Как найти наименьшее целое положительное решение неравенства - Avtoru.top

Наименьшее решение неравенства

Задания, в которых требуется найти наименьшее решение неравенства, а также наименьшее целое или наименьшее натуральное решение неравенства, в курсе алгебры впервые встречаются при изучении темы «Линейные неравенства». Рассмотрим на примерах решение такого рода задач.

1) Найти наименьшее решение неравенства

$[frac{{4x + 1}}{6} - frac{{x - 9}}{4} ge 1]$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, равный 12:

$[frac{{4x + {1^{backslash 2}}}}{6} - frac{{x - {9^{backslash 3}}}}{4} ge {1^{backslash 12}}___left| {cdot12 > 0} right.]$

При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Раскрываем скобки:

Упрощаем:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом:

$[5x ge - 17___left| {:5 > 0} right.]$

При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

$[x ge frac{{ - 17}}{5}]$

Наименьшее значение неравенства равно -3,4 (неравенство нестрогое, поэтому -3,4 входит в множество решений). Для большей наглядности решение неравенства можно изобразить на числовой прямой:

Ответ: -3,4.

2) Назвать наименьшее решение неравенства:

$[{(3x + 2)^2} - (9x - 1)(x + 1) > 17]$

Первые скобки раскроем по формуле квадрата суммы. Перед произведением двух скобок стоит знак «минус», поэтому, чтобы не допустить ошибки в знаках, лучше сначала выполнить умножение, а уже потом раскрыть скобки, изменив знак каждого слагаемого на противоположный:

$[9{x^2} + 12x + 4 - (9{x^2} + 9x - x - 1) > 17]$

$[9{x^2} + 12x + 4 - 9{x^2} - 9x + x + 1 > 17]$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом

$[4x > 12___left| {:4 > 0} right.]$

При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Решением данного неравенства является любое число, большее 3:

Но наименьшего решения неравенство не имеет — 3 не входит в решение, так как неравенство строгое, а любое другое число, большее 3, наименьшим решением не является.

Ответ: неравенство наименьшего решения не имеет.

3) Найти наименьшее целое решение неравенства:

$[frac{{x - 2}}{5} - frac{2}{3} ge frac{{3x + 2}}{6} - x]$

Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 30:

$[frac{{x - {2^{backslash 6}}}}{5} - frac{{{2^{backslash 10}}}}{3} ge frac{{3x + {2^{backslash 5}}}}{6} - {x^{backslash 30}}___left| { cdot 30 > 0} right.]$

Раскрываем скобки и упрощаем:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

$[21x ge 42___left| {:21 > 0} right.]$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 21 — положительное число, знак неравенства не изменяется:

Наименьшим целым решением данного неравенства является x=2 (так как неравенство нестрогое, 2 входит в множество решений).

Ответ: 2.

4) Найти наименьшее натуральное решение неравенства:

Упрощаем:

$[2{x^2} - 8x - (2{x^2} - 20x + 5x - 50) < 10x + 68]$

$[2{x^2} - 8x - 2{x^2} + 20x - 5x + 50 < 10x + 68]$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом:

$[ - 3x < 18___left| {:( - 3) < 0} right.]$

При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

$[x > frac{{18}}{{ - 3}}]$

Наименьшим натуральным решением этого неравенства является x=1.

Ответ: 1.

Источник

При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового неравенства, знать, что такое решение неравенства, что значит решить неравенство, помнить свойства неравенств. То же относится и к системам числовых неравенств. Все эти сведения вы можете найти в любом пособии для поступающих в вузы.
 Напомним свойства числовых неравенств.
 1. Если а > b , то b < а; наоборот, если а < b, то b > а.
 2. Если а > b и b > c, то а > c. Точно так же, если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c). Если же а < b, то а + c < b+ c (и а – c b и c > d, то а + c > b + d; точно так же, если а < b и c < d, то а + c < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.

Замечание.

Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 3 > 2, то получим верное неравенство 8 > 7. Если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 7 > 2, то полученное неравенство будет неверным.
 5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d; если а d, то а – c b и m – положительное число, то m а > m b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ( знак неравенства остаётся тем же ).
 Если же а > b и n – отрицательное число, то n а < n b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно переменить на противоположный.
 7. Если а > b и c > d , где а, b, c, d > 0, то а c > b d и если а 0, то аc < bd, т.е. неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
Следствие. Если а > b, где а, b > 0, то а² > b², и если а < b, то а² < b², т.е. на множестве положительных чисел обе части неравенства можно возводить в квадрат.

8. Если а > b, где а, b > 0, то и если а < b , то .

Виды неравенств и способы их решения

1. Линейные неравенства и системы неравенств

Пример 1. Решить неравенство .
 Решение:
 .
 Ответ: х < – 2.

Пример 2. Решить систему неравенств
    Решение:
         .
    Ответ: (– 2; 0].

Пример 3. Найти наименьшее целое решение системы неравенств

    Решение:

    Ответ:

2. Квадратные неравенства

Пример 4. Решить неравенство х² > 4.
    Решение:
        х² > 4   (х – 2)∙(х + 2) > 0.
        Решаем методом интервалов.

Ответ:

3. Неравенства высших степеней

Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х² – 2х + 1) > 0.
    Решение:

    Ответ: .

Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х² – 24х + 24 < 4у², где .
 Решение:
 Область определения неравенства: .
 С учётом области определения 4х² – 24х + 24 < 4у² будет равносильно неравенству

Решаем методом интервалов.

        Решение неравенства: .
        Середина отрезка: .
    Ответ: .

4. Рациональные неравенства

Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству .
    Решение:

Методом интервалов:

        Решение неравенства: .
        Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1.
    Ответ: – 6; – 5; – 4; 1.

5. Иррациональные неравенства

Помните! Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.

Пример 8. Решить неравенство .
    Решение:
        Область определения: .
        Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то .
    Ответ: .

Пример 9. Найти все целые решения неравенства .

Решение:

Область определения .

– быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства , при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе .

Целыми числами из этого отрезка будут 2; 3; 4.

Ответ: 2; 3; 4.

Пример 10. Решить неравенство .

Решение:

Область определения:

Преобразуем неравенство: . С учётом области определения видим, что обе части неравенства — положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное исходному.

т.е. , и этот числовой отрезок включён в область определения.

Ответ: .

Пример 11. Решить неравенство .

Решение:

Раскрываем знак модуля.

Объединим решения систем 1) и 2): .

Ответ: .

6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Пример 12. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Пример 13. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Пример 14. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Пример 15. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

Целые неравенства и системы неравенств

1) Решите неравенство 2х – 5 ≤ 3 + х.

2) Решите неравенство – 5х > 0,25.

3) Решите неравенство .

4) Решите неравенство 2 – 5х ≥ – 3х.

5) Решите неравенство х + 2 < 5x – 2(x – 3).

6) Решите неравенство
.

7) Решите неравенство (х – 3) (х + 2) > 0.

Решить систему неравенств

9) Найдите целочисленные решения системы неравенств .

10) Решить систему неравенств .

11) Решить систему неравенств

12) Найти наименьшее целое решение неравенства

13) Решите неравенство .

14) Решите неравенство .

15) Решите неравенство .

16) Решите неравенство .

17) Найдите решение неравенства , принадлежащие промежутку .

18) Решить систему неравенств

19) Найти все целые решения системы

Рациональные неравенства и системы неравенств

20) Решите неравенство .

21) Решите неравенство .

22) Определите число целых решений неравенства .

23) Определите число целых решений неравенства .

24) Решите неравенство .

25) Решите неравенство 2^x<16 .

26) Решите неравенство .

27) Решите неравенство .

28) Решите неравенство .

29) Найдите сумму целых решений неравенства на отрезке [– 7, 7].

30) Решите неравенство .

31) Решите неравенство .

Иррациональные неравенства

32) Решите неравенство .

33) Решите неравенство

34) Решите неравенство .

Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

35) Решите неравенство .

36) Решите неравенство .

37) Решите неравенство .

38) Решите неравенство .

39) Решите неравенство .

40) Решите неравенство 49∙7^х < 7^{3х + 3}.

41) Найдите все целые решения неравенства .

42) Решите неравенство .

43) Решите неравенство .

44) Решите неравенство 7^x+1-7^x<42 .

45) Решите неравенство log₃(2x²+x-1)>log₃2 .

46) Решите неравенство log_0,5(2x+3)>0 .

47) Решите неравенство .

48) Решите неравенство .

49) Решите неравенство .

50) Решите неравенство log_x+112>log_x+12 .

51) Решите неравенство log_x9<2.

52) Решите неравенство .

Повышенный уровень

53) Решите неравенство |x-3|>2x.

54) Решите неравенство 2│х + 1| > х + 4.

55) Найдите наибольшее целое решение неравенства .

56) Решить систему неравенств

57) Решить систему неравенств .

58) Решите неравенство .

59) Решите неравенство 25•2^x-10^x+5^x>25 .

60) Решите неравенство .

Ответы

1) х ≤ 8; 2) х < – 0,05; 3) х ≥ 5; 4) х ≤ 1; 5) х > –2; 6) х < 11; 7) ; (-2;0]; 9) – 1; 10) х ≥ 7,5; 11); 12) 1; 13); 14) х ≤ – 0,9; 15) х < – 1; 16) х < 24; 17); 18) ; 19) 3, 4, 5;

20) (0; 2); 21) (0; 1,5); 22) 3; 23) 6; 24) (–1; 1,5); 25) х < 4; 26); 27) (– 3; 17); 28)

; 29) – 10; 30) (0; + ∞); 31); 32) [1;17); 33) x > 17; 34) х ≥ 2; 35); 36) х < 2; 37) х > 0; 38) х ≤ 3; 39) х > – 3,5; 40) х > – 0,5; 41) 0, 1, 2, 3, 4, 5; 42) х < 3; 43) ; 44) х < 1; 45) ; 46) (– 1,5; – 1); 47) х < 0; 48); 49) ; 50) х > 0; 51) ; 52) ; 53) х < 1; 54); 55) – 1; 56) ; 57) [3,5; 10]; 58) (0, 1); 59) (0; 2); 60)

Источник

План урока:

Целые неравенства

Неравенства первой степени

Неравенства второй степени

Метод интервалов

Неравенства высоких степеней

Дробно-рациональные неравенства

Целые неравенства

Неравенства по своей сути очень похожи на уравнения. Аналогично понятию целого уравнения существует понятие целого неравенства. Так называют то нер-во, в котором используются сложение и умножение, вычитание и деление, возведение в степень, но в котором нет деления на выражения с переменной. Другими словами, ни в одном знаменателе в целом нер-ве не должно быть переменных величин.

Приведем примеры целых нер-в:

14х⁴ + 13х²⩽ 91х³ + 2

у³ – 7 > 1/5

(z + 1)/8 <z¹⁵ + 4z⁹

Если бы переменная могла быть в знаменателе, то знаменатель мог бы обращаться в ноль при некоторых ее значениях, что недопустимо в математике.Но так как в целых нер-вах переменная не находиться в знаменателе, то она может принимать любое значение.

Любое целое нер-во можно преобразовать так, чтобы в одной его части (обычно правой) стоял ноль, а в другой части – некоторый многочлен Р(х).

Пример. Преобразуйте нер-во

(х³ + 7)(2х – 3) >4х(х² – 5х + 9)

к виду Р(х) > 0, где Р(х) – это многочлен.

Решение. Раскроем скобки в каждой части нер-ва:

(х³ + 7)(2х – 3) >4х(х² – 5х + 9)

2х⁴ – 3х³ + 14х – 21 > 4x³– 20х² + 36х

Перенесем слагаемые влево и приведем подобные слагаемые:

2х⁴ – 3х³ + 14х – 21 – 4x³+ 20х² – 36х > 0

2х⁴ – 7х³ + 20х² – 22х – 21 > 0

Ответ:2х⁴ – 7х³ + 20х² – 22х – 21 > 0

Как и в случае с уравнениями, у нер-в есть степени. Она равна степени многочлена, стоящего в одной из его частей. Так, степень неравенства в рассмотренном только что примере равна 4, ведь степень полинома 2х⁴ – 7х³ + 20х² – 22х – 21 равна 4.

