Как найти наибольший множитель двух чисел

Finding the greatest common factor, or GCF, of two numbers is useful in many situations in math, but particularly when it comes to simplifying fractions. If you’re struggling with this or finding common denominators, learning two methods for finding common factors will help you achieve what you’re setting out to do. First, though, it’s a good idea to learn about the basics of factors; then, you can look at two approaches for finding common factors. Finally, you can look at how to apply your knowledge to simplify a fraction.

What Is a Factor?

Factors are the numbers you multiply together to produce another number. For example, 2 and 3 are factors of 6, because 2 × 3 = 6. Similarly, 3 and 3 are factors of 9, because 3 × 3 = 9. As you may know, prime numbers are numbers that have no factors other than themselves and 1. So 3 is a prime number, because the only two whole numbers (integers) that can multiply together to give 3 as an answer are 3 and 1. In the same way, 7 is a prime number, and so is 13.

Because of this, it’s often helpful to break down a number into “prime factors.” This means finding all of the prime number factors of another number. It basically breaks the number down into its fundamental “building blocks,” which is a useful step towards finding the greatest common factor of two numbers and is also invaluable when it comes to simplifying square roots.

Finding the Greatest Common Factor: Method One

The simplest method for finding the greatest common factor of two numbers is to simply list all of the factors of each number and look for the highest number that both of them share. Imagine that you want to find the highest common factor of 45 and 60. First, look at the different numbers you can multiply together to produce 45.

The easiest way to start is with the two you know will work, even for a prime number. In this case, we know 1 × 45 = 45, so we know 1 and 45 are factors of 45. These are the first and last factors of 45, so you can just fill in from there. Next, work out whether 2 is a factor. This is easy, because any even number will be divisible by 2, and any odd number won’t. So we know that 2 isn’t a factor of 45. What about 3? You should be able to spot that 3 is a factor of 45, because 3 × 15 = 45 (you can always build on what you know to work this out, for example, you’ll know that 3 × 12 = 36, and adding threes to this leads you to 45).

Next, is 4 a factor of 45? No – you know 11 × 4 = 44, so it can’t be! Next, what about 5? This is another easy one, because any number ending in 0 or 5 is divisible by 5. And with this, you can easily spot that 5 × 9 = 45. But 6 is no good because 7 × 6 = 42 and 8 × 6 = 48. From this you can also see that 7 and 8 aren’t factors of 45. We already know 9 is, and it’s easy to see that 10 and 11 aren’t factors. Continue this process, and you’ll spot that 15 is a factor, but nothing else is.

So the factors of 45 are: 1, 3, 5, 9, 15 and 45.

For 60, you run through the exact same process. This time the number is even (so you know 2 is a factor) and divisible by 10 (so 5 and 10 are both factors), which makes things a bit easier. After going through the process again, you should see that the factors of 60 are: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 and 60.

Comparing the two lists shows that 15 is the greatest common factor of 45 and 60. This method can be time consuming, but it’s simple and it will always work. You can also start at any high common factor you can spot straight away, and then simply look for higher factors of each number.

Finding the Greatest Common Factor: Method Two  

The second method of finding the GCF for two numbers is to use prime factors. The process of prime factorization is a little easier and more structured than finding every factor. Let’s go through the process for 42 and 63.

The process of prime factorization basically involves breaking the number down until you’re only left with prime numbers. It’s best to start with the smallest prime (two) and work from there. So for 42, it’s easy to see that 2 × 21 = 42. Then work from 21: Is 2 a factor? No. Is 3? Yes! 3 × 7 = 21, and 3 and 7 are both prime numbers. This means the prime factors of 42 are 2, 3 and 7. The first “break” used 2 to get to 21, and the second broke this down into 3 and 7. You can check this by multiplying all of your factors together and checking you get the original number: 2 × 3 × 7 = 42.

For 63, 2 isn’t a factor, but 3 is, because 3 × 21 = 63. Again, 21 breaks down into 3 and 7 – both prime – so you know the prime factors! Checking shows that 3 × 3 × 7 = 63, as required.

You find the highest common factor by looking at which prime factors the two numbers have in common. In this case, 42 has 2, 3 and 7, and 63 has 3, 3 and 7. They have 3 and 7 in common. To find the highest common factor, multiply all of the common prime factors together. In this case, 3 × 7 = 21, so 21 is the greatest common factor of 42 and 63.

The previous example can be solved more quickly this way too. Because 45 is divisible by three (3 × 15 = 45), and 15 is also divisible by three (3 × 5 = 15), the prime factors of 45 are 3, 3 and 5. For 60, it’s divisible by two (2 × 30 = 60), 30 is divisible by two as well (2 × 15 = 30), and then you’re left with 15, which we know has three and five as prime factors, leaving 2, 2, 3 and 5. Comparing the two lists, three and five are the common prime factors, so the greatest common factor is 3 × 5 = 15.

