Как найти нормальное ускорение формулы

Нормальное ускорение

Нормальное
ускорение – это составляющая
вектора ускорения, направленная вдоль
нормали к траектории движения в данной
точке на траектории движения тела. То
есть вектор нормального ускорения
перпендикулярен линейной скорости
движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение
характеризует изменение скорости по
направлению и обозначается буквой
_n.
Вектор нормального ускорения направлен
по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное
ускорение при криволинейном
движении складывается из тангенциального
и нормального ускорений по правилу
сложения векторов и
определяется формулой:

(согласно
теореме Пифагора для прямоугольно
прямоугольника).

Направление
полного ускорения также определяется
правилом
сложения векторов:

=

_τ
+
_n

4. Равномерное движение по окружности.

Среди
различных видов криволинейного движения
особый интерес представляет равномерное
движение тела по окружности. Это самый
простой вид криволинейного движения.
Вместе с тем любое сложное криволинейное
движение тела на достаточно малом
участке его траектории можно приближенно
рассматривать как равномерное движение
по окружности.

Центростремительное
ускорение.
При равномерном движении по окружности
значение скорости остается постоянным,
а направление вектора скорости
изменяется
в процессе движения. Определим ускорение
тела, движущегося равномерно по окружности
радиусом R.
За интервал времени Δt
тело проходит путь
.

Этот
путь Δs
равен длине дуги АВ
(рис. 17). Векторы
скоростей
и

точках
А
и В
направлены по касательным к окружности
в этих точках, угол α между векторами

и

равен
углу между радиусами ОА
и OB.

Для
нахождения вектора ускорения
нужно
найти разность векторов скорости
и
определить отношение изменения скорости
к малому интервалу времени Δt,
за который произошло это изменение:

.

Из
подобия треугольников ОАВ
и BCD
следует

.(3.1)

Если
интервал времени Δt
мал, то мал и угол α. При малых значениях
угла α длина хорды АВ
примерно равна длине дуги АВ,
т. е.
.
Так как
,

и

,
то из выражения (3.1) получаем

,(3.2)

.
(3.3)

Поскольку

,
(3.4)

из
выражений (3.3) и (3.4) получаем

.
(3.5)

Из
рисунка 17 видно, что, чем меньше угол α,
тем ближе направление вектора
к
направлению на центр окружности. Так
как вектор ускорения равен
отношению
вектора
к
интервалу времени Δt
при условии, что интервал времени Δt
очень мал, то вектор ускорения при
равномерном движении по окружности
направлен к ее центру.

При
изменении положения тела на окружности
меняется направление на центр окружности.
Следовательно, при равномерном движении
тела по окружности модуль ускорения
имеет постоянное значение, но направление
вектора ускорения изменяется со временем.
Ускорение при равномерном движении по
окружности называется центростремительным
ускорением.

5. Законы Ньютона.

Зако́ны Ньюто́на — три закона,
лежащие в основе классической
механики и позволяющие
записать уравнения
движения для любой механической
системы, если известны
силовые
взаимодействия для
составляющих её тел. Впервые в полной
мере сформулированы Исааком
Ньютоном в книге «Математические
начала натуральной философии»

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Касательное и нормальное ускорения точки

Касательное ускорение характеризует изменение в данное мгновение вектора скорости по величине, а нормальное — по направлению

Проекция ускорения на касательную и на нормаль

Если движение точки задано в векторной или в координатной форме, то часто встречается необходимость определить проекции ускорения на касательную и главную нормаль к траектории точки в том ‘ месте, где в данное мгновение находится точка (рис. 91, а).

При естественной форме определения движения точки сначала определяют проекции ускорения на касательную и на нормаль, а затем уже по этим проекциям находят величину и направление полного ускорения точки.

 Проекцию ускорения точки на касательную к ее траектории называют касательным ускорением, или тангенциальным ускорением (от латинского слова tangens—касающийся), и обозначают a_N.

Проекцию ускорения на нормаль называют нормальным ускорением и обозначают a_r.
Часто касательное и нормальное ускорения рассматривают не как проекции, а как составляющие полного ускорения, т. е. как векторные величины. В таком случае над а_r и a_N ставят стрелку, указывающую на их векторный характер.

Разложение ускорения по касательной и нормали имеет физический смысл: касательная составляющая ускорения направлена по касательной (как и скорость), а потому не может повлиять на направление скорости, но влияет на ее величину; составляющая ускорения по нормали направлена перпендикулярно к скорости, а потому не может повлиять на величину скорости, но влияет на ее направление.

Касательное ускорение равно первой производной от величины скорости по времени:

Касательное ускорение

Пусть точка M движется по траектории, расположенной в плоскости хОу.
Проведем касательную и нормаль к кривой в точке M (рис. 91, б), нанесем на чертеж вектор ускорения точки M и его составляющие и по координатным осям. Чтобы определить касательное ускорение, надо спроецировать на касательную вектор полного ускорения или найти алгебраическую сумму проекций на касательную составляющих и полного ускорения по осям координат. Воспользовавшись вторым из этих способов, спроецируем и на касательную:

Составляющие ускорения и направлены по координатным осям, а направление касательной совпадает с направлением скорости, поэтому косинусы углов а и β равны направляющим косинусам скорости:

   (62′)

   (62»)

Подставляя значения направляющих косинусов, получаем

По формуле (68) удобно вычислять касательное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58′) и (58″).

Можно дать еще другой изящный вывод формулы (68) тангенциального ускорения, для чего спроецировать на касательную вектор полного ускорения, не раскладывая его предварительно по осям декартовых координат. В самом деле, тангенциальное ускорение равно проекции полного ускорения на касательную (рис. 91, а):

a_r = a cos δ,
но угол δ, как внутренний угол треугольника, равен внешнему α_а без другого внутреннего α_υ, поэтому:

cos δ = cos (α_а—a_υ) = cos α_а cos a_υ + sin α_а sin a_υ

или, так как α_а = 90°- β_a и a_υ = 90°-β_υ, 

cos δ = cos α_а cos a_υ + cos β_a cos β_υ .

Подставляя сюда вместо направляющих косинусов их выражения (67) n (62′), получим

Напомним, что в числителе этой формулы проекции имеют свой знак, а знаменатель определяется по (64), т. е. существенно положителен.

Задача №1

Движение точки задано в декартовых координатах уравнениями:

x=21,2 sin² t,   y=21,2 cos² t

Определить касательное ускорение точки (см. задачу № 36, стр. 132).

Решение. Дифференцируя уравнения движения, найдем υ_x = 21,2 sin 2t, υ_y = -21,2 sin 2t. Определим теперь полную скорость:

Дифференцируя уравнения движения вторично, найдем

α_x = 42,2 cos 2t, α_y = -42,4 cos 2t.

Касательное ускорение определим по формуле (68):

Ответ. Касательное ускорение равно 60 cos 2t.

Задача №2

Точка M движется в системе координат хОу согласно уравнениям x=r cos πt, y=r sin πt. Найти касательное ускорение точки М.

Решение. Проекции скорости и ускорения на оси координат, а также и полная скорость точки M были уже нами получены при решении задачи № 44 (см. стр. 142). Для определения касательного ускорения точки M нам остается только подставить эти величины в формулу (68):

Ответ. Касательное ускорение равняется нулю.

Для случая задания движения в естественной форме преобразуем формулу (68) следующим образом:

и, сокращая на υ, найдем касательное ускорение

   (69)

Принимая во внимание (53), можно придать этой формуле несколько иной вид:

   (69′)

Итак, касательное ускорение—это проекция ускорения точки на касательную к траектории, равная первой производной от величины скорости по времени. Чтобы получить касательное ускорение в векторном выражении, нужно его умножить на единичный вектор касательной:

   (69»)

Как уже было сказано, касательное ускорение не может изменить направления скорости, оно характеризует быстроту изменения величины скорости, т. е. соответствует изменению вектора скорости вдоль его направления.

Если с течением времени величина скорости увеличивается, то касательное ускорение направлено в ту же сторону, что и скорость. Такое движение называют ускоренным.

Если же величина скорости уменьшается, то касательное ускорение направлено в сторону, противоположную скорости. Такое движение называют замедленным.

Каждое из этих движений называют переменным движением.

Если величина скорости точки постоянна, то производная , а потому равно нулю и касательное ускорение. Движение точки с постоянной по величине скоростью по любой траектории называют равномерным. Следовательно, при равномерном движении точки касательное ускорение равно нулю.

Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если касательное ускорение постоянно равняется нулю, то, следовательно, величина скорости постоянна и движение равномерно; если же касательное ускорение точки равняется нулю не в течение всего рассматриваемого промежутка времени, а только в какое-то мгновение, то движение точки не является равномерным, и равенство означает, что в это мгновение величина скорости достигла экстремального (максимального или минимального) значения.

При равномерном движении точки по любой траектории

   (70)

Формулы (70) справедливы только для равномерного движения точки и неприменимы при других движениях.

Равнопеременное движение точки

Из переменных движений точки в задачах наиболее часто встречается равнопеременное движение — такое движение, при котором касательное ускорение остается постоянным.

При равнопеременном движении точки по любой траектории
   (71)

Формулы (71) справедливы только для равнопеременного движения и неприменимы при других движениях. Они даны здесь без вывода и известны из элементарной физики. Вывод этих формул приведен в решении задачи № 48.

Задача №3

Точка А начала двигаться с начальной скоростью υ₀= 1 м/сек и с ускорением a_T =2 м/сек². Через одну секунду следом за точкой А по той же траектории с такой же начальной скоростью и с таким же касательным ускорением стала двигаться точка В. Определить расстояние (по траектории) между точками А и В через t сек после выхода первой точки. Построить графики движения точек.

Решение. Определим сначала уравнение движения точек. Нам дано, что

Разделяя переменные и интегрируя, получим

υ = a_Tt + C₁

Постоянную C₁ определим из начальных данных:

υ₀ = a_T  ^. 0 + C₁;    C₁=υ₀

Следовательно, 

υ = υ_0  + a_Tt.

Написав υ по (53), разделяя переменные и интегрируя, найдем

где

С₂ = s₀ = 0.

Подставляя вместо υ₀ и а_T заданные величины, найдем расстояние (в м), пройденное точкой А за время t:

В то же мгновение t расстояние, пройденное точкой В, будет меньше, так как точка В будет находиться в пути лишь t—1 сек. Для точки В

Расстояние между A и B найдем как разность пройденных ими путей:

Это расстояние растет пропорционально времени, хотя точка В во времени не отстает от точки А и каждую точку траектории проходит через 1 сек после того, как через нее прошла точка А.

