Объем шара и площадь его поверхности
В данном видео уроке мы рассмотрим на примерах решения задач из ЕГЭ профильного уровня, как найти объем шара и площадь его поверхности
Формула объема шара:
V = 4/3 * П * r3
Формула площади поверхности шара:
Sповерх = 4 * П * r2
На этом уроке мы дадим определение шара.
Выведем формулу для вычисления объёма шара. А затем с её помощью выведем
формулу для вычисления площади сферы.
Прежде чем приступить к рассмотрению данной
темы, давайте вспомним, что такое шар.
Определение:
Шар – это совокупность всех
точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше
данного. Причём, данная точка называется центром шара, а данное
расстояние – радиусом шара.
Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с
любой точкой шаровой поверхности.
Отрезок,
соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара,
называется диаметром шара. Диаметр шара равен двум радиусам.
Отрезок,
соединяющий две точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, т.е.
не проходящий через центр шара, называется хордой шара.
Понятно, что сечение
шара плоскостью есть круг.
Сечение шара
плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом
шара.
Итак, справедлива
следующая теорема: объём шара радиуса равен
.
Докажем теорему. Пусть нам дан шар радиуса с
центром в точке .
Выберем ось так, чтобы
начало оси совпадало с центром шара.
Тогда отрезок это есть радиус
шара .
Докажем, что
объём шара равен .
На оси отметим
произвольную точку и
рассмотрим сечение шара плоскостью проходящее через эту точку перпендикулярно к
оси .
Заметим, что такое сечение шара плоскостью является кругом с центром в точке .
Отрезок .
Обозначим
радиус этого круга через ,
а его площадь через ,
где –
абсцисса точки .
Выразим площадь
через
и
радиус шара .
Из
прямоугольного треугольника по теореме
Пифагора найдём радиус круга. Тогда имеем .
Площадь круга .
Заменим радиус круга выражением
.
Тогда получаем, что .
Заметим, что
эта формула верна для любого положения точки на
диаметре .
Иначе говоря, верна для всех ,
удовлетворяющих условию .
Так как мы с
вами выразили площадь через ,
то можем вычислить объём шара с помощью основной формулы объёма тела. Вспомним
её: объем тела равен .
Итак, применяя
основную формулу для вычисления объёмов тел получаем, что объём шара равен .
Этим мы с вами доказали, что объём шара с
радиусом равным можно
вычислить по формуле .
Что и требовалось доказать.
Ранее мы с вами без доказательства привели
формулу для вычисления площади сферы. Напомню, что площадь сферы можно
вычислить по формуле: .
Теперь давайте выведем эту формулу, пользуясь
формулой объёма шара.
Итак, рассмотрим сферу радиуса с центром в точке О и описанный
около неё многогранник, имеющий граней.
Напомним, что многогранник называется
описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом
сфера называется вписанной в многогранник.
Занумеруем грани в произвольном порядке и
обозначим через – площадь -й грани.
Затем соединим центр О сферы отрезками со
всеми вершинами многогранника. При этом получим эн пирамид с общей вершиной О,
основаниями которых являются грани многогранника, а высотами – радиусы сферы,
проведенные в точки касания граней многогранника со сферой.
Следовательно, объём -й пирамиды равен , а объём всего описанного
многогранника равен: . Где
– площадь поверхности
многогранника.
Отсюда получаем: .
Теперь будем неограниченно увеличивать таким образом, чтобы наибольший
размер каждой грани описанного многогранника стремился к нулю. При этом объём описанного многогранника будет
стремиться к объёму шара. В самом деле, если наибольший размер каждой грани
описанного многогранника не превосходит , то описанный многогранник
содержится в шаре радиуса с центром в точке
.
Но ведь с другой стороны, описанный
многогранник содержит исходный шар радиуса . Значит, объём
.
Так как выражение при
, то и объем
при
(
).
Переходя затем к пределу, получаем, что .
По определению площади сферы , следовательно,
.
Что и требовалось доказать.
Задача: объём шара равен равен см3. Найдите диаметр
шара.
Решение: запишем формулу для
вычисления объёма шара.
По условию задачи объём шара равен см3.
Отсюда видим, что радиус шара равен (см). Напомним, что диаметр
шара вдвое больше его радиуса. Тогда диаметр нашего шара равен (см).
Запишем ответ.
Задача: радиус шара увеличили в раза. Во сколько раз увеличился
объём шара?
Решение: запишем формулу для
вычисления объёма шара.
Так как по условию задачи радиус исходного
шара увеличили в 2 раза, то радиус данного шара будет равен . Подставляя данный радиус в
формулу для вычисления объёма шара видим, что объём исходного шара
увеличился в 8 раз. Следовательно, ответ: объём шара увеличился в 8 раз.
Задача: в цилиндр вписан шар.
Найдите отношение объёма шара к объёму цилиндра.
Решение: шар, вписанный в
цилиндр, касается оснований цилиндра в их центрах и боковой поверхности
цилиндра по окружности большого круга, параллельной основаниям цилиндра. Отсюда
следует, что , а высота цилиндра равна
.
Объём шара вычисляется по формуле , а объём данного цилиндра можно
вычислить по формуле , где
– это площадь основания,
—
высота цилиндра. Так как высота данного цилиндра равна двум радиусам, а площадь
основания равна , то объём цилиндра равен
.
Найдём отношение объёма шара к объёму
цилиндра. Получаем, что объём шара относится к объёму цилиндра, как .
Эту задачу называют «Задачей Архимеда». Во
времена Архимеда формула объёма шара была неизвестна. Поэтому данная задача
считалась очень трудной и, решив ее, Архимед испытал большую радость. На могиле
Архимеда был поставлен памятник с изображением шара и описанного около него
цилиндра.