In the event that there are three or more common prime factors, you multiply them all together in the same way to find the greatest common factor.

Simplifying Fractions With Common Factors

If you’re presented with a fraction like 32/96, it can make any calculations that come after it very complicated unless you can spot a way to simplify the fraction. Finding the lowest common factor of 32 and 96 will tell you the number to divide both by, to get a simpler fraction. In this case:

32 = 2 × 16 \ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \ text{So } 32 = 2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2

For 96, the process gives:

96 = 48 × 2 \ 48 = 24 × 2 \ 24 = 12 × 2 \ 12 = 6 × 2 \ 6 = 3 × 2 \ text{So } 96 = 2^5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

It should be clear that 2⁵ = 32 is the highest common factor. Dividing both parts of the fraction by 32 gives:

frac{32}{96} = frac{1}{3}

Finding common denominators is a similar process. Imagine that you had to add the fractions 15/45 and 40/60. We know from the first example that 15 is the highest common factor of 45 and 60, so we can immediately express them as 5/15 and 10/15. Since 3 × 5 = 15, and both numerators are also divisible by five, we can divide both parts of both fractions by five to get 1 /3 and 2/3. Now they are much easier to add and see that

frac{15}{45} + frac{40}{60} = 1

Поиск наибольшего общего множителя, или GCF, из двух чисел полезен во многих ситуациях в математике, но особенно когда речь идет об упрощении дробей. Если вы боретесь с этим или находите общие знаменатели, изучение двух методов поиска общих факторов поможет вам достичь того, что вы намереваетесь делать. Во-первых, это хорошая идея, чтобы узнать об основах факторов; Затем вы можете взглянуть на два подхода для поиска общих факторов. Наконец, вы можете посмотреть, как применить свои знания для упрощения дроби.

Что такое фактор?

Факторы — это числа, которые вы умножаете вместе, чтобы получить другое число. Например, 2 и 3 — это коэффициенты 6, потому что 2 × 3 = 6. Аналогично, 3 и 3 — это коэффициенты 9, потому что 3 × 3 = 9. Как вы, возможно, знаете, простые числа — это числа, у которых нет других факторов, кроме сами по себе и 1. Таким образом, 3 — простое число, потому что только два целых числа (целые числа), которые могут умножаться вместе, чтобы дать 3 в качестве ответа, — это 3 и 1. Точно так же, 7 — это простое число, а также 13, Из-за этого часто бывает полезно разбить число на «простые факторы». Это означает поиск всех простых чисел для другого числа. Он в основном разбивает число на фундаментальные «строительные блоки», что является полезным шагом к нахождению наибольших общих множителей двух чисел, а также неоценимо, когда речь идет об упрощении квадратных корней.

Нахождение величайшего общего фактора: метод первый

Самый простой способ найти наибольший общий множитель двух чисел — просто перечислить все факторы каждого числа и найти наибольшее число, которое они оба разделяют. Представьте, что вы хотите найти самый высокий общий множитель 45 и 60. Сначала посмотрите на различные числа, которые вы можете умножить вместе, чтобы получить 45.

Самый простой способ начать с двух, которые, как вы знаете, будут работать, даже для простого числа. В этом случае мы знаем 1 × 45 = 45, поэтому мы знаем, что 1 и 45 — это коэффициенты 45. Это первый и последний факторы 45, поэтому вы можете просто заполнить их оттуда. Затем выясните, является ли 2 фактором. Это легко, потому что любое четное число будет делиться на 2, а любое нечетное число не будет. Итак, мы знаем, что 2 не является фактором 45. Как насчет 3? Вы должны быть в состоянии определить, что 3 является фактором 45, потому что 3 × 15 = 45 (вы всегда можете использовать то, что вы знаете, чтобы решить это, например, вы будете знать, что 3 × 12 = 36, и добавив тройки к этому приводят вас к 45).

Далее 4 это фактор 45? Нет — вы знаете 11 × 4 = 44, так что не может быть! Далее, как насчет 5? Это еще один простой способ, потому что любое число, заканчивающееся на 0 или 5, делится на 5. И с этим, вы можете легко определить, что 5 × 9 = 45. Но 6 не годится, потому что 7 × 6 = 42 и 8 × 6 = 48. Из этого вы также можете видеть, что 7 и 8 не являются факторами 45. Мы уже знаем, что 9 есть, и легко видеть, что 10 и 11 не являются факторами. Продолжите этот процесс, и вы заметите, что 15 является фактором, но больше ничего.

