Площадь поверхности конуса состоит из площади боковой поверхности конуса и площади основания (круга).
|
Рис. (1). Конус |
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: где (R) — радиус конуса, (l) — образующая конуса. Площадь основания конуса вычисляется по формуле S(круга) = Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле S(полн.) =S(бок.) +S(круга) =πRl+πR2. Объём конуса вычисляют по формуле V = 13⋅H⋅ S(круга) = πR2⋅H3 |
Площадью боковой поверхности конуса является площадь её развёртки.
Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор.
|
Рис. (2). Развёртка конуса |
α
— градусная мера центрального угла. Радиус этого сектора — образующая конуса (AK = KB = l)
|
Источники:
Рис. 1. Конус. © Якласс
Рис. 2. Развёртка конуса. © Якласс
Конус – это геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. У каждого конуса есть основание и боковая поверхность.
Любой конус характеризуется высотой h (осевой линией), радиусом r и образующей l (см. рисунок). Именно эти характеристики используются в формулах конуса при вычислении объема, площади поверхности и площади боковой поверхности.
Высота конуса (осевая линия) – это перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к основанию.
Радиус конуса – это радиус его основания.
Образующая конуса – это отрезок, который соединяет вершину конуса с любой точкой, лежащей на линии окружности основания.
Формула образующей конуса
Образующую конуса можно найти, зная ее высоту H и радиус R:
L = √H2 + R2
Формула площади боковой поверхности конуса
Площадь боковой поверхности конуса можно получить, зная его радиус R и образующую L:
Sбок.пов = πRL
Формула площади основания конуса
Площадь основания конуса можно вычислить по его радиусу R:
Sосн = πR2
Формула площади конуса
Площадь поверхности конуса можно получить, сложив площадь боковой поверхности и площадь основания конуса:
S = Sбок.пов + Sосн = πRL + πR2
Формула объема конуса
Объем конуса можно вычислить, зная его высоту H и площадь основания:
V = 1/3 ⋅ Sосн ⋅ H = 1/3πR2H
Элементы конуса
Определение. Вершина конуса — это точка (K), из которой исходят лучи.
Определение. Основание конуса — это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.
Определение. Образующей конуса (L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.
Формула. Длина образующей (L) прямого кругового конуса через радиус R и высоту H (через теорему Пифагора):
L2 = R2 + H2
Определение. Направляющая конуса — это кривая, которая описывает контур основания конуса.
Определение. Боковая поверхность конуса — это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.
Определение. Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.
Определение. Высота конуса (H) — это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.
Определение. Ось конуса (a) — это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.
Определение. Конусность (С) конуса — это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса — это отношение разности диаметров поперечных сечений D и d усеченного конуса к расстоянию между ними:
где C — конусность, D — диаметр основания, d — диаметр меньшего основания и h — расстояние между основаниями.
Конусность характеризует остроту конуса, то есть, угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее угол наклона. угол конуса α будет:
где R — радиус основы, а H — высота конуса.
Определение. Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника — это диаметр основания конуса.
Определение. Касательная плоскость к конусу — это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.
Определение. Конус, что опирается на круг, эллипс, гиперболу или параболу называется соответственно круговым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом (последние два имеют бесконечный объем).
Определение. Прямой конус — это конус у которого ось перпендикулярна основе. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой.
Формула. Объём кругового конуса:
где R — радиус основы, а H — высота конуса.
Формула. Площадь боковой поверхности (Sb) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:
Sb = πRL
Формула. Общая площадь поверхности (Sp) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L:
Sp = πRL + πR2
Определение. Косой (наклонный) конус — это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой.
Формула. Объём любого конуса:
где S — площадь основы, а H — высота конуса.
Определение. Усеченный конус — это часть конуса, которая находится между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельная основе.
Формула. Объём усеченного конуса:
где S1 и S2 — площади меньшей и большей основы соответственно, а H и h — расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы соответственно.
Уравнение конуса
1. Уравнение прямого кругового конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
| x2 | + | y2 | — | z2 | = 0 |
| a2 | a2 | c2 |
2. Уравнение прямого эллиптического конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
| x2 | + | y2 | = | z2 |
| a2 | b2 | c2 |
Основные свойства кругового конуса
1. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360 ° образуется прямой круговой конус.
3. При вращении равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180 ° образуется прямой круговой конус.
4. В месте пересечения конуса плоскостью, параллельной основанию конуса, образуется круг. (см. Срезанный конус)
5. Если при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не пересекается с основанием, то в месте пересечения образуется эллипс (рис. 3).
6. Если плоскость сечения проходит через основание, то в месте пересечения образуется парабола (рис. 4).
7. Если плоскость сечения проходит через вершину, то в месте пересечения образуется равнобедренный треугольник (см. Осевое сечение).
8. Центр тяжести любого конуса находится на одной четвертой высоты от центра основы.
Напомним,
что конус – это тело, полученное при вращении прямоугольного
треугольника вокруг прямой, проходящей через один из его катетов.
Назовём
элементы конуса.
Осью
конуса называется прямая вращения.
Основание конуса
– круг радиуса ,
который равен катету треугольника вращения.
Радиус
конуса –
это радиус его основания.
Вершина
конуса – неподвижная вершина треугольника вращения.
Образующая
конуса –
отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности основания. Все
образующие конуса равны между собой.
Высота конуса
–
перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания. Высота
конуса совпадает с неподвижным катетом треугольника вращения.
В
конусе радиус основания ,
высота и
образующая связаны
следующим соотношением:
.
Сечение
конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой
равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими
конуса.
Осевым
сечением конуса называется сечение конуса плоскостью,
проходящей через его ось.
Осевое
сечение конуса – равнобедренный треугольник, боковые стороны
которого – образующие, а основание – диаметр основания конуса.
Боковую
поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра,
можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Развёрткой
боковой поверхности конуса является круговой сектор.
Обратите
внимание, радиус сектора равен образующей конуса,
а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
Площадь
боковой поверхности конуса можно вычислить по следующим
формулам:
,
,
,
где
–
длина окружности основания, –
радиус основания, –
образующая.
Площадь
полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности конуса и
площади его основания.
Тогда
площадь полной поверхности конуса можно вычислить по формуле^
,
где
–
радиус основания конуса, –
его образующая.
Объём конуса
равен одной третьей произведения площади основания на высоту.
Тогда
его можно вычислить по формуле:
,
где
–
радиус основания конуса, –
его высота.
Плоскость,
параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую
поверхность – по окружности с центром на оси конуса. Эта плоскость разбивает
конус на две части. Одна из частей (верхняя) представляет собой конус, а вторая
(нижняя) называется усечённым конусом.
Усечённым
конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием
и сечением, параллельным плоскости основания. Усечённый конус имеет ось,
высоту ,
радиусы оснований и
,
образующую .
Осевое сечение усечённого конуса – равнобедренная трапеция.
Площадь
боковой поверхности усечённого конуса и объём усечённого конуса равен разности
площадей боковых поверхностей и объёмов полного конуса и отсечённого.
,
Площадь
боковой поверхности усечённого конуса можно найти по следующим
формулам:
,
Объём
усечённого конуса можно вычислить по следующим формулам:
,
где
и
–
площади оснований, –
высота усечённого конуса;
или
,
где
–
высота усечённого конуса, и
–
радиусы верхнего и нижнего оснований.
Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части
занятия.
Задача
первая. Радиус основания конуса равен см,
высота конуса равна см.
Найдите площадь боковой поверхности и объём конуса.
Решение.
Задача
вторая. В конус вписана правильная треугольная пирамида с
площадью основания см2
и углом наклона бокового ребра к основанию, равным .
Найдите объём и площадь полной поверхности конуса.
Решение.
Задача
третья. В равносторонний конус с радиусом основания, равным см,
вписан прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат, с
высотой см
так, что одно его основание принадлежит основанию конуса, а вершины другого
основания принадлежат боковой поверхности конуса. Найдите объём
параллелепипеда. В ответе запишите значение .
Решение.
Задача
четвёртая. Длины радиусов оснований и образующей усечённого
конуса равны соответственно см,
см
и см.
Вычислите его высоту.
Решение.
|
Объем конуса через радиус (r) основания |
|
|
|
Радиус (r):
Высота (h): Объем конуса (Vк): |
|
Объем конуса через площадь основания (Sосн) |
|
|
|
Площадь основания (Sосн):
Высота (h): Объем конуса (Vк): |
|
Площадь боковой поверхности и полная площадь поверхности |
|
|
|
Радиус (r):
Длина образующей (L): Площадь боковой поверхности (Sб.п.): Площадь полной поверхности (Sп.п.): |
|
Конус — это геометрическое тело, которое образовано совокупностью всех лучей,
Круглый конус — это тело, состоящее из круга (основание конуса), точки, |
|
|
|