Итоги:
На этом уроке мы дали определение шара. Вывели
формулу для вычисления объёма шара. А затем с её помощью вывели формулу для
вычисления площади сферы.
Статья будет полезна школьникам и будущим абитуриентам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ.
Содержание
- Формула объема шара через радиус: значение
- Формула объема шара через диаметр: значение
- Примеры вычисления объема шара, через радиус и диаметр шара: описание
- Формула полной поверхности шара, сферы через радиус: значение
- Формула полной поверхности шара, сферы через диаметр: значение
- Примеры вычисления площади поверхности, сферы шара, через радиус и диаметр шара: описание
- Как найти объем шара через площадь поверхности шара, сферы: пример решения задачи
- Видео: ЕГЭ математика. Объем и площадь поверхности тел вращения.
Формула объема шара через радиус: значение
Объем шара V вычисляется по формуле (см. ниже), где R — радиус шара, число «пи» — π — математическая константа, ≈ 3,14.
Данная формула является базовой!
Формула объема шара через диаметр: значение
- Воспользуйтесь базовой формулой: V=4/3*π*R³.
- Радиус R — это ½ диаметра D или R=D/2.
- Отсюда: V=4/3*π*R³ → V=(4π/3)*(D/2)³ → V=(4π/3)*(D³/8)→ V= πD³/6.
Или
Примеры вычисления объема шара, через радиус и диаметр шара: описание
Задача 1.
Радиус шара равен 10 см. Найди его объем.
Задача 2.
Диаметр шара равен 10 см. Найди его объем.
Задача 3.
Соотношение диаметра Луны и диаметра Земли 1:4. Во сколько раз объем Земли больше объема Луны?
Решение:
Ответ: в 64 раза.
Важно: существует множество онлайн калькуляторов, позволяющих быстро найти заданную величину. Например, сервис Webmath.
Формула полной поверхности шара, сферы через радиус: значение
Площадь поверхности сферы/шара S вычисляется по формуле (см. ниже), где R — радиус шара, число «пи» — π — математическая константа, ≈ 3,14.
Данная формула является базовой!
Формула полной поверхности шара, сферы через диаметр: значение
- Воспользуйтесь базовой формулой: S = 4*π*R².
- Радиус R — это ½ диаметра D или R=D/2.
- Отсюда: S=4*π*R² → S=4*π*(D/2)² → S=(4π)*(D²/4)→ S = (4πD²)/4 → S = πD².
Или
Примеры вычисления площади поверхности, сферы шара, через радиус и диаметр шара: описание
Задача 4.
Задача 5.
Задача 6.
Как найти объем шара через площадь поверхности шара, сферы: пример решения задачи
Задача 7.
Задача 8.
Видео: ЕГЭ математика. Объем и площадь поверхности тел вращения.
Copyright ©
Mixrolik.ru
Смотрите новые, популярные видеоролики онлайн в хорошем качестве. Быстрый поиск любого видео.
info@mixrolik.ru Наша почта для жалоб и предложений
Автор:
Peter Berry
Дата создания:
16 Август 2021
Дата обновления:
20 Май 2023
Содержание
- Объем сферы — Формула
- Объем полусферы — Формула
- Как найти объем сферы: пример
- Как найти объем полусферы: пример
Сфера, примерно, это форма обычного теннисного мяча или футбольного мяча. Форма так распространена в природе, от формы планет и звезд до маленьких капель воды. Это имеет значение в технике и науке также. Поэтому важно знать атрибуты сфер и способы их измерения. Объем является одним из таких атрибутов.
Математически сфера определяется как поверхность, созданная набором точек, лежащих на постоянном расстоянии от фиксированной точки пространства, где постоянная яма называется центром, а расстояние от центра до поверхности называется радиус. Говорят, что любой объект, отображающий вышеупомянутую характеристику, имеет сферическую форму. Если внутренняя часть сферы пуста, она называется сферической оболочкой или полой сферой. Если внутренняя часть сферы заполнена, она называется сплошной сферой.
Объем сферы — Формула
Объем сферы определяется по формуле:
Эта формула была впервые получена Архимедом с использованием результата, согласно которому сфера занимает 2/3 объема описанного цилиндра. Полусфера — это половина полной сферы, а объем полусферы — половина сферы. Следовательно, объем полусферы определяется по формуле:
Объем полусферы — Формула
Эти формулы получены методами интегрирования. Рассмотрим сферу с радиусом r с центром в начале координатных осей, как показано выше. Небольшое добавочное расстояние в направлении x определяется как dx. Плита толщиной dx будет приблизительно иметь цилиндрическую форму с радиусом y. Объем цилиндра может быть задан как (dV) = πy ^ 2 dx. Следовательно, объем сферы задается интегралом в пределах радиуса,
Чтобы найти объем сферы, нужно знать только одну меру сферы — радиус сферы. Если диаметр известен, радиус можно легко вычислить, используя соотношение D = 2r. После определения радиуса используйте формулу, полученную выше.
Как найти объем сферы: пример
- Радиус сферы 10см. Каков объем сферы?
Радиус указан. Следовательно, объем сферы может быть рассчитан следующим образом:
Как найти объем полусферы: пример
- Резервуар для воды сферической формы имеет диаметр 5 метров. Если вода заполнена в размере 5 лс-1, Если бак был наполовину заполнен в начале, сколько времени потребуется, чтобы полностью заполнить бак?
Проблема должна быть решена в два простых шага. Сначала мы должны найти пустой том в начале, а затем найти время, необходимое для заполнения этого тома. Первоначально бак наполовину заполнен. Поэтому мы должны рассчитать объем полусферы, который также является объемом, заполненным водой.