Неравенства первой степени

В общем виде неравенства первой степени выглядит так:

ах + b> 0

где а и b– некоторые числа, а х – переменная.

Естественно, вместо знака «>»могут стоять знаки «<», «⩾» и«⩽». Приведем примеры нер-в первой степени:

5х – 12 > 0

– 4,52у + 63 ⩾ 0

34z+ 9 < 0

Для решения такого нер-ва свободный член (коэффициент b) переносят в другую часть нер-ва, а потом делят нер-во на коэффициент а. Здесь важно помнить, что при делении нер-ва на отрицательное число оно меняет знак!

Пример. Решите нер-во

5х – 15 > 0

Решение:

5х – 15 > 0

5х > 15

х > 15/5

х > 3

Напомним, что решения нер-в традиционно записывают в виде числовых промежутков. Запись х > 3 аналогична записи х∈(3; + ∞). На числовой прямой этот промежуток выглядит так (отмечен штриховкой):

1gfdg

Для наглядности построим график функции у = 5х – 15 и отметим промежуток, на котором она больше нуля:

2hgfh

Заметим, что неравенство строгое, а потому само число 3 в его решение не входит. Из-за этого в записи (3; + ∞) первая скобка – круглая.

Ответ:(3; + ∞)

Пример. Решите нер-во

– 3х – 9 ⩾0

Решение:

– 3х – 9 ⩾0

– 3х ⩾9

х ⩽ 9/(– 3) (обратите внимание, из-за деления на отрицательное число изменился знак нер-ва!)

х ⩽ – 3

х∈(– ∞; – 3]

3trert

Также построим график у = – 3х – 9 и убедимся, что мы не ошиблись:

4fdsdf

Неравенство нестрогое, и число – 3 входит в ответ, поэтому поле него в промежутке стоит квадратная скобка.

Ответ:(– ∞; – 3]

Неравенства второй степени

Неравенства второй степени в общем виде записываются так:

ах² + bx + c> 0

Примерами таких нер-в являются

5х² – 3х + 19 > 0

– 12у² + 1,23у + 64 ⩾ 0

462z² + 3z– 54 < 0

В левой части такого нер-ва стоит квадратичная функция. Вспомним два важных момента:

Ветви параболы у = ах² + bx + c смотрят вверх, если коэффициент а > 0, и смотрят вниз, если а < 0.
Чтобы найти нули функции у = ах² + bx + c, надо решить квадратное ур-ние ах² + bx + c = 0. Если его дискриминант (D) больше нуля, то есть два нуля. Если D = 0, то есть только один ноль. Если D< 0, то парабола не пересекает ось Ох.

В соответствии с этим возможно 6 случаев расположения графика квадратичной функции на координатной плоскости, в зависимости от значений старшего коэффициента a и дискриминанта D:

5gfdfg

При решении нер-в 2-ой степени обязательно возникает один из этих случаев. Поэтому для решения нер-ва

ах² + bx + c> 0

надо решить ур-ние ах² + bx + c = 0 и проанализировать положение графика квадратичной функции относительно оси Ох.

Пример. Найдите промежуток, на котором справедливо нер-во

2х² – 5х + 2 < 0

Решение. Найдем корни ур-ния 2х² – 5х + 2 = 0.

D = b²– 4ас = (– 5)² – 4•2•2 = 25 – 16 = 9

х₁ = (5 – 3)/4 = 0,5

х₂ = (5 + 3)/4 = 2

Коэффициент а параболы положителен, поэтому ее ветви смотрят вверх. Сам график будет выглядеть так:

6gfdgf

Однако нам достаточно и схематичного изображения параболы и ее нулей на координатной прямой:

7hgfgh

Нули функции разбивают прямую на три промежутка. На каждом из них знак квадратичной функции неизменен. Отметим эти знаки:

8ghfgh

В нер-ве стоит знак «<». Значит, нам нужен промежуток от 0,5 до 2, на котором ф-ция отрицательна (парабола ниже оси Ох). Нер-во строгое, а потому сами числа 0,5 и 2 не входят в промежуток. Такие «выколотые точки» обозначают белыми кружочками:

9hgfh

Ответ: (0,5; 2)

Пример. Решите нер-во

– 2х² + 9х – 9 ≤ 0

Решение. Сначала находим нули параболы, решая ур-ние

– 2х² + 9х – 9 = 0

D = b²– 4ас = 9² – 4•(– 2)•(– 9) = 81 – 72 = 9

х₁ = (– 9 – 3)/ (– 4) = 3

х₂ = (– 9 + 3)/ (– 4) = 1,5

Коэффициент а параболы отрицательный, поэтому ее ветви смотрят вниз. Отметим на координатной прямой нули ф-ции и схематично график параболы, а также промежуток, на котором она неположительна:

Так как нер-во нестрогое, то сами нули ф-ции входят в ответ, а потому скобки рядом с нулями – квадратные. В итоге х∊(– ∞; 1,5]∪[3; + ∞).

Ответ: х∊(– ∞; 1,5]∪[3; + ∞).

Пример Решите нер-во

х² – 2х + 1 > 0

Решение. Решим квадратное ур-ние

х² – 2х + 1 = 0

D = b²– 4ас = (– 2)² – 4•1•1 = 4 – 4 = 0

Дискриминант равен нулю, поэтому у ур-ния лишь 1 корень.

х₁ = – b/2a = – (– 2)/2 = 1

Парабола будет касаться прямой Ох в единственной точке, при этом ветви параболы должны смотреть вверх:

Получается, что ф-ция положительна на всей координатной прямой, кроме точки х = 1, где она обращается в ноль. Соответственно, в ответе надо указать объединение промежутков: х∊(– ∞; 1)∪(1; + ∞).

Ответ: (– ∞; 1)∪(1; + ∞).

