Как найти напряжение в сложной цепи

Содержание:

Методы анализа сложных электрических цепей:

Электрические цепи, которые не являются параллельно-последовательными, называются сложными. Для анализа сложных цепей используются прямые методы: метод узловых напряжений и метод контурных токов. Изучение указанных методов для простоты будет проводиться на примере резистивных цепей, что не утратит общности получаемых результатов.

Некоторые методы анализа сложных электрических цепей

Анализом электрических цепей называют определение токов (или напряжений) в ее ветвях.

Был рассмотрен расчет только относительно простых электрических цепей. В расчетах цепей сложной конфигурации с несколькими источниками энергии рассмотренные ранее методы применяются для отдельных простых участков, если имеются необходимые исходные данные.
В общих же случаях применяются другие методы, основой которых служат законы Кирхгофа.

Метод узловых и контурных уравнений

Методы анализа с применением законов Кирхгофа позволяют рассчитать электрическую цепь любой конфигурации и сложности, т. е. являются основными.

Обоснование метода

Рассматривая схему любой разветвленной электрической цепи, можно отметить в ней электрические узлы и выделить контуры. Например, в схеме рис. 3.16 имеется четыре узла (точки 1, 3, 4, 6) и несколько контуров (1-2-3-1; 1-3-6-1 и др.).

Для каждой узловой точки можно составить уравнения токов по первому закону Кирхгофа (узловые уравнения), например, для узла 3 I₁ + I₂ = I₄ + I₇ для каждого контура — уравнение напряжений по второму закону Кирхгофа (контурные уравнения), например для контура 1-3-6-1

В эти уравнения входят токи в ветвях, определение которых составляет ближайшую цель расчета, которая достигается совместным решением системы узловых и контурных уравнений; их число должно быть равно числу неизвестных токов. 

Прежде чем приступить к составлению уравнений по законам Кирхгофа, необходимо выбрать условно-положительное направление тока в каждой ветви (число неизвестных токов, как нетрудно видеть, равно числу ветвей).
Положительные направления токов выбирают произвольно. Действительные направления токов могут не совпадать с условно-положительными. Ошибка в выборе направления тока в результате решения будет обнаружена: ток с неправильно выбранным направлением получится отрицательным. Изменив его направление, в дальнейших расчетах можно считать его положительным.
 

Узловые уравнения

Запишем систему узловых уравнений для рассматриваемой схемы

В этой системе уравнений любые три уравнения являются независимыми, так как в каждое из них входит хотя бы один новый ток по сравнению с другими уравнениями.

Четвертое уравнение не содержит нового тока, поэтому его можно получить из предыдущих трех несложными подстановками.
 

При наличии в схеме n узлов можно составить по первому закону Кирхгофа n — 1 независимых уравнений.

Число независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, недостаточно для определения всех неизвестных токов.
В схеме рис. 3.16 насчитывается семь неизвестных токов, а независимых узловых уравнений только три. Еще четыре уравнения составим по второму закону Кирхгофа.
 

Контурные уравнения

Из всех контуров схемы выбирают те, для которых можно составить наиболее простые независимые уравнения.

При этом можно руководствоваться таким правилом: каждое после-дующее уравнение будет независимо от предыдущих, если в данный контур входит хотя бы одна ветвь схемы, которая не входила в уже использованные контуры.
Можно доказать, что число независимых контурных уравнений для схемы, содержащей m ветвей и n узлов, составляет m — n + 1.

Для десяти контуров при m = 7 в данном случае независимых контурных уравнений можно составить четыре, т. е. столько, сколько необходимо для определения всех токов:

Правильность определения токов в цепи можно проверить, подставив их найденные величины в одно из уравнений, которые составлены для схемы этой цепи, но не вошли в систему уравнений, взятых для решения. С этой же целью можно составить баланс мощностей цепи.

Метод наложения токов

В некоторых случаях расчет электрических цепей можно провести относительно просто, используя принцип наложения.
Этот принцип применяется только к линейным системам, а в данном случае — для расчета линейных электрических цепей.
 

Обоснование метода

Рассмотрим в качестве примера схему рис. 5.1, а и составим для нее систему уравнений по законам Кирхгофа:

Ток каждой ветви из этой системы линейных уравнений-определяется однозначно.
Решение системы (5.3) дает выражения для токов:

                      (5.4)

где 

Рис. 5.1. К методу наложения токов

Как и следовало ожидать, величины токов определяются действием всех э. д. с., имеющихся в схеме, т. е. каждая э. д. с. вносит в величину тока каждой ветви свою определенную долю. Предположим, что в схеме действует только э. д. с. Е₁, а Е₂ = 0. Тогда получим величины токов, вызываемых э. д. с. Е₁:

Полагая Е₁ =0, получим величины частных токов от действия э. д. с. Е₂:

Для любой схемы с линейными элементами можно провести подобные рассуждения, из которых следует метод расчета электрических цепей: определяются частные токи в ветвях от действия каждой э. д. с.; действительный ток каждой ветви равен алгебраической сумме частных токов этой ветви:

где I_k⁽ⁿ⁾— ток к-й ветви от n-й э. д. с.

Порядок расчета

1.    На основе исходной схемы составляют частные расчетные схемы (рис. 5.1, б, в), в каждой из которых действует только одна э. д. с. Все другие э. д. с. исключают и от каждого источника в схеме остается только его внутреннее сопротивление.

2.    Любым подходящим методом определяют токи в частных схемах, которые чаще всего оказываются относительно простыми.
Для частных схем (рис. 5.1, б, в) выражения для токов, найденные путем свертывания, совпадают с (5.4), которые были записаны ранее из уравнений Кирхгофа. Например,

3.    Алгебраическим сложением (наложением) частных токов определяют токи в исходной схеме. В рассматриваемом примере

При определении общих токов необходимо правильно учесть направления частных токов: в исходной схеме намечают условно-положительные направления токов в ветвях. Частный ток считают положительным, если он направлен одинаково с положительным током в той же ветви исходной схемы. Частный ток противоположного направления считают отрицательным. 
При таком подходе общие токи в ветвях исходной схемы могут получиться положительными или отрицательными. В последнем случае надо изменить направление тока и считать его положительным в дальнейших расчетах.

Входные и взаимные проводимости и сопротивления

В равенствах (5.4) множители при э. д. с. имеют размерность проводимости. Обозначив их как проводимости, получим

где
.

Коэффициенты с одинаковыми индексами называют входными проводимостями ветвей (G_1.1; G_2.2)- Коэффициенты с разными индексами называют взаимными проводимостими ветвей (G_1.2; G_2.1; G_3.1; G_3.2).
Если предположить, что э. д. с. Е₂ = 0, из равенств системы (5.4) получим:

а при E₁ = 0

Из этих выражений следует:
 

входная проводимость любой ветви равна отношению тока к э. д. с. этой ветви, если э. д. с. во всех остальных ветвях приняты равными нулю; входное сопротивление — величина, обратная входной проводимости:

 

Взаимная проводимость двух любых ветвей равна отношению тока в одной ветви к э. д. с. в другой ветви, если э. д. с. во всех остальных ветвях приняты равными нулю; взаимное сопротивление — величина, обратная взаимной проводимости:

причем

Входные и взаимные проводимости и сопротивления можно определить расчетом, используя частные схемы, или найти путем измерений. После этого нетрудно найти токи в ветвях, составив равенства типа (5.8).

Коэффициенты передачи напряжения и тока

Режим электрической цепи в некоторых случаях характеризуется коэффициентами передачи напряжения и тока. Чаще всего они применяются к цепям, содержащим один источник э. д. с. (рис. 5.2, а) или один источник тока (рис. 5.2, б).
 

Коэффициент передачи напряжения равен отношению напряжения на зажимах приемника к напряжению источника э. д. с., действующего в цепи:

 

Коэффициент передачи тока равен отношению тока в приемнике к току источника тока, действующего в цепи:


Рис. 5.2. К вопросу о коэффициентах передачи напряжений и токов

Задача 5.3.

Для цепи (рис. 5.3, а) известны: E₁ = 120 В, Е₂ = 100 В, R₁ = 20 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом, R₄ = 30 Ом.
Определить токи в цепи методом наложения.
Решение. Определим токи от действия каждой э. д. с. в отдельности по схемам, представленным на рис. 5.3, б, в. В схеме на рис. 5.3, б сопротивления R₁ и R₃ соединены параллельно. То же относится к паре сопротивлений R₂ и R₄.
Найдем эквивалентное сопротивление между точками 1-4:

Ток в неразветвленной части цепи

Сопротивления между точками 1-2 и 2-4 по данным задачи одинаковы (по 12 Ом). Поэтому 

Рис. 5.3. К задаче 5.3

Токи в схеме


В схеме, изображенной на рис. 5.3, в, пары сопротивлений R₁, R₂ и R₃, R₄ соединены параллельно, а сопротивления, эквивалентные этим парам, — последовательно.
Найдем эквивалентные сопротивления схемы между точками 2-3:

Ток в неразветвленной части цепи

Напряжения на участках схемы между точками:
2-1

1-3

Токи в схеме


Токи в исходной схеме (рис. 5.3, а) найдем по принципу наложения, учитывая направления токов в частных схемах:

так как 
 так как

Метод эквивалентного генератора

В практических расчетах часто нет необходимости знать режимы работы всех элементов сложной цепи, но ставится задача исследовать режим работы одной определенной ветви. 

Для определения тока, напряжения, мощности этой ветви можно воспользоваться одним из ранее описанных методов расчета.
При расчете сложной электрической цепи приходится выполнять значительную вычислительную работу даже в том случае, когда требуется определить ток в одной ветви. Объем этой работы в несколько раз увеличивается, если необходимо установить изменение тока, напряжения, мощности при изменении сопротивления данной ветви, так как вычисления нужно проводить несколько раз, задаваясь различными величинами сопротивления.

Решение такой задачи значительно упрощается при использовании метода эквивалентного генератора.

Обоснование метода

Исследуемая ветвь с сопротивлением R_ab (рис. 5.5, а) присоединяется к остальной части схемы (внутри прямоугольника А) в двух точках a и b. Эту часть схемы можно рассматривать относительно исследуемой ветви как источник с некоторой эквивалентной э. д. с. Е_эк и некоторым эквивалентным внутренним сопротивлением r_эн (рис. 5.5, б). Такой условный источник энергии называется эквивалентным генератором или активным двухполюсником (А). Если в части схемы, относящейся к двухполюснику, нет источников энергии, то двухполюсник называется пассивным (П).

