Как найти наибольшую скорость возрастания скалярного поля

Элементы скалярного поля

а) Производная
скалярного поля
по направлению вектора

(рис.6).

определяется так:

– это скорость изменения скалярного
поля
в направлении вектора.

z

M₀

M
β

α

0
у

x
Рис. 6

Задача 19.
Найти скорость изменения скалярного
поля
в точкев направлении от этой точки к точке.

Решение.
Скорость изменения скалярного поля в
направлении вектора
в точкеопределяют по формуле

.

В задаче
,,

.

,

,

.

Подставим все
найденные величины в первую формулу:

.

Ответ:
В заданном направлении данное скалярное
поле убывает со скоростью
.

б) Градиент
скалярного поля
– вектор

.

Очевидно,

(рис. 7).

P₀
φ

Рис.
7

Задача 20.
Найти величину градиента скалярного
поля
в точке
.

Решение.

.

.

Ответ: .

Задача 21.
Найти наибольшую скорость возрастания
скалярного поля

в точке
.

Решение.
Воспользуемся формулой
,

.

Ответ:
.

Задача 22.
Функция
определяет скалярное поле. Доказать,
что она удовлетворяет уравнению.

Решение. Найдем
вначале градиент u
по формуле
,
или.
Из полученного равенства следует, что
декартовы координатыизвестны:

.

Так как скалярный
квадрат вектора равен квадрату его
модуля, то

.

Теперь все известные
величины можно подставить в уравнение:

,
т. е.

,
что и требовалось доказать.

Геометрические приложения частных производных

а) Уравнения
касательной в точке
к пространственной кривой

:
,
где– направляющий

вектор касательной,
– точка касания.

б) Уравнения
касательной плоскости
и нормалик поверхностив точке.

.

.

n

z

(рис.

α

P₀

0
у

x
Рис. 8

Задача 23.
Составить уравнение касательной прямой
к пространственной линии
.

Решение.
Уравнение
касательной к пространственной кривой
в общем виде таково:
.
Найдем координаты точки касания:

,
затем координаты направляющего вектора

.

Итак,
– касательная к пространственной кривой
в данной точке.

Задача 24.
Составить уравнения касательной
плоскости и нормали к поверхности
(гиперболический параболоид) в точке.

Решение.
Вначале запишем уравнение данной
поверхности в виде
,
т. е..
Тогда уравнение касательной плоскости
в общем виде запишется так:,

где
,,,

т. е. нормаль к
касательной плоскости
– точка касания, значит,,
т. е.– касательная плоскость к данной
поверхности в точке.

Уравнения
нормали к этой же поверхности в точке
в общем виде запишутся так:– направляющий вектор нормали, за него
можно принять нормаль к касательной
плоскости,
т. е..
Итак,– это канонические уравнения нормали
к данной поверхности в точке.

Задача 25.
Показать,
что конус
и сферакасаются друг друга в точке.

Решение.
Чтобы решить задачу, достаточно показать,
что в точке
данные конус и сфера имеют общую
касательную плоскость:

.

Сначала найдем
касательную плоскость к конусу в точке
:
уравнение конуса запишем в виде,
т. е. в виде,
откуда

,
,.

Значит,
– касательная плоскость к конусу в
точке.

Также найдем
касательную плоскость к сфере
в точке.

,
,.

Касательная
плоскость к сфере в точке
задается уравнением

,
что и требовалось доказать.

Задача 26. На
поверхности
найти точки, в которых касательная
плоскость параллельна координатной
плоскостиXOZ.

Решение.
Так как касательная плоскость к
поверхности параллельна плоскости
XOZ,
то она перпендикулярна оси OY
и ее нормаль
имеет координаты.
С другой стороны известно, что нормаль
касательной плоскости к поверхностиимеет координаты:

.

Чтобы найти
,
сравнимА,
В
и С
вектора
:,,,
т. е.– координаты точки касания. Осталось

найти В.
Так как точка касания принадлежит
поверхности, ее координаты должны
удовлетворять уравнению этой поверхности:

,
откуда
значит.
Значит, точек касания две:
и.

Соседние файлы в папке ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

При изучении скалярных полей наряду с функций рассматривается некоторый вектор, тесно связанный с этой функцией, — градиент скалярного поля.

Градиентом в точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, равный

.

Таким образом, каждой точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , соответствует не только значение этой функции, но и вполне определенный вектор .

Между градиентом функции в данной точке и производной по направлению в той же точке имеется связь, которая устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Проекция вектора На единичный вектор равна производной функции по направлению :

.

Доказательство. Пусть . Из векторной алгебры известно, что проекция какого-либо вектора на другой вектор равна скалярному произведению этих векторов.

Так как , , то

.

Учитывая, что производная по направлению выражает скорость изменения скалярного поля в этом направлении, можно сказать, что проекция на вектор равна скорости изменения поля в направлении вектора .

Обозначим через угол между единичным вектором и . Тогда .

Поэтому .

Если направления векторов и совпадают (), то производная по направлению имеет, очевидно, наибольшее значение, равное .

Таким образом, есть вектор, указывающий Направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий Модуль равный скорости этого возрастания.

Рассмотрим кривую , лежащую на поверхности уровня и проходящую через точку . Градиент функции в точке обладает следующими свойствами: перпендикулярен к вектору , направленному по касательной к кривой в точке .

В случае плоского скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией двух переменных , градиент определяется формулой

.

Его связь с производной по направлению выражается равенством

,

Где — угол между единичным вектором и . Вектор перпендикулярен к касательной, проведенной к линии уровня в точке .

Пример 16. Найти наибольшую скорость возрастания функции

в точке .

Решение. Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиента этой функции. Найдем градиент функции :

,

.

В точке имеем .

Тогда наибольшая скорость возрастания функции равна

.

Пример 17. Найти скорость изменения скалярного поля, определяемого функцией в точке в направлении касательной, проведенной к параболе в этой точке в сторону возрастания координаты , и наибольшую скорость изменения поля в этой точке.

Решение. Скорость изменения скалярного поля в заданном направлении есть производная скалярного поля по направлению вектора , задающего направление.

,

Где ; — направляющие косинусы вектора , . Вектор возьмем на касательной к параболе в , для чего составим уравнение касательной

,

,

— уравнение касательной.

На найденной касательной возьмем точку с любой координатой (), например . Тогда

.

Найдем значения производной по направлению в точке :

,

.

Тогда .

Наибольшая скорость изменения поля в точке есть .

Так как , то

.

Величина наибольшей скорости

.