Пример. Найдите решение нер-ва

– 5х² + х – 100 < 0

Решение. Попытаемся найти корни ур-ния

– 5х² + х – 100 = 0

D = b²– 4ас = 1² – 4•(– 5)•(– 100) = 1 – 2000 = – 2001

Дискриминант меньше нуля, поэтому корней не будет. Вся парабола будет находиться ниже оси Ох, так как ее ветви должны смотреть вниз из-за отрицательного коэффициента а = – 5.

Видно, что при любых значениях х левая часть нер-ва меньше нуля, то есть нер-во справедливо при х∊(– ∞; + ∞).

Ответ: (– ∞; + ∞).

Метод интервалов

Ясно, что знак произведения зависит от знаков множителей. Так, если мы перемножаем три отрицательных числа и два положительных, то мы получим отрицательное произведение:

(– 1)•(– 2)•(– 3)•4•5 = – 120

Если же отрицательных множителей два или четыре, то итоговое произведение получится положительным:

(– 1)•(– 2)•3•4•5 = 120

(– 1)•(– 2)•(– 3)•(–4)•5 = 120

Вообще можно заметить, что если в произведении находится нечетное количество множителей (1, 3, 5, 7…), то и всё произведение отрицательно. Если же количество отрицательных множителей четно (0, 2, 4, 6, 8…), то произведение положительно. Дело в том, что при умножении отрицательных чисел действует правило «минус на минус дает плюс», то есть два минуса как бы «самоуничтожаются». Поэтому при перемножении четного количества отрицательных чисел все минусы попарно сократятся. Из этого правила есть одно исключение – если хотя бы один множитель равен нулю, то и всё произведение равно нулю, независимо от количества отрицательных сомножителей.

13gffdg

Пример. Справедливо ли нер-во

(– 12)•453•62,36•725•(– 975)•(– 812,99) < 0

Решение. Для ответа на вопрос нет смысла вычислять значение выражения слева. Оно представляет собой произведение, в котором 3 отрицательных множителя. 3 – это нечетное число, а потому и всё произведение отрицательно. Значит, нер-во справедливо.

Ответ: справедливо.

Далее рассмотрим нер-во, где слева стоит произведение скобок. В каждой из скобок записано выражение вида (х – а), например:

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) < 0

Произведение слева отрицательно, если отрицательна либо одна, либо три скобки. Определим, какие знаки принимают выражения в скобках при разных значениях х. В первой скобке записано выражение х – 1, поэтому рассмотрим нер-во

х – 1 > 0

Перенеся единицу вправо, получим, что

х > 1

Графически это можно показать так:

14gfdgf

Аналогично, рассматривая нер-ва

х – 2 > 0

x – 3 > 0

х – 4 > 0

можно показать, какие значения принимает каждая из скобок при различных х:

15gfdg

Видно, что скобки (х – 1), (х – 2), (х – 3) и (х – 4) изменяют знаки с «–» на «+» при «перескоке» через точки 1, 2, 3 и 4. Отметим их все вместе на одной прямой и укажем знаки скобок на каждом из образовавшихся промежутков:

16hgfgh

Получили 5 промежутков. Если выражение выделено красным, то оно отрицательно на промежутке, а если синим – то положительно. Напомним, что произведение отрицательно, если в его состав входит нечетное количество (1, 3, 5…) отрицательных множителей. На рисунке видно, что на промежутке (1; 2) отрицательны 3 множителя, а на промежутке (3; 4) – один множитель. Следовательно, именно на них всё произведение

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4)

оказывается отрицательным. Соответственно на других промежутках произведение положительно. Это можно отметить так:

17hgfgh

Штриховкой отмечены промежутки, где произведение отрицательно. Получается, что решением нер-ва является объединение промежутков (1; 2)∪(3; 4). Сами точки 1, 2, 3 и 4 исключены из решения, так как нер-во строгое. Если бы нер-во было нестрогим, то на рисунке точки были бы закрашены, а скобки в промежутке были бы квадратными.

Убедимся в верности этого решения, выбрав произвольное число из каждого промежутка и подставив его в произведение.

Из промежутка (– ∞; 1) возьмем значение х = 0:

(0 – 1)(0 – 2)(0 – 3)(0 – 4) = (– 1)•(– 2)(– 3)•(– 4) = 24 > 0

Из следующего промежутка возьмем х = 1,5:

(1,5 – 1)(1,5 – 2)(1,5 – 3)(1,5 – 4) = 0,5•(– 0,5)•(– 1,5)•(– 2,5) < 0

Примечание. Здесь мы не стали вычислять точное значение произведения, а просто посчитали, что в нем 3 отрицательных множителя. Следовательно, всё произведение отрицательно, то есть меньше нуля.

Из интервала (2; 3) возьмем число 2,5:

(2,5 – 1)(2,5 – 2)(2,5 – 3)(2,5 – 4) = 1,5•0,5•(– 0,5)•(– 1,5) > 0

Из промежутка (3; 4) выберем х = 3,5:

(3,5 – 1)(3,5 – 2)(3,5 – 3)(3,5 – 4) = 3,5•1,5•0,5•(– 0,5) < 0

Наконец, из последнего интервала (4; + ∞) возьмем число 5:

(5 – 1)(5 – 2)(5 – 3)(5 – 4) = 4•3•2•1 > 0

Для решения нер-ва мы просто нашли, при каких значениях выражение слева принимает нулевые значения, а потом расставили знаки в полученных интервалах. Данный способ называется методом интервалов.