Рис. 5.5. К методу эквивалентного генератора

Ток в исследуемой ветви можно найти в эквивалентной схеме (рис. 5.5, б) по известной формуле (3.15):

Таким образом, решение задачи по определению тока I_ab сводится к определению э. д. с. Е_эк эквивалентного генератора и его внутреннего сопротивления r_эк, которое называется также входным сопротивлением активного двухполюсника.

После определения Е_эк и r_эк дальнейшее исследование режима работы ветви ab при изменении сопротивления R_ab не требует громоздких вычислений, так как э.д.с Е_эк и внутреннее сопротивление r_эк эквивалентного генератора не изменяются.

Ток в ветви ab определяют по формуле (5.12) для любого значения R_ab.

Определение э.д.с. и внутреннего сопротивления эквивалентного генератора

Для определения этих величин рассмотрим два крайних режима эквивалентного генератора — режим холостого хода и режим короткого замыкания.

Отсоединим исследуемую ветвь R_ab в точках a и b, тогда эквивалентный генератор будет находиться в режиме холостого хода.
Напряжение холостого хода U_х на его внешних зажимах a и b согласно схеме, представленной на рис. 5.5, б равно эквивалентной э. д. с.:

Напряжение холостого хода U_х можно измерить (рис. 5.5, в) или определить с помощью расчета (рис. 5.5, г). Для рассматриваемой цепи

Сопротивление R₄ в расчет не вошло, так как при отключенном сопротивлении R_ab ток в сопротивлении R₄ тоже равен нулю.
Сопротивление r_эк эквивалентного генератора можно определить, используя режим короткого замыкания.

В режиме короткого замыкания эквивалентного генератора (рис. 5.5, б) ток короткого замыкания I_к выражается отношением

Отсюда

Для измерения тока I_к можно применить схему, изображенную на рис. 5.5, д, если короткое замыкание между точками a и b реальной цепи не вызовет опасного увеличения токов в ее элементах. При наличии такой опасности нужно измерить ток I_ab нагрузки эквивалентного генератора и падение напряжения U_ab в нагрузочном сопротивлении R_ab (рис. 5.5, б), а внутреннее сопротивление

Ток I_к можно определить, применив один из известных методов расчета. Для рассматриваемого примера расчетная схема приведена на рис. 5.5, е.
Однако определение I_к может оказаться громоздким, поэтому в сложных схемах r_эк определяется как входное сопротивление пассивного двухполюсника между точками a и b.

Для того чтобы получить расчетную схему для определения r_эк, нужно все э. д. с. активного двухполюсника принять равными нулю, замкнув накоротко точки цепи, к которым присоединены источники этих э. д. с. Тогда активный двухполюсник превращается в пассивный.

Справедливость этого приема следует из схемы, представленной на рис. 5.5, б; при Е_эк = 0 сопротивление r_эк является входным сопротивлением этой схемы. Таким образом, входное сопротивление пассивного двухполюсника R_вх со стороны зажимов a и b (рис. 5.5, ж) определяет внутреннее сопротивление r_эк эквивалентного генератора.

Равенство Е_эк = 0 соответствует тому, что все э. д. с. активного двухполюсника равны нулю, поэтому расчетная схема для определения r_эк имеет вид, как на рис. 5.5, з.
Для этой схемы

Задача 5.5.

Построить графики зависимости тока и мощности в ветви 2-4 (см. рис. 5.3, а) от сопротивления в этой ветви по данным условия задачи 5.1.
Решение. Для решения задачи применим метод эквивалентного генератора.
Отключим ветвь 2-4 для определения напряжения холостого хода (рис. 5.6, а). После отключения ветви 2-4 получилась схема с двумя узловыми точками 1 и 3, изображенная в несколько ином виде на рис. 5.6, 6.

Для определения разности потенциалов между точками 2 и 4 найдем ток



Для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора полагаем равными нулю действительные э. д. с. исходной схемы.
Получим схему, представленную на рис. 5.6, в, из которой видно, что по отношению к точкам 2 и 4 все три сопротивления пассивного двухполюсника соединены параллельно:

Ток в исследуемой ветви определим по формуле (5.12), задаваясь различными величинами сопротивления.
Для сопротивления R₂ = 20 Ом получим:

Для других значений сопротивления R₂ результаты подсчетов сведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Графики I₂(R₂) и P₂(R₂) показаны в прямоугольной системе координат из рис. 5.5, г.

Метод контурных токов

Число узловых и контурных уравнений для сложной схемы оказывается большим, а решение системы m уравнений — громоздким. Число уравнений можно уменьшить до m — n + 1 и тем существенно упростить расчет, если ввести понятие контурных токов и применить их для решения задачи.
 

Контурные токи и э.д.с.

Рассмотрим в качестве примера уже известную схему рис. 3.16 и выделенные в ней ранее четыре независимых контура, для которых записаны уравнения (5.2). Заметим, что, применяя метод контурных токов, источники энергии удобнее представлять в схемах их э, д. с. и внутренними сопротивлениями. В данной схеме внутренние сопротивления источников энергии равны нулю (или отнесены к приемникам).

Контурный ток — это некоторая расчетная величина, которая одинакова для всех ветвей данного контура. Контурные токи на схеме обозначены I_I ; I_II ; I_III ; I_IV .
Нетрудно заметить, что контурный ток равен действительному току ветви, которая принадлежит только данному контуру:

Некоторые ветви схемы относятся к двум смежным контурам (ветви 1-3; 3-6; 4-6).

Действительный ток в такой ветви определяется наложением контурных токов, т. е. равен алгебраической сумме контурных токов тех контуров, в которые эта ветвь входит:

В уравнениях (5.2) заменим токи ветвей их выражениями через контурные токи (5.14), (5.14 а):

В правую часть этих уравнений входят э. д. с. источников, встречающихся при обходе данного контура.
 

Алгебраическая сумма э. д. с. данного контура называется контурной э. д. с.
В данном примере в каждом контуре по одной э. д. с., поэтому контурные э. д. с.: Е_I = Е₁; Е_II = Е₂; Е_III = — Е₂; Е_IV = — Е₃.
Если в данный контур не входят источники э. д. с., то контурная э. д. с. его равна нулю.
 

Собственные и общие сопротивления контуров

В левую часть уравнений (5.15) входят падения напряжения, обусловленные контурными токами.
 

Сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур, называется собственным сопротивлением контура.

Для схемы рис. 3.16 собственные сопротивления контуров:

Сопротивления ветвей, входящих в два смежных контура, называются общими сопротивлениями контуров. Такими сопротивлениями в схеме рис. 3.16 являются R_1.2 = R₂; R_2.3 = R₇; R_3.4 = R₅.

При определении собственных и общих сопротивлений внутренние сопротивления источников э. д. с. учитываются как и сопротивления приемников энергии.
 

Метод контурных токов

С учетом новых понятий и обозначений перепишем уравнения (5.15):

Решая эту систему уравнений любым способом, известным из алгебры, определяют контурные токи, а по формулам (5.14) и (5.14а) находят токи в ветвях.
В данном примере вместо семи узловых и контурных уравнений для расчета достаточно четырех уравнений с четырьмя контурными токами.

Из всего сказанного следует порядок составления уравнений с контурными токами.

1. В заданной схеме выбирают направления токов в ветвях (произвольно).
2. Намечают независимые контуры и выбирают направление контурных токов, например по часовой стрелке.
3. Определяют контурные э. д. с., собственные и общие сопротивления контуров, обходя контуры в направлении контурных токов.
4. Записывают систему уравнений типа (5.16); в левой части их слагаемые с собственными сопротивлениями контуров берут со знаком плюс, а слагаемые с общими сопротивлениями — со знаком минус.

Метод узловых напряжения

Законы Кирхгофа являются основой для расчета электрических цепей методом узловых напряжений, который позволяет сократить число уравнений в системе до n — 1, где n — число узлов.
 

Узловые напряжения и токи

Для данных рассуждений примером может служить схема рис. 3.16. Однако, применяя метод узловых напряжений, удобнее источники э. д. с. заменить эквивалентными источниками токов на основе выводов, что и показано на рис. 5.7.

Рис. 5.7. К методу узловых напряжений

Источники энергии на рисунке представлены токами короткого замыкания I_к1 = E₁G₁; I_к2 = E₂G₇; I_к3 = E₃G₆, а внутренние проводимости их приняты равными нулю или отнесены к приемникам.

Один из узлов схемы принимается базисным, и его потенциал считается равным нулю (узел 6, V₆ = 0).
 

Узловым напряжением называется разность потенциалов между данным узлом и базисным. В рассматриваемой схеме узловые напряжения

Выразим напряжения ветвей через узловые напряжения. Нетрудно заметить, что узловое напряжение численно равно напряжению ветви, которая присоединена к базисному узлу:

Напряжение ветви, не присоединенной к базисному узлу, равно разности узловых напряжений тех узлов, между которыми находится эта ветвь:

По первому закону Кирхгофа составим систему уравнений для трех независимых узлов (кроме базисного) рассматриваемой схемы:

Эти уравнения перепишем так, чтобы в правой части их были только внутренние токи источников тока, из которых складываются узловые токи:

Узловым током называется алгебраическая сумма внутренних токов источников тока всех ветвей, присоединенных к данному узлу.
В этой сумме токи источников тока, направленные к узлу, считаются положительными, а от узла — отрицательными:

Если к некоторому узлу не присоединены ветви с источниками токов, то его узловой ток равен нулю.

Узловые и общие проводимости

Выразим токи ветвей через напряжения и проводимости этих ветвей:

а учитывая (5.18), систему уравнений (5.19) представим в следующем виде:

Узловой проводимостью называется сумма проводимостей всех ветвей, присоединенных к данному узлу.
В системе уравнений (5.21) узловые проводимости выражаются так:

Общей проводимостью называется сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих данные два узла.
В системе уравнений (5.21) общие проводимости G₁₃ = G₁ + G₂; G_3.4 = G₄.
С учетом новых обозначений уравнения (5.21) перепишем так:

 

Метод узловых напряжений

Решая систему уравнений (5.22) любым способом, известным из алгебры, определяют узловые напряжения, затем по (5.18), (5.18, а) находят напряжения ветвей, а по формулам (5.20) — токи ветвей.

В данном примере вместо семи узловых и контурных уравнений для расчета достаточно трех уравнений с тремя узловыми напряжениями.

Из всего сказанного следует порядок составления уравнений с узловыми напряжениями.