Таким образом, факторы 45: 1, 3, 5, 9, 15 и 45.

За 60 вы проходите точно такой же процесс. На этот раз число четное (так что вы знаете, что 2 — это фактор) и делится на 10 (так что 5 и 10 — оба фактора), что немного облегчает задачу. После повторного прохождения процесса вы должны увидеть, что факторы 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.

Сравнение двух списков показывает, что 15 является наибольшим общим фактором 45 и 60. Этот метод может занять много времени, но он прост и всегда будет работать. Вы также можете начать с любого высокого общего множителя, который вы можете заметить сразу, а затем просто искать более высокие факторы каждого числа.

Нахождение величайшего общего фактора: метод второй

Второй метод нахождения GCF для двух чисел — это использование простых множителей. Процесс первичной факторизации немного проще и более структурирован, чем поиск каждого фактора. Давайте пройдем через процесс для 42 и 63.

Процесс простой факторизации в основном включает разбиение числа до тех пор, пока не останутся только простые числа. Лучше всего начать с наименьшего простого числа (два) и работать оттуда. Таким образом, для 42 легко видеть, что 2 × 21 = 42. Тогда работа с 21: 2 является фактором? № 3? Да! 3 × 7 = 21, а 3 и 7 — простые числа. Это означает, что главные факторы 42 — это 2, 3 и 7. Первый «разрыв» использовал 2, чтобы добраться до 21, а второй разделил это на 3 и 7. Вы можете проверить это, умножив все свои факторы вместе и проверив Вы получите оригинальный номер: 2 × 3 × 7 = 42.

Для 63, 2 не является фактором, а 3 — потому что 3 × 21 = 63. Опять 21 разбивается на 3 и 7 — оба простые — так что вы знаете главные факторы! Проверка показывает, что 3 × 3 × 7 = 63, как требуется.

Вы найдете самый высокий общий фактор, посмотрев, какие простые факторы имеют два общих числа. В этом случае 42 имеет 2, 3 и 7, а 63 имеет 3, 3 и 7. У них есть 3 и 7 общего. Чтобы найти самый высокий общий фактор, умножьте все общие простые факторы вместе. В этом случае 3 × 7 = 21, поэтому 21 является наибольшим общим фактором 42 и 63.

Предыдущий пример также может быть решен быстрее. Поскольку 45 делится на три (3 × 15 = 45), а 15 также делится на три (3 × 5 = 15), главные факторы 45 равны 3, 3 и 5. Для 60 это делится на два (2 × 30 = 60), 30 также делится на два (2 × 15 = 30), и тогда у вас остается 15, которые, как мы знаем, имеют три и пять в качестве основных факторов, оставляя 2, 2, 3 и 5. Сравнивая два списка, три и пять являются общими простыми коэффициентами, поэтому наибольший общий фактор равен 3 × 5 = 15.

В случае, если есть три или более общих простых факторов, вы умножаете их все вместе, чтобы найти самый большой общий фактор.

Упрощение дробей с общими факторами

Если вам предложена дробь, подобная 32/96, она может сделать любые вычисления, которые последуют за ней, очень сложными, если вы не сможете найти способ упростить дробь. Поиск наименьшего общего множителя 32 и 96 подскажет вам число, на которое нужно разделить, чтобы получить более простую дробь. В таком случае:

32 = 2 × 16

16 = 2 × 2 × 2 × 2

Так что 32 = 2 ⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Для 96 процесс дает:

96 = 48 × 2

48 = 24 × 2

24 = 12 × 2

12 = 6 × 2

6 = 3 × 2

Так 96 = 2 ⁵ × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

Должно быть ясно, что 2 ⁵ = 32 является наивысшим общим фактором. Разделение обеих частей дроби на 32 дает:

32/96 = 1/3

Поиск общих знаменателей — аналогичный процесс. Представьте, что вам нужно было добавить дроби 15/45 и 40/60. Из первого примера мы знаем, что 15 является наивысшим общим множителем 45 и 60, поэтому мы можем сразу выразить их как 5/15 и 10/15. Поскольку 3 × 5 = 15, и оба числителя также делятся на пять, мы можем разделить обе части обеих фракций на пять, чтобы получить 1/3 и 2/3. Теперь их гораздо проще добавить и увидеть, что 15/45 + 40/60 = 1.

Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольший из их общих делителей. К примеру для чисел 12 и 8, наибольшим общим делителем будет 4.

Как найти НОД?

Способов найти НОД несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОД при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:

1. разложить оба числа на простые множители (подробнее о разложении чисел на простые множители смотрите тут);
2. выбрать одинаковые множители, входящие в оба разложения;
3. найти их произведение.

