Найдите наименьший возможный объём конуса, в который вписан цилиндр объёма V.
Спрятать решение
Решение.
Обозначим высоту цилиндра за h, а радиус основания за r, тогда его объем равен 
поэтому 
Обозначим радиус основания конуса за R, а его высоту за p, тогда его объем 
Пусть S — вершина конуса, O — центр его основания, AB — диаметр основания.
Рассмотрим сечение конуса плоскостью SAB. Получим равносторонний треугольник, в который вписан прямоугольник. Назовем его вершины M, N, P, Q, при этом 
Прямоугольные треугольники SOA и QMA подобны, поэтому 
Значит, объем конуса равен
Определим наименьшее значение этой функции при R > r. Возьмем производную по R:
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция 
возрастает при 
убывает при 
и достигает наименьшего значения при 
Вычислим ее значение:
Ответ: 
Спрятать критерии
Критерии проверки:
|
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
|
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
|
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Задание парного варианта: 2236
?
Сложность: 9 из 10
Дано:
Конус вписан в цилиндр.
V цилиндра = 135 (ед. куб.)
Найти:
V конуса — ? (ед. куб.)
Решение:
V цилиндра = πR²h
V конуса = πR²h1/3
Так как конус вписан в цилиндр ⇒ высота и радиус цилиндра совпадает с радиусом и высотой конуса. (R конуса = R цилиндра; h конуса = h цилиндра)
По данным формулам объёма цилиндра и конуса, заметим, что объём вписанного в цилиндр конуса в 3 раза меньше объёма этого цилиндра.
⇒ V конуса = V цилиндра/3 = 135/3 = 45 (ед. куб.)
Ответ: 45 (ед. куб.)
В цилиндр вписан конус , найти объём конуса, если объём цилиндра равен 300 см.
3.
На странице вопроса В цилиндр вписан конус , найти объём конуса, если объём цилиндра равен 300 см? из категории Геометрия вы найдете
ответ для уровня учащихся 10 — 11 классов. Если полученный ответ не
устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую
систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами
других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно,
вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где
можно обсудить тему с помощью обратной связи.
26 декабря 2022 05:09
937
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём конуса, если объём цилиндра равен 102.
Посмотреть ответы
Объем цилиндра =
Объем косинуса =
т.е. Объем вписанного конуса = 1/3 объема цилидра 102/3 = 34
Еще вопросы по категории Математика
2023-02-26 
В конус вписан цилиндр объёма 9. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсекает от исходного конуса усечённый конус объёмом 63. Найдите объём исходного конуса.
Решение:
Пусть высота и радиус исходного конуса равны $H$ и $R$, а высота и радиус цилиндра равны $h$ и $r$. Воспользуемся формулой для объёма усечённого конуса:
$frac{1}{3}pi(R^{2}+Rr+r^{2})h=63.$
Также мы знаем, что $pi r^{2}h=9$. Поделив соответствующие части равенств получаем,
$left(frac{R}{r}right)^{2}+left(frac{R}{r}right)+1=frac{63cdot3}{9}=21.$
Условию задачи удовлетворяет только корень $frac{R}{r}=4$. Тогда
$frac{H-h}{H}=frac{r}{R}=frac{1}{4},~frac{h}{H}=frac{3}{4},$
Следовательно, объём исходного конуса равен
$V=frac{1}{3}pi R^{2}H=frac{1}{3}(pi r^{2}h)left(frac{R}{r}right)^{2}cdotfrac{H}{h}=frac{1}{3}cdot9cdot4^{2}cdotfrac{4}{3}=64.$