Понятие наибольшего общего делителя
Для начала разберемся, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.
Делитель натурального числа — это такое целое натуральное число, на которое делится данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.
Общий делитель нескольких целых чисел — это такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества. Например, у чисел 12 и 8 общими делителями будут 4 и 1. Чтобы это проверить, напишем верные равенства: 8 = 4 * 2 и 12 = 3 * 4.
Любое число можно разделить на 1 и на само себя. Значит, у любого набора целых чисел будет как минимум два общих делителя.
Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).
Например, для 4 и 16 НОД будет 4. Как мы к этому пришли:
- Зафиксируем все делители четырех: 4, 2, 1.
- А теперь все делители шестнадцати: 16, 8, 4 и 1.
- Выбираем общие: это 4, 2, 1. Самое большое общее число: 4. Вот и ответ.
Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.
Найдем наибольший общий делитель нескольких целых чисел: 12, 6, 42, 18. Он будет равен шести. Ответ можно записать так: НОД (12, 6, 42, 18) = 6. А чтобы проверить правильность ответа, нужно записать все делители и выбрать из них самые большие.
Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.
Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.
Как находим:
- Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые
Д (28) = 2 * 2 * 7
Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2
- Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ
НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4
Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.
Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту
Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут
Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас
Способы нахождения наибольшего общего делителя
Найти наибольший общий делитель можно двумя способами. Рассмотрим оба, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.
1. Разложение на множители
Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.
Пример 1. Найти НОД (84, 90).
Как решаем:
- Разложим числа 84 и 90 на простые множители:
- Подчеркнем все общие множители и перемножим их между собой:
2 * 3 = 6.
Ответ: НОД (84, 90) = 6.
Пример 2. Найти НОД (15, 28).
Как решаем:
- Разложим 15 и 28 на простые множители:
- Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.
Ответ: НОД (15, 28) = 1.
Пример 3. Найти НОД для 24 и 18.
Как решаем:
- Разложим оба числа на простые множители:
- Найдем общие множители чисел 24 и 18: 2 и 3. Для удобства общие множители можно подчеркнуть.
- Перемножим общие множители:
НОД (24, 18) =2 * 3 = 6
Ответ: НОД (24, 18) = 6
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
2. Алгоритм Евклида
Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.
Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.
Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.
Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.
Как рассуждаем:
Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 
= 8.
В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:
- Большее число поделить на меньшее.
- Меньшее число поделить на остаток, который получается после деления.
- Первый остаток поделить на второй остаток.
- Второй остаток поделить на третий и т. д.
- Деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель.
Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:
Как решаем:
- 140 : 96 = 1 (остаток 44)
- 96 : 44 = 2 (остаток
- 44 : 8 = 5 (остаток 4)
- 8 : 4 = 2
Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.
Ответ: НОД (140, 96) = 4
Пошаговое деление можно записать столбиком:
Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:
- Найти наибольший общий делитель любых двух чисел из данных.
- Найти НОД найденного делителя и третьего числа.
- Найти НОД последнего найденного делителя и четвёртого числа и т. д.
Свойства наибольшего общего делителя
У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.
Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.
Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.
Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.
Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.
Доказательство
Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.
Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.
В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.
- Например, НОД (25, 25) = 25.
Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.
- Например, НОД (4, 40) = 4, так как 40 кратно 4.
Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.
Доказательство
Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.
Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.
Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).
Доказательство
Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.
Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.
Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.
Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.
Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольший из их общих делителей. К примеру для чисел 12 и 8, наибольшим общим делителем будет 4.
Как найти НОД?
Способов найти НОД несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОД при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:
- разложить оба числа на простые множители (подробнее о разложении чисел на простые множители смотрите тут);
- выбрать одинаковые множители, входящие в оба разложения;
- найти их произведение.
Примеры нахождения наибольшего общего делителя
Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:
Пример 1: найти НОД 12 и 8
1. Раскладываем 12 и 8 на простые множители:
2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 2 и 2
3. Перемножаем эти множители и получаем: 2 · 2 = 4
Ответ: НОД (8; 12) = 2 · 2 = 4.
Пример 2: найти НОД 75 и 150
Этот пример, как и предыдущий с легкостью можно высчитать в уме и вывести ответ 75, но для лучшего понимания работы алгоритма, проделаем все шаги:
1. Раскладываем 75 и 150 на простые множители:
2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 3, 5 и 5
3. Перемножаем эти множители и получаем: 3 · 5 · 5 = 75
Ответ: НОД (75; 150) = 3 · 5 · 5 = 75.
