Как найти объем тела вращения прямоугольной трапеции - Avtoru.top

Тело, получившееся при вращении трапеции вокруг своего меньшего основания —

цилиндр, в одном из основании вырезан конус.

Объем этого тела равен объему цилиндра без объема конуса.
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Радиусом основания является меньшая боковая сторона трапеции,

которая с основаниями трапеции образует прямой угол — трапеция прямогольная по условию задачи, и является ее высотой.
S осн= πr²=π3²=9π см ²

Высотой цилиндра является большее основание трапеции
Высота цилиндра равна 14 см
Найдем объем цилиндра, не учитывая объема «вырезанного» из него конуса.
V=Sh=9π ·14=126π см³
Для того, чтобы найти объем тела вращения, следует найти объем конуса по формуле
Vкон=Sh:3
Площадь основания этого конуса та же, что площадь основания цилиндра, высота равна разности оснований трапеции
h=14 -10=4 см
Vкон=Sh:3=9π·4:=36π:3 =12πсм³
Объем тела вращения
Vцил -Vкон=126π-12π=114 π см³ или ≈ 358,14см³( на π умножено в калькуляторе без сокращения)

————————————

Источник

Дополнения

1.О применении определённого интеграла для нахождения объёмов тел вращения

1.1.Формула объёма тела вращения

В п.16.2 дано определение тела вращения.

Получим формулу для вычисления объёма тела вращения, применяя интеграл, о котором вам рассказали в курсе «Алгебры и начал математического анализа».

Пусть f(x) — непрерывная на отрезке [a; b] функция, не принимающая отрицательных значений; А, В — точки графика этой функции (рис. 225).

Рис. 225

Рассмотрим криволинейную трапецию aABb, ограниченную кривой графика функции y = f(x), отрезками aA, bB и отрезком [a; b] координатной оси Ох (см. рис. 225). При вращении этой трапеции вокруг оси Ох образуется тело вращения (рис. 226), которое обозначим Ф и поставим себе задачу: найти объём этого тела.

Рис. 226

Через произвольную точку х = с (a ⩽ с ⩽ b) отрезка [a; b] проведём плоскость, перпендикулярную оси Ox. Сечением тела Ф этой плоскостью является круг, радиус которого равен f(с), а площадь — πf2(с) (или точка (c; 0)).

Объём части тела Ф, заключённой между этой плоскостью и плоскостью х = a, изменяется при изменении x. Обозначим этот переменный объём V(х). Заметим, что V(x) = V(a) = 0 при х = a; при х = b имеем V(x) = V(b) = V — искомый объём тела вращения Ф.

Покажем, что функция V(x) имеет производную V′(х) и V′(х) = πf2(х).

Придадим абсциссе х приращение ∆х > 0, тогда объём V(х) получает приращение ∆V(х) = V(x + ∆x) – V(x). Пусть m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(х) на промежутке [х; х + ∆х]. Цилиндр, радиус основания которого равен m, содержится в теле вращения объёма ∆V(x), а цилиндр, радиус основания которого равен M, содержит тело объёма ∆V(х); образующие цилиндров параллельны оси Ох и имеют длину, равную ∆х. Объёмы этих цилиндров равны соответственно πm2•∆x и πM2•∆х. На основании свойства 2 объёмов (п. 10.1) получаем

πm2•∆x ⩽ ∆V(x) ⩽ πM2•∆x,

откуда

πm2 ⩽ ⩽ πM2.

Рассуждения для случая ∆х < 0 проводятся аналогично и дают тот же результат.

Пусть теперь ∆х 0. Имеем m = M = f(x), тогда

πm2 ⩽ ⩽ πM2

или

πf2(х) ⩽ ⩽ πf2(x).

Значит, = πf2(х). По определению производной функции = V′(x). Поэтому V ′(x) = πf2(х), следовательно, V(х) — первообразная для πf2(х).