Графики движения точек А и В изображаются одинаковыми параболами (рис. 92), но парабола, представляющая движение точки В, смещена по оси времени относительно параболы, представляющей движение точки А, на 1 сек вправо. Чтобы определить расстояние (в м) между А и В в какое-либо мгновение, надо восставить перпендикуляр к оси времени в точке, соответствующей этому мгновению, и измерить расстояние по вертикали между параболами. Чтобы определить интервал времени (в сек) между прохождениями точками А и В какой-либо точки К траектории, надо восставить перпендикуляр к оси расстояний в точке, соответствующей расстоянию точки К от начала отсчета, и измерить расстояние по горизонтали между параболами. Графики наглядно показывают, что точка В отстает от точки А по расстоянию, так как А В непрерывно увеличивается, но не отстает по времени, и точка В проходит каждый отрезок траектории за такое же время, как и точка А.

Рис. 92

Ответ. S_A— S_B = 2t м.

Нормальное ускорение равно отношению квадрата скорости точки к радиусу кривизны траектории:

Нормальное ускорение

Чтобы получить формулы нормального ускорения, мы опять воспользуемся тем, что проекция вектора на ось равна сумме проекций его составляющих на ту же ось, и определим a_N как алгебраическую сумму проекций составляющих ax и ay на нормаль к траектории точки. Выберем за положительное направление нормали то, которое получается от поворота положительного направления касательной на прямой угол против хода часов (см. рис. 91) в сторону вогнутости кривой.
Как видно из чертежа (см. рис. 91, б)

a_N = a_y cos  α_υ—a_x cos β_υ.

Подставляем значения (62) направляющих косинусов:

   (72)

По этой формуле удобно вычислять нормальное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58′) и (58″).

Эту же формулу (72) можно получить, спроецировав полное ускорение а на нормаль M_n (рис. 91, а):

a_N = a sin δ = a sin (α_α—α_υ)

или

a_N=a (sinα_α cos α_υ -cos α_α sin α_υ).

Подставляя эти значения и сокращая на а, получим:

Задача №4

Движение точки задано уравнениями X= 21,2 sin² t, у= 212 cos² t. Определить нормальное ускорение точки.

Решение. Дифференцируя эти же уравнения движения при решении задачи № 36 (см. стр. 132), мы уже определили нужные нам величины: υ_x, υ_y,  υ, a_x, а_у. Подставляя их в формулу (72), найдем

Ответ. Нормальное ускорение равно нулю.

Задача №5

Точка M движется согласно уравнениям x= r cos πt, y= r sin πt. Найти нормальное ускорение точки М.
Решение. Дифференцируя при решении задачи № 44 (см. стр. 142) эти уравнения движения, мы уже нашли проекции скорости и проекции ускорения. Полную скорость определим по ее проекциям согласно (64):

Подставляя все эти величины в формулу (72), найдем

Ответ. Нормальное ускорение равно rπ².

Чтобы преобразовать формулу (72) для случая, когда движение точки задано в естественной форме, припомним из курса высшей математики выражение кривизны плоской кривой, представленной в параметрической форме уравнениями (58′) и (58″),

Если параметр t означает время, то эту геометрическую формулу можно переписать в обозначениях кинематики:
   (73)

Сравнивая равенства (72) и (73), находим

   (74)

Мы получили положительное значение проекции, следовательно, нормальное ускорение направлено от точки M в положительном направлении оси M_n (см. рис. 91), т. е. в ту сторону от касательной, по которую лежит траектория точки.

Чтобы получить нормальное ускорение в векторном выражении, надо (74) умножить на единичный вектор нормали:

      (74^/)

Как уже было сказано, нормальное ускорение не влияет на величину скорости, потому что оно направлено перпендикулярно к скорости. Оно влияет на направление скорости.

Итак, нормальное ускорение—это проекция ускорения точки на нормаль к траектории, направленная в сторону вогнутости, равная квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории.
Если движение точки прямолинейное, то радиус кривизны траектории (прямой линии) равен бесконечности, а нормальное ускорение равно нулю.

Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если в каждое мгновение данного промежутка времени нормальное ускорение движущейся точки равняется нулю, то точка движется по прямой; если же нормальное ускорение точки не постоянно равно нулю, а только в какое-либо мгновение, то движение точки не а потому

является прямолинейным и равенство означает, что в это мгновение положение точки совпадает с точкой перегиба траектории или же направление скорости меняется на обратное. На чертеже (рис. 93) изображено нормальное ускорение точки в различных местах траектории при равномерном движении.

Рис. 93

Величина ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов касательного и нормального ускорений:

Ускорение при естественном способе задания движения

Если движение точки задано в естественной форме, то проекции ускорения на нормаль и на касательную можно определить по формулам (69) и (74) и по проекциям определить величину полного ускорения точки (см. рис. 91):

   (75)

или

      (75^/)

Перед радикалом стоит знак « + », потому что величина ускорения существенно положительна.

Вектор полного ускорения направлен по диагонали прямоугольника, построенного на векторах касательного и нормального ускорений. Можно точно установить направление ускорения по тангенсу угла, составляемого им с нормалью к траектории:

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории, а нормальное к центру кривизны траектории, поэтому вектор полного ускорения лежит с той стороны от касательной, с которой расположена траектория точки.

