Как найти наименьшее выражение дробей - Avtoru.top

Как найти наибольшую и наименьшую дробь

Не только простые числа можно сравнивать, но и дроби тоже. Ведь дробь — это такое же число как, к примеру, и натуральные числа. Нужно знать только правила, по которым сравнивают дроби.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.

Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то такие дроби сравнить просто.

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше у которой больше числитель.

Знаменатели у обоих дробей одинаковые равны 26, поэтому сравниваем числители. Число 13 больше 7. Получаем:

Если мы до решаем эти дроби, то получим числа (frac<20> <4>= 5) и (frac<20> <10>= 2). Получаем, что 5 > 2

В этом и заключается правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.

Рассмотрим еще пример.

Сравните дроби с одинаковым числителем (frac<1><17>) и (frac<1><15>) .

Так как числители одинаковые, больше та дробь, где знаменатель меньше.

Пример №2:
Сравните правильную дробь с единицей?

Решение:
Любая правильная дробь всегда меньше 1.

Задача №1:
Сын с отцом играли в футбол. Сын из 10 подходов в ворота попал 5 раз. А папа из 5 подходов попал в ворота 3 раза. Чей результат лучше?

Решение:
Сын попал из 10 возможных подходов 5 раз. Запишем в виде дроби (frac<5> <10>).
Папа попал из 5 возможных подходов 3 раз. Запишем в виде дроби (frac<3> <5>).

Сравним дроби. У нас разные числители и знаменатели, приведем к одному знаменателю. Общий знаменатель будет равен 10.

Если у двух (или нескольких) дробей числитель одинаковый (то, что сверху черточки), то наименьшей дробью будет та, у которой знаменатель (то, что ниже черточки) наибольший, а наибольшей та, у которой знаменатель (то, что ниже черточки) наименьший.

В б наоборот — числители одинаковые, зато разные знаменатели. Представь себе пирог. Его разделили на столько частей, сколько написано внизу дроби. Из них взяли 31 часть. Чем на большее число частей поделили пирог, тем меньше часть (следовательно, находим где в знаменателе самое большое число — 53). Следовательно, пирог поделили на 53 части (маленькие) и из них взяли 31.

Ответы: 22/23 (самая большая в а)
31/53 (самая маленькая в б)

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали авторы-волонтеры.

Количество источников, использованных в этой статье: 5. Вы найдете их список внизу страницы.

Сравнивают дроби обычно для того, чтобы узнать, какая больше, а какая меньше. Чтобы сравнить дроби, вам нужно привести их к одному знаменателю, тогда дробь с большим числителем большая, а с меньшим — меньшая. Самое сложное — это уяснить, как делать так, чтобы дроби имели одинаковые знаменатели, но все не так сложно, как кажется. Мы расскажем, как все это делать. Читайте дальше!

Источник

Загрузить PDF

Составная (многоэтажная) дробь является дробью, в числителе и/или в знаменателе которой есть дробь или несколько дробей. Упростить составную дробь можно быстро или не очень — это зависит от количества дробей в числителе и в знаменателе составной дроби, а также от наличия в числителе и/или в знаменателе составной дроби переменной и ее вида.