Пример. Решите неравенство методом интервалов:

(у – 5)(– 2у + 6)(у + 4) ≥0

Решение. Вынесем из второй скобки множитель (– 2):

(у – 5)(– 2)(у – 3)(у + 4) ≥ 0

Поделим нер-во на число (– 2). Напомним, что при делении нер-ва на отрицательную величину его знак меняется на противоположный:

(у – 5)(у – 3)(у + 4) ≤ 0

Используем метод интервалов. Отметим на координатной прямой точки, при которых каждая скобка обращается в ноль (это 5, 3 и (– 4)), и расставим знаки над получившимися промежутками:

18hgfh

Определить эти знаки можно, просто выбрав произвольное число из промежутка и подставив его в левую часть. Так, выберем из промежутка (– ∞; – 4) число (– 5) и получим:

(– 5 – 5)(– 5 – 3)(– 5 + 4) = (– 10)•(– 8)•(– 1) < 0

Из промежутка (–4; 3) выберем число 0:

(0 – 5)(0 – 3)(0 + 4) = (– 5)•(– 3)•(4) > 0

Из промежутка (3; 5) возьмем число 4:

(4 – 5)(4 – 3)(4 + 4) = (– 1)•1•8 < 0

Из множества (5; + ∞) возьмем шестерку:

(6 – 5)(6 – 3)(6 + 4) = 1•3•10 > 0

Итак, выражение слева меньше или равно нулю при у∊(– ∞; – 4]∪[3; 5].

Ответ: (– ∞; – 4]∪[3; 5].

Обратим внимание, что в рассмотренных примерах знаки на промежутках чередовались. Это значит, что достаточно было определить знак на одном промежутке, а дальше просто менять их при переходе через отмеченные точки. Есть один частный случай, когда такое чередование НЕ происходит. Такое возможно, если в двух скобках находится одинаковые выражения.

Пример. Решите нер-во

(z – 5)(3z – 15)(7 – z) ≤ 0

Решение. Вынесем из второй скобки множитель 3, а из третьей – (– 1):

(z – 5)•3•(z – 5)•(– 1)•(z – 7) ≤ 0

Делим нер-во на (– 3):

(z – 5)(z – 5)(z – 7) ≥ 0

Обратите внимание – мы получили две одинаковые скобки (z – 5). Отметим на прямой нули левого выражения (это числа 5 и 7), а также знаки промежутков:

19hgfgh

Для расстановки знаков подставим в выражение слева числа:

при z = 4 (4 – 5)(4 – 5)(4 – 7) = (– 1)•(– 1)•(– 3) < 0

при z = 6 (6 – 5)(6 – 5)(6 – 7) = 1•1•(– 1) < 0

при z = 8 (8 – 5)(6 – 5)(8 – 7) = 3•3•1> 0

Получилось, что на соседних интервалах (– ∞; 5) и (5; 7) знаки совпадают, а не чередуются. Так произошло из-за того, что при переходе через точку z = 5 знак поменяла не одна, а сразу 2 скобки (х – 5).

При записи ответа надо учесть, что в задании дано нестрогое нер-во. Поэтому в ответ надо включить как промежуток [7; + ∞), так и число 5, которое обращает в ноль произведение в левой части.

Ответ: 5∪[7; + ∞).

Неравенства высоких степеней

Напомним, что если некоторое число а – корень многочлена Р(х) (то есть оно является корнем ур-ния Р(х) = 0), то этот многочлен можно представить как произведение двучлена (х – а) и какого-то другого многочлена Р₁(х). Другими словами, зная корни многочлена, можно разложить его на множители. За счет этого можно решать нер-ва высоких степеней.

Пример. Решите нер-во

х³ – 3х² – х + 3 < 0

Решение. Найдем корни многочлена, стоящего в левой части, то есть решим ур-ние

х³ – 3х² – х + 3 = 0

Попробуем подобрать корни, начав с целых чисел. Напомним, что все целые корни должны быть делителем свободного члена, то есть в данном случае числа 3. Поэтому «кандидатами» являются числа 1, (– 1), 3 и (– 3). Подставляя их в ур-ние, находим, что оно имеет три корня: 1, (– 1) и 3:

1³ – 3•1² – 1 + 3 = 1 – 3 – 1 + 3 = 0

(– 1)³ – 3•(– 1)² – (– 1) + 3 = – 1 – 3 + 1 + 3 = 0

3³ – 3•3² – 3 + 3 = 27 – 27 – 3 + 3 = 0

Число (– 3) не подходит, ведь при его подстановке в левую часть ноль не получается:

(– 3)³ – 3•(– 3)² – (– 3) + (– 3) = – 27 +27 + 3 + 3 = 6

Напомним, что у ур-ния 3-ей степени не может быть более 3 корней, поэтому других корней у ур-ния нет.

Зная корни, мы можем разложить многочлен на множители:

х³ – 3х² – х + 3 = (х – 1)(х + 1)(х – 3).

В справедливости такого разложения можно убедиться, раскрыв скобки в правой части этого равенства. Теперь можно переписать исходное нер-во

х³ – 3х² – х + 3 < 0

(х – 1)(х + 1)(х – 3) < 0

Найдем его решение методом интервалов:

20gfdfg

Убедимся в том, что мы правильно расставили знаки, подставляя в нер-во произвольные числа из промежутков:

при х = – 2 имеем (– 2 – 1)(– 2 + 1)(– 2 – 3) = (– 3)•(– 1)•(– 5) < 0

при х = 0 получится (0 – 1)(0 + 1)(0 – 3) = (– 1)•1•(– 3) > 0

при х = 2 имеем (2 – 1)(2 + 1)(2 – 3) = 1•3•(– 1) < 0

при х = 4 получится (4 – 1)(4 + 1)(4 – 3) = 3•5•1 > 0

Получаем, что левая часть отрицательна при х∊(– ∞; – 1)∪(1; 3).

Ответ:(– ∞; – 1)∪(1; 3).

Пример. Решите нер-во

х³ + 2х – 3 > 0

Решение. Рассмотрим ур-ние

х³ + 2х – 3 = 0

Подбором можно определить лишь один его корень – единицу:

1³ + 2•1 – 3 = 0

Поделим исходный многочлен на (х – 1):

21fdsf

Подробнее в уроке 2

Получили, что х³ + 2х – 3 = (х – 1)(х² + 2х + 3)

Можно ли разложить на множители квадратный трехчлен х² + 2х + 3? Попытаемся решить ур-ние

х² + 2х + 3 = 0

D = b²– 4ас = 4² – 4•2•3 = 16 – 24 = – 8

Получили, что корней нет. Это значит, что функция у = х² + 2х + 3 не пересекает ось Ох, и, так как коэффициент а этого трехчлена положителен, то выражение х² + 2х + 3 больше нулю при любом х.