При криволинейном ускоренном движений точки полное ускорение составляет со скоростью  острый угол, а при замедленном—тупой.

Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, и проекция ускорения на бинормаль равна нулю:

Разложение ускорения при движении точки по кривой двоякой кривизны. Если кривая не лежит в одной плоскости, то ее называют пространственной кривой, или кривой двоякой кривизны. В каждой точке к кривой можно провести только одну касательную и бесчисленное множество нормалей, расположенных в плоскости, перпендикулярной к касательной и называемой нормальной плоскостью (рис. 94).

рис. 94

Пусть в мгновение t точка занимает на кривой двоякой кривизны положение М. В это мгновение скорость точки направлена по касательной к кривой в точке М. Через эту касательную и через близкую точку M₁ (не показанную на чертеже)., в которую движущаяся точка придет в мгновение t + Δt, проведем плоскость и будем стремить Δt к нулю. Тогда точка M₁ будет стремиться к точке М. При этом плоскость будет поворачиваться около касательной, проведенной в точке М и стремиться к некоторому определенному положению, в котором она называется соприкасающейся плоскостью. Следовательно, в соприкасающейся плоскости находится вектор скорости движущейся точки в то мгновение, когда эта точка совпадает с точкой М, а также когда она занимает положение, предельно близкое к точке M. А так как ускорение характеризует изменение скорости в данное мгновение, то вектор ускорения тоже находится в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку M перпендикулярно к соприкасающейся и к нормальной плоскостям, называют спрямляющей плоскостью.

Нормаль, лежащую в спрямляющей плоскости, называют бинормалью, а нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости,—главной нормалью (главную нормаль плоской кривой обычно называют просто нормалью).

Касательная Mτ главная нормаль M_n и бинормаль M_b пересекаются в точке M под прямыми углами. Эти три взаимно перпендикулярные прямые в механике часто принимают в качестве координатных осей и называют естественными осями, или осями натурального триэдра. По мере движения точки по траектории естественные оси движутся вместе с ней, поворачиваются относительно основных (неподвижных) осей xOyz.

Положительные направления на естественных осях примем такими, чтобы трехгранный угол τMnb можно было привести в совпадение с углом xОyz. Касательная Mτ играет роль оси Ох, главная нормаль Mn— оси Oy и бинормаль Mb— оси Oz.

Так как вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости τМn, а бинормаль Mb перпендикулярна к соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю (α_b = 0), и при проецировании ускорения на три естественные оси мы имеем только две проекции: касательное ускорение и нормальное ускорение.

Таким образом, мы установили, что формулы (69), (69′) и (69″) касательного ускорения, формулы (74) и (74′) нормального ускорения, а также формулы (75) и (75′) полного ускорения, выведенные нами в предположении, что точка движется по плоской траектории, остаются справедливыми для любого движения точки.

Именно потому, что проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю, в формуле (75) величина полного ускорения определяется по двум проекциям, а не по трем, как это имеет место в формуле (66). Приравнивая выражение (66) модуля полного ускорения точки через проекции на неподвижные оси координат его же выражению (75) через проекции на естественные оси, получим для движения точки по любой траектории соотношение

   (76)

или

      (76^/)

Эти равенства часто бывают полезны при решении задач.

Задача №6

Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями:

Решение. Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат:

x=υ_x=α, χ=a_x=0, y = υ_y = β-gt,  y= — g.

Подставляя найденные величины в (68), найдем касательное ускорение

Подставляя те же величины в формулу (72), найдем нормальное ускорение

Нормальное ускорение всегда направлено во внутрь траектории, отрицательный знак получился потому, что в этой задаче естественные оси взяты по левой системе, (ось М,— вправо, ось M_n — вниз), а неподвижные — по правой.

Ответ.   где υ — скорость точки.

Задача №7

Найти скорость, полное, касательное и нормальное ускорения точки, описывающей фигуру Лиссажу, по уравнениям движения точки, заданным в координатной форме:

х= 3 sin 2t, у = 4 sin 2t.

Решение. Найдем сначала проекции скорости:

υ_χ = 6 cos 2t, υ_y = 8 cos 2t.

Затем определим величину полной скорости точки:

Для определения касательного и нормального ускорений определим проекции ускорения на декартовы оси координат, затем найдем полное ускорение и разложим его на касательное и нормальное. Имеем

a_x= —12 sin 2t, a_y =—16 sin 2t, 

Найдем сначала касательное ускорение, для чего продифференцируем по времени полную скорость или воспользуемся формулой (68):

Мы видим, что полное ускорение по величине равно касательному ускорению, т. е. что нормальное ускорение равно нулю. Это возможно только в случае, если траектория — прямая линия. Для проверки можно определить кривизну траектории или найти уравнение траектории. По первому способу имеем

По второму способу найдем (прямая).

Ответ. υ=10 cos 2t; α = 20 sin 2t; а_т= —20sin 2t; α_N = 0.

Задача №8

Точка обода колеса, катящегося без скольжения и без буксования по прямолинейному рельсу, движется согласно уравнениям x=r (ct-sin сt), y=r(l — cos ct). Найти нормальное ускорение точки.
Решение. Для решения задачи можно наметить следующий путь: найти проекции скорости, величину полной скорости, проекции ускорения и полное ускорение; затем, продифференцировав по времени величину полной скорости, найти касательное ускорение и, вычитая его геометрически из полного, найти нормальное.

