Задача 1.
Как найти больший угол параллелограмма ABCD, если его диагональ AC образует с его сторонами углы 35 и 48 градусов.
Решение.
Построим параллелограмм ABCD и проведем в нем диагональ АС. Согласно условию угол ВАС равен 35 градусов, а угол CAD равен 48 градусов. Тогда угол BAD равен сумме углов ВАС и CAD и равен 35 + 48 = 83 градуса.
Сумма односторонних углов в параллелограмме составляет 180 градусов, тогда можем найти больший угол АВС параллелограмма:
АВС = 180 – BAD;
АВС = 180 – 83;
АВС = 97 градусов.
Ответ. Больший угол параллелограмма равен 97 градусов.
Задача 2.
Найти больший угол параллелограмма ABCD, если угол DAC, который образует диагональ АС со стороной параллелограмма, равен 47 градусов, а угол CAB равен 11 градусов.
Решение.
Построим параллелограмм и проведем в нем диагональ. Обозначим известные углы. Очевидно, что угол DAB параллелограмма равен сумме известных углов DAC и САВ и равен 47 + 11 = 58 градусов.
В параллелограмме сумма углов, которые прилегают к одной его стороне, составляет 180 градусов. Найдем угол ADC:
ADC = 180 – BAD;
ADC = 180 – 58;
ADC = 122 градуса.
Ответ. Больший угол параллелограмма равен 122 градуса.
При решении задач используется свойство соседних углов параллелограмма.
Здравствуйте, друзья! Для вас очередная статья с разбором типовых задач входящих в состав экзамена по математике. Здесь представлены задачи с параллелограммами. Ставятся вопросы о вычислении углов. В этой статье мы уже вычисляли углы, там процесс сводился к решению прямоугольного треугольника.
Для решения данных заданий достаточно знать свойства и признаки параллельности прямых плюс применить немного логики. Вычислять можно устно, решения простые. Если кратко обозначить теоретические моменты, то озвучить можно следующие «истины»:
— Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам.
— Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
— Биссектриса делит угол пополам.
*Да, ещё величины углов могут быть заданы относительно. Например, углы параллелограмма относятся как 2:3. Тут вам поможет введение коэффициента пропорциональности.
Рассмотрим задачи:
27805. Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 600. Ответ дайте в градусах.
Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам. Это следует из свойств и признака параллельности прямых:
Сумма внутренних односторонних углов равна 180º
Таким образом, тупой угол параллелограмма равен 1200.
Ответ: 120
27806. Сумма двух углов параллелограмма равна 1000. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Рассуждая логически получим следующее:
1. Сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, значит речь идёт не об этих углах.
2. Сумма двух тупых (противолежащих) углов будет всегда больше 180 градусов, значит остаются только два острых угла. Только их сумма может быть равна 100 градусам.
Так как они равны, значит угол будет равен 50-ти градусам. Таким образом, один из оставшихся (тупой угол) будет равен 1300.
Ответ: 130
27807. Один угол параллелограмма больше другого на 700. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
Понятно, что речь идёт о тупом угле. Он будет больше острого на 700. Введём переменную. Пусть острый равен х градусов, тогда тупой равен х+700. Получается, что
Значит тупой угол (больший) равен 550+700=1250.
Ответ: 125
27808. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 260 и 340. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Получается, что острый угол параллелограмма равен 260+340=600.
Таким образом больший угол будет равен 1800–600=1200.
Ответ: 120
27822. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 3:7. Ответ дайте в градусах.
Имеем: острый угол относится к тупому как 3:7. Введём коэффициент пропорциональности х. Так сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, значит
Значит больший угол будет равен 7∙18=126 градусов.
Ответ: 126
27823. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.
Построим указанные в условии биссектрисы:
Известно, что
Так как из указанных углов проведены биссектрисы, то получим:
То есть в треугольнике ODC сумма острых углов равна 90 градусам. Таким образом этот треугольник является прямоугольным, то есть угол между OD и CO равен 900.
Ответ: 90
282852. В ромбе ABCD угол ACD равен 430. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
В ромбе диагонали являются биссектрисами, значит угол BCD будет равен 86 градусам. Таким образом:
Ответ: 94
282851. В ромбе ABCD угол ABC равен 1220. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
Делитесь информацией в социальных сетях!
Решение задач на углы параллелограмма опирается на свойства параллелограмма.
Сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равны 180º (так как они являются внутренними односторонними при параллельных прямых (противолежащих сторонах параллелограмма) и секущей (пересекающей их стороне).
Противоположные углы параллелограмма равны.
Поэтому, если в задаче дана сумма углов параллелограмма (не 180º ), то речь идет о его противолежащих углах.
Если сказано, что один из углов параллелограмма больше или меньше другого на некоторое количество градусов (или в несколько раз, или углы относятся в некотором отношении), то речь идет об углах, прилежащих к одной стороне параллелограмма.
Если в задаче требуется найти все углы параллелограмма, в начале изучения темы ищут все четыре угла.
В дальнейшем обычно находят только два из них (прилежащие к одной стороне), поскольку другие два им равны.
Рассмотрим некоторые задачи на нахождение углов параллелограмма.
Задача 1.
Найти углы параллелограмма, если один из его углов на 40º больше другого.
Дано: ABCD — параллелограмм,
∠B на 40º больше ∠A.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.
Решение:
Пусть ∠A=хº, тогда ∠B=х+40º.
Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то
∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).
Имеем уравнение:
х+х+40=180
2х=180-40
2х=140
х=70
Значит, ∠A=70º, тогда ∠B=70+40=110º.
∠C=∠A=70º, ∠D=∠B=110º (как противолежащие углы параллелограмма).
Ответ: 70º, 70º, 110º, 110º.
Задача 2.
Найти углы параллелограмма, если два из них относятся как 2:3.
Дано: ABCD — параллелограмм,
∠A:∠B=2:3.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.
Решение:
Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠A=2kº, ∠B=3kº.
∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).
Составим уравнение и решим его:
2k+3k=180
5k=180
k=36
Значит, ∠A=2∙36=72º, ∠B=3∙36=108º.
∠C=∠A=72º, ∠D=∠B=108º (как противолежащие углы параллелограмма).
Ответ: 72º, 72º, 108º, 108º.
Задача 3.
Найти углы параллелограмма, если сумма двух из них равна 150º.
Дано: ABCD — параллелограмм,
∠A+∠C=150º.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.
Решение:
∠A=∠C=150:2=75º (как противолежащие углы параллелограмма).
∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).
Следовательно, ∠B=180º-∠A=180-75=105º.
∠D=∠B=105º (как противолежащие углы параллелограмма).
Ответ: 75º, 75º, 105º, 105º.
Вася Иванов
Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.
Задание 6. Математика ЕГЭ. Один угол параллелограмма больше другого на 12°.
Задание.
Один угол параллелограмма больше другого на 12°. Найдите больший угол параллелограмма.
Решение:
Так как ABCD – параллелограмм, то АВ параллельна DC, тогда углы ∠A и ∠D – односторонние углы при параллельных прямых АВ и DC, секущей AD. Сумма односторонних углов равна 180°.
Пусть угол ∠A = x, тогда ∠D = x + 12°. Получим уравнение:
∠A + ∠D = 180°
x + x + 12° = 180°
2x = 168°
x = 84°
∠A = 84°, тогда ∠D = 84° + 12° = 96°.
Ответ: 96