Это можно показать и иначе, если выделить полный квадрат из трехчлена:

х² + 2х + 3 = х² + 2х + 1 + 2 = (х + 1)² + 2

Перепишем исходное нер-во с учетом разложения многочлена на множители:

х³ + 2х + 3 > 0

(х – 1)(х² + 2х + 3) > 0

Так как выражение х² + 2х + 3 положительно при любом значении х, то мы можем поделить неравенство на него:

х – 1 > 0

Отсюда получаем, что х∊(1; + ∞).

Ответ: (1; + ∞).

Пример. Укажите наименьшее целое решение неравенства

4х³ + 4х² – 7х + 2 > 0

Решение. Попытаемся найти корень многочлена 4х³ + 4х² – 7х + 2. Целый корень должен быть делителем двойки (свободного члена), то есть возможны варианты 1 и (–1), 2 и (– 2). Из них подходит только – 2:

4•(– 2)³ + 4•(– 2)² – 7•(– 2) + 2 = – 32 + 16 + 14 + 2 = 0

Значит, можно поделить исходный многочлен на х + 2:

22fdsdf

Подробнее в уроке 2

Можно записать, что 4х³ + 4х² – 7х + 2 = (х + 2)(4х² – 4х + 1).

Далее разложим получившийся при делении квадратный трехчлен на множители, для чего приравняем его к нулю:

4х² – 4х + 1 = 0

D = b²– 4ас = (– 4)² – 4•4•1 = 16 – 16 = 0

Получается, что есть лишь один корень.

х = – b/(2a) = – (– 4)/(2•4) = 0,5

Если у квадратного трехчлена дискриминант равен нулю, то это значит, что он является полным квадратом какого-то выражения. Действительно:

4х² – 4х + 1 = (2х)² – 2•2х•1 + 1² = (2х – 1)²

Тогда можно записать:

4х³ + 4х² – 7х + 2 = (х + 2)(4х² – 4х + 1) = (х + 2)(2х – 1)² =

= (х + 2)(2х – 1)(2х – 1)

Перепишем с учетом этого исходное нер-во:

4х³ + 4х² – 7х + 2 > 0

(х + 2)(2х – 1)(2х – 1) > 0

Вынесем множитель 2 из двух последних скобок и поделим нер-во на них:

(х + 2)•2•(х – 0,5)•2•(х – 0,5) > 0

(х + 2)(х – 0,5)(х – 0,5) > 0

Решим его методом интервалов:

23gfdg

Снова из-за двух одинаковых скобок (х – 0,5) на соседних промежутках (– 2; 0,5) и (0,5; 2) получили один и тот же знак. Функция положительна на них, однако она равна нулю при х = 0,5, поэтому это число из решения неравенства исключается. Получаем, что х∈(– 2; 0,5)∪(0,5; + ∞).

Нам надо указать наименьшее целое решение. Самым малым целым числом из множества (– 2; 0,5)∪(0,5; + ∞) является (– 1).

Ответ: (– 1).

Дробно-рациональные неравенства

До сих пор мы рассматривали целые нер-ва. Однако, по аналогии с уравнениями, существуют ещё и дробно-рациональные нер-ва. В них выражение с переменной может стоять в знаменателе. Приведем примеры дробно-рациональных нер-в:

Любое такое нер-во можно представить в виде

25gfdfg

где Р(х) и Q(х) – некоторые многочлены. Естественно, вместо знака «>» может стоять и другой знак. Для примера преобразуем к такому виду нер-во

26gdfh

Перенесем все слагаемые влево:

27gfdg

Далее приведем левую часть к общему знаменателю:

28hgfh

Осталось раскрыть скобки:

29gfdfg

В итоге и в числителе, и в знаменателе стоят многочлены.

Рассмотрим нер-ва

а/b>0 и ab> 0

Докажем, что они равносильны друг другу. Возможны 5 случаев:

И а, и b являются положительными числами. Тогда оба нер-ва верны, ведь и произведение, и отношение двух положительных чисел само положительно:

10•5 = 50 > 0

10/5 = 2 > 0

Оба числа, а и b, отрицательны, тогда снова оба нер-ва справедливы, ведь при умножении и делении двух отрицательных чисел получается положительное число. Например:

(– 10)•(– 5) = 50 > 0

(– 10)/(– 5) = 2 > 0

Только одно из чисел положительно, а другое отрицательно, тогда их произведение, как и частное, меньше нуля, и нер-ва неверны:

(– 10)•5 = – 50< 0

(– 10):5 = – 2 < 0

Число a равно нулю. Тогда выражения ab и a/b также равны нулю, а потому рассматриваемые нер-ва неверны:

0•5 = 0

0/5 = 0

Число b равно нулю. Тогда произведение ab равно нулю, а дробь а/b не имеет смысла (из-за нуля в знаменателе). То есть нер-ва а/b> 0 и ab> 0 снова одновременно неверны.

Получили, что при любых значениях а и b нер-ва а/b> 0 и ab> 0 либо одновременно справедливы, либо одновременно несправедливы. Это значит, что они равносильны.

30gfdfg

Это значит, что от дробно-рационального нер-ва можно перейти к равносильному ему целому нер-ву.

Пример. Решите нер-во

31fdsdf

Решение:

Исходному нер-ву равносильно иное нер-во:

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4)> 0

Решим его методом интервалов:

Получаем, что х∊(1; 2)∪(3; 4).

Ответ: (1; 2)∪(3; 4).

Пример. Решите нер-во

33gfdg

Решение. В числителе и знаменателе находятся квадратные трехчлены. Их можно разложить на корни, если знать их корни. Найдем их.

х² – 9х + 14 = 0

D = b²– 4ас = (– 9)² – 4•1•14 = 84 – 56 = 25

х₁ = (9 – 5)/2 = 2

х₂ = (9 + 5)/2 = 7

Так как корни равны 2 и 7, то можно записать, что

х² – 9х + 14 = (х – 2)(х – 7)

Аналогично разложим знаменатель

х² – 14х + 45 = 0

D = b²– 4ас = (– 14)² – 4•1•45 = 196 – 180 = 16

х₁ = (14 – 4)/2 = 5

х₂ = (14 + 4)/2 = 9

х² – 14х + 45 = (х – 5)(х – 9)

Перепишем исходное нер-во:

Ему равносильно другое нер-во:

(х – 2)(х – 7)(х – 5)(х – 9) > 0

Его можно решить методом интервалов:

35gfdfg

Получаем, что х∊(– ∞; 2)∪(5; 7)∪(9; + ∞).

Ответ: х∊(– ∞; 2)∪(5; 7)∪(9; + ∞).

Обратим внимание на одну особенность метода интервала в случаях, когда решается дробно-рациональное нер-во. Она касается нестрогих нер-в (со знаками «≤» и «≥»). В целых нестрогих нер-вах сами точки, при которых выражение слева обращается в ноль, включаются в решение. Но при рассмотрении дроби важно понимать, что ее знаменатель не может быть равным нулю. Поэтому при нестрогом нер-ве в ответ надо включить точки, обращающие в ноль числитель, но при этом исключить точки, обращающие в ноль знаменатель.

Пример. Решите нер-во

36hgfh

Числитель обращается в ноль в точках (– 2) и 4, а знаменатель – в точках (– 7) и 8. Так как нер-во нестрогое, то числа 4 и (– 2) будут входить в решение (на координатной прямой мы отметим их закрашенным кружочком), а числа (– 7) и 8 – нет (их отметим как «выколотые точки»):

37hgfgh

В итоге получаем, что дробь неотрицательна при х∊(– ∞; – 7)∪[– 2; 4]∪(8; – ∞).

Ответ: (– ∞; – 7)∪[– 2; 4]∪(8; – ∞).

Источник

Преобразования неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, основано на определении модуля числа.

Модулем (абсолютной величиной) числа называют число , если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если число отрицательное:

, если и , если .

Методы решений неравенств

1. Если неравенство имеет вид

, (7.8)

то оно равносильно системе неравенств

$LaTeX formula: left{begin{matrix} f(x)leq g(x), & & \ f(x)geq -g(x). & & end{matrix}right.$ (7.8.1)

2. Если неравенство имеет вид

, (7.9)

то оно равносильно совокупности неравенств

$LaTeX formula: begin{bmatrix} f(x)geq g(x), & & \ f(x)leq -g(x). & & end{matrix}$ (7.9.1)

3. Решение неравенств вида ( , , ):

1) если неравенство имеет вид

( ), (7.10)

то оно равносильно неравенству

( ); (7.10.1)

2) если неравенство имеет вид

, (7.11)

то оно выполняется на всей области определения функции ;

3) если неравенство имеет вид

, (7.12)

то оно равносильно неравенству

. (7.12.1)

4. Если неравенство имеет вид

( , , ), (7.13)

то оно равносильно неравенству

$LaTeX formula: f^{2}(x)< g^{2}(x)$ ( , , ). (7.13.1)

5. Если неравенство содержит несколько модулей, например, имеет вид

$LaTeX formula: left | f_{1}(x) right |+left | f_{2}(x) right |leq g(x)$ , ( , , ) , (7.14)

то применяем метод интервалов, следуя алгоритму:

1) находим нули функций, стоящих под знаком модуля, решая уравнения $LaTeX formula: f_{1}(x)=0$ и $LaTeX formula: f_{2}(x)=0$ ;

2) наносим нули функций на область определения уравнения;

3) раскрываем модули на каждом промежутке;

4) решаем полученные неравенства;

5) производим отбор корней на каждом промежутке, оставляя корни, принадлежащие рассматриваемому промежутку.

Пример 1. Решите неравенство $LaTeX formula: left | frac{6x+1}{3-x} right |<6$ .

Решение. Имеем неравенство вида 7.8, которое равносильно 7.8.1, следовательно, данное неравенство равносильно системе неравенств:

$LaTeX formula: left{begin{matrix} frac{6x+1}{3-x}<6,\ frac{6x+1}{3-x}>-6; & end{matrix}right.$ $LaTeX formula: left{begin{matrix} frac{6x+1-18+6x}{3-x}<0,\ frac{6x+1+18-6x}{3-x}>0; & end{matrix}right.$ $LaTeX formula: left{begin{matrix} frac{12x-17}{3-x}<0,\ frac{19}{3-x}>0. & end{matrix}right.$

Поскольку второе неравенство системы выполняется при , то первое неравенство системы решим методом интервалов на промежутке .

Согласно рисунку 7.32 запишем решение системы неравенств, а, следовательно, и решение исходного неравенства: $LaTeX formula: xin (-infty ;frac{17}{12})$ .

Ответ: $LaTeX formula: xin (-infty ;frac{17}{12})$ .

Пример 2. Решите неравенство .

Решение. Имеем неравенство вида 7.9, которое равносильно 7.9.1, следовательно, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

$LaTeX formula: left[ begin {aligned} & 2-left | x-1 right |geq 30, \ & 2-left | x-1 right | leq -30; end {aligned} right$ $LaTeX formula: Leftrightarrow left[ begin {aligned} & left | x-1 right|leq -28, \ & left | x-1 right|geq 32. end {aligned} right$

Решим каждое неравенство совокупности:

1) поскольку левая часть неравенства всегда положительна, а правая его часть всегда отрицательна и положительное число больше отрицательного, то неравенство не имеет решений;

2) $LaTeX formula: Leftrightarrow begin{bmatrix} x-1geq 32,\ x-1leq - 32; end{matrix}right.$ $LaTeX formula: Leftrightarrow begin{bmatrix} xgeq 33,\ xleq -31; end{matrix}right.$ .

Решением совокупности неравенств является решение второго неравенства совокупности.

Ответ: .