1. В заданной схеме выбирают направления токов в ветвях (произвольно). Если по условию источники энергии заданы как источники э. д. с. (напряжения), переходят к эквивалентным схемам источников тока.
2. Намечают базисный узел и все независимые узлы и выбирают положительные направления узловых напряжений — от независимых узлов к базисному.
3. Определяют узловые токи, узловые и общие проводимости; при этом токи источников тока, направленные к узлам, принимают положительными.
4.  Записывают систему уравнений типа (5.22); в левой части уравнений слагаемые с узловыми проводимостями берут со знаком плюс, а слагаемые с общими проводимостями — со знаком минус.

Методы расчета сложных электрических цепей

Основные теоретические сведения:

Для расчета токов и напряжений в сложных электрических цепях разработаны разработаны методы, базирующиеся на основных законах токопрохождения, принципах (теоремах) теории цепей:

1. Метод уравнений Кирхгофа (МУК).
2. Метол контурных токов (MKT).
3. Метол узловых напряжений (МУН).
4. Метод сигнальных графов.
5. Метод наложения (МН),
6. Метод эквивалентного генератора (МЭГ) и другие методы.

Четыре первых метода являются универсальными, позволяющими в принципе рассчитать цепь любой сложности. С помощью других методой обычно решают частные (локальные) задачи. В ряде случаев решение задачи удается упростить, если предварительно произвести эквивалентные преобразования схемы цени.

Для решения конкретной задачи обычно выбирают метод, позволяющий описать цепь минимальным числом уравнений.

Анализ структуры электрической цепи

Анализ структуры цепи производят с целью определения числа ветвей с неизвестными токами и чисел независимых узлов и контуров.

Введем обозначения:

р — число ветвей с неизвестными токами, включающими все ветви цепи, за исключением ветвей с источниками токов; q — число узлов в цепи; НУ — число независимых узлов в цепи; НК — число независимых контуров в цепи.
Анализируя цепь, легко показать, что

Если электрическая цепь имеет достаточно простую структуру, то числа p и q определяются легко. Для анализа сложных разветвленных цепей строят топологический граф и дерево цепи. При этом ветвь и узел цепи отождествляются соответственно с ребром и узлом графа.

Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения равно нулю. Поэтому ветвь, содержащая только этот источник, закорачивается и не образует ребра на графе цепи, вырождаясь в узел.

Внутреннее сопротивление идеального источника тока бесконечно велико, поэтому при построении графа цепи ветвь с таким источником разрывается.

Расчет электрических цепей методом уравнений Кирхгофа

Суть метода уравнений Кирхгофа состоит в том, что неизвестные токи и напряжения в цепи рассчитываются непосредственно из системы уравнений, составленных по законам Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа составляют уравнения для независимых узлов, а по второму — для независимых контуров. При этом число уравнений в системе равно числу неизвестных токов в ветвях: Расчет цепи по этому методу наиболее сложный из-за большого числа уравнений и их разнородности.

Порядок расчета:

1. составляют комплексную схему замещения цепи;
2. производят структурный анализ пени;
3. выбирают условно положительные направления токов в ветвях, напряжений на элементах и направления обхода контуров;
4. составляют для НУ уравнения по первому закону Кирхгофа и для НК уравнения по второму закону Кирхгофа относительно неизвестных токов в ветвях;
5. по решению системы уравнений рассчитывают неизвестные токи в ветвях и неизвестные напряжении на элементах цепи.

Расчет электрических цепей методом контурных токов

Суть метода контурных токов состоит в том, что вводятся  дополнительные формальные неизвестные — контурные токи, которые определяются из системы контурных уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Далее, по известным контурным токам рассчитывают искомые токи в ветвях, а затем искомые напряжения на элементах.

Контурным током -го независимого контура называется условный ток, текущий и ветвях данного контура. Следовательно, число уравнении, необходимое для расчета цепи, равно числу независимых контуров:

Направления контурных токов в цепи выбираются произвольно. Для составления контурных уравнений в канонической форме вводятся три вспомогательных понятия: контурная ЭДС, собственное сопротивление независимого контура, общее сопротивление двух независимых контуров.

Контурной ЭДС -гo независимого контура называется алгебраическая сумма всех ЭДС источников, включенных в этот контур. При суммировании ЭДС берется со знаком плюс, если ее направление совпадает с выбранным направлением контурного тока. В противном случае ЭДС имеет знак минус.

Собственным сопротивлением -гo независимого контура называется сумма комплексных сопротивлений всех пассивных элементов, включенных в этот контур.

Общим сопротивлением или -го и -го независимых контуров называется сопротивление ветви, обшей для этих контуров, причем . Если эти контуры не имеют общей ветви, то

Как правило, направления всех контурных токов выбирают одинаковыми, например по часовой стрелке. Можно показать, что в этом случае все общие сопротивления должны иметь знак, противоположный знаку сопротивления общей ветви данных контуров.

С учетом введенных величин запишем систему линейных контурных уравнений в матричной форме, удобной для расчета с помощью определителей:

Если система (3.1) определенная, то контурные токи можно найти по формулам Крамера:

где — определитель матрицы контурных сопротивлений; — частный определитель матрицы контурных сопротивлений, который получается путем замены -ю столбца сопротивлений столбцом свободных членов уравнений (3.1), т. с. столбцом контурных ЭДС.

По известным контурным токам легко определить искомые токи и ветвях. Ток в ветви, принадлежащей только одному -му контуру (собственная ветвь контура), равен контурному току Ток в общей ветви -го и -го контуров равен разности контурных токов

В систему (3.1) контурных уравнений входят только ЭДС источников напряжения. Поэтому при расчете все источники тока в цепи необходимо заменить эквивалентными источниками напряжения (см. табл. 2.1).

Порядок расчета:

1. составляют комплексную схему замещения цепи;
2. производят структурный анализ цепи;
3. выбирают условно положительные направления токов в ветвях и контурных токов;
4. составляют по второму закону Кирхгофа систему уравнений вида (3.1) относительно неизвестных контурных токов;
5. рассчитывают по известным параметрам цепи собственные и общие сопротивления независимых контуров, их контурные ЭДС;
6. рассчитывают неизвестные контурные токи, а затем неизвестные токи в ветвях и напряжения на элементаx цели.

Примечание. Если при расчете производили эквивалентную замену источников тока в ветвях цепи источниками напряжения, то для расчета токов в этих ветвях необходимо перейти к исходной схеме.

Расчет электрических цепей методом узловых напряжений

Суть метода узловых напряжении состоит в том, что вводятся дополнительные неизвестные — узловые напряжения, которые находятся из системы узловых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Далее по известным узловым напряжениям рассчитывают искомые токи в ветвях, а затем — искомые напряжения на элементах.

Узловым напряжением называется напряжение между -м независимым узлом цепи и базисным узлом. Следовательно, число уравнений, необходимое для расчета цепи, равно числу независимых узлов:

Направление узловых напряжений выбирают произвольно. Наиболее часто полагают, что все узловые напряжения направлены к базисному узлу. Для составления узловых уравнений в канонической форме вводятся три вспомогательных понятия: узловой ток; собственная проводимость независимого узла; общая проводимость двух независимых узлов.

Узловым током -го узла называется алгебраическая сумма токов всех источников тока, подключенных к этому узлу. При суммировании ток берется со знаком минус, если источник направлен от этого узла. Если в цепи имеются источники напряжения, то в схеме замещения их заменяют эквивалентными источниками тока (см. табл. 2.1).

Собственной проводимостью -го независимого узла называется сумма проводимостей всех ветвей, соединенных в этом узле.

Общей проводимостью -го и -го независимых узлов называется сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих эти узлы, причем Если эти узлы не имеют общих ветвей, то 

Если направления всех узловых напряжений выбраны одинаковыми, например, к базисному узлу, то общие проводимости должны иметь знак, противоположный знаку проводимостей общих ветвей данных узлов.

С учетом введенных величин запишем систему линейных узловых уравнений в матричной форме

:

Если система (3.3) определенная, то узловые напряжения можно рассчитать но формуле Крамера:

где — определитель матрицы узловых проводимостей цепи: — частный определитель матрицы , полученный путем замены -гo столбца проводимостей столбцом свободных членов системы (3.2), т.е. столбцом узловых токов.

По известным узловым напряжениям легко найти искомые токи. Если в ветви нет источника, то ток рассчитывают но закону Ома. Если в ветви есть источник напряжения, то для расчета тока удобно воспользоваться вторым законом Кирхгофа.

Порядок расчета:

1. составляют комплексную схему замещения цепи;
2. производят структурный анализ цепи;
3. выбирают условно-положительные направления токов в ветвях и узловых напряжений;
4. составляют по первому закону Кирхгофа систему уравнений вида (3.3) относительно неизвестных узловых напряжений:
5. рассчитывают по известным параметрам цепи собственные и общие проводимости независимых узлов и узловые токи;
6. рассчитывают неизвестные узловые напряжения, а затем неизвестные токи в ветвях и напряжения на элементах.

Примечание. Если при расчете производили эквивалентную замену источников напряжения источниками токи, то для расчета токов в преобразованных ветвях необходимо перейти к исходной схеме.

Расчет электрических цепей методом наложения

Сущность метода наложения состоит в том, что в соответствии с принципом наложения неизвестные токи в ветвях определяют как алгебраическую сумму частичных токов, обусловленных действием каждого источника отдельно.

Для расчета частичных токов исходную цепь с источниками представляют и виде частных схем. Каждая частная схема содержит только один источник. Все другие источники исключаются, остаются лишь их внутренние сопротивления. Идеальный источник напряжения заменяют коротким замыканием, так как для него У идеального источника тока поэтому ветвь, в которую он включен, разрывается.

Для расчета токов в частных схемах можно использовать любой метод, а для упрощения расчетов предварительно производят эквивалентные преобразования в цепи. В достаточно простых цепях при расчете удобно использовать известные приемы расчета делителей тока и напряжения.

Порядок расчета:

1. составляют комплексную схему замещения цепи;
2. составляют частные схемы, содержащие по одному источнику;
3. рассчитывают частичные токи в ветвях;
4. определяют искомые токи как алгебраические суммы частичных токов в соответствующих ветвях.

Расчет цепей методом эквивалентного генератора

Суть метода эквивалентного генератора состоит в том, что всю электрическую цепь, кроме одной ветви с неизвестным током, заменяют эквивалентным генератором с параметрами . Далее, по закону Ома рассчитывают искомый ток где — сопротивление ветви, в которой определяется ток.

Теорема об эквивалентном генераторе утверждает, что ЭДС эквивалентного генератора равна напряжению холостого хода активного двухполюсника, а его внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсники:

Напряжение можно определить экспериментально или рассчитать по схеме цепи. Для расчета напряжения необходимо по второму закону Кирхгофа составить уравнение для входного контура, который содержит зажимы эквивалентного генератора (расчетную ветвь).

