Как найти объем какой класс

Геометрия, 11 класс

Урок №11

Понятие объёма

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

Понятие объёма.

Свойства объёмов.

Объём прямоугольного параллелепипеда.

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда.

Тезаурус

Объём тела– величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и определяемая формой и линейными размерами этого тела.

Основные свойства объёма:

— равные тела имеют равные объёмы;

— если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Основная литература:

Атанасян Л. С. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы [текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. С. 130–133.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

С понятием объёмного тела, отличающегося от плоской фигуры, мы познакомились ещё в начальной школе.

Объёмом принято называть положительную величину, характеризующую часть пространства, занимаемую телом, и определяемую формой и линейными размерами этого тела.

Мы можем вычислить объём тела точно так же, как ранее находили площадь фигуры. Объём принято измерять в единицах измерения объёма (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (обозначение: см³). По аналогии, можно за единицу измерения объёма принять кубический миллиметр (1 мм³), кубический метр (1 м³) и тому подобное.

Объём выражается в положительных числах. Это число показывает, сколько единиц измерения содержится в теле. Например, сколько кубических миллиметров в аквариуме, сколько кубических метровв бассейне и так далее.

Объём обозначается заглавной латинской буквой V.

Пример:

Объём книги400 кубических сантиметров запишут: V = 400см³.

Рассмотрим свойства объёмов.

Свойство № 1. Равные тела имеют равные объёмы. Это означает, что если два тела идентичны, то есть имеют равное количество единиц измерения и частей, то равны и их объёмы. Например, 2 одинаковых пакета молока равны в объёме.

Свойство № 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Следствие из основных свойств объёмов.

Объём куба с ребром 1/n равен 1/n³

Доказательство. Рассмотрим куб, объём которого принят за единицу измерения объёмов, тоесть равный некоторому числукубических сантиметров. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьём каждое ребро этого куба на произвольное количество частей – nтак, чтобы провести плоскости, перпендикулярные к этому ребру.

По второму свойству объёмов, сумма объёмов всех кубиков равна объёму всего куба (1 см³). Следовательно, поскольку мы разбили каждое ребро на n частей, то каждый маленький куб внутри большого куба будет иметь ребро

Объём каждого из маленьких кубиков при этом будет равен 1/n³.

Объём прямоугольного параллелепипеда

Теорема

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Доказательство

Обозначимизмеренияпрямоугольного параллелепипеда P буквами a,b,c, его объём буквой V, и докажем, что V = a ∙ b ∙ c.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай первый. Измерения a, b и c представляют собой конечные десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходит n (можно считать, что n больше или равно 1). В этом случае числа a ∙10ⁿ, b∙10ⁿ, c∙10ⁿ, являются целыми. Разобьём каждое ребро параллелепипеда на равные части длины: 1/10ⁿ и через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Параллелепипед P разобьётся на abc∙10³ⁿ равных кубов с ребром 1/10ⁿ. Так как объём каждого куба равен 1/10³ⁿ, что мы доказали ранее, то объём всего параллелепипеда P = abc, что и требовалось доказать.

Случай второй.

Хотя бы одно из измерений a, b, c представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим конечные десятичные дроби: a_n, b_n, c_n, которые получаются из чисел a, b, c, если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная с n + 1. Очевидно, a_n ≤ a ≤ a_n’, где a_n’ = a_n+1 : 10ⁿ. Аналогичные неравенства справедливы для b и c. Перемножив эти неравенства, получим произведение a_nb_nc_n ≤ abc ≤ a_n’b_n’c_n’, где b_n’= b_n+1 : 10ⁿ, c_n’ = c_n+1 : 10ⁿ

По доказанному в первом случае, левая часть неравенства представляет собой объём V_n прямоугольного параллелепипеда P_n с измерениями a_n, b_n, c_n, а правая часть – это объём V_n’ прямоугольного параллелепипеда P_n’ с измерениями a_n’, b_n’, c_n’. Так как параллелепипед P содержит в себе параллелепипед P_n, а сам содержится в параллелепипеде P_n’, то объём V параллелепипеда P заключён между V_n, = a_nb_nc_n и V_n’= a_n’b_n’c_n’. Будем неограниченно увеличивать n. Тогда 1/10ⁿ будет становиться сколь угодно малым, и поэтому произведение a_n’b_n’c_n’ будет сколь угодно мало отличаться от числа, выраженного произведением a_nb_nc_n. Отсюда следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа, выраженного произведением a_nb_nc_n, а значит, они равны.V = abc, что и требовалось доказать.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1.Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 см и 20 см. Высота параллелепипеда равна диагонали основания. Найдите объём этого параллелепипеда.

Решение:

Найдём длину диагонали основания, для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

А теперь найдём объём параллелепипеда:

V = 15 ∙ 20 ∙ 25 = 7500 см³

Ответ: V = 7500 см³.

№2.

Найдите площадь закрашенной фигуры, если объём прямоугольного параллелепипеда равен 960 см³, AB = 8 см, АА_{1 =} 20 см.

Варианты ответов:

220 см²

100 см²

400 см²

200 см²

Решение.

Найдём длину АD:

AD = 960 : 8 : 20 = 6 см

Найдём АС, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Закрашенная фигура – прямоугольник. Вычислим его площадь: 10∙20= 200 см².

Ответ: площадь закрашенной фигуры 200 см².

Верный ответ: 200 см².

Тип урока: урок обобщения и
систематизации.

Цель урока: проверка уровня знаний;
закрепление навыков вычисления объёмов
прямоугольного параллелепипеда и куба,
совершенствование навыков решения задач.

План урока.

1. Организация начала урока 1 мин.

2. Математический диктант 12 мин.

3. Письменные упражнения 18 мин.

4. Самостоятельная работа 10 мин.

5. Подведение итогов 3 мин.

6. Информация о домашнем задании 1 мин.

Ход урока

1. Сообщение темы урока, цели урока.

2. Математический диктант (Приложение
1 » Математический диктант»).

1) Фигура составлена из пятидесяти трёх кубиков
с ребром один сантиметр. Каков объем этой фигуры?

2) Измерения прямоугольного параллелепипеда
равны трём, четырём и десяти сантиметрам. Найдите
площадь самой маленькой его грани.

3) Сколько проволоки понадобится для
изготовления каркаса куба с ребром десять
сантиметров?

4) Выразите в кубических сантиметрах: двадцать
кубических дециметров.

5) Выразите в кубических сантиметрах: тридцать
семь литров.

6) Выразите в литрах: две тысячи кубических
сантиметров.

7) Верно ли, что куб — один из видов
прямоугольного параллелепипеда? (Ответьте «да»
или «нет»).

Верно ли, что ребро прямоугольного
параллелепипеда — прямоугольник? ( Ответьте
«да» или «нет»).

3. Письменные упражнения (Приложение
2 «Письменные упражнения»).

1) Высота комнаты 3 м, ширина 5 м, длина 6 м. Сколько
кубических метров воздуха находится в комнате?

2) Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55
см. Сколько литров воды надо налить в этот
аквариум, чтобы уровень воды в нём был ниже
верхнего края аквариума на 10 см?

3) Длина прямоугольного участка земли 650 м, а
ширина на 50 м меньше. Найдите площадь участка и
выразите её в гектарах.

4) Длина прямоугольного параллелепипеда 45 см,
ширина в 3 раза меньше длины, а высота на 2 см
больше ширины. Найдите объём параллелепипеда.

5) Ширина прямоугольника 40 см. На сколько
уменьшится площадь этого прямоугольника, если
его длину уменьшить на 3 см?

4. Самостоятельная работа по вариантам
(каждому ученику выдается листок с заданием.)

Вариант 1.

1) Найдите объем прямоугольного
параллелепипеда, измерения которого равны 20 м, 34
м и 400 дм.

2) Объем комнаты 60 м². Её высота 3 м. Какова
площадь пола?

3) Чему равен объём куба, ребро которого 13 см?

Вариант 2.

1) Найдите объем прямоугольного
параллелепипеда, измерения которого равны 15 дм,
25дм и 5 м.

2) Объем ящика 90000 см². Его высота 30 см.
Какова площадь дна этого ящика?

3) Чему равен объём куба, ребро которого 14 см?

5. Итоги урока.

Когда ученики выполняют самостоятельную
работу, учитель проверяет математический
диктант. Информирует о результатах и сообщает
наиболее часто встречающиеся ошибки.

6. Домашнее задание.

П.21, повторить п.17 — 19, № 841, 842, 844. Подготовиться
к контрольной работе.

Урок по математике в 4 классе.

Тема: Объём. Единицы
объёма.

Цель: формирование 
математического понятийного аппарата учащихся  через ознакомление с новой
величиной – объёмом.

Задачи: 
познакомить с новой величиной – объём;  показать единицы измерения новой
величины и их соотношение; развивать  пространственное мышление учащихся, математическую речь,  умение наблюдать и
сравнивать, умение классифицировать и систематизировать, осуществлять
самоконтроль, самооценку в учебной деятельности, прививать
любовь к математике, как науке, объединяющей арифметику, геометрию, алгебру.

Познавательные УУД

Развиваем
умения:     

1. ориентироваться в своей
системе знаний: самостоятельно предполагать, какая информация нужна для решения
учебной задачи в один шаг;

2. отбирать необходимые для
решения учебной задачи источники информации среди предложенных учителем
словарей, энциклопедий, справочников;

3. добывать новые знания:
извлекать информацию, представленную в разных формах (текст, таблица, схема,
иллюстрация и др.);

4. перерабатывать полученную
информацию: сравнивать и группировать математические факты и объекты;

 5. делать выводы на основе
обобщения умозаключений;

6. преобразовывать информацию из
одной формы в другую;

7. переходить от
условно-схематических моделей к тексту.

Коммуникативные УУД

Развиваем умения:     

1. доносить свою позицию до других:
оформлять свои мысли в устной и письменной речи (выражение решения учебной
задачи в общепринятых формах) с учётом своих учебных речевых ситуаций;

2. доносить свою позицию до других:
высказывать свою точку зрения и пытаться её обосновать, приводя аргументы;

3. слушать других, пытаться принимать
другую точку зрения, быть готовым изменить свою точку зрения;

4. читать про себя тексты учебников
и при этом ставить вопросы к тексту и искать ответы, проверять себя, отделять
новое от

известного,
выделять главное, составлять план;

5. договариваться с людьми: выполняя
различные роли в группе, сотрудничать в совместном решении проблемы (задачи).

Личностные результаты

1. придерживаться этических норм
общения и сотрудничества при совместной работе над учебной задачей;

2. в созданных совместно с педагогом
на уроке ситуациях общения и сотрудничества, опираясь на общие для всех простые
правила поведения, делать выбор, как себя вести.

Регулятивные УУД

1.Развиваем умения:     

самостоятельно формулировать цели урока после предварительного

обсуждения совместно с классом;

2. совместно с учителем обнаруживать и
формулировать учебную проблему;

3. составлять план решения отдельной учебной задачи;

4. работая по плану, сверять

свои действия с
целью и при необходимости исправлять ошибки с помощью класса;

5. в диалоге с учителем и
другими учащимися учиться вырабатывать критерии оценки и определять степень
успешности выполнения своей работы и работы всех, исходя из имеющихся
критериев.

Формы организации: фронтальная, парная.

            Тип
урока: Открытие новых знаний

            Оборудование к уроку:
учебник Н. Б. Истомина, тетради, набор объемных  фигур, стеклянный куб объёмом
1 дм³, мерная кружка, банка 1 л, проектор, интерактивная доска,
карточки с названиями величин.

План урока:

Понятие объема

Свойства объема

Объем куба и прямоугольного параллелепипеда

Объем прямой призмы

Объем цилиндра

Понятие объема

Понятие объема появилось у человечества задолго до того, как геометрия оформилась как строгая наука. Многие вещества и товары, такие как зерно, рис и вода, необходимо хранить и транспортировать в различных упаковках (сосуды, бочки, ящики, контейнеры). При этом разные емкости могут вместить разное количество товаров. Например, пусть есть бочка, имеющая форму цилиндра, и контейнер, выглядящий как прямоугольный параллелепипед:

Предположим, что в бочку можно поместить 5 кг пшеницы, а в контейнер помещается уже 15 кг пшеницы, то есть в контейнер можно положить в 3 раза больше пшеницы, чем в бочку. Можно сказать, что вместимость контейнера втрое больше вместимости бочки. Однако измерять вместимость емкости с помощью массы пшеницы, помещаемой в него, неудобно, ведь в них можно класть и другие вещества. Мы можем положить в емкости что-нибудь более тяжелое, например сухой песок. Тогда в бочку может влезть уже 10 кг песка, а в контейнер – 30 кг. И снова получается, что вместимость контейнера втрое больше, хотя масса вещества увеличилась.

Именно для измерения вместимости и было введено понятие объема. Если в одну упаковку помещается вдвое больше товаров, чем во вторую упаковку, то и объем у нее будет вдвое больше. С древнейших времен замечено, что отношение объемов двух сосудов не зависит от того вещества, которое в них хранят. Например, если в один сосуд помещается в 5 раз больше риса, чем в другой сосуд, то в него также будет помещаться в 5 раз больше воды, в 5 раз больше песка, в 5 раз больше нефти и т. д. Таким образом, в практическом смысле объем – это количественная характеристика вместимости тех или иных упаковок.

В рамках стереометрии изучаются не реальные сосуды, а абстрактные тела. Каждое из них занимает определенную часть пространства, большую или меньшую. Объем используется для измерения этих частей пространства. Для обозначения объема используется латинская буква V.

Для измерения объема необходима единица измерения. Условно принимается, что куб, чьим ребром является единичный отрезок, имеет объем, равный единице. Такой куб именуется единичным. Заметим, что грани единичного куба – это единичные квадраты.

В случае, когда длина ребра куба является безразмерной величиной, то объем также будет безразмерной величиной. Если же указана единица измерения длины, то объем куба будет измеряться этой же единицей, к которой приписано слово «кубический». Например, если ребро куба равно 1 м, то объем куба будет равен 1 кубическому метру, или 1 м³. Объем куба с ребром 1 мм будет составлять 1 мм³ и т. д.

,

Свойства объема

Свойства объема во многом совпадают со свойствами площади. Ясно, что у равных тел будут одинаковы и объемы.

Второе свойство объема связано с тем, что он является аддитивной величиной. Это значит, что если тело можно разбить на несколько тел, то его объем будет равен сумме объемов этих тел.

Это свойство аддитивности объема уже позволяет решать некоторые стереометрические задачи.

Задание. Тело состоит из цилиндра объемом 12 см³ и конуса объемом 4 см³. Каков объем этого тела?

Решение. Здесь надо просто сложить объемы цилиндра и конуса, чтобы найти общий объем всей фигуры:

Ответ: 16 см³.

Задание. Найдите объем фигуры, показанной на рисунке:

Решение. Данную фигуру несложно разбить на три единичных куба:

Тогда объем тела будет равен сумме объемов трех единичных кубов, то есть трем:

Ответ: 3.

Задание. Вычислите объем фигуры, получающейся при рассечении куба плоскостью, проходящей через два его ребра.

Решение. Ясно, что такая секущая плоскость будет делить куб на две равные фигуры (иначе просто не удастся провести плоскость через два ребра):

Также понятно, что два получившихся многогранника равны друг другу. Обозначим объем каждого из них как V. Тогда в сумме их объем должен быть равен 1, ведь вместе эти фигуры образуют единичный куб. Это позволяет составить уравнение, из которого можно вычислить величину V:

Объем куба и прямоугольного параллелепипеда

Докажем важную вспомогательную теорему:

Действительно, пусть у двух параллелепипедов одинаковы основания. Тогда их можно совместить. Пусть общим основанием будет АВСD, а высотами параллелепипедов будут отрезки АР и АК, причем АР <АК. Объем меньшего параллелепипеда с высотой АР обозначим как V_Р, а большего – как V_K:

Нам надо доказать, что объемы фигур пропорциональны их высотам:

Для начала рассмотрим случай, когда отношение высот является рациональным числом. Это означает, что существует некоторая дробь m/n, такая, что

где m и n – натуральные числа. Тогда разобьем отрезок АК как раз на n равных отрезков. В этом случае отрезок АР будет состоять в точности из m таких отрезков. Далее через концы отрезков проведем плоскости, параллельные основанию:

В результате мы получили n равных параллелепипедов («пластин»), которые все вместе образуют большой параллелепипед объемом V_K. Поэтому объем одной такой пластины равен величине V_K/n:

Итак, мы доказали теорему для случая, когда отношение высот является рациональным числом. Теперь перейдем к более сложному случаю, когда это отношение представляет собой иррациональное число. Здесь можно рассуждать от противного. Предположим, что теорема ошибочна, тогда для каких-нибудь двух параллелепипедов отношение их объемов будет равно не отношению их высот, а какому-то другому числу k:

Это значит, что k либо меньше, либо больше, чем отношение АР/АК. Рассмотрим случай, когда k< АР/АК (случай, когда k> АР/АК, рассматривается аналогичным образом). Тогда возьмем какое-нибудь рациональное число R, находящееся между числами k и АР/АК:

(Примечание. Здесь мы неявно используем утверждение, которое можно доказать в рамках алгебры – между любыми двумя различными действительными числами располагается хотя бы одно рациональное число).

Умножим это неравенство на длину АК:

Построим параллелепипеды с общим основанием АВСD и высотами АК и АР, а также с высотой АЕ = R•АК. Так как R•АК < АР, то точка Е будет лежать между А и Р:

Объем параллелепипеда с высотой АЕ обозначим как V_Е. Ясно, что

ведь число k не может быть одновременно и больше, и меньше R. Полученное противоречие означает, что исходное предположение об ошибочности теоремы неверно, и на самом деле она справедлива, ч. т. д.

Теперь с помощью доказанной теоремы можно вывести известную ещё из младших классов формулу для расчета объема прямоугольного параллелепипеда.Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда являются числами а, b и c. Построим:

• единичный куб;
• параллелепипед с габаритами а, 1, 1 с объемом V₁;
• параллелепипед с габаритами а, b, 1 с объемом V₂;
• параллелепипед с габаритами а, b, c с объемом V.

Тогда можно последовательно вычислить их объемы. Объем первого параллелепипеда будет в а раз больше объема единичного куба, то есть он будет равен а. Объем второго параллелепипеда будет больше ещё в bраз, а третьего – ещё в с раз:

Соответственно, для расчета объема параллелепипеда используется формула

Иногда эту формулу формулируют несколько иначе: объем параллелепипеда – это произведение площади его основания на длину высоты, перпендикулярной этому основанию.

Задание. Три смежных ребра прямоугольного параллелепипеда имеют длины 9, 4 и 7 см. Каков объем параллелепипеда?

Решение. Здесь надо просто перемножить габариты параллелепипеда:

Ответ: 252 см³.

Куб можно рассматривать как прямоугольный параллелепипед с одинаковыми измерениями. Поэтому для вычисления его объема надо умножить ребро куба само на себя дважды, то есть возвести его в куб.

Задание. Вычислите объем куба с ребром 8 метров.

Решение. Просто возводим сторону ребро куба в третью степень:

Задание. Если ребро куба увеличить на 2 дм, то его объем вырастет на 98 дм³. Какова длина ребра этого куба?

Решение. Обозначим длину ребра буквой х. Тогда объем куба будет составлять х³ дм. Если ребро увеличить на 2 дм, то оно будет иметь длину х + 2 дм, и тогда объем куба будет равен уже (х + 2)³ дм. Условие задачи можно записать в виде уравнения:

Это квадратное уравнение имеет два корня, 3 и (– 5), что можно проверить с помощью теоремы Виета. Корень х = – 5 не имеет геометрического смысла, поэтому остается ответ х = 3.

Ответ: 3 дм.

Далее рассмотрим перевод единиц измерения объема. Например, как перевести 1 м³ в кубические сантиметры? Рассмотрим куб с ребром 1 м. Ясно, что его объем будет равен 1 м³. С другой стороны, можно сказать, что длина ребра этого куба составляет 100 см:

Тогда объем этого куба можно посчитать так:

Аналогично можно переводить и другие единицы измерения.

Объем прямой призмы

Рассмотрим сначала прямую призму, в чьем основании располагается прямоугольный треугольник. Ее можно достроить до прямоугольного параллелепипеда:

Ясно, что объем параллелепипеда будет вдвое больше объема исходной призмы, ведь он состоит из двух таких призм. Аналогично и площадь основания у параллелепипеда будет вдвое больше. Обозначим площадь основания призмы буквой S, а ее высоту как h, тогда площадь основания параллелепипеда будет 2S, а его объем составит 2S•h. Тогда объем призмы будет вдвое меньше, то есть он окажется равным S•h.

Далее рассмотрим прямую призму, в основании которой лежит уже произвольный треугольник. Проведем в этом треугольнике высоту, которая упадет на противоположную сторону (такую высоту всегда можно провести). Далее через эту высоту проведем плоскость, перпендикулярную основанию. В результате мы разделим призму на две прямых призмы, в основании каждой из которых будет лежать прямоугольный треугольник:

Пусть площади получившихся прямоугольных треугольников обозначены как S₁и S₂, а общая площадь основания исходной призмы – это S. Мы можем вычислить объемы этих призм:

Теперь, наконец, рассмотрим прямую призму, чье основание – произвольный многоугольник. Этот многоугольник можно разбить на несколько треугольников с площадями S₁, S₂, S₃…, а призма соответственно будет разбита на несколько треугольных призм с объемами V₁, V₂, V₃ и. т. д.

Объем каждой треугольный призмы мы можем рассчитать:

Задание. Все ребра правильной шестиугольной призмы одинаковы, их длина обозначена буквой а. Найдите объем такой призмы.

Решение. Сначала необходимо найти площадь основания призмы, то есть площадь правильного шестиугольника. Напомним формулы для правильных многоугольников, изученные ещё в девятом классе:

Для вычисления объема надо лишь умножить полученную площадь на высоту призмы, а она также равна а:

Задание. В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ через середины ребер СD и BC проведено сечение, параллельное ребру СС₁. Это сечение отсекает от куба треугольную призму, чей объем равен 19. Найдите объем куба.

Решение. Ясно, что и куб, и треугольная призма будут прямыми призмами, причем у них одинаковая высота СС₁. Тогда можно утверждать, что отношение их объемов равно отношению площадей их оснований:

Пусть сторона АВ имеет длину а. Тогда площадь квадрата АВСD будет составлять а². Отрезки ЕС и FC будут вдвое короче АВ, то есть их длина составляет a/2. ∆EFC – прямоугольный, и его площадь может быть рассчитана как половина произведения его катетов:

Объем цилиндра

Цилиндр не получится разбить на несколько призм, поэтому для вычисления его объема используется другой метод. Впишем цилиндр в правильную n-угольную призму. Одновременно построим и другую правильную n-угольную призму, которая сама будет вписана в цилиндр. Объем вписанной призмы обозначим как V_в, а объем описанной призмы как V_о. Объем самого цилиндра – это V_ц. При этом высоты всех трех фигур одинаковы:

Ясно, что объем вписанной призмы меньше объема цилиндра, а тот в свою очередь меньше объема описанной призмы:

Теперь будем неограниченно увеличивать число n. При этом площади S_в и S_о будут стремиться к площади основания цилиндра, равной величине πr², где r– радиус основания цилиндра. Это возможно лишь в том случае, если справедливо равенство

Задание. Найдите объем цилиндра с высотой 5 см и радиусом 6 см.

Решение. Сначала находим площадь основания:

Задание. Известно, что высота цилиндра вдвое больше его радиуса, а объем цилиндра равен 54π. Найдите радиус цилиндра.

Решение. Обозначим радиус цилиндра буквой х. Тогда по условию высота будет вдвое больше, то есть она составит 2х. Вычислим объем цилиндра:

Ответ: 3.

Задание. Труба изготовлена из металла с плотностью 11,4 г/см³. Внутренний диаметр трубы равен 13 мм, а ее стенка имеет толщину 4 мм. Длина трубы – 25 метров. Какова ее масса?

Решение. Для расчета массы необходимо сперва вычислить объем трубы. Ясно, что если к объему трубы прибавить объем внутреннего отверстия, то в итоге получится объем большого цилиндра, чей диаметр равен наружному диаметру трубы:

Легко найти объем отверстия, ведь оно имеет форму цилиндра. Его радиус вдвое меньше диаметра, то есть он равен 13/2 = 6,5 мм. При расчете важно не забыть перевести высоту в миллиметры:

Сегодня мы узнали о такой характеристике тел, как объем. Если объем куба и прямоугольного параллелепипеда мы умели находить ещё в средней школе, то определять объем цилиндра и прямой призмы мы научились только сейчас. Однако все эти случаи по сути одинаковы – надо перемножить высоту фигуры и площадь ее основания. В будущем мы научимся вычислять объемы более сложных фигур – пирамиды, конуса, шара.

Урок – практикум (лабораторная работа №4): «Расчет  объёма тела».

Тема: Расчет объема тела

Тип урока: урок – практикум (лабораторная работа)

Оборудование и материалы: доска, учебник, бруски одинакового объёма, ученическая линейка, измерительный цилиндр (мензурка), тела разной формы, раздаточный материал

Организация пространства: фронтальная работа, индивидуальная работа, работа в парах.

Класс: 7

ФИО учителя: Назарова О.Н.

.

Цели урока:

добиться усвоения понятия «объема тела»;

отработать навыки расчета объема тела.

развитие умений и навыков оперировать понятием «объем тела» при решении различного вида задач;

развитие общеучебных умений оформлять решение, делать выводы;

развитие умений пользоваться измерительными приборами;

развитие умений действовать самостоятельно при выполнении экспериментальных заданий.

воспитание аккуратности, последовательности в действиях, наблюдательности, культуры речи, умения четко выражать свою мысль.

Предметные:

умения и навыки применять полученные знания для решения практических задач повседневной жизни

Метапредметные:

осуществлять взаимный контроль,  оказывать в сотрудничестве необходимую взаимопомощь; формулировать и осуществлять этапы решения задач

Личностные:

сформированность познавательных интересов и  интеллектуальных способностей учащихся;

Оборудование и оснащение урока:

доска, учебник, бруски одинакового объёма, ученическая линейка, измерительный цилиндр (мензурка), тела разной формы, раздаточный материал.

Ход урока:

I этап:

 Слово учителя.

1. Масса, плотность и объем, как-то встретились втроем.  Посидели-поболтали, И, конечно, спорить стали Кто из них всего важнее. «Я главней!» — сказала масса Вы спросите хоть у класса Ведь не сможет без меня Человек прожить и дня. Не построит даже дом Кто со мною не знаком И сказала очень мило «Знайте в массе моя сила!» Погоди, моя подруга Мы не можем друг без друга Плотность молвила в ответ Ты важна и спору нет,  Но без нас бы, дорогая  Стала вся бы ты худая, И худая, и пустая В общем, просто никакая. Долго хмурился объем, Но сказал он о своем «Дорогие, не шумите И себя вы не хвалите Без меня как ни крутись Никому не обойтись Даже платья не пошить Коль со мною не дружить! Без меня одна беда…».

Какой величине мы посвятим сегодняшний урок?

Вопросы учащимся.

А теперь вспомним, что вы знаете про физическую величину – объем.

1. Что характеризует объем, что такое объем?
2. Как обозначается объем?
3. В каких единицах измеряется?
4. Как найти объем прямоугольного параллелепипеда?

II этап:

Выполнение 1 части лабораторной работы (определение объема параллелепипеда)

(выполняют на бланке контроля)

Демонстрационный опыт позволяет учащимся убедиться, что объем  параллелепипеда (кубика), может быть определен за счет всего лишь одного промера: измерения длины ребер (ребра).

Если тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда, то его объем равен произведению трех смежных сторон: V = а• Ь• с.

Выполнение 2 части лабораторной работы (определение объема тел произвольной  формы)

(выполняют на бланке контроля)

У вас на столах кроме параллелепипеда, есть ещё тела, форма которых произвольная как определить их объем? Ваши предложения.

Объем тел произвольной формы нельзя измерить при помощи линейки. Для этого можно воспользоваться самым простым способом, суть которого открыта и предложена древнегреческим философом Архимедом. Тело, погруженное в наполненную емкость, вытесняет объем жидкости равный объему погружаемого тела. Данный способ один из универсальных способов определение объема тела произвольной формы. Рассмотрим представленный рисунок.

При погружении в мензурку тела уровень воды в мензурке повышается, так как увеличивается объём воды на величину, равную объёму тела.

Определите цену деления мензурки:

— 5мл

Определите по рисунку уровень воды:

до погружения 50 мл

после погружения 80 мл

Объём тела 30 мл

(приступают к выполнению работы на бланках контроля)

Прежде чем выполнять работу мы должны, что сделать?

— Определить цену деления мензурки.

      — Налейте в мензурку столько воды, чтобы тело можно было полностью погрузить в воду.

При погружении в мензурку тела уровень воды в мензурке повышается, так как увеличивается объём воды на величину, равную объёму тела.

-Заполняем таблицу результатов.

Дополнительное задание. Измерение объема тела произвольной формы (гири в 0,5 кг.), который не помещается в мензурку (с помощью отливного стакана).

III этап:

1.Запись домашнего задания: § 21 — 23,  прочитать л/р №5; выполнить на формате А-4 задание: Измерьте длину a, ширину b и высоту h в своей комнате и вычислите её объем.

     2.  Рефлексия. При выполнении лабораторных вы сделали самооценку своих действий.  Я просмотрю их и на следующем уроке,  вы узнаете свои оценки.

Мы сегодня хорошо поработали, а теперь давайте подведем итог.

1. Что нового вы сегодня узнали?
2. Сможете ли вы определить объем любого тела?
3. Что вызвало у вас затруднения?
4. А что понравилось?

Спасибо вам, ребята, за урок. До свидания.