Таким образом, переменный объём V(x) телa вращения представляет собой одну из первообразных для функции πf 2(х) на отрезке [a; b]. Эта первообразная обладает тем свойством, что при х = a она обращается в нуль (V(a) = 0), а при х = b значение функции V(x) равно объёму тела вращения Ф (V(b) = V).

Если F(х) — также некоторая первообразная для функции πf 2(x), то V(x) = F(x) + С, где С — произвольная постоянная. Так как V (a) = 0, то из равенства V(a) = F (a) + C = 0 находим С = –F(a). Значит, V(x) = F(x) – F(a). Toгдa V(b) = F(b) – F(a). Ho V(b) = V — искомый объём тела вращения Ф. Таким образом, V = F(b) – F(a), где F(b) и F(a) — значения первообразной для функции πf 2(х) соответственно при х = b и х = a. Это означает, что

V = f 2(x)dx = π(x)dx.

Вот почему объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = f(x), х = a, х = b, у = 0, вычисляется по формуле

Рис. 227

V = (x)dx.(*)

ЗАДАЧА. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = , х = 0, x = 2 и y = 0 (рис. 227).

Решение. Воспользуемся формулой V = π(x)dx, для чего из уравнения у = находим y2 = 2х. Тогда получаем

V = πdx = 2π• = = 4π.

Ответ: 4π.

1.2. Объёмы конуса, шара и его частей

Используя формулу V = (x)dx вычисления объёма тела вращения, получим формулы для вычисления объёма каждого изученного ранее тела вращения.

а) Объём конуса и усечённого конуса

Теорема 1 (об объёме полного конуса). Объём V конуса с высотой Н и радиусом основания R равен одной трети произведения площади основания на высоту:

V = R2Н.

Рис. 228

Доказательство. Конус с высотой Н и радиусом основания R можно рассматривать как тело, образованное вращением вокруг оси Ox прямоугольного треугольника с вершинами О(0; 0), А(Н; 0) и B(Н; R) (рис. 228). Треугольник АОВ является частным случаем криволинейной трапеции, которая ограничена графиком функции у = х (0 ⩽ х ⩽ H), осью Ох и отрезком прямой х = Н. Поэтому, используя формулу (*) п. 1.1 «Дополнений» для объёма V конуса, получаем:

V = dx = π • = πR2H,

где πR2 — площадь основания конуса. Теорема доказана. ▼

Теорема 2 (об объёме усечённого конуса). Объём усечённого конуса с высотой Н и радиусами оснований r и R равен сумме объёмов трёх конусов с высотой Н, радиусы оснований которых соответственно равны r, R и :

V = (r2 + R2 + rR)H.

Доказательство. Усечённый конус с высотой H и радиусами оснований r и R можно получить, вращая вокруг оси Oх прямоугольную трапецию OABC, где O(0; 0), A(0; r), В(Н; R), С(H; 0) (рис. 229).

Рис. 229

Прямая AВ проходит через точки (0; r) и (Н; R), поэтому её уравнение имеет вид у = х + r. Следовательно, трапеция ОАВС ограничена графиком функции y = х + r (0 ⩽ х ⩽ Н), осью Oх и отрезками прямых х = 0 и х = Н. Поэтому, используя формулу (*) из п. 1.1 для объёма V усечённого конуса, получаем:

V = dx.(1)

Для вычисления интеграла сделаем замену переменных

x + r = t.(2)

Тогда dx = dt, откуда dx = dt. Новые пределы интегрирования (по переменной t) найдём посредством подстановки формулы (2): х = 0 ⇒ t = r; х = Н ⇒ t = R. Таким образом, для объёма V усечённого конуса получаем:

что и требовалось доказать. ▼

б) Объём шарового слоя

В прямоугольной декартовой системе координат Оху рассмотрим криволинейную трапецию aABb, ограниченную дугой окружности х2 + у2 = R2, –R ⩽ a ⩽ х ⩽ b ⩽ R, отрезком [a; b] оси Ох и отрезками aА и bВ прямых соответственно x = a и х = b (рис. 230, а).

Рис. 230

При вращении криволинейной трапеции aАВb вокруг оси Ох образуется шаровой слой (рис. 230, б). Найдём его объём, применяя формулу (*) п. 1.1.

Из уравнения х2 + у2 = R2 имеем у2 = R2 – x2. Поэтому для вычисления объёма V шарового слоя получаем:

Таким образом, объём шарового слоя, отсекаемого от шара x2 + y2 + z2 ⩽ R2 радиуса R плоскостями x = a и x = b, вычисляется пo формуле

V = (**)

Пусть радиусы оснований шарового слоя равны r1 и r2 (r1 > r2), а высота — H (см. рис. 230, a).

Тогда Н = b – a, = R2 – a2, = R2 – b2.

Формулу (**) преобразуем к виду:

V = (3R2 – (b2 + ab + a2)) =

= ((R2 – b2) + (R2 – ab) + (R2 – a2)).

Из системы равенств (b – a)2 = H2, R2 – a2 = , R2 – b2 = после почленного сложения их левых и правых частей находим:

R2 – ab = .

Тогда:

V = ((R2 – b2) + (R2 – ab) + (R2 – a2)) =

= .

Таким образом, объём шарового слоя с радиусами оснований r1 и r2 и высотой Н вычисляется по формуле

V = .(***)

в) Объём шара

Рис. 231

При вращении полукруга х2 + у2 = R2 (расположенного в плоскости Оху, рис. 231, а) вокруг оси Ох образуется шар радиуса R (рис. 231, б). Из уравнения окружности х2 + y2 = R2 данного полукруга имеем у2 = R2 – х2. Тогда, полагая a = –R, b = R в формуле (*) п. 1.1, находим объём V шара радиуса R:

Vш = =

= .

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 3 (об объёме шара). Объём шара радиуса R вычисляется по формуле

Vш = .

г) Объём шарового сегмента

Если b = R (см. п. 1.2, б), то получаем криволинейную трапецию aAB (рис. 232, а), при вращении которой вокруг оси Ох образуется шаровой сегмент (рис. 232, б).

Рис. 232

Пусть высота шарового сегмента равна Н, тогда a = R – Н. Так как дуга AВ криволинейной трапеции aАВ является частью окружности x2 + y2 = R2 (в плоскости Оxу), то формулу объёма шарового сегмента получим по аналогии с выводом формулы для вычисления объёма шара, учитывая при этом, что пределы a и b интегрирования равны: a = R – H, b = R, т. е.

Vш. сегм = =

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 4 (об объёме шарового сегмента). Объём шарового сегмента, отсекаемого от шара радиуса R и имеющего высоту Н, вычисляется по формуле

Vш. сегм =

Если в формуле (***) п. 1.2, б положить r2 = 0, r1 = r, то получим формулу для вычисления объёма шарового сегмента с радиусом основания r и высотой Н:

Vш. сегм = (3r2 + H2).

д) Объём шарового сектора

Рис. 233

Шаровой сектор состоит из конуса с вершиной в центре шара и шарового сегмента, имеющего с конусом общее основание (риc. 233). Пусть R = ОА — радиус шара; АС = r — радиус основания шарового сегмента, NC = H — его высота; N — точка сферы (рис. 233).

Найдём объёмы конуса и шарового сегмента, учитывая, что высота h конуса равна OC = ON – CN = R – Н.

Объём Vк конуса равен

π•АС2•ОС = πr2 (R – Н).

Выразим r2 через R и H.

B прямоугольном треугольнике AOC находим r2 = AC2 = ОА2 – OC2 = R2 – (R – H)2 = H(2R – H).

Значит,

Vк = πH(2R – H)(R – H) = (2R2 – 3RH + H2).

Для объёма шарового сегмента имеем:

Vш. сегм = (3AC2 + NC2) = (3H(2R – H) + H2) =

= (3RН – H2).

Тогда для объёма шарового сектора получаем

Vш. сект = Vк + Vш. сегм =

= (2R2 – 3RH + H2) + (3RH – H2) = πR2H.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 5 (об объёме шарового сектора). Объём шарового сектора шара радиуса R вычисляется по формуле

Vш. сект = R2H,

где Н — длина высоты шарового сегмента, соответствующего данному шаровому сектору.

В курсе математического анализа, который вам предстоит изучать в высшей школе, будет дано строгое обоснование применения определённого интеграла не только для нахождения объёмов тел, но и для нахождения площадей поверхностей и длин дуг линий. Решите самостоятельно следующие задачи.

1)Найдите объём тела, которое получается при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой у = , прямыми х = 3, х = 12 и осью абсцисс. (Ответ: 4π.)

2)Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси Oх фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды у = sin x и отрезком 0 ⩽ х ⩽ π оси абсцисс. (Ответ: 0,5π2.)

3)Найдите объём тела, полученного при вращении кривой у = 0,25х2 вокруг оси Оу в пределах от у = 1 до у = 5. (Ответ: 48π.)

4)Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми у = 2х2 и у = x3.

Источник

Объём тела вращения

Пусть — тело вращения, образованное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком непрерывной функции y=f(x) .

Докажем, что это тело вращения кубируемо и его объем выражается формулой

$V=pi intlimits_{a}^{b} f^2(x),dx= pi intlimits_{a}^{b}y^2,dx,.$

Сначала докажем, что это тело вращения регулярно, если в качестве выберем плоскость Oyz , перпендикулярную оси вращения. Отметим, что сечение, находящееся на расстоянии от плоскости Oyz , является кругом радиуса f(x) и его площадь S(x) равна pi f^2(x) (рис. 46). Поэтому функция S(x) непрерывна в силу непрерывности f(x) . Далее, если S(x_1)leqslant S(x_2) , то это значит, что f(x_1)leqslant f(x_2) . Но проекциями сечений на плоскость Oyz являются круги радиусов f(x_1) и f(x_2) с центром , и из вытекает, что круг радиуса f(x_1) содержится в круге радиуса f(x_2) .

Чертёж тела вращения вокруг оси абсцисс

Итак, тело вращения регулярно. Следовательно, оно кубируемо и его объем вычисляется по формуле

$V=pi intlimits_{a}^{b} S(x),dx= pi intlimits_{a}^{b}f^2(x),dx,.$

Если бы криволинейная трапеция была ограничена и снизу и сверху кривыми y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , то

$V= pi intlimits_{a}^{b}y_2^2,dx- pi intlimits_{a}^{b}y_1^2,dx= piintlimits_{a}^{b}Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)Bigr)dx,.$

Формулой (3) можно воспользоваться и для вычисления объема тела вращения в случае, когда граница вращающейся фигуры задана параметрическими уравнениями. В этом случае приходится пользоваться заменой переменной под знаком определенного интеграла.

В некоторых случаях оказывается удобным разлагать тела вращения не на прямые круговые цилиндры, а на фигуры иного вида.

Например, найдем объем тела, получаемого при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ординат. Сначала найдем объем, получаемый при вращении прямоугольника с высотой y#, в основании которого лежит отрезок $[x_k;x_{k+1}]$ . Этот объем равен разности объемов двух прямых круговых цилиндров

$Delta V_k= pi y_k x_{k+1}^2- pi y_k x_k^2= pi y_k bigl(x_{k+1}+x_kbigr) bigl(x_{k+1}-x_kbigr).$

Но теперь ясно, что искомый объем оценивается сверху и снизу следующим образом:

$2pi sum_{k=0}^{n-1} m_kx_kDelta x_k leqslant Vleqslant 2pi sum_{k=0}^{n-1} M_kx_kDelta x_k,.$

Отсюда легко следует формула объёма тела вращения вокруг оси ординат:

$V=2pi intlimits_{a}^{b} xy,dx,.$

(4)

Пример 4. Найдем объем шара радиуса .

Решение. Не теряя общности, будем рассматривать круг радиуса с центром в начале координат. Этот круг, вращаясь вокруг оси , образует шар. Уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=R^2 , поэтому y^2=R^2-x^2 . Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, найдем сначала половину искомого объема

$frac{1}{2}V= piintlimits_{0}^{R}y^2,dx= piintlimits_{0}^{R} (R^2-x^2),dx= left.{pi!left(R^2x- frac{x^3}{3}right)}right|_{0}^{R}= pi!left(R^3- frac{R^3}{3}right)= frac{2}{3}pi R^3.$

Следовательно, объем всего шара равен $frac{4}{3}pi R^3$ .

Конус, образованный вращением прямой вокруг оси абсцисс

Пример 5. Вычислить объем конуса, высота которого и радиус основания .

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось совпала с высотой h (рис. 47), а вершину конуса примем за начало координат. Тогда уравнение прямой запишется в виде $y=frac{r}{h},x$ .

Пользуясь формулой (3), получим:

$V=pi intlimits_{0}^{h} y^2,dx= pi intlimits_{0}^{h} frac{r^2}{h^2},x^2,dx= left.{frac{pi r^2}{h^2}cdot frac{x^3}{3}}right|_{0}^{h}= frac{pi}{3},r^2h,.$

Пример 6. Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды $begin{cases}x=acos^3t,,\ y=asin^3t,.end{cases}$ (рис. 48).

Объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды

Решение. Построим астроиду. Рассмотрим половину верхней части астроиды, расположенной симметрично относительно оси ординат. Используя формулу (3) и меняя переменную под знаком определенного интеграла, найдем для новой переменной пределы интегрирования.

Если x=acos^3t=0 , то $t=frac{pi}{2}$ , а если x=acos^3t=a , то t=0 . Учитывая, что y^2=a^2sin^6t и $dx=-3acos^2tsin{t},dt$ , получаем:

$V=pi intlimits_{a}^{b} y^2,dx= pi intlimits_{pi/2}^{0} a^2sin^6t bigl(-3acos^2tsin{t}bigr),dt= ldots= frac{16pi}{105},a^3.$

Объем всего тела, образованного вращением астроиды, будет $frac{32pi}{105},a^3$ .

Пример 7. Найдем объем тела, получаемого при вращении вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и первой аркой циклоиды $begin{cases}x=a(t-sin{t}),\ y=a(1-cos{t}).end{cases}$ .

Решение. Воспользуемся формулой (4): $V=2pi intlimits_{a}^{b}xy,dx$ , и заменим переменную под знаком интеграла, учитывая, что первая арка циклоиды образуется при изменении переменной от до 2pi . Таким образом,

$begin{aligned}V&= 2pi intlimits_{0}^{2pi} a(t-sin{t})a(1-cos{t})a(1-cos{t}),dt= 2pi a^3 intlimits_{0}^{2pi} (t-sin{t})(1-cos{t})^2,dt=\ &= 2pi a^3 intlimits_{0}^{2pi}bigl(t-sin{t}- 2tcos{t}+ 2sin{t}cos{t}+ tcos^2t- sin{t}cos^2tbigr),dt=\ &= left.{2pi a^3!left( frac{t^2}{2}+ cos{t}- 2tsin{t}- 2cos{t}+ sin^2t+ frac{t^2}{4}+ frac{t}{4}sin2t+ frac{1}{8}cos2t+ frac{1}{3}cos^3tright)}right|_{0}^{2pi}=\ &= 2pi a^3!left( 2pi^2+1-2+pi^2+frac{1}{8}+ frac{1}{3}-1+2- frac{1}{8}- frac{1}{3}right)= 6pi^3a^3. end{aligned}$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Опубликовано 11.06.2017 по предмету Алгебра от Гость
>> <<

Ответ оставил Гость

Если провести высоту из вершины меньшего основания, она разделит тело вращения на конус и цилиндр. найдём их объем каждого по отдельности:
Объём цилиндра: V=πr²h=4²π*5=80π
Объём конуса: V=1/3πr²h=4²*3*π/3=16π
Общий объём тела вращения равен сумме этих двух объёмов: 16π+80π=96π

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы

Загрузить картинку

Источник

Задание 16 ЕГЭ 2015.Тела вращения.

Иванова Е.Н.

МБОУ СОШ №8 г. Каменск-Шахтинский

Отрезок AB длины 1 вращается вокруг прямой c , параллельной этому отрезку и отстоящей от него на расстояние, равное 2. Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью вращения является боковая поверхность цилиндра, радиус основания которого равен 2, образующая равна 1. Площадь этой поверхности равна 4 .

Отрезок AB длины 1 вращается вокруг прямой c , перпендикулярной этому отрезку и отстоящей от ближайшего его конца A на расстояние, равное 2 (прямые AB и с лежат в одной плоскости). Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является кольцо, внутренний радиус которого равен 2, а внешний – 3. Площадь этого кольца равна 5 .

Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , перпендикулярной этому отрезку и проходящей через его середину. Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является круг радиуса 1. Его площадь равна .

Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , перпендикулярной этому отрезку и проходящей через точку A . Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является круг радиуса 2. Его площадь равна 4 .

Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c , перпендикулярной этому отрезку и проходящей через точку C , делящей этот отрезок в отношении 1:2. Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является круг радиуса 2. Его площадь равна 4 .

Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , проходящей через точку A и образующей с этим отрезком угол 30 о . Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность конуса, образующая которого равна 2, радиус основания равен 1. Ее площадь равна 2 .

Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c , проходящей через точку A и отстоящей от точки B на расстояние, равное 2. Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность конуса, образующая которого равна 3, радиус основания равен 2. Ее площадь равна 6 .

Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , проходящей через середину этого отрезка и образующей с ним угол 30 о . Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомая поверхность составлена из двух боковых поверхностей конусов, образующие которых равны 1, а радиусы оснований – 0,5. Ее площадь равна .

Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c , проходящей через точку C , делящей этот отрезок в отношении 1:2 и образующей с ним угол 30 о . Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомая поверхность составлена из двух боковых поверхностей конусов, образующие которых равны 2 и 1, а радиусы оснований равны соответственно 1 и 0,5. Ее площадь равна 2,5 .

Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c , лежащей с ним в одной плоскости и отстоящей от концов A и B соответственно на расстояния 1 и 2. Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность усеченного конуса, образующая которого равна 3, радиусы оснований равны 1 и 2. Ее площадь равна 9 .

Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , лежащей с ним в одной плоскости, отстоящей от ближайшего конца A на расстояние, равное 1, и образующей с этим отрезком угол 30 о . Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность усеченного конуса, образующая которого равна 2, радиусы оснований равны 1 и 2. Ее площадь равна 6 .

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, полученного вращением единичного квадрата ABCD вокруг прямой AD .

Ответ. Искомый цилиндр изображен на рисунке. Радиус его основания и образующая равны 1. Площадь боковой поверхности этого цилиндра равна 2 .

Найдите площадь поверхности вращения прямоугольника ABCD со сторонами AB = 4, BC = 3 вокруг прямой, проходящей через середины сторон AB и CD .

Ответ. Искомым телом является цилиндр, радиус основания которого равен 2, а образующая равна 3. Его площадь поверхности равна 20 .

Найдите площадь поверхности тела, полученного вращением единичного квадрата ABCD вокруг прямой AC .

Ответ. Искомым телом вращения является объединение двух конусов, радиусы оснований которого и высоты равны . Его площадь поверхности равна .

Найдите площадь поверхности тела , полученного вращением прямоугольного треугольника ABC с катетами AC = BC = 1 вокруг прямой AC .

Ответ. Искомый конус изображен на рисунке. Радиус его основания равен 1, а образующая равна . Площадь поверхности этого конуса равна .

Найдите площадь полной поверхности тела, полученного вращением равностороннего треугольника ABC со стороной 1 вокруг прямой, содержащей биссектрису CD этого треугольника.

Ответ. Искомый конус изображен на рисунке. Радиус его основания равен 0,5, а образующая равна 1. Площадь полной поверхности этого конуса равна 3 /4.

Найдите площадь поверхности вращения равностороннего треугольника ABC со стороной 1 вокруг прямой AB .

Ответ. Искомое тело вращения составлено из двух конусов с общим основанием, радиус которого равен , а высоты – 0,5. Его площадь поверхности равна .

Найдите объем тела вращения равнобедренной трапеции ABCD с боковыми сторонами AD и BC , равными 1, и основаниями AB и CD , равными соответственно 2 и 1, вокруг прямой AB .

Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр с радиусом основания и высотой 1, на основаниях которого достроены конусы, высотой 0,5. Его объем равен .

Найдите объем тела вращения прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AB и CD , равными соответственно 2 и 1, меньшей боковой стороной, равной 1, вокруг прямой AB .

Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр с радиусом основания и высотой, равными 1, на основании которого достроен конус, высотой 1. Его объем равен .

Найдите объем тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 вокруг прямой AD .

Ответ. Искомое тело вращения состоит из цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 1 и двух конусов с основаниями радиуса и высотой 0,5. Его объем равен .

Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEF , изображенного на рисунке и составленного из трех единичных квадратов, вокруг прямой AF .

Ответ. Искомое тело вращения состоит из двух цилиндров с основаниями радиусов 2 и 1, высотой 1. Его объем равен 5 .

Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH , изображенного на рисунке и составленного из четырех единичных квадратов, вокруг прямой c , проходящей через середины сторон AB и EF .

Ответ. Искомое тело вращения составлено из двух цилиндров высотой 1 и радиусами оснований 1,5 и 0,5. Его объем равен 2,5 .

Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH , изображенного на рисунке и составленного из пяти единичных квадратов, вокруг прямой c , проходящей через середины сторон AB и EF .

Ответ. 1. Искомое тело вращения является цилиндром с радиусом основания 1,5 и высотой 2, из которого вырезан цилиндр с радиусом основания 0,5 и высотой 1. Его объем равен 4,25 .

Найдите объем тела вращения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 вокруг прямой AA 1 .

Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 1. Его объем равен 2 .

Найдите объем тела вращения правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, вокруг прямой AA 1 .

Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1. Его объем равен .

Найдите объем тела вращения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , все ребра которой равны 1, вокруг прямой AA 1 .

Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен 2, а высота равна 1. Его объем равен 4 .

Найдите объем тела вращения правильной четырехугольной пирамиды SABCD , все ребра которой равны 1, вокруг прямой с , содержащей высоту SH этой пирамиды.

Ответ. Искомым телом вращения является конус, радиус основания и высота которого равны .

Его объем равен .

Найдите объем тела вращения единичного тетраэдра ABCD вокруг ребра AB .

Ответ. 1. Искомое тело вращения составлено из двух конусов с общим основанием радиуса и высотой 0,5. Его объем равен 0,25 .

Найдите объем тела вращения единичного правильного октаэдра S’ABCDS” вокруг прямой S’S” .

Ответ. Искомое тело вращения состоит из двух конусов с общим основанием радиуса и высотами, равными . Его объем равен .

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем тела вращения этого многогранника вокруг прямой AD .

Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 2. Его объем равен 10 .

Источник

Объём тела вращения

Не пропустите также: