Как найти область определения многочлена

Умение находить область определения функции — важный навык в алгебре, потому что он дает вам возможность оценить, где функция определена правильно. Или, другими словами, регион, в котором допустимо использовать функцию

Задача найти, где допустимо использовать функцию, является полезной. Например, рассмотрим функцию (f(x) = sqrt x). Мы знаем, что функция оперирует такими значениями, что (x ge 0). Мы не можем работать с отрицательными числами, потому что мы получили бы что-то вроде (f(-1) = sqrt{-1}), что не совсем точно (по крайней мере, как действительное число)

Вы можете проверить наш предыдущий урок, в котором мы подробно говорили о

домен и диапазон

. Это руководство будет ориентировано на оперативную часть поиска домена.

Зачем нам нужно искать домен?

Причина, по которой нам нужно найти область определения функции, заключается в том, что каждая функция имеет определенный набор значений, в которых она определена. Не все функции определены везде в реальной строке.

Домен, область на реальной линии, где он находится

действительный

для работы с функцией (f(x)) в терминах значений, которые может принимать (x).

Что нам нужно сделать, чтобы найти домен?

На самом деле не существует одной хитрости, подходящей для всех размеров. Каждая функция отличается, и для поиска области необходимо использовать разные стратегии в зависимости от функции.

Вы ВСЕГДА должны учитывать два метода:

Техника 1.

: Убедитесь, что есть деления на ноль.

Причем те точки, которые приводят к делению на ноль, нужно исключить из области.

Техника 2.

: Убедитесь, что есть квадратные корни делений с отрицательными аргументами (например, (sqrt{-1})).

Более того, те точки, которые приводят к извлечению квадратного корня из отрицательного числа, необходимо исключить из домена.

В конечном итоге, используя эти два метода, вы сможете отсеять точки, которых нет в домене. Остальные точки на реальной линии просто ЯВЛЯЮТСЯ частью домена.

Итак, эти два метода решают проблему знания того, как найти область определения функции алгебраически. Другой способ сделать это — посмотреть на график, если он доступен.

ПРИМЕР 1

Найдите домен функции (f(x) = sqrt{x+4}+3)

ОТВЕЧАТЬ:

Первое, что нам нужно сделать, и именно в этом заключается наш успех в поиске домена, — это определить, где потенциально мы могли бы найти недопустимые операции, такие как деление на ноль или отрицательные квадратные корни.

Для функции (f(x) = sqrt{x+4}+3) нет потенциальных делений на ноль, но есть квадратный корень. Чтобы иметь действительный аргумент, аргумент внутри квадратного корня должен быть неотрицательным.

Следовательно, чтобы (x) находилось в домене функции, нам нужно иметь (xge 0). Это означает, что домен (f) — это ({x: xge 0}) или ([0, +infty)), если мы используем обозначение интервала.

Всегда ли это просто ?? Не совсем, это может быть так сложно, как вы, в зависимости от сложности функции (f(x)).

Однако обычно примеры, которые вы видите в своих тестах и домашних заданиях, довольно просты. Давайте поднимемся на ступеньку выше с точки зрения сложности.

ПРИМЕР 2

Теперь найдите домен функции (displaystyle f(x) = sqrt{frac{x+4}{x-3}})

ОТВЕЧАТЬ:

Эта функция немного сложнее и требует более внимательного отношения. В этом случае нам нужно беспокоиться как о возможных делениях на ноль, так и на отрицательные квадратные корни.

Во-первых, может быть потенциальное деление на ноль, когда (x = 3), что указывает на то, что (x = 3) следует исключить из домена.

Теперь нам нужно позаботиться о потенциальном отрицательном квадратном корне. Нам нужно оценить признак (displaystyle frac{x+4}{x-3}). Более того, нам нужно, чтобы он был неотрицательным, поэтому нам нужно решить:

[displaystyle frac{x+4}{x-3} ge 0]

Чтобы деление было неотрицательным, нам нужно, чтобы числитель и знаменатель были положительными, либо числитель и знаменатель были отрицательными.

Другими словами, нам нужны оба (x+4 ge 0) и (x-3 > 0), или оба (x+4 le 0) и (x-3 < 0).

Это то же самое, что и (x ge -4), и (x > 3), или оба (x le -4) и (x < 3).

И это может быть записано как (x > 3) или как (x le -4), что соответствует интервалу ( (-infty, -4] cup (3, +infty)).

Напрашивается вывод, что область определения функции (displaystyle f(x) = sqrt{frac{x+4}{x-3}}):

[ dom(f) = (-infty, -4] cup (3, +infty)]

Как видите, уровень сложности немного увеличился, и вы можете увеличивать его сколько угодно.

Как найти область рациональной функции

Прежде всего, напомним, что рациональная функция — это частное двух многочленов вида:

[f(x) = frac{p(x)}{q(x)} = frac{a_0 + a_1 x + …+ a_m x^m}{b_0 + b_1 x + …+ b_n x^n}]

Как найти область для указанной выше рациональной функции? Нам нужно следовать нашему правилу: ищите возможные деления на ноль и отрицательные квадратные корни.

В этом случае нет потенциальных отрицательных квадратных корней, но может быть деление на ноль, если многочлен в знаменателе равен нулю.

Вывод очень простой: область определения рациональной функции — это вся вещественная прямая, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ тех точек, в которых многочлен в знаменателе равен нулю.

ПРИМЕР 3

Найдите домен

[f(x) = frac{x^2 + x + 1}{x^3 — 6x^2 + 11x — 6}]

ОТВЕЧАТЬ:

Прежде всего, нам нужно понять, что это рациональная функция, потому что у вас есть два полинома (p(x) = x^2 + x + 1) и (q(x) = x^3 — 6x^2 + 11x — 6) в числителе и знаменателе соответственно.

Итак, первый шаг — найти нули многочлена в знаменателе, поэтому нам нужно решить: [ x^3 — 6x^2 + 11x — 6 = 0]

Это уравнение довольно сложно решить, поэтому я дам вам это действительно (x^3 — 6x^2 + 11x — 6 = (x-1)(x-2)(x-3)), поэтому нам нужно решить:

[ x^3 — 6x^2 + 11x — 6 = (x-1)(x-2)(x-3) = 0]

что означает, что корни многочлена в знаменателе равны (x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3). Вывод состоит в том, что область определения функции — это вся вещественная линия, за исключением точек 1, 2 и 3. При использовании интервальной записи область определения ((-infty, +infty) backslash {1,2,3}).