Примеры нахождения наибольшего общего делителя

Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:

Пример 1: найти НОД 12 и 8

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 2 и 2

3. Перемножаем эти множители и получаем: 2 · 2 = 4

Ответ: НОД (8; 12) = 2 · 2 = 4.

Пример 2: найти НОД 75 и 150

Этот пример, как и предыдущий с легкостью можно высчитать в уме и вывести ответ 75, но для лучшего понимания работы алгоритма, проделаем все шаги:

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 3, 5 и 5

3. Перемножаем эти множители и получаем: 3 · 5 · 5 = 75

Ответ: НОД (75; 150) = 3 · 5 · 5 = 75.

Частный случай или взаимно простые числа

Нередко встречаются ситуации, когда оба числа взаимно простые, т.е. общий делитель равен единице. В этом случае, алгоритм будет выглядеть следующим образом:

Пример 3: найти НОД 9 и 5

Видим, что одинаковых множителей нет, а значит, что это частный случай (взаимно простые числа). Общий делитель — единица.

Онлайн калькулятор НОД и НОК двух чисел

Наибольший общий делитель (НОД)

Если натуральное число a делится на натуральное число bb, то bb называют делителем числа aa, а число aa называют кратным числа bb. aa и bb являются натуральными числами. Число gg называют общим делителем и для aa и для bb. Множество общих делителей чисел aa и bb конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем aa. Значит, среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел aa и bb и для его обозначения используют записи: НОД (a;b)(a;b) или D(a;b)(a;b)

Пример
Наибольший общий делитель (НОД) чисел 1818 и 2424 — это 66.

Как найти наибольший общий делитель (НОД)

Существует несколько способов нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух или более целых чисел:

• Алгоритм Евклида: НОД(a,b)=(a, b) = НОД (b,a(b, a mod b)b), где «mod» — это операция взятия остатка от деления большего числа на меньшее. Этот алгоритм можно продолжать до тех пор, пока одно из чисел не станет равно нулю. В этом случае НОД равен ненулевому числу.

Пример
НОД(18,24)=НОД(24,18)=НОД(18,6)=НОД(6,0)=6НОД(18, 24) = НОД(24, 18) = НОД(18, 6) = НОД(6, 0) = 6

• Разложение на простые множители: Найти все простые множители каждого из чисел и их степени. НОД будет равен произведению всех общих простых множителей в минимальной степени.

Пример
НОД(60,84)=22⋅31=12(60, 84) = 2^{2} cdot 3^{1} = 12, так как общие простые множители −2- 2 и 33, их минимальные степени −2- 2 и 11 соответственно.

• Таблица делителей: Составить таблицы всех делителей каждого числа и найти наибольшее общее число, которое является делителем обоих чисел. Этот метод не рекомендуется для больших чисел, так как он требует много времени и усилий.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка. Например для чисел 2525 и 5050 общими кратными будут числа 50,100,150,20050,100,150,200 и т.д Наименьшее из общих кратных будет называться НОК и обозначается НОК(a;b)(a;b) или K(a;b).(a;b).

Пример
Наименьшее общее кратное чисел 88 и 1212 – это 2424. Т.е. НОК (8,12)=24(8, 12) = 24.

Как найти наименьшее общее кратное (НОК)

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

1. Разложить числа на простые множители;
2. Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;
3. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным.

Пример
Рассмотрим два числа: 88 и 1212. Найдем их НОКНОК:

• Разложим 88 и 1212 на простые множители: 8=23,12=22⋅38 = 2^3, 12 = 2^2 cdot 3.
• Выпишем все простые множители: 23⋅32^3 cdot 3.
• Для каждого простого множителя выберем наибольшую кратность: 232^3 и 33.
• Умножим выбранные простые множители между собой: 23⋅3=242^3 cdot 3 = 24.

Таким образом, НОК чисел 88 и 1212 равен 2424.

Свойства НОД и НОК

• Любое общее кратное чисел aa и bb делится на K(a;b)(a;b);
• Если a⋮bavdots b , то К(a;b)=a(a;b)=a;
• Если К(a;b)=k(a;b)=k и mm-натуральное число, то К(am;bm)=km(am;bm)=km. Если dd-общий делитель для aa и bb,то К(ad;bdfrac{a}{d};frac{b}{d})= kd frac{k}{d}
• Если a⋮cavdots c и b⋮cbvdots c ,то abcfrac{ab}{c} — общее кратное чисел aa и bb;
• Для любых натуральных чисел aa и bb выполняется равенство D(a;b)⋅К(a;b)=abD(a;b)cdot К(a;b)=ab;
• Любой общий делитель чисел aa и bb является делителем числа D(a;b)D(a;b).