Частный случай или взаимно простые числа
Нередко встречаются ситуации, когда оба числа взаимно простые, т.е. общий делитель равен единице. В этом случае, алгоритм будет выглядеть следующим образом:
Пример 3: найти НОД 9 и 5
1. Раскладываем 5 и 9 на простые множители:
Видим, что одинаковых множителей нет, а значит, что это частный случай (взаимно простые числа). Общий делитель — единица.
Как найти НОД
- Нахождение путём разложения на множители
- Алгоритм Евклида
Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.
Нахождение путём разложения на множители
Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.
Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.
Пример 1. Найти НОД (84, 90).
Решение: Раскладываем числа 84 и 90 на простые множители:
Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой:
2 · 3 = 6.
Таким образом, НОД (84, 90) = 6.
Пример 2. Найти НОД (15, 28).
Решение: Раскладываем 15 и 28 на простые множители:
Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.
НОД (15, 28) = 1.
Алгоритм Евклида
Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.
Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.
Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.
Пример 1. Возьмём два числа 27 и 9. Так как 27 делится на 9 и 9 делится на 9, значит, 9 является общим делителем чисел 27 и 9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что 9 не может делиться ни на какое число, большее 9. Следовательно:
НОД (27, 9) = 9.
В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:
- Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
- Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
- Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
- Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
- Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.
Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 140 и 96:
1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)
2) 96 : 44 = 2 (остаток
3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)
4) 8 : 4 = 2
Последний делитель равен 4 — это значит:
НОД (140, 96) = 4.
Последовательное деление так же можно записывать столбиком:
Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:
- Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
- Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
- Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.
Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 140, 96 и 48. НОД чисел 140 и 96 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 4). Осталось найти наибольший общий делитель числа 4 и третьего данного числа — 48:
48 : 4 = 12
48 делится на 4 без остатка. Таким образом:
НОД (140, 96, 48) = 4.
Наибольший общий делитель
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 223.
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 223.
Наибольший общий делитель – это еще один показатель, позволяющий упростить работу с дробями. Очень часто в результате вычислений получаются дроби с очень большими значениями числителя и знаменателя. Сокращать поэтапно такие числа можно, но это крайне долго, поэтому проще сразу найти НОД и сократить на него. Разберемся в теме подробнее.
Что такое НОД?
Наибольший общий делитель (НОД) ряда чисел – это наибольшее число, на которое можно без остатка разделить каждое из чисел ряда.
Это значение чаще всего используется для ряда из двух чисел. Просто потому, что сокращаются обычно два числа: числитель и знаменатель дроби. Нахождение НОД для большего количества значений не всегда оправдано, но вырабатывает навык.
Как найти НОД?
Для того, чтобы найти НОД необходимо каждое из чисел разложить на простые множители и выделить общую часть.
Специальной формулы для этого не придумали, зато есть алгоритм вычисления.
Приведем пример нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел: 540 и 252. Разложим 640 на простые множители. Последовательность действий такова:
- Делим число на наименьший из возможных простых чисел. То есть, если число можно разделить на 2, 3 или 5, то сначала нужно делить на 5. Просто, чтобы не запутаться.
- Получившийся результат делим на наименьшее из возможных простых чисел.
- Повторяем деление каждого полученного результата, пока не получим простое число.
Теперь проведем ту же процедуру на практике.
- 540 : 2=270
- 270:2=135
- 135 : 3 =45
- 45 : 3=15
- 15 : 5 = 3
Запишем результат в виде равенства 540=2*2*3*3*3*5. Для того, чтобы записать результат, нужно последнее получившееся число умножить на все делители.
Аналогично поступим с числом 252:
- 252 : 2=126
- 126: 2=63
- 63 : 3=21
- 21 : 3 = 7
Запишем результат: 252=2*2*3*3*7.
В каждом разложении есть одинаковые числа. Найдем их, это два числа 2 и два числа 3. Отличаются только 7 и 3*5.
Для того, чтобы найти НОД нужно перемножить общие множетели. То есть в произведении будет две двойки и две тройки.
НОД=2*2*3*3=36
Как можно это использовать?
Задача: сократить дробь $$252over540$$.
НОД для двух этих чисел мы уже находили, теперь просто воспользуемся уже посчитанным значением.
НОД = 36
Сократим числитель и знаменатель дроби на 36 и получим ответ.
$${252over540} ={7over15}$$ – чтобы быстро сократить, достаточно посмотреть на разложение чисел.
Если 540=2*2*3*3*3*5, а НОД=36=2*2*3*3, то 540 = 36*3*5. И если мы поделим 540 на 36, то получим 3*5=15.
Без НОД нам пришлось бы в одну длинную строку писать сокращения. К тому же, бывают случаи, когда непонятно, можно ли сократить дробь вообще. Для таких ситуаций в математике и придумали разложение чисел на простые множители и НОД.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое наибольший общий делитель пары чисел, разобрались, как можно использовать показатель на практике, решили задачу на нахождение НОД и применение НОД для сокращения дробей. Поняли, что с использованием НОД можно проще и быстрее сократить громоздкие дроби, найдя НОД для числителя и знаменателя.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка статьи
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 223.
А какая ваша оценка?
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел – это наибольшее целое число, на которое делится каждое из этих чисел. Например, НОД для 20 и 16 равен 4 (как 16, так и 20 имеют большие делители, но они не являются общими — например, 8 делитель 16, но не делитель 20). Существует простой и системный метод для нахождения НОД, называемый «алгоритм Евклида». Эта статья расскажет вам, как находить наибольший общий делитель двух целых чисел.
-
1
Опустите любые знаки минус.
-
2
Выучите терминологию: при делении 32 на 5,
- 32 — делимое
- 5 — делитель
- 6 — частное
- 2 — остаток
-
3
Определите большее из чисел. Оно будет делимым, а меньшее число — делителем.
-
4
Запишите такой алгоритм: (делимое) = (делитель) * (частное) + (остаток)
-
5
Поставьте большее число на место делимого, а меньшее – на место делителя.
-
6
Найдите, сколько раз большее число делится на меньшее, и запишите результат вместо частного.
-
7
Найдите остаток и впишите его в соответствующую позицию в алгоритме.
-
8
Запишите алгоритм снова, но (A) запишите предыдущий делитель как новое делимое, а (B) предыдущий остаток как новый делитель.
-
9
Повторяйте предыдущий шаг до тех пор, пока остаток не равен 0.
-
10
Последний делитель и будет наибольшим общим делителем (НОД).
-
11
Например, найдем НОД для 108 и 30:
-
12
Обратите внимание, как числа 30 и 18 из первой строки образуют вторую строку. Затем 18 и 12 образуют третью строку, а 12 и 6 образуют четвертую строку. Кратные 3, 1, 1 и 2 не используются. Они представляют собой число раз, которые делимое делится на делитель, и поэтому уникальны для каждой строки.
Реклама
-
1
Опустите любые знаки минус.
-
2
Найдите простые множители чисел. Представьте их так, как показано на рисунке.
- Например, для 24 и 18:
- 24- 2 x 2 x 2 x 3
- 18- 2 x 3 x 3
- Например, для 50 и 35:
- 50- 2 x 5 x 5
- 35- 5 x 7
- Например, для 24 и 18:
-
3
Найдите общие простые множители.
- Например, для 24 и 18:
- 24- 2 x 2 x 2 x 3
- 18- 2 x 3 x 3
- Например, для 50 и 35:
- 50- 2 x 5 x 5
- 35- 5 x 7
- Например, для 24 и 18:
-
4
Перемножьте общие простые множители.
- Для 24 и 18 перемножьте 2 и 3 и получите 6. 6 – наибольший общий делитель 24 и 18.
- Для 50 и 35 нечего перемножать. 5 – единственный общий простой множитель, он и является НОДом.
-
5
Сделано!
Реклама
Советы
- Один из способов записать это: <делимое>mod<делитель> = остаток; НОД (a,b) = b, если mod b = 0, и НОД(a,b) = НОД (b, a mod b) в противном случае.
- В качестве примера найдем НОД (-77,91). Во-первых, используйте 77 вместо -77: НОД (-77,91) преобразуется в НОД (77,91). 77 меньше 91, поэтому мы должны поменять их местами, но рассмотрим то, как действует алгоритм, если мы не сделаем этого. При вычислении 77 mod 91 мы получим 77 (77 = 91 х 0 + 77). Так как это не нуль, рассматриваем ситуацию (b, a mod b), то есть НОД (77,91) = НОД (91,77). 91 mod 77 = 14 (14 является остатком). Это не нуль, поэтому НОД (91,77) становится НОД (77,14). 77 mod 14 = 7. Это не нуль, поэтому НОД (77,14) становится НОД (14,7). 14 mod 7 = 0 (так как 14/7 = 2 без остатка). Ответ: НОД (-77,91) = 7.
- Описанный метод очень полезен при упрощении дробей. В описанном выше примере: -77/91 = -11/13, так как 7 является наибольшим общим делителем -77 и 91.
- Если а и b равны нулю, то любое отличное от нуля число является их делителем, поэтому в этом случае НОД не существует (математики просто считают, что наибольший общий делитель 0 и 0 равен 0).
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 12 019 раз.