Дифференцируя уравнения движения, найдем

υ_x= rc (1 —cos ct), υ_y = rc sin ct.

Далее получаем

Дифференцируя проекции скорости, найдем

a_x = rc² sin ct, a_y = rc² cos ct

полое ускорение 

а = rs²

Дифференцируя υ, найдем касательное ускорение:

Вектор aτ перпендикулярен вектору и в сумме с ним равняется вектору полного ускорения, поэтому

Задачи такого типа быстрее и короче решать с применением формулы (72). По этой формуле непосредственно получаем:

Ответ: 

Задача №9

Тяжелое тело, размерами которого можно пренебречь, брошено с большой высоты с горизонтальной скоростью υ₀ и движется согласно уравнениям x-υ₀t, . Найти траекторию, скорость, касательное и нормальное ускорения в любом положении, выразив их через скорость тела в этом положении.

Решение. Определяя из первого уравнения t и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

Траектория—парабола (рис. 95). Дифференцируя уравнения движения по времени, найдем проекции скорости и по ним полную скорость:

В начальное мгновение (t = 0), скорость точки υ = υ_o, а затем с течением времени величина скорости непрерывно возрастает. Из полученного равенства определим время t, в течение которого тело приобретает скорость у:

Вторично дифференцируя уравнения движения точки, найдем проекции ускорения на оси координат и полное ускорение:

В данном случае тело движется с постоянным по модулю и направлению ускорением, параллельным оси Оу.
Обращаем внимание на то, что, хотя здесь a = const, движение точки не является равнопеременным, так как условием равнопеременного движения является не условие a = const, а условие a_т= const. В данном же случае, как мы сейчас увидим, а_т непостоянно.

Дифференцируя величину полной скорости по времени или непосредственно по (68), получим касательное ускорение

Подставляя вместо t найденное нами значение, выразим касательное ускорение a_т через скорость υ:

Отсюда следует, что в начальное мгновение, когда υ = υ₀, a_т=0. Затем с увеличением υ величина а_т растет и в пределе стремится к полному ускорению g.
Для нахождения нормального ускорения обратимся к (72). Имеем

В начальное мгновение (при t = 0 и υ=v₀) a_N=g, а затем с увеличением υ а_N убывает, стремясь в пределе к нулю.
Ответ. Парабола

Задача №10

Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения ее движения имеют вид: x = 2t, y = t² (t— в cек; х, у— в м).
Решение. Из формулы кривизны (73) имеем

Для получения проекций скорости и ускорения в начальное мгновение продифференцируем уравнения движения и подставим t = 0:

Полную скорость в начальное мгновение определяем по ее проекциям:

Подставляя эти величины в формулу (73), получим ответ.
Ответ. р = 2 м

Задача №11

Через 20 сек после начала движения автомобиль, двигаясь иа закруглении радиуса 400 м, приобрел скорость 108 км/ч. Считая, что величина скорости автомобиля пропорциональна квадрату времени, определить полное ускорение автомобиля в конце 20-й секунды н пройденное за это время расстояние.
Решение. За единицы принимаем метр и секунду. Траектория задана—дорога с закруглением радиуса 400 м, и для решения задачи необходимо определить Уравнение движения автомобиля по траектории. (Применять формулы (71) здесь нельзя, так как при равиоперемениом движении величина скорости пропорциональна времени, а в данной задаче она пропорциональна квадрату времени.)
В условии дано

υ=bt².

Найдем коэффициент пропорциональности

Выражая скорость по (53) и разделяя переменные, получим

откуда, интегрируя, получаем

Постоянную C определим из начальных данных: в начальное мгновение (t = 0) автомобиль не прошел еще никакого расстояния, а потому C = 0. Дважды дифференцируя по времени полученное уравнение, найдем касательное ускорение

или в конце 20-й секунды

α_т=3 м/ceκ².

Скорость в конце 20-й секунды была 30 м/сек, и по (74)

Полное ускорение в конце 20-й секунды было

Чтобы определить расстояние, пройденное автомобилем за 20 сек, положим в уравнении движения t = 20 сек:

Ответ. а = 3,75 м/сек², s = 200 м.

Движение по окружности

Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду ( р а д с ).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → — v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → — v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 — v 1 — изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

Тангенциальное ускорение — определение, формула и измерение

Общие сведения

Первая лекция для студентов, изучающих кинематику, начинается с рассмотрения тангенциального ускорения, характеризуемого произвольным движением. По сути, рассматривается неравномерное прямолинейное движение общего вида. Кинематика входит в механику и изучает перемещение объектов без учёта сил, вызвавших их движение. Под перемещением понимают изменение положения в пространстве по отношению к другому физическому телу, которое и считается точкой отсчёта. Если изменение положения связать с координатами и временем, то образуется система отсчёта. С её помощью можно определить положение объекта в любой момент.

В кинематике любые процессы принято рассматривать, приняв тело за материальную точку. То есть его размерами и формой пренебрегают. При изменении за какой-то промежуток времени точка проходит путь, описывающийся линией — траекторией. Она является скалярной величиной, а само перемещение — векторной. Движение материальной точки может происходить с разной скоростью и ускорением. Быстроту движения разделяют на среднюю и мгновенную. Вторая определяется как предел, к которому стремится скорость на бесконечно малом временном интервале: v = Δs / Δt (Δt → 0).