Пример 3. Найдите сумму решений системы неравенств $LaTeX formula: left{begin{matrix} left | 10x+3 right|leq 33,\ left | 10x+3 right|geq 33. end{matrix}right.$

Решение. Способ I. Так как неравенство 7.8 равносильно 7.8.1, то

$LaTeX formula: left{begin{matrix} 10x+3leq33,\ 10x+3geq-33; end{matrix}right.$ ;

Так как неравенство вида 7.9, равносильно 7.9.1, то

$LaTeX formula: Leftrightarrow [left[begin{aligned} & 10x+3 geq 33,\& 10x+3leq -33; end{aligned}right.$ $LaTeX formula: Leftrightarrow [left[begin{aligned} & x geq 3,\& xleq -3,6; end{aligned}right.$ .

Очевидно, что решением системы неравенств являются числа –3,6 и 3, сумма которых равна –0,6.

Способ II. Заменим систему неравенств $LaTeX formula: left{begin{matrix} left | 10x+3 right|leq 33,\ left | 10x+3 right|geq 33 end{matrix}right.$ равносильным уравнением

$LaTeX formula: [left[begin{aligned} & 10x+3 = 33,\& 10x+3= -33; end{aligned}right.$ $LaTeX formula: Leftrightarrow [left[begin{aligned} & x = 3,\& x= -3,6; end{aligned}right.$

Ответ: .

Пример 4. Найдите наименьшее целое положительное решение неравенства $LaTeX formula: 8x^2+8sqrt{x^2}-3>0$ .

Решение. Поскольку $LaTeX formula: sqrt{x^2}=left | x right |$ и , то неравенство примет вид , решать которое будем методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию .

2. .

3. Найдем нули функции, решая уравнение . Получим $LaTeX formula: left | x right |=frac{-2-sqrt{10}}{4}$ , откуда или $LaTeX formula: left | x right |=frac{-2+sqrt{10}}{4}$ , откуда $LaTeX formula: x_1=frac{-2+sqrt{10}}{4}$ , $LaTeX formula: x_2=frac{2-sqrt{10}}{4}$ .

4. Нанесем полученные числа на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.33).

5. Решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция положительна: $LaTeX formula: left ( -infty ; frac{2-sqrt{10}}{4}right )cup left ( frac{-2+sqrt{10}}{4} ;+inftyright)$ .

Так как $LaTeX formula: frac{2-sqrt{10}}{4}<0$ , а $LaTeX formula: frac{-2+sqrt{10}}{4}approx 0,29$ , то число 1 является наименьшим целым положительным решением неравенства.

Ответ: 1.

Пример 5. Найдите сумму квадратов целых решений неравенства .

Решение. Так как имеем неравенство вида 7.13, которое равносильно 7.13.1, то запишем или .

Разложим левую часть неравенства на множители, применяя формулу разности квадратов:

, .

Решим неравенство методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию .

2. .

3. Найдем нули функции, решая совокупность уравнений:

1) , откуда ;

2) , откуда , , и .

4. Нанесем числа –1, 1, –3 и 3 на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.34).

5. Решением неравенства является объединение промежутков, на котором функция отрицательна: .

Найдем сумму квадратов целых решений неравенства: .

Ответ: .

Пример 6. Найдите область определения функции $LaTeX formula: y=sqrt{left | x-2 right |-left | 2x+4 right |+2}-2x^2-2x+4$ .

Решение. Так как выражение, стоящее под знаком радикала, не может быть отрицательным, то .

Имеем неравенство вида 7.14, которое решим методом интервалов.

1. Найдем нули функций, стоящих под знаком модуля, решая уравнения , откуда и , откуда .

2. Нанесем числа и на координатную прямую и рассмотрим полученные промежутки (рис. 7.35).

3. Раскроем модули на каждом промежутке и решим неравенства:

а) если , то , , ;

б) если , то , , , ;

в) если , то , , и .

4. Решением неравенства является объединение полученных промежутков: .

Ответ: .

Пример 7. Решите неравенство $LaTeX formula: frac{left | x right |^2-7left | x right |-10}{x^2-6x+9}>0$ .

Решение. Решим неравенство методом интервалов.

1. Если , то неравенство примет вид $LaTeX formula: frac{x^2+7x+10}{(x-3)^2}>0$ , $LaTeX formula: frac{(x+5)(x+2)}{(x-3)^2}>0$ . Его решение показано на рисунке 7.36: .

2. Если , то неравенство примет вид $LaTeX formula: frac{x^2-7x+10}{(x-3)^2}>0$ , $LaTeX formula: frac{(x-5)(x-2)}{(x-3)^2}>0$ . Его решение показано на рисунке 7.37: .

Решением исходного неравенства является объединение решений, полученных в первом и втором случаях.

Ответ: .

Всякое неравенство, содержащее переменную по знаком модуля, можно решить методом интервалов, но наиболее целесообразно применять этот метод в случае решения комбинированных неравенств.

Источник

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Будем решать методом интервалов.

Для этого решим уравнение

(2х-1)(1-3х) = 0

2х-1=0 ⇒ х₁ =1/2

1-3х =0 ⇒ х₂= 1/3

Наносим значения корней на числовую ось и смотрим знаки нашего неравенства на каждом интервале.

В результате получаем

х ∈ (-∞; 1/3] ∪ [1/2; +∞)

теперь с наименьшим положительным решением неравенства. целых чисел у нас бесконечное количество. здесь нам надо вспомнить, что

число 0 целое, но не является ни положительным, ни отрицательным числом.

поэтому наш ответ будет 1

ответ

наименьшее целое положительное решение неравенства 1

Приложения:

Источник

Виды неравенств и способы их решения

1. Линейные неравенства и системы неравенств

2. Квадратные неравенства

3. Неравенства высших степеней

4. Рациональные неравенства

5. Иррациональные неравенства

6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

Целые неравенства и системы неравенств

Рациональные неравенства и системы неравенств

Иррациональные неравенства

Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Повышенный уровень

Ответы

Целые неравенства

Неравенства первой степени

Неравенства второй степени

Метод интервалов

Неравенства высоких степеней

Дробно-рациональные неравенства

Не пропустите также: