Здравствуйте! В этой статье мы с вами рассмотрим задачи с шарами. Вернее здесь будет комбинация тел: шар вписанный в цилиндр или другими словами цилиндр описанный около шара (что одно и тоже) и куб вписанный в шар.
На блоге уже рассмотрена группа задач с шарами, посмотрите. В представленных заданиях речь пойдёт о нахождении объёма и площади поверхности указанных тел. Формулы которые необходимо знать!
Формула объёма шара:
Формула площади поверхности шара:
Формула объёма цилиндра:
Формула площади поверхности цилиндра:
Подробнее о площади боковой поверхности цилиндра:
Она представляет собой «скрученный» в цилиндр прямоугольник одна сторона которого равна длине окружности основания — это 2ПiR, другая сторона равна высоте цилиндра — это Н.
Что стоит отметить касаемо представленных задач?
1. Если шар вписан в цилиндр, то у них общий радиус.
2. Высота цилиндра описанного около шара равна двум его радиусам (или диаметру).
3. Если куб вписан в шар, то диагональ этого куба равна диаметру шара.
245348. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.
Формула объёма шара:
Необходимо найти радиус шара.
У шара и у цилиндра общий радиус. Основание цилиндра это круг с радиусом R, высота цилиндра равна двум радиусам. Значит объём цилиндра вычисляется по формуле:
Подставим данный в условии объём в формулу и выразим радиус:
Оставим выражение в таком виде, выражать радиус (извлекать корень третьей степени) не обязательно, так как нам понадобится именно R3.
Таким образом, объём шара будет равен:
Ответ: 22
245349. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.
Эта задача обратная предыдущей.
Формула объёма шара:
Объём цилиндра вычисляется по формуле:
Так как объём шара известен, то мы можем выразить радиус и уже далее найти объём цилиндра:
Таким образом:
Ответ: 36
316557. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Формула поверхности шара:
Формула поверхности цилиндра:
Упростим:
Так как площадь поверхности шара нам дана, то мы можем выразить радиус:
Далее подставим его в формулу площади поверхности цилиндра и вычислить её, таким образом:
Ответ: 166,5
245355. Куб вписан в шар радиус которого равен корню из трёх. Найдите объем куба.
Чтобы вычислить объём куба необходимо знать чему равно его ребро. Радиус шара равен половине диагонали куба:
*Диагональ куба равна диаметру шара.
Значит диагональ куба будет равна двум корням из трёх. Обозначим диагональ буквой d, а ребро куба буквой a. Нам известна формула выражающая взаимосвязь диагонали куба и его ребра:
Значит мы можем вычислить ребро куба:
Таким образом, объём куба будет равен 23 = 8.
Ответ: 8
Если подвести небольшой итог, то можно сказать следующее:
Используя указанные формулы при данных величинах объёма или площади поверхности всегда можно найти (выразить) радиус. А затем зная радиус, далее уже можно его использовать при вычислениях.
В любом случае знание формул обязательно!!! Без этого никак. На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50. Найдите объём цилиндра.
Источники: fipi, os.fipi, Основная волна 2017, Досрочная волна 2016, Пробный ЕГЭ 2015.
Решение:
Радиус шара равен радиусу цилиндра. Высота цилиндра равна двум радиусам шара:
h = R + R = 2R
Тогда объём цилиндра равен:
Vцилиндра = πR2·h = πR2·2R = 2πR3
Объём шара равен 50 и находится по формуле:
V_{шара}=frac{4}{3}pi R^{3}=50\frac{2}{3}cdot 2pi R^{3}=50\frac{2}{3}cdot V_{цилиндра}=50:{color{Blue} |cdot 3}\2cdot V_{цилиндра}=150:{color{Blue} |: 2} \V_{цилиндра}=75
Ответ: 75.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 3.2 / 5. Количество оценок: 26
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 2 № 269289 
i
Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 12. Найдите объем шара.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.
##
Выразим из формулы для объёма цилиндра 
и подставим в формулу для объёма шара
Ответ: 22.
Аналоги к заданию № 245348: 269309 513619 269265 … Все
Классификатор стереометрии: Комбинации круглых тел, Объём цилиндра, конуса, шара
Прототип задания
·
Видеокурс
V шара=4/3*pi*R^3=32 => pi*R^3=32:4/3=24
Т.к. шар вписан в цилиндр, то высота цилиндра равна диаметру шара, то есть 2R
V цилиндра=pi*R^2*2R=2*pi*R^3=2*24=48
Ответ: 48
Отмена
Игорь Пощев
Отвечено 24 сентября 2019
-
Комментариев (0)
Добавить
Отмена
|
Шар вписан в цилиндр. Объем шара равен 2021. Найдите объем цилиндра.
Объем шара вычисляется по формуле Vш = 4/3*pi*R^3. Если шар вписан в цилиндр, то диаметр шара равен диаметру цилиндра и высоте цилиндра. То есть имеем объем цилиндра Vц = pi*R^2*H = pi*R^2*2*R = 2*pi*R^3 = 2*3/4*4/3*pi*R^3=1,5*Vш. Получается, что объем цилиндра в данном случае в полтора раза больше объема шара. Поэтому Vц = 1,5*2021=3031,5. Ответ: 3031,5. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Грустный Роджер 2 года назад Для цилиндра, в который вписан шар, диаметр основания равен высоте (H=2R), откуда объём цилиндра равен πR²*2R = 2πR³. Из выражения Vш = 4/3 πR³ имеем, что R³ = (3/4π) Vш. Откуда Vц = 2π*(3/4π) Vш = 3/2 Vш. А чему равно пи — по фигу.
keepline 2 года назад Объем шара равен четырем третим от его радиуса в кубе помноженого на число пи. где V — объем шара, R — радиус шара, π = 3.141592. Мне было лень все это считать и я воспользовался калькулятором
Затем еще один расчет, тоже онлайн V = π R2 h = π · (7.84)2 · 15.68 = 963.780608 π ≈ 3027.8060777651044 Знаете ответ? |
