Как найти область определения функции на рисунке - Avtoru.top

Исследование графика функции

На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

область определения функции;
область значений функции;
нули функции;
промежутки возрастания и убывания;
точки максимума и минимума;
наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось X.
Ось ординат — вертикальная ось, или ось Y.

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается x.
Другими словами, мы сами выбираем x, подставляем в формулу функции и получаем y.

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента x, при которых функция существует.
Обозначается: D(f) или D(y).

На нашем рисунке область определения функции — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть y=0 . На нашем рисунке это точки x=-4 и x=1 .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает на множестве , если для любых x_1 и x_2 , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает на множестве , если для любых x_1 и x_2 , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке x=4 — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке x= -2 — точка минимума.

Точка x= -6 — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и x=6 на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это x=4 и x= -2 .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: y= -3 . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке x=4 .

Можно сказать, что экстремумы функции равны и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Исследование графика функции» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Вспомним кратко основные определения функции в математике.

Функция — это зависимость переменной « y » от
независимой переменной « x ».

Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:

у = 2x

« x » называют независимым аргументом функции;
« y » зависимой переменной или значением функции.

Вместо « x » (аргумента функции) в формулу «у = 2x» подставляем произвольные числовые значения
и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».

Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу «у = 2x» и запишем результаты в таблицу.

y = 2x

x = −2

у = 2 · (−2) = −4

x = 0

y = 2 · 0 = 0

x =

y = 2 ·

2 · 1

= 1

x = 3

y = 2 · 3 = 6

Запомните!

Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо « x » (аргумента функции).

Обозначают область определения функции как:

D(y)

Вернемся к нашей функции «у = 2x» и найдем её область определения.

Посмотрим ещё раз на таблицу функции «y = 2x», где
мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».

y = 2x

−2

−4

Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать,
что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.

Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:

−2
0
10
30,5
1 000 000
и так далее…

Запомните!

Областью определения функции называют множество чисел,
которые можно подставить вместо « x ».

В нашей функции «у = 2x» вместо « x »
можно подставить любое число, поэтому область определения функции «у = 2x» — это любые действительные числа.

Запишем область определения функции «у = 2x» через математические обозначения.

у = 2x
D(y): x — любое действительное число

Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на
математические символы.
Для этого вспомним понятие числовой оси.

Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции «у = 2x».
Так как в функции
«у = 2x» нет ограничений для « x »,
заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности «−∞» до плюс бесконечности
«+∞».

Запишем результат по правилам записи неравенств.

D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности
до плюс бесконечности.

Запишем окончательный ответ для области определения функции.

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как
«x ∈ R».

Читается «x ∈ R» как: « x » принадлежит всем действительным числам».

Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
«x ∈ R» одинаковы по своей сути.

Область определения функции с дробью

Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x »
в функции

« f(x) = ».

По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя.
Иначе говоря,
знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.

Переменная « x » находится в знаменателе функции «f(x) = ».
Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.

x + 5 ≠ 0

Решим полученное линейное уравнение.

Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме «−5».
На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».

Число «−5» отмечено
«пустой»
точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.

Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.

Запишем промежутки через математические символы. Так как число «−5» не входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
круглая скобка.

Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке
«Как записать ответ неравенства».

x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) = ».

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)

Область определения функции с корнем

Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.

Разбор примера

Найти область определения функции:

y = √6 − x

Из урока «Квадратный корень» мы помним,
что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.

Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
«у = √6 − x».
Подкоренное выражение
«6 − x» должно быть больше или равно нулю.

6 − x ≥ 0

Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».

6 − x ≥ 0

−x ≥ −6 | ·(−1)

x ≤ 6

Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число «6» отмечено
«заполненной»
точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.

x ∈ (−∞ ; 6]

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«y = √6 − x» .
Так как число «6» входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
квадратная скобка.

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; 6]

Правило для определения области определения функции

Запомните!

Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:

на ноль делить нельзя (другими словами, знаменатели дробей с « x » не должны быть равны нулю);
подкоренные выражения корней чётной степени должны быть больше или равны нулю.

При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:

есть ли в функции дроби со знаменателем, в котором есть « x »?
есть ли корни четной
степени с « x »?

Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.

Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.

В функции «
f(x) = √x + 3 +
»

есть дробь «

»,
где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель
« x² − 9 »
не может быть равен нулю.

Решаем квадратное уравнение через
формулу квадратного уравнения.

x_1;2 =

x² − 9 ≠ 0

x_1;2 =

−0 ±
√0² − 4 · 1 · (−9)

2 · 1

x_1;2 ≠

x_1;2 ≠ ±3

Запомним полученный результат. Задаем себе
второй
вопрос.
Проверяем, есть ли в формуле функции

«
f(x) = √x + 3 +
»

корень четной степени.

В формуле есть квадратный корень «
√x + 3
».

Подкоренное выражение «x + 3»
должно быть больше или равно нулю.

x + 3 ≥ 0

Решим линейное неравенство.

x + 3 ≥ 0
x ≥ −3

Объединим полученные ответы по обоим вопросам:

знаменатель дроби
«
» не равен нулю ;
подкоренное выражение «
√x + 3
» должно быть больше или равно нулю.

Объединим все полученные результаты на числовых осях.
Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.

Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях.
Обратим внимание, что числа «−3» и «3» отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.

Получаем два числовых
промежутка «−3 < x < 3» и «x > 3», которые являются областью определения функции
«f(x) = √x + 3 + ».
Запишем окончательный ответ.

Ответ:

D(y): x ∈ (−3 ; 3) ∪ (3 ; +∞)

Примеры определения области определения функции

Разбор примера

Найти область определения функции:

y = ⁶√x +
⁵√1 + x

Для поиска области определения функций задаем себе
первый вопрос.

Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?

Ответ: в формуле функции

«y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
нет дробей.

Задаем
второй вопрос.

Есть ли в функции корни четной степени?

Ответ: в функции есть корень шестой степени:
«⁶√x».

Степень корня — число «6». Число «6» — чётное,
поэтому подкоренное выражение корня «⁶√x»
должно быть больше или равно нулю.

x ≥ 0

В формуле функции «y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
также есть корень пятой степени
«⁵√1 + x
».

Степень корня «5» — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение
«1 + x»
не накладывается.

Получается, что единственное ограничение области определения функции

«y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
— это ограничение подкоренного выражения
«⁶√x».

x ≥ 0

Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.

Ответ:

D(y): x ∈ [0 ; +∞)

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два.
Выделим знаменатели с « x » красным цветом.

Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.

	√x + 2 ≠ 0
x² − 7x + 6 ≠ 0

Обозначим их номерами «1» и
«2» и решим каждое уравнение отдельно.

	√x + 2 ≠ 0 (1)
x² − 7x + 6 ≠ 0 (2)

Решаем первое уравнение.

√x + 2 ≠ 0 (1)

Если значение квадратного корня
«√x + 2 ≠ 0» не должно быть равно нулю,

значит, подкоренное выражение
«x + 2 ≠ 0»

также не должно быть равно нулю.

√x + 2 ≠ 0 (1)

x + 2 ≠ 0
x ≠ −2

Теперь решим уравнение под номером «2», используя
формулу квадратного уравнения.

x_1;2 =

x² − 7x + 6 ≠ 0 (2)

x_1;2 =

−(−7) ±
√(−7)² − 4 · 1 · 6

2 · 1

x_1;2 =

Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.

Знаменатели с « x »
мы проверили. Настала очередь
проверить
формулу функции
на
наличие корней четной степени .

В формуле функции

«f(x) =

+
»

есть два корня
«√x − 4» и
«√x + 2». Их подкоренные
выражения должны быть больше или равны нулю.

Решим полученную
систему неравенств.

Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.

Выпишем результат решения системы неравенств.

x ≥ 4

Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим
проверкам:

проверка, что знаменатели
дробей
с « x »
не равны нулю;
проверка, что
подкоренные выражения корней четной степени должно быть больше или равны нулю.

Условие проверки

Результат

Результат проверки, что знаменатели дробей

с « x »

не равны нулю

Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю

x ≥ 4

Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет
всем полученным условиям.

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) =

+
»

с использованием математических символов.

Ответ:

D(y): x ∈ [4 ; 6) ∪ (6; +∞)

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

17 декабря 2016 в 18:02

Татьяна Цыганова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Татьяна Цыганова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Найти ОДЗ функции у=?(р1+р2х+x²)
Я не могу понять за какое число воспринимать p1, p2

0
Спасибо thanks
Ответить

17 декабря 2016 в 19:10
Ответ для Татьяна Цыганова

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

x^₂ + p₂x + p₁ ? 0.

0
Спасибо thanks
Ответить

24 февраля 2016 в 20:29

Влад Алексеев
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Влад Алексеев
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Постройте график функции y=-

. Укажите область определения функции

0
Спасибо thanks
Ответить

25 февраля 2016 в 8:10
Ответ для Влад Алексеев

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

Область определения функции: знаменатель не равен 0.
x+1?0
x?-1
Графиком является гипербола, смещеная влево относительно оси Y.

0
Спасибо thanks
Ответить

5 февраля 2018 в 14:30
Ответ для Влад Алексеев

Кирилл Косован
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Кирилл Косован
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

0
Спасибо thanks
Ответить

11 февраля 2018 в 15:44
Ответ для Влад Алексеев

Татьяна Мирная
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Татьяна Мирная
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

у=-

0
Спасибо thanks
Ответить

7 октября 2015 в 21:21

Катерина Яроцкая
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Катерина Яроцкая
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Помогите найти область определения функции

0
Спасибо thanks
Ответить

12 сентября 2016 в 15:59
Ответ для Катерина Яроцкая

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

К сожалению, картинка не отражается.

0
Спасибо thanks
Ответить

Источник

Загрузить PDF

Область определения функции — это множество чисел, на котором задается функция. Другими словами, это те значения х, которые можно подставить в данное уравнение. Возможные значения у называются областью значений функции. Если вы хотите найти область определения функции в различных ситуациях, выполните следующие действия.

1

Запомните, что такое область определения. Область определения — это множество значений х, при подставлении которых в уравнение мы получаем область значений у.
2
Научитесь находить область определения различных функций. Тип функции определяет метод нахождения области определения. Вот основные моменты, которые вы должны знать о каждом типе функции, о которых пойдет речь в следующем разделе:
- Полиномиальная функция без корней или переменных в знаменателе. Для этого типа функции областью определения являются все действительные числа.
- Дробная функция с переменной в знаменателе. Чтобы найти область определения данного типа функции, знаменатель приравняйте к нулю и исключите найденные значения х.
- Функция с переменной внутри корня. Чтобы найти область определения данного типа функции, задайте подкоренное выражение больше или равно 0 и найдите значения х.
- Функция с натуральным логарифмом (ln). Задайте выражение под логарифмом > 0 и решите.
- График. Нарисуйте график для нахождения х.
- Множество. Это будет список координат х и у. Область определения — список координат х.
3
Правильно обозначайте область определения. Легко научиться правильному обозначению области определения, но важно, чтобы вы правильно записывали ответ и получали высокую оценку. Вот несколько вещей, которые вы должны знать о написании области определения:
- Один из форматов написания области определения: квадратная скобка, 2 конечных значения области, круглая скобка.
  - Например, [-1; 5). Это означает область определения от -1 до 5.
- Используйте квадратные скобки [ и ] , чтобы указать, что значение принадлежит области определения.
  - Таким образом, в примере [-1; 5) область включает -1.
- Используйте круглые скобки ( и ) , чтобы указать, что значение не принадлежит области определения.
  - Таким образом, в примере [-1; 5) 5 не принадлежит области. Область включает только значения, бесконечно близкие к 5, то есть 4,999(9).
- Используйте знак U для объединения областей, разделенных промежутком.
  - Например, [-1; 5 ) U (5; 10]. Это означает, что область проходит от -1 до 10 включительно, но не включает 5. Это может быть у функции, где в знаменателе стоит «х — 5».
  - Вы можете использовать несколько U по мере необходимости, если область имеет несколько разрывов/промежутков.
- Используйте знаки «плюс бесконечность» и «минус бесконечность», чтобы выразить, что область бесконечна в любом направлении.
  - Со знаком бесконечности всегда используйте ( ), а не [ ].
Реклама

1
Запишите пример. Например, вам дана следующая функция:
- f(x) = 2x/(x² — 4)
2
Для дробных функций с переменной в знаменателе надо приравнять знаменатель к нулю. При нахождении области определения дробной функции необходимо исключить все значения х, при которых знаменатель равен нулю, потому что нельзя делить на ноль. Запишите знаменатель как уравнение и приравняйте его к 0. Вот как это делается:
- f(x) = 2x/(x² — 4)
- x² — 4 = 0
- (x — 2 )(x + 2) = 0
- x ≠ 2; — 2
3
Запишите область определения:
- х = все действительные числа, кроме 2 и -2
Реклама

1

Запишите пример. Дана функция y =√(x-7)
2
Задайте подкоренное выражение больше или равным 0. Вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа, хотя вы можете извлечь квадратный корень 0. Таким образом, задайте подкоренное выражение больше или равным 0. Заметим, что это относится не только к квадратным корням, но и ко всем корням с четной степенью. Тем не менее, это не относится к корням с нечетной степенью, так как отрицательное число может стоять под корнем нечетной степени.
- х — 7 ≧ 0
3
Выделите переменную. Для этого перенесите 7 в правую часть неравенства:
- x ≧ 7
4
Запишите область определения. Вот она:
- D = [7; +∞)
5
Найдите область определения функции с корнем, когда есть несколько решений. Дано: y = 1/√( ̅x² -4). Приравняв знаменатель к нулю и решив это уравнение, вы получите х ≠ (2; -2). Вот как вы действуете далее:
- Проверьте область за -2 (например, подставив -3), чтобы удостовериться, что подстановка в знаменатель чисел меньше -2 в результате дает число больше 0. И это так:
  - (-3)² — 4 = 5
- Теперь проверьте область между -2 и +2. Подставьте, например, 0.
  - 0² — 4 = -4, так что числа между -2 и 2 не подходят.
- Теперь попробуйте числа больше 2, например 3.
  - 3² — 4 = 5, так что числа больше 2 подходят.
- Запишите область определения. Вот как записывается эта область:
  - D = (-∞; -2) U (2; +∞)
Реклама

1
Запишите пример. Допустим, дана функция:
- f(x) = ln(x —
2
Задайте выражение под логарифмом больше нуля. Натуральный логарифм должен быть положительным числом, поэтому задаем выражение внутри скобок больше нуля.
- x — 8 > 0
3
Решите. Для этого обособьте переменную х, прибавив к обеим частям неравенства 8.
- x — 8 + 8 > 0 + 8
- x > 8
4
Запишите область определения. Область определения этой функции есть любое число больше 8. Вот так:
- D = (8; +∞)
Реклама

1

Посмотрите на график.
2
Проверьте значения х, которые отображены на графике. Это может быть легче сказать, чем сделать, но вот несколько советов:
- Линия. Если на графике вы видите линию, которая уходит в бесконечность, то все значения х верны, и область определения включает все действительные числа.
- Обычная парабола. Если вы видите параболу, которая смотрит вверх или вниз, то область определения — все действительные числа, потому что подходят все числа на оси х.
- Лежачая парабола. Теперь, если у вас есть парабола с вершиной в точке (4; 0), которая простирается бесконечно вправо, то область определения D = [4; +∞)
3

Запишите область определения. Запишите область определения в зависимости от типа графика, с которым вы работаете. Если вы не уверены в типе графика и знаете функцию, описывающую его, для проверки подставьте координаты х в функцию.

Реклама

1

Запишите множество. Множество — это набор координат х и у. Например, вы работаете со следующими координатами: {(1; 3), (2; 4), (5; 7)}
2

Запишите координаты х. Это 1; 2; 5.
3

Область определения: D = {1; 2; 5}
4

Убедитесь, что множество является функцией. Для этого необходимо, чтобы каждый раз, когда вы подставляете значение х, вы получали одно и то же значение y. Например, подставляя х = 3, вы должны получить у = 6, и так далее. Приведенное в примере множество не является функцией, потому что дано два разных значения у: {(1; 4), (3; 5), (1; 5)}.

Реклама