Перемещение может происходить с ускорением. Это физическая величина, определяющая изменение быстроты перемещения. Иными словами, показывает изменение положения за единицу времени. Измеряется она в метрах на секунду в квадрате. В кинематике существует три вида ускорения:

• Тангенциальное — направленное вдоль касательного пути точки в определённый момент. Из-за происхождения слова его часто называют касательным.
• Нормальное — совпадающее с нормалью траектории изменения положения.
• Полное — определяющееся суммой тангенциального и нормального ускорений.

Но также используется понятие «вектор среднего ускорения тела». Определяется он как приращение вектора скорости за промежуток времени: aср = Δv / Δt. При этом он будет совпадать по направлению с вектором скорости, то есть направлен в сторону вогнутости траектории.

Угловое ускорение

Если имеется какая-то точка, находящаяся на вращающемся теле, то скорость её направлена по касательной. Когда движение равномерное, то линейная скорость связана с угловой равенством: v = w * r. А вот ускорение тела будет направлено по радиусу к центру окружности, причём модуль вычисляется как a = v / r либо если это точка на вращающемся теле: a = w2 * r.

В момент, когда тело поворачивается за небольшой промежуток времени на угол дельта фи, угловую скорость можно связать с условием поворота через формулу: w = Δ φ / Δ t. Если тело вращается равномерно, то промежуток времени может быть любым. В ином случае эта величина будет равна мгновенной угловой скорости.

Можно представить, что материальная точка движется неравномерно, то есть изменяется угловая скорость тела. Линейная скорость не будет представлять собой постоянную величину, в отличие от равномерного перемещения. Угол поворота равняется: w = v / r. Так как скорость не может быть константой, то отсюда следует, что и угловая скорость не будет постоянной величиной. Её изменение обозначают Δw. Она равняется разности конечной угловой скорости и начальной: Δw = wк — wн.

Изменение угловой скорости можно разделить на промежуток времени, за который оно поменяло значение: (wк — wн) / Δt. По сути, получается ускорение. Обозначается характеристика буквой эпсилон E и называется угловым ускорением. Измеряется характеристика в радианах на секунду в квадрате. Её смысл заключается в описании физической величины через отношение изменения угловой скорости тела за небольшой промежуток времени к длительности этого промежутка.

Пусть есть дуга окружности с центром. В начальный момент времени у тела есть скорость, направленная по касательной к траектории v0. Через некоторое время точка переместится по окружности на небольшое расстояние. Так как движение неравномерное, модуль скорости изменится v ≠ v0. Для того чтобы найти ускорение тела, нужно воспользоваться следующей формулой: a = Δv / Δt, при этом Δv = v — v0.

Чтобы найти эту разность, нужно воспользоваться правилом треугольника. Для этого следует перенести вектор V0 к V и соединить их линией. Радиус от центра к материальной точке можно обозначить R. Дельта V можно представить, как сумму взаимно перпендикулярных векторов. Один из них будет направленных тангенциально к радиусу, в физике обозначают его Δ Vτ, а другой радиально Δ Vr. В итоге: ΔV = Δ Vτ + Δ Vr.

Вывод формулы

Для доказательства формулы необходимо рассмотреть плоскую систему координат, в которой материальная точка изменяет своё положение по криволинейной траектории. В начальный момент её скорость будет равняться V0. Через некоторое время она изменится и станет V. На графике в плоском измерении это можно представить в виде синусоиды. В определённый момент времени скорость превышает начальную: V > V0. На схеме вектор нулевой скорости направлен из точки t0 вверх по касательной, а вектор V с нижней точки синусоиды параллельно оси ординаты.

Исходя из графика, можно сделать два вывода:

• Через промежуток времени Δt скорость изменяется как по направлению, так и по модулю: Δt = t — t0.
• Вектор изменения скорости, определяемый по правилу треугольника, будет равняться разности существующей скорости на данный момент и начальной: Δv = v — v0.

Для того чтобы построить вектор изменения Δv, нужно из конечной точки отрезка V0 провести линию к рассматриваемой точки, характеризующейся во времени скоростью V. Вершины полученного треугольника можно обозначить буквами ABD. Из верхнего угла B на сторону AD можно опустить медиану. Точка пересечения со стороной пусть будет C. Получается, что вектор Δv можно разложить на две составляющие — отрезки BC и СD. Причём медиана равняется Δvn, а изменение по оси ординаты Δvt.

Для разложения необходимо использовать вектор АС, длина которого совпадает с Vo по модулю: |AC| = |AB| = V0. Так как Δvn — результирующий вектор, то его можно вычислить через сумму: Δv = Δvn + Δvt. Причём первый член в равенстве характеризует изменение быстроты за промежуток времени по направлению, а второй — по модулю. Исходя из того, что t не равняется нулю, на него можно разделить левую и правую часть равенства: Δv / Δt = Δvn / Δt + Δvt / Δt. Если дельта-времени стремится к нулю, то формулу можно переписать в виде: lim Δv / Δt = lim Δvn / Δt + lim Δvt / Δt.