1
Сделайте так, чтобы в числителе и в знаменателе составной дроби осталось по одной обыкновенной дроби (если необходимо). Составную дробь, числитель и знаменатель которой содержат по одной дроби, можно быстро упростить. Таким образом, если в числителе и/или в знаменателе составной дроби есть выражения с дробями или с дробями и целыми числами, упростите эти выражения до одной дроби. Чтобы упростить выражения с дробями, вычислите наименьший общий знаменатель (НОЗ).
- Например, упростим составную дробь (3/5 + 2/15)/(5/7 — 3/10). Сначала упростите выражения в числителе и в знаменателе до одной дроби.
  - У дробей в числителе НОЗ=15. Таким образом, дробь 3/5 запишется так: 3/5 * 3/3 = 9/15, а все выражение так: 9/15 + 2/15 = 11/15.
  - У дробей в знаменателе НОЗ=70. Таким образом, дроби запишутся так: 5/7 * 10/10 = 50/70 и 3/10 * 7/7 = 21/70, а все выражение так: 50/70 — 21/70 = 29/70.
  - Получилась составная дробь (11/15)/(29/70).
2
Поменяйте местами числитель и знаменатель дроби в знаменателе, чтобы получить обратную дробь. Помните, что деление первого значения на второе равносильно умножению первого значения на обратную величину второго значения. Сейчас в числителе и в знаменателе данной составной дроби есть по одной дроби, поэтому такую составную дробь можно упростить с помощью обратной дроби. Для этого запишите обратную дробь для дроби, которая находится в знаменателе составной дроби — просто поменяйте местами числитель и знаменатель.
- В полученной составной дроби (11/15)/(29/70) дробь в знаменателе 29/70. Поменяв местами числитель и знаменатель, вы получите обратную дробь 70/29.
  - Имейте в виду, что если в знаменателе составной дроби есть целое число, просто разделите на него 1, чтобы найти обратную дробь. Например, в знаменателе составной дроби (11/15)/(29) есть число 29. Это число запишите как дробь 29/1, а обратная ей дробь — 1/29.
3
Умножьте дробь, которая находится в числителе составной дроби, на обратную дробь. Так вы получите одну обыкновенную дробь. Чтобы перемножить дроби, сначала перемножьте их числители, а потом их знаменатели.
- В примере перемножьте 11/15 и 70/29, то есть 11*70=770 и 15*29= 435. Таким образом, получится дробь 770/435.
4
Упростите новую дробь. Итак, составная дробь упрощена до одной обыкновенной дроби, которую, скорее всего, можно тоже упростить. Для этого вычислите наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, а затем разделите на НОД числитель и знаменатель новой дроби.
- НОД чисел 770 и 435 равен 5. Поэтому разделите числитель и знаменатель новой дроби на 5, чтобы получить дробь 154/87. У чисел 154 и 87 нет общих делителей, поэтому окончательный ответ — это дробь 154/87.
Реклама

1
Если можно, воспользуйтесь методом умножения на обратную величину, который описан выше. С помощью этого метода практически любую составную дробь можно упростить до одной дроби. Составная дробь с переменной не является исключением, но чем сложнее выражение с переменной, тем труднее использовать метод умножения на обратную величину. Если выражение с переменной довольно простое, примените метод умножения на обратную величину; если же выражение с переменной сложное или есть несколько переменных, используйте альтернативный метод, описанный ниже.
- Например, дробь (1/х)/(х/6) можно быстро упростить с помощью умножения на обратную величину: (1/х)*(6/х)=6/х². В этом случае альтернативный метод использовать не придется.
- Но дробь (((1)/(x+3)) + x — 10)/(x +4 +((1)/(x — 5))) сложно упростить с помощью умножения на обратную величину. То есть трудно упростить выражения в числителе и знаменателе до дробей, а затем умножить их на обратную дробь и упростить полученную дробь. Поэтому в этом случае воспользуйтесь методом, который описан далее.
2
Сначала найдите наименьший общий знаменатель всех дробей, которые находятся в числителе и знаменателе составной дроби. Если одна или несколько дробей включают переменную, просто перемножьте их знаменатели, чтобы вычислить наименьший общий знаменатель (НОЗ).
- Например, упростим составную дробь (((1)/(x+3)) + x — 10)/(x +4 +((1)/(x — 5))). В данной составной дроби присутствуют две дроби: (1)/(х +3) и (1)/(х-5). Наименьшим общим знаменателем этих дробей будет произведение их знаменателей: (х +3)(х-5).
3
Умножьте составную дробь на вычисленный НОЗ. То есть каждый член числителя и знаменателя составной дроби умножьте на НОЗ. Таким образом, составную дробь нужно умножить на дробь (НОЗ)/(НОЗ) — в этом случае значение исходной дроби не поменяется, потому что (НОЗ)/(НОЗ) = 1.
- В примере умножьте составную дробь (((1)/(х +3)) + х — 10)/(х +4 + ((1)/(х — 5))) на дробь ((х +3)(х-5))/((х +3)(х-5)).
  - Сначала умножьте числитель: (((1)/(x+3)) + x — 10) × (x+3)(x-5)
    - = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) — 10((x+3)(x-5))
    - = (x-5) + (x(x² — 2x — 15)) — (10(x² — 2x — 15))
    - = (x-5) + (x³ — 2x² — 15x) — (10x² — 20x — 150)
    - = (x-5) + x³ — 12x² + 5x + 150
    - = x³ — 12x² + 6x + 145
4
Теперь умножьте знаменатель составной дроби на вычисленный НОЗ. Умножьте каждый член знаменателя на НОЗ (как делали это с числителем).
- Знаменателем составной дроби (((1)/(x+3)) + x — 10)/(x +4 +((1)/(x — 5))) является x +4 +((1)/(x-5)). Умножьте эту дробь на НОЗ = (x+3)(x-5).
  - (x +4 +((1)/(x — 5))) × (x+3)(x-5)
  - = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).
  - = x(x² — 2x — 15) + 4(x² — 2x — 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
  - = x³ — 2x² — 15x + 4x² — 8x — 60 + (x+3)
  - = x³ + 2x² — 23x — 60 + (x+3)
  - = x³ + 2x² — 22x — 57
5
Запишите полученную дробь. Когда вы умножите данную составную дробь на дробь (НОЗ)/(НОЗ) и приведете подобные члены, получится обыкновенная дробь. Обратите внимание, что если исходную составную дробь умножить на НОЗ, можно избавиться от дробей в числителе и знаменателе, то есть в числителе и знаменателе полученной дроби будут только целые числа и переменные (без каких-либо дробей).
- Итак, вы получили два выражения, которые нужно записать в знаменатель и в числитель новой дроби, которая будет равна исходной составной дроби, но не будет содержать дробные члены. Выражение x³ — 12x² + 6x + 145 запишите в числитель, а выражение x³ + 2x² — 22x — 57 в знаменатель. То есть новая дробь запишется так: (x³ — 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² — 22x — 57)
Реклама

Советы

Записывайте все вычисления. Если не записывать каждый этап вычислений, а делать все в уме, можно запутаться.
В учебнике или в интернете найдите примеры составных дробей и упростите их.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 57 228 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Содержание

Как найти наибольшую и наименьшую дробь
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.
как определить наибольшую и наименьшую дробь?
Чему равно наибольшее значение дроби (см.)?
Решение уравнений с дробями
Понятие дроби
Основные свойства дробей
Понятие уравнения
Понятие дробного уравнения
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
2. Метод избавления от дробей
Что еще важно учитывать при решении
Универсальный алгоритм решения
Примеры решения дробных уравнений

Как найти наибольшую и наименьшую дробь

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.

Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то такие дроби сравнить просто.

Знаменатели у обоих дробей одинаковые равны 26, поэтому сравниваем числители. Число 13 больше 7. Получаем:

Если мы до решаем эти дроби, то получим числа (frac = 5) и (frac = 2). Получаем, что 5 > 2

В этом и заключается правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.

Рассмотрим еще пример.

Сравните дроби с одинаковым числителем (frac ) и (frac ) .

Так как числители одинаковые, больше та дробь, где знаменатель меньше.

Пример №2:
Сравните правильную дробь с единицей?

Решение:
Любая правильная дробь всегда меньше 1.

Решение:
Сын попал из 10 возможных подходов 5 раз. Запишем в виде дроби (frac ).
Папа попал из 5 возможных подходов 3 раз. Запишем в виде дроби (frac ).

В б наоборот – числители одинаковые, зато разные знаменатели. Представь себе пирог. Его разделили на столько частей, сколько написано внизу дроби. Из них взяли 31 часть. Чем на большее число частей поделили пирог, тем меньше часть (следовательно, находим где в знаменателе самое большое число – 53). Следовательно, пирог поделили на 53 части (маленькие) и из них взяли 31.

Ответы: 22/23 (самая большая в а)
31/53 (самая маленькая в б)

Количество источников, использованных в этой статье: 5. Вы найдете их список внизу страницы.

Источник

как определить наибольшую и наименьшую дробь?

Если у двух (или нескольких) дробей знаменатель одинаковый (то, что ниже черточки), то
наименьшей дробью будет та, у которой числитель (то, что сверху черточки) наименьший, а наибольшей та, у которой числитель (то, что сверху черточки) наибольший.

В а ты тупик) У них знаменатели (то, что внизу) одинаковые, а числители (то, что наверху) разные. Значит, чем больше числитель, тем больше дробь. Тут самая большая — предпоследняя (22/23). Представь пирог. Его поделили на 23 части. И взяли столько, сколько написано вверху

Ответы: 22/23 (самая большая в а)
31/53 (самая маленькая в б)

В остальных случаях только приводить к общему знаменателю 🙂

Источник

Чему равно наибольшее значение дроби (см.)?

В знаменателе ( 2 * x + y ) ^ 2 + 9 — отрицательным быть не может по определению (квадрат числа плюс положительное число). Наибольшее значение дробь принимает при наименьшем знаменателе, а он (наименьший знаменатель) равен 9 при x = y = 0 или 2 * x = — y, итого, наибольшее значение 18 / 9 = 2

Дробь — это какая-то часть от целого. Дроби делятся на обыкновенные и десятичные. Обыкновенные дроби состоят из двух чисел: числителя и знаменателя, разделённых дробной чертой, причём нет никаких ограничений на их (числителя и знаменателя) величину. например: 23/598, 69/23 и т.п. В принципе, десятичные дроби ничем не отличаются от обычных, только знаменатель у них кратен 10, например 3/10, 248/1000, 23/100000, и т.п. Но, поскольку у нас принята десятичная система счисления, и при записи чисел один разряд отличается от другого в 10 раз, то для десятичных дробей возможна более удобная система записи, «в строчку», достаточно отделить дробную часть от целой специальным знаком (запятой, а иногда, во многих языках программирования, — точкой).

Таким образом число, равное (23 + 67/1000) («23 целых и 67 тысячных) удобно записать в виде 23,067.

Бывают правильные дроби, например 5/10=1/2, это когда чилситель меньше знаменателя.

Есть неправильные дроби, например 10/5 ; 5/5 это когда числитель равень или больше знаменателя.

Есть обыкновенные дроби, это 1/2 или 2/10

Есть десятинчные дроби, этьо 0.5 или 0.2

Обыкновенная (простая) дробь — это число, записанное в виде m/n, где горизонтальная (-), или наклонная (/) черта обозначает деление. При этом m называют числителем, а n — знаменателем.

Обыкновенная дробь называется правильной, если m n

Есть несколько способов написать дробь в программе Ворд.

Ввод осуществляется только с клавиатуры. Знак дроби заменяется «/».

Переходим во вкладку Вставка. Выбираем команду Уравнение.

В открывшейся вкладке Конструктор находим кнопку дробь. Кликаем на понравившийся макет.

На месте пустых квадратов необходимо ввести числа числителя и знаменателя. Итог.

В старых версиях программы нет команды Уравнение (Формула). Ввод формул происходит через microsoft equation.

Активация microsoft equation. Во вкладке Вставка перейти в меню Текст. Нажать Объект. В открывшемся окне найти microsoft equation из списка и нажать ОК.

Источник

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

обыкновенный вид — ½ или a/b,
десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а; если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Линейное уравнение выглядит так

ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.

Квадратное уравнение выглядит так:

ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

Область допустимых значений: х ≠ −2.
Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Источник

Как найти наибольшую и наименьшую дробь

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Как найти наибольшую и наименьшую дробь

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.

как определить наибольшую и наименьшую дробь?

Чему равно наибольшее значение дроби (см.)?

Решение уравнений с дробями

Понятие дроби

Основные свойства дробей

Понятие уравнения

Понятие дробного уравнения

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

2. Метод избавления от дробей

Что еще важно учитывать при решении

Универсальный алгоритм решения

Примеры решения дробных уравнений

Не пропустите также: