на множестве D функциональный ряд

сумма которого равна S(x). Возьмем его n-ю частичную сумму

Определение:

Функциональный ряд

называется равномерно сходящимся на множестве если для любого числа найдется число N > 0 такое, что неравенство

будет выполняться для всех номеров n > N и для всех х из множества

Замечание:

Здесь число N является одним и тем же для всех т. е. не зависит от х, однако зависит от выбора числа так что пишут

Равномерную сходимость функционального ряда к функции S(x) на множестве часто обозначают так:

Определение равномерной сходимости ряда на множестве можно записать короче с помощью логических символов:

Поясним геометрически смысл равномерной сходимости функционального ряда. Возьмем в качестве множества отрезок [а, b] и построим графики функций у = S(x), Неравенство выполняющееся для номеров n > N и для всех можно записать в следующем виде

Полученные неравенства показывают, что графики всех функций с номерами n > N будут целиком заключены внутри полосы, ограниченной кривыми

Пример:

Показать, что функциональный ряд

равномерно сходится на отрезке

Данный ряд является знакочередующимся, удовлетворяет условиям признака Лейбница при всяком и, следовательно, сходится на отрезке Пусть S(x) — его сумма, a Sn(x) — его n-я частичная сумма. Остаток ряда

по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины своего первого члена:

а поскольку и для всех n = 1, 2, … . Возьмем любое Тогда неравенство будет выполняться, если Отсюда находим, что Если взять число

(Здесь через [а] обозначено наибольшее целое число, не превосходящее а), то неравенство |S(x) — будет выполняться для всех номеров n > N и для всех Это означает, что данный ряд равномерно сходится на отрезке [-1,1].

Замечание:

Не всякий сходящийся на множестве D функциональный ряд является равномерно сходящимся на D.

Пример:

Покажем, что ряд

сходится на отрезке но не равномерно.

Вычислим n-ю частичную сумму Sn(x) ряда. Имеем

Откуда

Данный ряд сходится на отрезке [0,1] и его сумма

Абсолютная величина разности (остатка ряда) равна

Возьмем число Пусть

Разрешим неравенство относительно n. Имеем откуда

(так как 0 < х < 1, то In х < 0, и при делении на In х знак неравенства меняется на обратный). Неравенство будет выполняться при

Поэтому такого не зависящего от х числа N(e), чтобы неравенство

выполнялось для каждого n > N(e) сразу для всех х из отрезка не существует.

Если же заменить отрезок меньшим отрезком то на последнем данный ряд будет сходиться к функции S(x) = 0 равномерно. В самом деле,

и поэтому

сразу для всех

Признак Вейерштрасса

Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда дается теоремой Вейерштрасса.

Теорема:

Признак Вейерштрасса. Пусть для всех х из множества члены функционального ряда

по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда

с положительными членами, т. е.

для всех Тогда функциональный ряд (1) на множестве сходится абсолютно и равномерно.

Тек как по условию теоремы члены ряда (1) удовлетворяют условию (3) на всем множестве , то по признаку сравнения ряд сходится при любом следовательно, ряд (1) сходится на абсолютно

Докажем равномерную сходимость ряда (1). Пусть

Обозначим через частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно. Имеем

для всех

Возьмем любое (сколь угодно малое) число Тогда из сходимости числового ряда (2) следует существование номера и, следовательно, для всех номеров ряд (1) сходится равномерно на множестве

Замечание:

Числовой ряд (2) часто называют мажорирующим, или мажорантным, для функционального ряда (1).

Пример:

Исследовать на равномерную сходимость ряд

Неравенство

выполняется для всех n = 1, 2, … и для всех Числовой ряд

сходится. В силу признака Вейерштрасса рассматриваемый функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на всей оси.

Пример:

Исследовать на равномерную сходимость ряд

Члены ряда определены и непрерывны на отрезке [-2,2]. Так как

на отрезке [-2,2] для любого натурального n, то

Таким образом, неравенство

выполняется для n = 1, 2, … и для всех Так как числовой ряд

сходится, то по признаку Вейерштрасса исходный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [-2,2].

Замечание:

Функциональный ряд (1) может сходится равномерно на множестве и в том случае, когда не существует числового мажорантного ряда (2), т.е. признак Вейерштрасса является лишь достаточным признаком для равномерной сходимости, но не является необходимым.

Пример:

Как было показано выше (пример 1 в § 2), ряд

равномерно сходится на отрезке [-1,1 ]. Однако для него мажорантного сходящегося числового ряда (2) не существует. В самом деле, для всех натуральных n и для всех выполняется неравенство

причем равенство достигается при х = — 1 и х = 1. Поэтому члены искомого мажорантного ряда (2) непременно должны удовлетворять условию

но числовой ряд

расходится. Значит, будет расходиться и ряд

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают рядом важных свойств.

Теорема:

Если все члены ряда

равномерно сходящегося на отрезке [а, b], умножить на одну и ту же функцию g(х), ограниченную на [а, b], то полученный функциональный ряд

будет равномерно сходиться на [а, b].

Пусть на отрезке [а, b] ряд равномерно сходится к функции S(x), а функция g(х) ограничена, т. е. существует постоянная С > 0 такая, что

По определению равномерной сходимости ряда для любого числа существует номер N такой, что для всех n > N и для всех [а,b] будет выполняться неравенство

где Sn(x) — частичная сумма рассматриваемого ряда. Поэтому будем иметь

для n > N и для любого [a,b], т. е. ряд

равномерно сходится на [а, b] к функции g(x) S(x).

Теорема:

Пусть все члены fn(x) функционального ряда

непрерывны и ряд сходится равномерно на отрезке [a, b]. Тогда сумма S(x) ряда непрерывна на этом отрезке.

Возьмем на отрезке [a,b] две произвольные точки Так как данный ряд сходится на отрезке [а, b] равномерно, то для любого числа > 0 найдется номер N = N() такой, что для всех n > N будут выполняться неравенства

где Sn(х) — частичные суммы ряда Эти частичные суммы Sn(x) непрерывны на отрезке [а, b] как суммы конечного числа непрерывных на [a, b] функций fn(х). Поэтому для фиксированного номера и взятого числа найдется число такое, что для приращения удовлетворяющего условию будет иметь место неравенство

Приращение можно представить в следующем виде:

Учитывая неравенства (1) и (2), для приращений удовлетворяющих условию получим

Это означает, что непрерывна в точке х. Так как х является произвольной точкой отрезка [а,b], то S(x) непрерывна на [а,b].

Замечание:

Функциональный ряд

члены которого непрерывны на отрезке [a, b], но который сходится на [а, b] неравномерно, может иметь суммой разрывную функцию.

Пример:

Рассмотрим функциональный ряд

на отрезке [0,1]. Вычислим его n-ю частичную сумму

т.е. сумма ряда

Она разрывна на отрезке [0, 1], хотя члены ряда непрерывны на нем. В силу доказанной теоремы данный ряд не является равномерно сходящимся на отрезке [0,1].

Пример:

Рассмотрим ряд

Как было показано выше, этот ряд сходится при ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса, так как

и числовой ряд

сходится. Следовательно, для любого х > 1 сумма этого ряда непрерывна.

Замечание:

Функция

называется функцией Римана (эта функция играет большую роль в теории чисел).

Теорема:

О почленном интегрировании функционального ряда. Пусть все члены fn(x) ряда

непрерывны, и ряд сходится равномерно на отрезке [а, b] к функции S(х). Тогда справедливо равенство

т. е. данный ряд можно почленно интегрировать в пределах от до х при любых х и [а, b]. Полученный ряд будет сходиться равномерно по х на отрезке [а, b], каково бы ни было [а, b].

В силу непрерывности функций fn(x) и равномерной сходимости данного ряда на отрезке [а, b] его сумма S(x) непрерывна и, следовательно, интегрируема на [а, b]. Рассмотрим разность

где

Из равномерной сходимости ряда на [a,b] следует, что для любого > 0 найдется число N() > 0 такое, что для всех номеров n > N() и для всех будет выполняться неравенство