Учитывая связь между ускорениями и то, что полное значение состоит из суммы изменения быстроты движения по модулю и направлению, можно утверждать о верности формулы: a = at + an. Так как направление векторов ускорения и скорости всегда совпадают, то последний можно представить, как параметр, состоящий из двух взаимно перпендикулярных компонент:

• at — тангенциальной составляющей, совпадающей с отрезком V;
• an — перпендикулярным по отношению расположения V вектором.

Используя теорему Пифагора, можно сказать, что модуль полного ускорения равняется корню квадратному из суммы квадратов тангенциального и нормального ускорения: a = √at 2 + an 2 .

Решение простых примеров

В школьном курсе на уроках физики учащимся для закрепления материала предлагается решить определённый тип задач, используя определение тангенциального ускорения. Это типовые примеры, объясняющие суть характеристики и её применение в реальной практике. Вот некоторые из них.

1. Вычислить все ускорения точки, лежащей на окружности, через десять секунд после воздействия на диск вращателя. При этом учесть, что радиус окружности составит 20 см, а угол между валом и радиус вектором тела соответствует закону: j =3-t+0.2t 3 . Для решения примера необходимо использовать формулы для нахождения угловой скорости и ускорения. Подставив заданные значения, можно получить: w = d φ / dt = -1 + 0,2 * 3t 2 и e = dw / dt = 0,6 * 2t. Применив формулу связи, легко найти ускорение: at = R * E * (0,6 * 2t) = 1,2 * Rt = 24 м 2 /с. Подставив в формулу нормального ускорения значения, можно вычислить и его an = V 2 / R = R * (0,6 * 10 2 — 1) 2 / 0,2 = 696 м/с 2 . Отсюда полное ускорение будет равняться: a = √ 24 2 + 696 2 = 697 м/с 2 .
2. Материальное тело перемещается по окружности, имеющей радиус 20 см. При этом тангенциальное ускорение равняется 5 см на секунду в квадрате. Определить, сколько понадобится времени, чтобы ускорения сравнялись и нормальное стало больше тангенциального в два раза. Исходя из условия, можно утверждать, что движение является равноускоренным. Поэтому можно применить формулы: an = V2 / t; at = V / t. Отсюда: t = V / at, а V = √an * R. Подставив второе выражение в первое, получится: t = (√an * R) / at. При равенстве ускорений an = at, будет верной запись: t = √R / at = √20 / 5 = 2 с. Для второго случая an = 2at, поэтому: t = (√2 * 20) / 5 = 2,8 c.

Но не всегда решаемые задания можно решить, обойдясь одной формулой. При этом значения тех или иных величин могут быть довольно сложными для проведения вычислений. В таких случаях есть резон использовать так называемые онлайн-калькуляторы. Это специализированные сайты, выполняющие подсчёт в автоматическом режиме. Из таких сервисов можно выделить: сalc, widgety, webmath. Указанные интернет-решители работают на русском языке, так что вопросов, как с их помощью выполнять расчёты, возникнуть не должно.

Сложная задача

Пусть имеется физическое тело, которое движется, замедляясь по окружности радиусом R так, что в каждый момент времени её тангенциальное и нормальное убыстрение равны друг другу по модулю. Необходимо найти зависимость скорости и полного ускорения от времени и пройденного пути. В начальный момент скорость равняется V0.

Согласно условию, тангенциальное ускорение будет отрицательным, так как точка движется, замедляясь. Для понимания задачи можно изобразить схему движения. Для этого необходимо нарисовать окружность и указать на ней вектор начальной скорости, тангенциального и нормального ускорения. Изобразить вектор полного ускорения как сумму векторов.

Нормальное ускорение можно выразить через скорость и радиус: an = V 2 / R. Затем необходимо записать формулу для тангенциального ускорения: at = dV / dt. Так как они равны, то справедливым будет равенство: V 2 / R = dV / dt. Анализируя уравнение, можно сделать вывод, что так как скорость и радиус положительный, то слева будет стоять величина со знаком плюс. Но, с другой стороны, со временем скорость убывает, поэтому с правой стороны нужно поставить знак минус: V 2 / R = — dV / dt.

Полученное уравнение является дифференциальным и показывает зависимость скорости от времени. Равенство можно преобразовать, умножив на отношение dt / V 2 . В итоге должно получиться выражение: dV / V 2 = — dt / R. Это уравнение можно проинтегрировать. При этом пределами интеграла с левой стороны будет V0 и V, а с правой — 0 и t. Получился обыкновенный степенной интеграл, который будет равняться: 1 / V = dt / R.

Подставив пределы, можно получить равенство: (1 / V) — (1 / V0) = t / R. Из полученной формулы следует выразить скорость: V = (V0 * R) / (R + V0 * t). Поделив числитель и знаменатель на радиус, ответ примет вид: V (t) = V0 / (1 + (V0 * t / R)).

Теперь можно найти тангенциальное убыстрение, так как оно представляет производную от скорости. После взятия производной получится: at = dV / dt = — V02 / R (1 + V0 * t / R)2 = — V2 / R. Отсюда можно написать, что модуль полного ускорения будет равняться: a = √2 *|ar| = (√2 * V2) / R. Осталось найти путь. Он совпадает с длиной дуг и равняется интегралу модуля скорости от времени. После решения должно получиться равенство: S (t) = R * ln (1 + V0 * t / R). Задача решена.

Движение материальной точки по окружности. Центростремительное ускорение.

Линейная и угловая скорости

Движение по окружности нас окружает постоянно – это может быть мотоциклист на мототреке, вращение грузика на веревке, движение по выгнутому круглому мосту, любой поворот на дороге тоже можно рассматривать, как движение по части окружности и т.д.

Давайте представим, что мы смотрим сверху на мототрек (см. рис.1.). Пусть точка (А) это мотоциклист, который движется с постоянной линейной скоростью (vec), и за какое-то время (t) он переместится по дуге окружности (^<’>) в точку (^<’>). Его пройденный путь будет равен длине дуги окружности (^<’>).

Определение Линейная скорость – это путь, который проходит мотоциклист за единицу времени (например, за секунду):

Понятно, что чем больший путь (большую длину дуги) успевает пройти тело за одно и тоже время, тем быстрее оно движется, тем больше его линейная скорость. Линейная скорость — это обычная скорость, к которой мы все привыкли. Обратите внимание, что вектор линейной скорости всегда направлен по касательной к траектории, в нашем случае – по касательной к окружности. Чуть позже нам это пригодится.

И так, при движении по окружности можно двумя способами измерять скорость – при помощи линейной скорости (какое расстояние проходит тело за единицу времени) и при помощи угловой скорости (на какой угол поворачивается тело за единицу времени). Эти скорости, очевидно, должны быть связаны между собой.

Но прежде чем, вывести это соотношение, представьте, что отрезок (AO) вращается по окружности (см.Рис.1.) и за время (t) переходит в отрезок (^<’>O) — точка (A) переходит в точку (^<’>), а точка (B) – в точку (^<’>).

В прошлой статье мы немножко разобрались с тем, что такое механика  и зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета,  относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше!  Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики  и приведем практический пример решения задачи.

Присоединяйтесь к нам в телеграм и получайте ежедневную рассылку с полезной информацией по актуальным студенческим вопросам.

Траектория, радиус-вектор, закон движения тела

Кинематикой занимался еще Аристотель. Правда, тогда это не называлось кинематикой. Затем очень большой вклад  в развитие механики, и кинематики в частности, внес Галилео Галилей, изучавший свободное падение и инерцию тел.

Итак, кинематика решает вопрос: как тело движется. Причины, по которым оно пришло в движение, ее не интересуют. Кинематике не важно, сама поехала машина, или ее толкнул гигантский динозавр. Абсолютно все равно.

Сейчас мы будем рассматривать самую простую кинематику – кинематику точки. Представим, что тело (материальная точка) движется. Не важно, что это за тело, все равно мы рассматриваем его, как материальную точку. Может быть, это НЛО в небе, а может быть, бумажный самолетик, который мы запустили из окна. А еще лучше, пусть это будет новая машина, на которой мы едем в путешествие. Перемещаясь из точки А в точку Б, наша точка описывает воображаемую линию, которая называется траекторией движения. Другое определение траектории – годограф радиус вектора, то есть линия, которую описывает конец радиус-вектора материальной точки при движении.

Радиус-вектор – вектор, задающий положение точки в пространстве.

Для того, чтобы узнать положение тела в пространстве в любой момент времени, нужно знать закон движения тела – зависимость координат  (или радиус-вектора точки) от времени.

Перемещение и путь

Тело переместилось из точки А в точку Б. При этом перемещение тела – отрезок, соединяющий данные точки напрямую – векторная величина. Путь, пройденный телом – длина его траектории. Очевидно, перемещение и путь не стоит путать. Модуль вектора перемещения и длина пути совпадают лишь в случае прямолинейного движения.

В системе СИ перемещение и длина пути измеряются в метрах.

Перемещение равно разнице радиус-векторов в начальный и конечный моменты времени. Другими словами, это приращение радиус вектора.

Скорость и ускорение

Средняя скорость – векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло

А теперь представим, что промежуток времени уменьшается, уменьшается, и становится совсем коротким, стремится к нулю. В таком случае о средней скорости говорить на приходится, скорость становится мгновенной. Те, кто помнит основы математического анализа, тут же поймут, что в дальнейшем нам не обойтись без производной.

Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная производной  от радиус вектора по времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду

Если тело движется не равномерно и прямолинейно, то у него есть не только скорость, но и ускорение.

Ускорение (или мгновенное ускорение) – векторная физическая величина, вторая производная от радиус-вектора по времени, и, соответственно, первая производная от мгновенной скорости

Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела. В случае прямолинейного движения, направления векторов скорости и ускорения совпадают. В случае же криволинейного движения, вектор ускорения можно разложить на две составляющие: ускорение тангенциальное, и ускорение нормальное.

Тангенциальное ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела по модулю и направлено по касательной к траектории

Нормальное же ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Векторы нормального и тангенциального ускорения взаимно перпендикулярны, а вектор нормального ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка.

Здесь R – радиус окружности, по которой движется тело.

Закон равноускоренного движения

Рассмотрим далее закон равноускоренного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Будем рассматривать простейший случай, когда тело движется вдоль оси x.

Здесь  — x нулевое- начальная координата. v нулевое — начальная скорость. Продифференцируем по времени, и получим скорость

Производная по скорости от времени даст значение ускорения a, которое является константой.

Пример решения задачи

Теперь, когда мы рассмотрели физические основы кинематики, пора закрепить знания на практике и решить какую-нибудь задачу. Причем, чем быстрее, тем лучше.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы. 

Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.