Для расчета входного сопротивления эквивалентного генератора необходимо составить схему пассивною двухполюсника, т.е. исключить в исходной цепи все источники, заменив их соответствующими внутренними сопротивлениями. Далее, используя известные приемы эквивалентного преобразования схемы цепи, находят входное сопротивление.

Порядок расчета:

1. составляют комплексную схему замещения цепи;
2. исключают из схемы ветвь с искомым током (нагрузку), обозначая зажимы генератора с напряжением холостого хода;
3. составляют для входного контура уравнение но второму закону Кирхгофа и рассчитывают
4. составляют схему пассивного двухполюсника, считая входом зажимы эквивалентного генератора, и рассчитывают его входное сопротивление;
5. рассчитывают искомый ток.

Примеры решения задач

Пример 3.2.1. 

Произвести структурный анализ цепей, схемы которых приведены на рис. 3.1, а; 3,2, а; 3,3, а.

При поверхностном анализе структуры цепи рис. 3.1, а может сложиться мнение, что цепь имеет три независимых контура и три независимых узла. Однако из-за наличия в цепи идеального источника тока узлы 1 и 3 являются устранимыми. Это становится очевидным, если построить граф цепи (рис, 3,1, б), При построении графа ветвь с источником тока размыкается, поэтому узлы 1, 3 и 4 образуют узел.

Следует заметить, что в ветвях с сопротивлениями течет один и тот же ток. Поэтому рассматриваемая цепь имеет четыре ветви с неизвестными токами один независимый узел и два независимых контура (на графе им соответствуют две хорды).

На графе для цепи, показанной на рис.3.2,а, из-за наличия идеального источника ЭДС узлы 1 и 2 слились в один (рис. 3.2, б). Видно, что токи в ветвях источника и сопротивления одинаковые, поэтому в данной цепи

Построение дерева и графа для цепи (рис. 3.3, а) показывает, что в данном случае имеется один независимый узел и два независимых контура. Включение в цепь идеального источника  привело к тому, что узлы 1 и 2 слились в один, а на графе цепи образовалась петля. Ток в ветви сопротивления  можно считать известным, так как его легко рассчитать по закону Ома

Поэтому анализ показывает, что в данной цепи (рис.3.3, а)

Пример 3.2.2. 

Составить по методу уравнений Кирхгофа систему уравнений для расчета токов в ветвях цепи (рис. 3.4).

Решение

1. Произведем структурный анализ цепи. На рис. 3.5 показаны граф и деревья цепи (хорды графа обозначены пунктиром). Анализ показывает, что число неизвестных токов  независимых узлов — четыре, независимых контуров — четыре.

2. Зададимся условно-положительными направлениями токов в ветвях и напряжений на элементах (см. рис. 3.4), а также направлением обхода контуров

3. Считая узлы 1, 2, 3 и 4 независимыми, составим для них уравнения по первому закону Кирхгофа:

Токи, направленные к узлу, учитываются и уравнениях со знаком (+), направленные от узла — со знаком (-).

4. Выбрав независимые контуры I—IV (см, рис. 3.4), составим для них уравнения по второму закону Кирхгофа: 

Примечание. Падения напряжений на элементах контуров выразим через искомые токи в ветвях.

Совместное решение полуденных восьми уравнений позволяет рассчитать все неизвестные токи в ветвях, а затем, если необходимо напряжения на элементах цепи.

Из приведенного примера видно, что достоинство метода уравнений Кирхгофа заключается в его простоте (с точки зрения составления уравнений). Недостаток этого метода — сложность решения системы уравнений из-за большого числа уравнений и их разнородности.

Пример 3.2.3.

Рассчитать токи в ветвях цепи (рис. 3.6) методом контурных токов.

Решение

1. Составляем комплексную схему замещений цепи (рис. 3.7).
       

2. Произведем структурный анализ цепи с помощью топологического графа (рис.З.8). Анализ цепи показывает, что она содержит пять ветвей, а число ветвей с неизвестными токами р = 4. Цепь имеет 1ри узла, причем узел 3 является устранимым. Поэтому независимых узлов в схеме q = 2. Очевидно, что число независимых контуров равно двум (число хорд на графе): НК = 4- 3 + 1 = 2.

3. Реальный источник тока заменяем эквивалентным источником напряжения и выбираем направления контурных токов (рис. 3.9).

4. Составляем каноническую систему контурных уравнений для независимых контуров в матричной форме

5.  Рассчитаем собственные и общие сопротивления и контурные ЭДС:

6. Рассчитаем контурные токи по формулам Крамера:
   

Рассчитаем определитель системы

Рассчитаем частные определители системы:

Тогда контурные токи будут соответственно равны:

7.  Рассчитаем токи в ветвях через контурные токи:

8. Проверим достоверность произведенного расчета по балансу мощности. Мощности, отдаваемые источниками в цепь:

Таким образом, общая мощность источников равна

Активная и реактивная мощности в пассивных элементах цепи равны соответственно:

Как видно из приведенных расчетов, отдаваемая и потребляемая мощности в электрической цепи совпадают.

Пример 3.2.4.

Рассчитать токи в ветвях цепи (рис.3.10) методом узловых напряжений.

Решение

1. Составим комплексную схему замещения (рис. 3.11) и определим комплексные источники ЭДС и тока:

2. Произведем структурный анализ цепи с помощью топологического графа (рис. 3.12).

Анализ цепи показывает, что она содержит 6 ветвей, а ветвей с неизвестными токами р= 5. Число независимых узлов составляет

3. Ветви с реальными источниками напряжения заменим эквивалентными источниками тока (рис. 3.13) и выберем направления узловых напряжений.

4.Составим каноническую систему уравнений для независимых узлов и рассчитаем собственные и общие проводимости и узловые токи.

где

5. Рассчитаем узловые напряжения по формулам Крамера:

Составим и рассчитаем определители системы:

Тогда узловые напряжения равны:

6. Рассчитаем токи в ветвях по законам Ома и Кирхгофа.

Токи в ветвях по найденным узловым напряжениям находятся из уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа для исходной непреобразованной схемы. При этом контур замыкается через ветвь с искомым током и найденными узловыми напряжениями. Так, если путем решения системы уравнений найдены узловые напряжения  то токи определяются из уравнений:

Тогда

Пример 3.2.5.

Определить ток в сопротивлении электрической цепи (рис.3.14) методом эквивалентного генератора.

Дано:  

Решение

1. Составим схему для определения напряжения холостого хода (рис.3.15) и рассчитаем .

Для определения  предварительно рассчитываются токи и

Тогда

2.Составим схему для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора (рис. 3.16) и рассчитаем его.

3. Рассчитаем ток

Пример 3.2.6.

Рассчитать токи в ветвях цепи (рис. 3.17) методом наложения.

Дано:

Решение

1.Составляем частную схему с источником ЭДС (рис. 3.18) и выбираем произвольно направление токов в ветвях цепи.

2. Рассчитаем частичные токи в ветвях:

3. Составляем частную схему с источником тока (рис. 3.19).

4. Рассчитаем частные токи в ветвях. Для расчета определим напряжение между узлами 1 и 2 схемы:

Тогда

5. Рассчитаем комплексные токи в ветвях исходной схемы, как алгебраическую сумму частичных токов:

Сложные электрические цепи постоянного тока

Сложными цепями
называют разветвленные цепи, имеющие
несколько контуров с произвольным
размещением потребителей и источников
питания.

Расчет сложных
цепей методом узловых и контурных
уравнений (по законам Кирхгофа):

Порядок расчета

1. Произвольно
выбираем направление токов в ветвях.
Количество токов равно количеству
ветвей. Если в результате расчета ток
окажется отрицательным, то направление
тока выбрано неверно.

2. Составляем
уравнение по 1 и 2 правилу Кирхгофа.
Количество уравнений должно быть равно
количеству неизвестных токов.

3. Число уравнений,
составленных по 1 закону Кирхгофа, должно
быть равно
,
гдеколичество
узловых точек.

Остальные недостающие
уравнения составляют по 2-му закону
Кирхгофа. При этом произвольно выбирают
положительное направление обхода
контура. Если оно совпадает с направлением
ЭДС, то его берут со знаком «+» и наоборот.

Если направление
тока контура совпадает с направлением
тока через резистор, то падение напряжения
на резисторе берут со знаком «+» и
наоборот.

Получаем систему
из 5 уравнений:

Задача

Метод узлового
напряжения

Этот метод дает
возможность более просто определить
токи в ветвях.

Раскроем скобки
и определим U:

Если какая-либо
ЭДС будет иметь противоположное
направление, то в формулу она войдет со
знаком «-».

Нагрузка
электростанции с течении суток сильно
изменяется, поэтому при малой нагрузке
работает один генератор, а при большой
– несколько. При параллельной работе
генераторов их токи будут одинаковы,
если одинаковы их ЭДС и r_он.
Узловое напряжение(напряжение
на шинах) практически мало отличается
от ЭДС, т.е. разностьсоставляет несколько % от.
Поэтому, если ЭДС увеличить на 1%, то
разность увеличится на 40%. На столько
же увеличится ток нагрузки генератора,
т.к..

Для того, чтобы
разгрузить генератор, достаточно его
ЭДС уменьшить до значения узлового
напряжения, при этом ток будет равен 0.

Если продолжать
уменьшать ЭДС, Естанет меньшеU,
ток будет меньше 0, генератор перейдет
в двигательный режим работы.

Метод наложения
(суперпозиции)

При алгебраическом
суммировании частичных токов считают,
что если направление частичного тока
и реального тока совпадают, то он берется
со знаком «+», если не совпадают – со
знаком«-».

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #

  30.04.2019207.36 Кб8k1.doc

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Расчет сложных электрических цепей постоянного тока

1.3.1. Метод уравнений Кирхгофа

Этот метод сводится к решению системы уравнений, количество которых равно числу неизвестных токов (числу ветвей). Покажем его применение на примере схемы, изображенной на рис. 1.9.

Первый закон Кирхгофа: в узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю.

Произвольно задавшись направлениями токов в ветвях и принимая токи, подтекающие к узлу, положительными, а оттекающие от узла – отрицательными, записываем:

Число независимых уравнений в первом законе Кирхгофа – на единицу меньше числа узлов, поэтому для последнего узла d уравнение не пишем.

В заданной схеме семь ветвей, семь неизвестных токов. Система (1.6) содержит только три уравнения. Недостающие четыре записываем по второму закону Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура.

Число уравнений, составляемых по этому закону, равно числу взаимно независимых контуров. При рассмотрении схемы каждый последующий контур является независимым относительно предыдущих, если он отличается от них хотя бы одной новой ветвью. В заданной схеме таких контуров четыре. Они отмечены пронумерованными дугообразными стрелками. Любой другой контур новых ветвей не содержит, поэтому не является независимым. Дугообразные стрелки показывают произвольно выбранные направления обхода контуров. Если направления ЭДС и токов совпадают с направлением обхода контура, то они записываются с плюсом, если не совпадают – то с минусом.

Системы (1.6) и (1.7) дают достаточное количество уравнений для отыскания всех неизвестных токов.

1.3.2. Метод узловых потенциалов

Уравнения, составляемые по этому методу, называются узловыми уравнениями. В качестве неизвестных они содержат потенциалы узлов, причем один из них задается заранее – обычно принимается равным нулю. Пусть таким узлом будет узел d: φ _d = 0. Равенство нулю какой-то точки схемы обычно показывается как ее заземление.

Запишем для каждой ветви выражение закона Ома:

(1.8)

Подставляя формулы (1.8) в систему (1.6) после несложных преобразований получаем следующие уравнения, количество которых на единицу меньше числа узлов:

При решении практических задач указанный вывод не делают, а узловые уравнения записывают сразу, пользуясь следующим правилом.

Потенциал узла, для которого составляется уравнение (например, в первом уравнении последней системы – это узел а), умножается на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к этому узлу: φ _а (G₁+G₂+G₃).Это произведение записывается в левой части уравнения со знаком плюс. Потенциал каждого соседнего узла (b и с) умножается на проводимости ветвей, лежащих между этим (соседним) узлом и узлом, для которого составляется уравнение.

Эти произведения φ _b (G₁ + G₂) и j _сG₃ записываются со знаком минус. В правой части уравнения стоит алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости тех ветвей, которые присоединены к рассматриваемому узлу: E₁G₁, E₂G₂ и E₃G₃. Эти произведения записываются с плюсом, если ЭДС направлены к узлу, и с минусом, если от узла.

Найдя из (1.9) потенциалы узлов и подставляя их в (1.8), определяем токи ветвей.

Учебные материалы

Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур.

Расчет многоконтурной линейной электрической цепи, имеющей «b» ветвей с активными и пассивными элементами и «у» узлов, сводится к определению токов отдельных ветвей и напряжений на зажимах элементов, входящих в данную цепь.

Пассивной называется ветвь, не содержащая источника ЭДС. Ветвь, содержащая источник ЭДС, называется активной.

1-й закон Кирхгофа применяют к независимым узлам, т.е. таким, которые отличаются друг от друга хотя бы одной новой ветвью, что позволяет получить (y — I) уравнений.

Недостающие уравнения в количестве b — (у — I) составляют, исходя из второго закона Кирхгофа. Уравнение записывают для независимых контуров, которые отличаются один от другого, по крайней мере, одной ветвью.

Порядок выполнения расчета:

1. выделяют в электрической цепи ветви, независимые узлы и контуры;
2. с помощью стрелок указывают произвольно выбранные положительные направления токов в отдельных ветвях, а также указывают произвольно выбранное направление обхода контура;
3. составляют уравнения по законам Кирхгофа, применяя следующее правило знаков:
   1. токи, направленные к узлу цепи, записывают со знаком «плюс», а токи, направленные от узла,- со знаком «минус» (для первого закона Кирхгофа);
   2. ЭДС и напряжение на резистивном элементе (RI) берутся со знаком»плюс», если направления ЭДС и тока в ветви совпадают с направлением обхода контура, а при встречном направлении — со знаком «минус»;
4. решая систему уравнений, находят токи в ветвях. При решении могут быть использованы ЭВМ, методы подстановки или определителей.

Отрицательные значения тока какой-либо ветви указывают на то, что выбранные ранее произвольные направления тока оказались ошибочными. Это следует учитывать, например, при построении потенциальной диаграммы, где следует знать истинное направление тока.

На рис. 4, а изображена исходная электрическая схема, для которой следует рассчитать токи в ветвях. Направления токов и обхода контуров приведены на рис. 4, б.

Система уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, имеет вид

Правила Кирхгофа для электрической цепи, понятным языком

Формулировка правил

Сразу необходимо внести ясность. Хотя во многих технических текстах используется слово закон, на самом деле это правило. В чем различие? Закон основывается на фундаментальных истинах, фактах, правило несет более абстрактное понимание. Чтобы это лучше понять рассмотрим основы этого метода.

Из-за сложности вычислений его лучше использовать там, где схема имеет узлы и контуры. Узлом называется место соединения более двух цепей. Это как если взять три и более обычных нитки и связать их вместе. Контуром называется замкнутая цепь, включающая в себя три и более таких узла.

Отдельная ветвь может содержать сколько угодно резисторов, под которыми подразумеваются нагрузки с активным сопротивлением. Все они объединяются в один общий резистор, так как это упрощает решение задачи. Также в цепи может быть один или несколько источников питания, которые также объединяются в один элемент, либо их может и не быть. Тогда цепь будет состоять только из сопротивления.

Контур всегда начинается и заканчивается одним и тем же узлом. Поскольку узлы обозначаются латинскими или русскими буквами, то в уравнении будет на одну букву больше, чем самих соединений. Например, участок состоит из узлов A, B, C, D. Тогда обозначение этой петли будет следующим: A, B, C, D, A. На самом деле, начинать отсчет можно с любой буквы петли, например, C, D, A, B, C, просто в первом варианте легче будет не запутаться.

Определения

Как уже было сказано ветвь – это отрезок электрической цепи, в которой направление движения заряда происходит в одну сторону. Сходящиеся в узле ветви имеют разное направление токов. Контур может состоять из нескольких внутренних контуров, ветви и узлы которых также относятся к этому контуру. Сам закон Кирхгофа по существу содержит два правила, относящиеся к узлу и контуру. Самым главным и сложным является составление уравнений, учитывающих все составляющие этой формулы.

Первый закон

Первое правило говорит о сохранении заряда. Согласно ему, в узле напряжение должно быть равно нулю. Это возможно только в том случае, если все входящие токи в эту точку заходят через одни ветви, а выходят через другие. Соотношение входящих и выходящих токов может быть разным, но суммарная составляющая положительных и отрицательных потенциалов всегда одинакова.

Предположим, в узел входят токи по трем ветвям, а выходят по двум. Суммарная величина входящих токов будет точно равняться суммарной величине выходящих. Если отобразить это математически, то сумма положительных векторов I1, I2 и I3 будет равняться сумме отрицательных векторов I4 и I5.

Второй закон

Это правило связано с сохранением энергии в контуре. Другими словами, энергия источников э. д. с, входящих в контур или рассматриваемый участок, равна падению напряжения на сопротивлениях этого участка. Если выбранный участок не имеет источников питания, то суммарное падение напряжения на всех нагрузках будет равно нулю. Прежде чем переходить к расчетам, следует ознакомиться еще с некоторыми моментами.

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа гласит, что в ветвях образующих узел электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю(токи входящие в узел считаются положительными, выходящие из узла отрицательными).

Пользуясь этим законом для узла A (рисунок 1) можно записать следующее выражение:

Рисунок 1 — Первый закон Кирхгофа

I1 + I2 − I3 + I4 − I5 − I6 = 0.

Попытайтесь самостоятельно применить первый закон Кирхгофа для определения тока в ветви. На приведенной выше схеме изображены шесть ветвей образующие электрический узел В, токи ветвях входят и выходят из узла. Один из токов i неизвестен.

Запишите выражение для узла В

I1 + I2 + I3 + I4 + I5 − i = 0 I1 – I2 + I3 − I4 + I5 − i = 0 I1 + I2 + I3 − I4 + I5 − i = 0

Второй закон Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа:в контуре электрической цепи алгебраическая сумма эдс равна алгебраической сумме падений напряжения на всех сопротивлениях данного контура.

где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii, Ri – ток и сопротивление i-й ветви.

Применение второго закона Кирхгофа

Для контура ABСDE, изображенного на рисунке 4, стрелками указаны положительные направления токов (произвольно). Составим уравнение согласно второму закону Кирхгофа. Для этого произвольно зададимся направлением обхода контура по часовой или против часовой стрелки. В данном примере направление обхода контура выберем по часовой стрелке.

Рисунок 4

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа, ЭДС записывается со знаком “+”, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура. В противном случае ЭДС записывается со знаком “-”.

Падения напряжения записываются со знаком “+”, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Начнём с эдс E1, так как её направление совпадает с обходом контура — записываем её со знаком “+” перед знаком равно.

Контур ABСDE E1 =

E2 направленна против обхода контура записываем со знаком “-” перед знаком равно.

Контур ABСDE E1 − E2=

Так как больше ЭДС в контуре ABСDЕ нет — левая часть уравнения готова.

В правой части уравнения указываются падения напряжения контура, так как направления токов I1 и I2 совпадает с обходом контура – записываем падения напряжения со знаком “+”.

Контур ABСDЕE E1 − E2 = I1*R1 + I2*R2

Направление тока I3 не совпадет с обходом контура:

Контур ABСDE E1 − E2 = I1*R1 + I2*R2 − I3*R3.

Уравнение для контура готово.

Законы Кирхгофа являются основой для расчета электрической цепи, вот несколько методов применяющие данные законы.

Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа

Частота вращения: формула

Для выполнения подобных расчётов электрических цепей существует определённый алгоритм, при котором вычисляются токи для каждой ветви и напряжения на выводах всех элементов, включённых в ЭЦ. Для того чтобы рассчитать любую схему, придерживаются следующего порядка:

1. Разбивают ЭЦ на ветви, контуры и узлы.
2. Стрелками намечают предполагаемые направления движения I в ветвях. Произвольно намечают направление, по которому при написании уравнений обходят контур.
3. Пишут уравнения, применяя первое и второе правило Кирхгофа. При этом учитывают правила знаков, а именно:

• «плюс» имеют токи, втекающие в узел, «минус» – токи, вытекающие из узла;
• Е (ЭДС) и снижение напряжения на резисторах (R*I) обозначают знаком «плюс», если ток и обход совпадают по направлению, или «минус», если нет.

1. Решая полученные уравнения, находят нужные величины токов и падения напряжений на резистивных элементах.

Информация. Независимыми узлами называют такие, которые отличаются от других как минимум одной новой веткой. Ветви, содержащие ЭДС именуют активными, без ЭДС – пассивными.

В качестве примера можно рассмотреть схему с двумя ЭДС и рассчитать токи.

Пример схемы для расчёта с двумя E

Произвольно выбирают направление токов и контурного обхода.

Намеченные направления на схеме

Составляются следующие уравнения с применением первого и второго закона Кирхгофа:

• I1 – I3 – I4 = 0 – для узла a;
• I2 + I4 – I5 = 0 – для узла b;
• R1*I1 + R3*I3 = E1 – контур acef;
• R4*I4 — R2*I2 – R3*I3 = — E2 – контур abc;
• R6*I5 + R5*I5 + R2*I2 = E2 – контур bdc.

Уравнения решаются с помощью методов определителей или подстановки.

Особенности составления уравнений для расчёта токов и напряжений

В первую очередь выбирается участок, который необходимо исследовать. Затем на каждой ветке произвольно устанавливается стрелка показывающая направление движения тока. Это нужно для того, чтобы потом не ошибиться. При расчете неточность направления будет исправлена. Каждую стрелку обозначают буквой I с индексом. Удобнее будет рассматривать участок, если стрелки находятся в непосредственной близости от точки соединения цепей. Источники питания и резисторы тоже обозначают, а у общего резистора добавляют сопротивление.

Внутри участка также произвольно показывают направление обхода, ориентируясь на возможные потенциалы. Оно необходимо для сравнения направления движения тока. Это сравнение покажет, какой знак должен стоять у числа. Если оба направления совпадают, ставят знак + и знак – если направления противоположны.

Число поставленных задач должно соответствовать количеству выбранных неизвестных. Допустим, имеется три цепи и необходимо вычислить их токи, значит, составленных формул также должно быть три. Получается, что в новом уравнении должен быть хотя бы один новый элемент, которого нет в предыдущих задачах.

Значение для электротехники

Правила Кирхгофа являются дополнением к другим законам. Основная сложность состоит в нахождении участков, поскольку их границы не всегда легко обнаружить. После ограничения нужной области необходимо выделить все неизвестные. Составление задач уже относительно легкое дело. Решаются они как обычные уравнения.

Поэтому, несмотря на первые трудности, эти правила все же легче составить и решить, чем использовать, допустим, закон Ома. Поэтому они широко используются в электротехнике. Чтобы понять, как на практике применить описанный способ, рассмотрим один пример.

Значение в математике

Имеется контур, состоящий из четырех цепей. В первой содержится источник питания ε1 с внутренним сопротивлением источника r1, во второй какая-то нагрузка R1. Третья имеет источник питания и нагрузку. Четвертая состоит из нагрузки. Точки B и F являются узлами. Стрелки возле них показывают предположительное направление тока. Стрелка внутри участка показывает направление обхода. Необходимо найти ток в цепях: AK, AB, BF, CD. По идее нужно составить четыре уравнения, но поскольку ε1 и R1 единственные на участке KAB, то их объединим в одну цепь. Выходит, нужно составить три уравнения.

Первое берется из первого правила: I1 + I2 + I3 = 0. Поскольку I1, I2 втекают в узел B, они имеют положительный знак, а I3 вытекает из него, то имеет отрицательный знак. Подставляем в уравнение и получаем I1 + I2 – I3 = 0, или в таком виде I1 + I2 = I3. Второе и третье уравнение берем из второго правила. Для этого используем контур BCDFB и преобразуем формулировку в математическое решение: ε2 = I2 × R2 + I3 × R3. Для участка ACDKA получаем соответственно ε1 = I1 × R1 + I3 × R3. Для наглядности вынесем их отдельно.

ε1 = I1 × R1 + I3 × R3

ε2 = I2 × R2 + I3 × R3

Получилось три задачи. Определимся с номиналами. Первый источник питания равен 6 В, второй – 12 В. Хотя так поступать нельзя, потому что параллельные источники питания должны быть одинаковыми, но нам это пригодится для получения важного урока. Первое сопротивление равно 2 Ом, второе – 4 Ом, третье – 8 Ом.

Осталось вставить данные в уравнения и получаем: для второго номера 6 = 2I1 + 8I3, для третьего номера 12 = 4I2 + 8I3. Дальше избавляемся от общего неизвестного I3. Согласно первому пункту, он равен I1 + I2. Подставляем вместо него эту сумму и получаем: 6 = 2I1 + 8(I1 + I2), 12 = 4I2 + 8(I1 + I2). Раскрываем скобки и складываем одинаковые неизвестные: 6 = 10I1 + 8I2; 12 = 12I2 + 8I1. Чтобы найти I1, нужно избавиться от I2. Для этого первое уравнение умножаем на 12, а второе на 8 и получаем: 72 = 120I1 + 96I2; 96 = 96I2 + 64I1. От первого отнимаем второе и записываем остаток -24 = 56I1, или I1 = -24/56 = -6/14 А. Почему ток отрицательный?

Потому что источники питания разные. На втором источнике напряжение выше, чем на первом, поэтому ток идет в обратном направлении. Находим I2, для этого значение I1 вставляем в любое из последних уравнений: 96 = 96I2 – 64 24/56. Разделим левую и правую часть на 96 и получим: 1 = I2 – (64×24)/(96×56) или дробную часть переносим влево, меняя знак. I2 = 1(64×24)/(96×56), после всех сокращений получаем 1 4/14 А. Для нахождения I3 воспользуемся первым номером: I3 = I1 + I2. I3 = -24/56 + 1 4/14 = 1(4×56)/(14×56) – (24×14)/(56×14) = 1 224/784 -336/784 = 1008/784 -336/784 = 672/774 ≈ 0,87А. Получили I1 = -6/14 А, I2 = 1 4/14 А, I3 ≈ 0,87А.

Закон Кирхгофа в химии

Когда в ходе химреакции система меняет свою теплоёмкость, вместе с тем меняется и температурный коэффициент возникающего в результате этого процесса теплового эффекта. Применяя уравнение, вытекающее из этого закона, можно рассчитывать тепловые эффекты в любом диапазоне температур. Дифференциальная форма этого уравнения имеет вид:

• ∆Cp – температурный коэффициент;
• d∆Q – изменение теплового эффекта;
• dT – изменение температуры.

Важно! Коэффициент определяет, как изменится тепловой эффект при изменении температуры на 1 К (2730С).

Теорема Кирхгофа для термодинамики

Третье уравнения Максвелла, а также принцип сохранения зарядов позволили Густаву Кирхгофу создать два правила, которые применяются в электротехнике. Имея данные о значениях сопротивлений резисторов и ЭДС источников питания, можно рассчитывать протекающий I или приложенное U для любого элемента цепи.

Алгебраическая сумма разностей потенциалов

Закон напряжения по Густаву Кирхгофу — второй закон этого автора, используемый для анализа электрической схемы. Вторым законом Кирхгофа утверждается, что для последовательного замкнутого контура алгебраическая сумма всех напряжений по кругу любой замкнутой цепи равна нулю. Утверждение обусловлено тем, что контур цепи является замкнутым проводящим путём, где потери энергии исключаются. Другими словами, алгебраическая сумма разностей потенциалов замкнутого контура теоретически равняется нулю:

Следует обратить внимание: под термином «алгебраическая сумма» имеется в виду учёт полярностей и признаков источников ЭДС, а также падения напряжений по кругу контура. Эта концепция закона Кирхгофа, известная как «сохранение энергии», как движение по кругу замкнутого контура или схемы, утверждает логику возврата к началу цепи и к первоначальному потенциалу без потери напряжения по всему контуру.

Следовательно, любое падение напряжения по кругу контура теоретически равно потенциалу любых источников напряжения, встречающихся на этом пути.

Отсюда следует вывод: применяя Второй закон Кирхгофа к определенному элементу электрической схемы, важно обращать особое внимание на алгебраические знаки падений напряжения на элементах (источниках ЭДС), иначе вычисления оборачиваются ошибкой.

Одиночный контурный элемент — резистор

Простым примером с резистором предположим — ток протекает в том же направлении, что и поток положительного заряда. В этом случае поток тока через резистор протекает от точки A до точки B. Фактически — от положительной клеммы до отрицательной клеммы. Таким образом, поскольку движение положительного заряда отмечается в направлении аналогичном направлению течения тока, на резистивном элементе зафиксируется падение потенциала, которое приведет к падению минусового потенциала на резисторе (— I * R).

Если же поток тока от точки B до точки A протекает в противоположном направлении относительно потока положительного заряда, тогда через резистивный элемент отметится рост потенциала, поскольку имеет место переход от минусового потенциала к потенциалу плюсовому, что даёт падение напряжения (+ I * R). Таким образом, чтобы правильно применить закон Кирхгофа по напряжению к электрической цепи, необходимо точно определить направление полярности. Очевидно, знак падения напряжения на резисторе зависит от направления тока, протекающего через резистор.

Направление потока тока по замкнутому контуру допустимо определять либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки, и любой вариант допустим к выбору. Если выбранное направление отличается от фактического направления тока, соответствие закону Кирхгофа получится корректным и действительным, но приведет к результату, когда алгебраический расчёт будет иметь знак минус. Чтобы лучше понять эту концепцию, логично рассмотреть ещё один пример с одним контуром цепи на соответствие Второму Закону Кирхгофа.

Одиночный контур электрической цепи

Второй закон Кирхгофа утверждает — алгебраическая сумма разностей потенциалов любого замкнутого контура равна нулю. Демонстрационная схема действия Второго закона Кирхгофа для замкнутого контура с двумя резисторами и одним источником ЭДС. Если принять условие, что два резистора R1 и R2 соединены последовательно, оба элемента являются частью одного контура. Соответственно, одинаковый ток протекает через каждый из резисторов.

Таким образом, падение напряжения на резисторе R1 = I * R1 и падение напряжения на резисторе R2 = I * R2, дают напряжение по Второму закону Кирхгофа:

Очевидно: применение Второго закона Кирхгофа к одиночному замкнутому контуру даёт формулу эквивалентного или полного сопротивления для последовательной цепи. Допустимо расширить эту формулу, чтобы найти значения падений потенциалов по кругу контура:

Vr1 = V * (R1 / R1 + R2)

Vr2 = V * (R2 / R1 + R2)

Есть три резистора номинальным сопротивлением 10, 20, 30 Ом, соответственно. Все три резистивных элемента соединены последовательно к 12-вольтовому аккумулятору.

Интересно по теме: Как проверить стабилитрон.

• общее сопротивление,
• ток цепи,
• ток через каждый резистор,
• падение напряжения на каждом резисторе.

Рассчитаем общее сопротивление:

Ro = R1 + R2 + R3 = 10Ω + 20Ω + 30Ω = 60Ω

I = V / Ro = 12 / 60 = 0,2A (200 мА)

Ток через каждый резистор:

I * R1 = I * R2 = I * R3 = 0,2A (200 мА)

Падение потенциала на каждом из резисторов:

VR1 = I * R1 = 0.2 * 10 = 2В

VR2 = I * R2 = 0.2 * 20 = 4В

VR3 = I * R3 = 0.2 * 30 = 6В

Таким образом, Второй закон Кирхгофа справедлив, учитывая что индивидуальные падения напряжения, отмеченные по кругу замкнутого контура, в итоге составляют сумму напряжений.

Что такое правило напряжений Кирхгофа (второй закон Кирхгофа)?

Принцип, известный как правило напряжений Кирхгофа (открытое в 1847 году немецким физиком Густавом Р. Кирхгофом), можно сформулировать следующим образом:

«Алгебраическая сумма всех напряжений в замкнутом контуре равна нулю»

Под алгебраической я подразумеваю, помимо учета величин, учет и знаков (полярностей). Под контуром я подразумеваю любой путь, прослеживаемый от одной точки в цепи до других точек в этой цепи, и, наконец, обратно в исходную точку.

Демонстрация закона напряжений Кирхгофа в последовательной цепи

Давайте еще раз посмотрим на наш пример последовательной схемы, на этот раз нумеруя точки цепи для обозначения напряжений:

Рисунок 1 – Демонстрация закона напряжений Кирхгофа в последовательной цепи

Если бы мы подключили вольтметр между точками 2 и 1, красный измерительный провод к точке 2 и черный измерительный провод к точке 1, вольтметр зарегистрировал бы значение +45 вольт. Для положительных показаний на дисплеях цифровых счетчиков знак «+» обычно не отображается, а скорее подразумевается. Однако для этого урока полярность показаний напряжений очень важна, поэтому я буду явно показывать положительные числа:

Когда напряжение указывается с двойным нижним индексом (символы «2-1» в обозначении «E2-1»), это означает напряжение в первой точке (2), измеренное по отношению ко второй точке (1). Напряжение, указанное как «Ecd», будет означать значение напряжения, показанное цифровым мультиметром с красным измерительным проводом в точке «c» и черным измерительным проводом в точке «d»: напряжение в точке «c» относительно точки «d».

Рисунок 2 – Значение Ecd

Если бы мы взяли тот же вольтметр и измерили падение напряжения на каждом резисторе, обходя цепь по часовой стрелке с красным измерительным проводом нашего мультиметра на точке впереди и черным измерительным проводом на точке позади, мы получили бы следующие показания:

Рисунок 3 – Определение напряжений в последовательной цепи

Нам уже должен быть знаком общий для последовательных цепей принцип, утверждающий, что отдельные падения напряжения в сумме составляют общее приложенное напряжение, но измерение падения напряжения таким образом и уделение внимания полярности (математическому знаку) показаний открывает еще один аспект этого принципа: все измеренные напряжения в сумме равны нулю:

В приведенном выше примере контур образован следующими точками в следующем порядке: 1-2-3-4-1. Не имеет значения, с какой точки мы начинаем или в каком направлении движемся при следовании по контуру; сумма напряжений по-прежнему будет равна нулю. Чтобы продемонстрировать это, мы можем той же цепи подсчитать напряжения в контуре 3-2-1-4-3:

Этот пример может быть более понятен, если мы перерисуем нашу последовательную схему так, чтобы все компоненты были представлены на одной прямой линии:

Рисунок 4 – Изменение представления последовательной цепи

Это всё та же последовательная схема, только с немного перераспределенными компонентами. Обратите внимание на полярность падений напряжения на резисторах по отношению к напряжению батареи: напряжение батареи отрицательное слева и положительное справа, тогда как все падения напряжения на резисторах ориентированы в другую сторону (положительное слева и отрицательное справа). Это потому, что резисторы сопротивляются потоку электрического заряда, проталкиваемого батареей. Другими словами, «толкание», прилагаемое резисторами против потока электрического заряда, должно происходить в направлении, противоположном источнику электродвижущей силы.

Здесь мы видим, что цифровой вольтметр покажет на каждом компоненте в этой цепи, если черный провод будет слева, а красный провод – справа:

Рисунок 5 – Измерение напряжений в последовательной цепи

Если бы мы взяли тот же вольтметр и измерили напряжение между комбинациями компонентов, начиная с единственного R1 слева и продвигаясь по всей цепочке компонентов, мы увидели бы, как напряжения складываются алгебраически (до нуля):

Рисунок 6 – Измерение суммы напряжений в последовательной цепи

Тот факт, что последовательные напряжения складываются, не должен быть тайной, но мы заметили, что полярность этих напряжений имеет большое значение в том, как эти значения складываются. При измерении напряжения на R1 – R2 и R1 – R2 – R3 (я использую символ «двойное тире» «–» для обозначения последовательного соединения между резисторами R1, R2 и R3), мы видим, как измеряются бо́льшие значения напряжений (хотя и отрицательные), потому что полярности отдельных падений напряжения имеют одинаковую ориентацию (плюс слева, минус справа).

Сумма падений напряжения на R1, R2 и R3 равна 45 вольт, что соответствует выходному напряжению батареи, за исключением того, что полярность напряжения батареи (минус слева, плюс справа) противоположна падениям напряжения на резисторах, поэтому при измерении напряжения на всей цепочке компонентов мы получаем 0 вольт.

То, что мы должны получить ровно 0 вольт на всей линии, тоже не должно быть тайной. Глядя на схему, мы видим, что крайняя левая часть линии (левая сторона R1, точка номер 2) напрямую соединена с крайней правой частью линии (правая сторона батареи, точка номер 2), что необходимо для завершения схемы.

Поскольку эти две точки соединены напрямую, они являются электрически общими друг с другом. Таким образом, напряжение между этими двумя электрически общими точками должно быть равно нулю.

Демонстрация закона напряжений Кирхгофа в параллельной цепи

Правило напряжений Кирхгофа (второй закон Кирхгофа) будет работать вообще для любой конфигурации схемы, а не только для простых последовательных цепей. Обратите внимание, как это работает для следующей параллельной схемы:

Рисунок 7 – Параллельная схема из резисторов

При параллельной схеме напряжение на каждом резисторе равно напряжению питания: 6 вольт. Суммируя напряжения вдоль контура 2-3-4-5-6-7-2, мы получаем:

Обратите внимание, что конечное (суммарное) напряжение я обозначил как E2-2. Поскольку мы начали наше пошаговое прохождение по контуру в точке 2 и закончили в точке 2, алгебраическая сумма этих напряжений будет такой же, как напряжение, измеренное между той же точкой (E2-2), которое, конечно, должно быть равно нулю.

Справедливость закона Кирхгофа о напряжениях независимо от топологии цепи

Тот факт, что эта цепь является параллельной, а не последовательной, не имеет ничего общего со справедливостью закона Кирхгофа о напряжениях. В этом отношении схема может быть «черным ящиком» (конфигурация ее компонентов полностью скрыта от нашего взгляда) с набором открытых клемм, между которыми мы можем измерить напряжение, – и правило напряжений Кирхгофа всё равно останется верным:

Рисунок 8 – Справедливость закона Кирхгофа напряжениях независимо от топологии схемы

Попробуйте на приведенной выше диаграмме выполнить обход в любом порядке, начиная с любого вывода, и вернувшись к исходному выводу, и вы обнаружите, что алгебраическая сумма напряжений всегда равна нулю.

Более того, «контур», который мы отслеживаем для второго закона Кирхгофа, даже не обязательно должен быть реальным путем протекания тока в прямом смысле этого слова. Всё, что нам нужно сделать, чтобы соответствовать правилу напряжений Кирхгофа, – это начинать и заканчивать в одной и той же точке цепи, подсчитывая падения напряжения и полярности при переходе между точками. Рассмотрим следующий абсурдный пример, проходя по «контуру» 2-3-6-3-2 в той же параллельной резисторной цепи:

Рисунок 9 – Параллельная схема из резисторов

Использование закона Кирхгофа о напряжениях в сложной цепи

Закон Кирхгофа о напряжениях можно использовать для определения неизвестного напряжения в сложной цепи, где известны все другие напряжения вдоль определенного «контура». В качестве примера возьмем следующую сложную схему (на самом деле две последовательные цепи, соединенные одним проводом внизу):

Рисунок 10 – Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи

Чтобы упростить задачу, я опустил значения сопротивлений и просто указал падение напряжения на каждом резисторе. Две последовательные цепи имеют между собой общий провод (провод 7-8-9-10), что делает возможными измерения напряжения между этими двумя цепями. Если бы мы хотели определить напряжение между точками 4 и 3, мы могли бы составить уравнение правила напряжений Кирхгофа с напряжением между этими точками как неизвестным:

E4-3 + E9-4 + E8-9 + E3-8 = 0

E4-3 + 12 + 0 + 20 = 0

Рисунок 11 – Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи. Напряжение между точками 4 и 3
Рисунок 12 – Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи. Напряжение между точками 9 и 4
Рисунок 13 – Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи. Напряжение между точками 8 и 9
Рисунок 14 – Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи. Напряжение между точками 3 и 8

Обойдя контур 3-4-9-8-3, мы записываем значения падений напряжения так, как их регистрировал бы цифровой вольтметр, измеряя с красным измерительным проводом в точке впереди и черным измерительным проводом на точке позади, когда мы продвигаемся вперед по контуру. Следовательно, напряжение в точке 9 относительно точки 4 является положительным (+) 12 вольт, потому что «красный провод» находится в точке 9, а «черный провод» – в точке 4.

Напряжение в точке 3 относительно точки 8 составляет положительные (+) 20 вольт, потому что «красный провод» находится в точке 3, а «черный провод» – в точке 8. Напряжение в точке 8 относительно точки 9, конечно, равно нулю, потому что эти две точки электрически общие.

Наш окончательный ответ для напряжения в точке 4 относительно точки 3 – это отрицательные (-) 32 вольта, говорящие нам, что точка 3 на самом деле положительна относительно точки 4, именно это цифровой вольтметр показал бы при красном проводе в точке 4 и черном проводе в точке 3:

Рисунок 15 – Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи. Напряжение между точками 4 и 3

Другими словами, первоначальное размещение наших «измерительных щупов» в этой задаче правила напряжений Кирхгофа было «обратным». Если бы мы сформировали наше уравнение второго закона Кирхгофа, начиная с E3-4, вместо E4-3, обходя тот же контур с противоположной ориентацией измерительных проводов, окончательный ответ был бы E3-4 = +32 вольта:

Рисунок 16 – Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи. Напряжение между точками 3 и 4

Важно понимать, что ни один из подходов не является «неправильным». В обоих случаях мы приходим к правильной оценке напряжения между двумя точками 3 и 4: точка 3 положительна по отношению к точке 4, а напряжение между ними составляет 32 вольта.

1.3.1. Метод уравнений Кирхгофа

    Этот метод сводится к решению системы уравнений, количество которых равно числу неизвестных токов (числу ветвей). Покажем его применение на примере схемы, изображенной на рис. 1.9.

Первый закон Кирхгофа: в узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю.

    Произвольно задавшись направлениями токов в ветвях и принимая токи, подтекающие к узлу, положительными, а оттекающие от узла – отрицательными, записываем:

(1,6)

    Число независимых уравнений в первом законе Кирхгофа – на единицу меньше числа узлов, поэтому для последнего узла d уравнение не пишем.

    В заданной схеме семь ветвей, семь неизвестных токов. Система (1.6) содержит только три уравнения. Недостающие четыре записываем по второму закону Кирхгофа.

    Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура.

    Число уравнений, составляемых по этому закону, равно числу взаимно независимых контуров. При рассмотрении схемы каждый последующий контур является независимым относительно предыдущих, если он отличается от них хотя бы одной новой ветвью. В заданной схеме таких контуров четыре. Они отмечены пронумерованными дугообразными стрелками. Любой другой контур новых ветвей не содержит, поэтому не является независимым. Дугообразные стрелки показывают произвольно выбранные направления обхода контуров. Если направления ЭДС и токов совпадают с направлением обхода контура, то они записываются с плюсом, если не совпадают – то с минусом.

(1.7)

Системы (1.6) и (1.7) дают достаточное количество уравнений для отыскания всех неизвестных токов.

1.3.2. Метод узловых потенциалов

    Уравнения, составляемые по этому методу, называются узловыми уравнениями. В качестве неизвестных они содержат потенциалы узлов, причем один из них задается заранее – обычно принимается равным нулю. Пусть таким узлом будет узел d: φ _d = 0. Равенство нулю какой-то точки схемы обычно показывается как ее заземление.

Запишем для каждой ветви выражение закона Ома:

    (1.8)

    Подставляя формулы (1.8) в систему (1.6) после несложных преобразований получаем следующие уравнения, количество которых на единицу меньше числа узлов:

(1.9)

   При решении практических задач указанный вывод не делают, а узловые уравнения записывают сразу, пользуясь следующим правилом.

    Потенциал узла, для которого составляется уравнение (например, в первом уравнении последней системы – это узел а), умножается на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к этому узлу: φ _а (G₁+G₂+G₃).Это произведение записывается в левой части уравнения со знаком плюс. Потенциал каждого соседнего узла (b и с) умножается на проводимости ветвей, лежащих между этим (соседним) узлом и узлом, для которого составляется уравнение.

    Эти произведения φ _b (G₁ + G₂) и j _сG₃ записываются со знаком минус. В правой части уравнения стоит алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости тех ветвей, которые присоединены к рассматриваемому узлу: E₁G₁, E₂G₂ и E₃G₃. Эти произведения записываются с плюсом, если ЭДС направлены к узлу, и с минусом, если от узла.

    Найдя из (1.9) потенциалы узлов и подставляя их в (1.8), определяем токи ветвей.

Далее: 1.3.3. Метод контурных токов

Методы расчета сложных электрических цепей постоянного тока

Виноградова С.П.

Цели урока:

• ознакомиться с методами расчета сложных электрических цепей постоянного тока,

• усвоить порядок расчета сложных электрических цепей постоянного тока,
• научиться находить токи в отдельных ветвях сложной электрической цепи.

Методы анализа электрических цепей

• Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

• Метод контурных токов

• Метод узлового напряжения
• Метод наложения (суперпозиции )

• Метод эквивалентного генератора
• Метод узловых потенциалов и т.д

1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Для анализа цепи методом непосредственного применения законов Кирхгофа должны быть известны значения всех ЭДС, токов источников тока и всех сопротивлений, входящих в схему цепи.

Источники тока преобразуются в эквивалентные источники ЭДС.

Алгоритм расчета

• Провести анализ схемы. Определить количество искомых токов (необходимое количество уравнений).
• Провести анализ схемы. Определить количество искомых токов (необходимое количество уравнений).
• Провести анализ схемы. Определить количество искомых токов (необходимое количество уравнений).

• Расставить произвольно направления токов в ветвях. Если выбранное направление какого либо тока окажется неверным, то в решении он получит знак минус (в цепях постоянного тока).
• Записать по 1-му закону Кирхгофа количество уравнений на одно меньше, чем количество узлов.
• Недостающие уравнения записать по 2-му закону Кирхгофа для независимых контуров, предварительно задавшись произвольными направлениями обхода этих контуров.
• Решить полученную систему уравнений.
• Расставить правильные направления токов на схеме для цепей постоянного тока.

• Проверить решение методом баланса мощностей .

Пример: Дано: E 1 = 120 В, E 2 = 120 В, R 1 =3 Ом R 2 = 6Ом R 3 =18 Ом. Определить : I 1 -?, I 2 -?, I 3 -?

Решение:

В уравнение для первого контура:

Е 1 = I 1 ·R 1 + I 3 ·R 3

подставим вместо

I 1 =2·I 2 и I 3 =3 I 2 , т.о получим

Е 1 = 2·I 2 ·R 1 +3 I 2 ·R 3 , т.е уравнение с одним неизвестным.

Подставим данные:

120= 2·I 2 · 3 + 3 I 2 · 18

120=6· I 2 + 54· I 2

60 · I 2 = 120

I 2 =2А, тогда

I 1 =4А

I 3 = 6А

• Е 1 -Е 2 = I 1 ·R 1 -I 2 ·R 2

120-120= 3·I 1 -6·I 2

• 3·I 1 =6·I 2
• I 1 =2·I 2

В уравнение 1 закона Кирхгофа

• I 1 +I 2 -I 3 =0

вместо I 1 подставим 2·I 2 , получим

• 2·I 2 + I 2 — I 3 =0, т.е
• I 3 =3 I 2

Итак, два неизвестных тока

I 1 и I 3 выразили через третий неизвестный ток I 2

2. Метод наложения (суперпозиции)

Принцип наложения : ток в любой отдельно взятой ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из ЭДС схемы отдельно.

Этот принцип справедлив для всех линейных электрических цепей. Он позволяет рассчитать токи без составления и решения системы уравнений. Применяется к схемам с малым количеством источников электрической энергии.

А

+

+

—

—

В

При расчете данным методом поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи, возникающие от воздействия каждой из ЭДС, при этом удаляют все другие источники из схемы оставляя при этом их внутренние сопротивления, и затем находят токи в ветвях путем сложения алгебраической суммы частичных токов.

Алгоритм расчета

А

+

+

—

—

В

• Сложную цепь заменяют элементарными цепями, каждая из которых имеет один источник ЭДС.
• Рассчитывают элементарные цепи, определяя величины и направления токов в каждой ветви ( находят общее сопротивление R , общий ток по формуле I n =E n /R , токи на участках по формуле I n =U AB / R n );
• Находят действительные токи в сложной цепи, как

алгебраическую сумму соответствующих токов элементарных

цепей.

Пример: Дано: R 1 = 3 O м , R 2 = 4 O м , R 3 = 6 O м , E 1 = 27 B , E 2 = 24 B Определить : I 1 — ? I 2 -? I 3 -?

4 Ом

3 Ом

А

27 В

24 В

+

+

6 Ом

—

—

В

Ток участка

Цепь с E 1

I 1

Цепь с E 2

I 2

Действительный ток и его направление

I 3

3 Ом

4 Ом

А

27 В

+

—

6 Ом

В

Ток участка

Цепь с E 1

Цепь с E 2

Вправо,5А

Вправо,3А

Вниз,2А

Действительный ток и его направление

3 Ом

4 Ом

А

27 В

24 В

+

+

6 Ом

—

—

В

3 Ом

4 Ом

А

+

—

24 В

6 Ом

В

Ток участка

I 1

I 2

I 3

Цепь с E 1

Цепь с E 2

Вправо,5А

Вправо,3А

Вниз,2А

Действительный ток и его направление

Влево,8/3А

Влево,4А

Вниз,4/3А

4 Ом

3 Ом

А

24 В

27 В

+

+

6 Ом

—

—

В

Указать на исходной схеме действительные направления токов и проверить правильность расчета по первому закону Кирхгофа

3. Метод узлового напряжения

Применяется для электрических цепей содержащих всего лишь два узла (между этими двумя узлами может быть включено произвольное количество ветвей)

Т.е этот метод расчета целесообразно применять к схеме , имеющей несколько параллельных ветвей, сходящихся в двух узловых точках, а также к, электрическим цепям, которые в результате несложных преобразований могут быть приведены к схеме с двумя узлами.

Метод расчета ЭЦ, в которой за искомое напряжение принимают напряжение между двумя узлами схемы

Алгоритм расчета

Формулы для определения узлового напряжения с учетом

направления обхода

R

Е

I

А

В

Обход

Е

R

I

А

В

Обход

Е

R

I

А

В

Обход

Е

R

I

А

В

Обход

Пример :найти распределение токов в схеме , представленной на рис., Дано : E 1 =60 В, Е 2 = 50 В, E 3 = 100 В, r 1 =5 Ом, r 2 = 25 Ом, r 3 = 50 Ом, r 4 = 10 Ом, r 5 = 25 Ом. Определить: I 1 -? I 2 -? I 3 -? I 4 -? I 5 -?

Решение Примем направления токов во всех ветвях одинаковыми — от узла В к узлу А . Напряжение U AB между точками А и В назовем узловым напряжением.

• Применим к ветви с ЭДС Е 1 второй закон Кирхгофа :

E 1 = U AB + I 1 r 1 , откуда

• Аналогичным путем получим:

• По первому закону Кирхгофа

I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 = 0 или (E 1 – U AB ) g 1 + (-E 2 – U AB ) g 2 – U AB g 3 + (E 3 – U AB ) g 4 – U AB g 5 = 0

Отсюда получаем формулу для определения узлового напряжения:

В числителе формулы узлового напряжения представлена алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей на проводимости этих ветвей.

В знаменателе формулы дана сумма проводимостей всех ветвей. Если ЭДС какой-либо ветви имеет направление, обратное тому, которое указано на рисунке , то она входит в формулу для узлового напряжения со знаком минус

(например, для второй ветви).

Проверка : I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 = 0

2 –4 –1 + 5 – 2 = 0

0=0