Как найти мощность для активного сопротивления

Электрический ток проводимости в
металлах представляет собой направленное
движение свободных электронов. Скорость
электронов и направление их движения
определяется значением и полярностью
приложенного к проводнику напряжения.

При движении электроны сталкиваются
с атомами проводника, и их кинетическая
энергия превращается в тепловую энергию,
которая идет на нагрев проводника и
рассеивание в окружающую среду. Этот
активный процесс является необратимым
и количественно определяется сопротивлением
R. Поэтому его называют
активным сопротивлением. Как правило,
различают активное и омическое
сопротивления. При рассмотрении цепей
переменного тока сопротивление R
называют активным, так как оно больше
сопротивления постоянному току. При
рассмотрении цепей постоянного тока
сопротивление R называют
омическим.

(Если через один и тот же проводник
пропускать переменный и постоянный
ток, то для того, чтобы выделилось одно
и то же количество теплоты, величина
переменного тока должна быть больше,
чем постоянного).

Элементы электрической цепи, обладающие
только активным сопротивлением R,
называют резисторами. Все элементы
электрической цепи – провода, обмотки,
реостаты – обладают активным
сопротивлением, все они нагреваются
при пропускании тока.

Кроме активного сопротивления существует
еще индуктивное, емкостное, реактивное,
полное.

Пусть к зажимам цепи с активным
сопротивлением R приложено
напряжение источника питания.

По закону Ома для мгновенных значений
для этой цепи


,
отсюда

– закон Ома для амплитудных значений.

Разделив левую и правую части этого
выражения на

,
получим

– закон Ома для действующих значений

(
,

– связь действующего значения с
амплитудным).

– закон Ома в комплексной форме.

Комплексное действующее значение тока


.

Поскольку ток и напряжение совпадают
по фазе, как видно из формул для мгновенных
значений, то можно представить изменение
тока и напряжения на временной диаграмме
следующим образом:

5. Мощность в цепи с активным сопротивлением

Мгновенная мощность

Мощность определяет
скорость расхода энергии, и для цепей
переменного тока также является
переменной величиной.

Т.к.

,
то

Из формулы
видно:мгновенная мощность остается
всегда положительной и колеблется около
уровня UI
(см. график).

С энергетической
точки зрения, положительная мощность
– это мощность, которая поступает из
генератора в нагрузку, а отрицательная
– та, которая возвращается обратно.
Первая мощность называется активной,
вторая – реактивной. Через активное
сопротивление проходит только активная
мощность.

Средняя мощность

Для определения
расхода энергии за длительное время
пользуются средним значением мощности.
Такую мощность еще называют активной

P
=
UI.

Активная мощность
обозначается [P],
единица измерения Ватт (Вт), (кВт), (МВт).

6. Электрическая цепь с индуктивностью

Индуктивность
можно определить как меру магнитной
инерции элемента в отношении
электромагнитного поля. По смыслу
индуктивность в электротехнике можно
сравнить с массой в механике. Чем больше
индуктивность элемента, тем медленнее
и тем большую энергию магнитного поля
он запасает.

Индуктивностью,
индуктивным сопротивлением обладают
в разной мере все элементы электрической
цепи переменного тока. Особенно велика
она у обмоток или катушек, состоящих из
большого числа витков. В цепях постоянного
тока индуктивность равна нулю, поскольку
ток не меняется со временем и проявляется
лишь при переходных режимах.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую
из источника и катушки индуктивности.

Под действием
синусоидального напряжения в цепи
протекает синусоидальный ток

В результате этого
вокруг катушки возникает переменное
магнитное поле, и в катушке наводится
э.д.с. самоиндукции.

Если R
= 0, то напряжение источника целиком идет
на уравновешивание этой э.д.с. Следовательно,

Т.к. по закону
электромагнитной индукции

,
то

или

,
где

.

Сопоставив
выражения для мгновенных значений тока
и напряжения, можно видеть, что напряжение
в цепи с индуктивностью опережает по
фазе ток на

.

Т.О, временная
диаграмма для тока и напряжения выглядит:

Векторная
диаграмма тока и напряжения для цепи
с индуктивностью

,

– индуктивное
сопротивление цепи;


:
видно, что с увеличением частоты
увеличивается индуктивное сопротивление.

Закон Ома для цепи
с индуктивностью

Закон Ома для
амплитудных значений для цепи с
индуктивностью:

.

Разделив левую и
правую части этого выражения на

,
получим закон Ома для действующих
значений

.

Закон Ома в
комплексной форме


,

j
обеспечивает
сдвиг фаз на

между I
и U
на комплексной плоскости.

Большинство бытовых приборов, подключаемых к сети, характеризуются таким параметром, как электрическая мощность устройства. С физической точки зрения мощность представляет собой количественное выражение совершаемой работы. Поэтому для оценки эффективности того или иного устройства вам необходимо знать нагрузку, которую он будет создавать в цепи. Далее мы рассмотрим особенности самого понятия и как найти мощность тока, обладая различными характеристиками самого устройства и электрической сети.

Понятие электрической мощности и способы ее расчета

С электротехнической точки зрения она представляет собой количественное выражение взаимодействия энергии с материалом проводников и элементами при протекании тока в электрической цепи. Из-за наличия электрического сопротивления во всех деталях, задействованных в проведения электротока, направленное движение заряженных частиц встречает препятствие на пути следования. Это и обуславливает столкновение носителей заряда, электроэнергия переходит в другие виды и выделяется в виде излучения, тепла или механической энергии в окружающее пространство. Преобразование одного вида в другой и есть потребляемая мощность прибора или участка электрической цепи.

В зависимости от параметров источника тока и напряжения мощность также имеет отличительные характеристики. В электротехнике обозначается S, P и Q, единица измерения согласно международной системы СИ – ватты. Вычислить мощность можно через различные параметры приборов и электрических приборов. Рассмотрим каждый из них более детально.

Через напряжение и ток

Наиболее актуальный способ, чтобы рассчитать мощность в цепях постоянного тока – это использование данных о силе тока и приложенного напряжения. Для этого вам необходимо использовать формулу расчета: P = U*I

Где:

  • P – активная мощность;
  • U – напряжение приложенное к участку цепи;
  • I  — сила тока, протекающего через соответствующий участок.

Этот вариант подходит только для активной нагрузки, где постоянный ток не обеспечивает взаимодействия с реактивной составляющей цепи. Чтобы найти мощность вам нужно выполнить произведение силы тока на напряжение. Обе величины должны находиться в одних единицах измерения – Вольты и Амперы, тогда результат также получится в Ваттах. Можно использовать и другие способы кВ, кА, мВ, мА, мкВ, мкА и т.д., но и параметр мощности пропорционально изменит свой десятичный показатель.

Через напряжение и сопротивление

Для большинства электрических устройств известен такой параметр, как внутреннее сопротивление, которое принимается за константу на весь период их эксплуатации. Так как бытовые или промышленные единицы подключаются к источнику с известным номиналом напряжения, определять мощность достаточно просто. Активная мощность находится из предыдущего соотношения и закона Ома для участка цепи, согласно которого ток на участке прямо пропорционален величине приложенного напряжения и имеет обратную пропорциональность к сопротивлению:

I = U/R

Если выражение для вычисления токовой нагрузки подставить в предыдущую формулу, то получится такое выражение для определения мощности:

P = U*(U/R)=U2/R

Где,

  • P – величина нагрузки;
  • U – приложенная разность потенциалов;
  • R – сопротивление нагрузки.

Через ток и сопротивление

Бывает ситуация, когда разность потенциалов, приложенная к электрическому прибору, неизвестна или требует трудоемких вычислений, что не всегда удобно. Особенно актуален данный вопрос, если несколько устройств подключены последовательно и вам неизвестно, каким образом потребляемая электроэнергия распределяется между ними. Подход в определении здесь ничем не отличается от предыдущего способа, за основу берется базовое утверждение, что электрическая нагрузка рассчитывается как P = U×I, с той разницей, что напряжение нам не известно.

Поэтому ее мы также выведем из закона Ома, согласно которого нам известно, что падение напряжения на каком-либо отрезке линии или электроустановки прямо пропорционально току, протекающему по этому участку и сопротивлению отрезка цепи:

U=I*R

после того как выражение подставить в формулу мощности, получим:

P = (I*R)*I =I2*R

Как видите, мощность будет равна квадрату силы тока умноженной на сопротивление.

Полная мощность в цепи переменного тока

Сети переменного тока кардинально отличаются от постоянного тем, что изменение электрических величин, приводит к появлению не только активной, но и реактивной составляющей. В итоге суммарная мощность будет также состоять активной и реактивной энергии:

Суммарная мощность

Где,

  • S – полная мощность
  • P – активная составляющая – возникает при взаимодействии электротока с активным сопротивлением;
  • Q – реактивная составляющая – возникает при взаимодействии электротока с реактивным сопротивлением.

Также составляющие вычисляются через тригонометрические функции, так:

P = U*I*cosφ

Q = U*I*sinφ

что активно используется в расчете электрических машин.

Треугольник мощностей

Рис. 1. Треугольник мощностей

Пример расчета полной мощности для электродвигателя

Отдельный интерес представляет собой нагрузка, подключенная к трехфазной сети, так как электрические величины, протекающие в ней, напрямую зависят от номинальной нагрузки каждой из фаз. Но для наглядности примера мы не будем рассматривать, как найти мощность несимметричного прибора, так как это довольно сложная задача, а приведем пример расчета трехфазного двигателя.

Особенность питания и асинхронной и синхронной электрической машины заключается в том, что на обмотки может подаваться и фазное и линейное напряжение. Тот или иной вариант, как правило, обуславливается способом соединения обмоток электродвигателя. Тогда мощность будет вычисляться по формуле:

S = 3*Uф*Iф

В случае выполнения расчетов с линейным напряжением, чтобы найти мощность формула примет вид:

Мощность и линейное напряжение

Активная и реактивная мощности будут вычисляться по аналогии с сетями переменного тока, как было рассмотрено ранее.

Теперь рассмотрим вычисления на примере конкретной электрической машины асинхронного типа. Следует отметить, что официальная производительность, указываемая в паспортных данных электродвигателя – это полезная мощность, которую двигатель может выдать при совершении оборотов вала. Однако полезная кардинально отличается от полной, которую можно вычислить за счет коэффициента мощности.

Шильд электродвигателя

Рис. 2. Шильд электродвигателя

Как видите, для вычислений с шильда мы возьмем следующую информацию об электродвигателе:

  • полезная производительность – 3 кВт, а в переводе на систему измерения – 3000 Вт;
  • коэффициент полезного действия – 80%, а в пересчете для вычислений будем пользоваться показателем 0,8;
  • тригонометрическая функция соотношения активных и реактивных составляющих – 0,74%;
  • напряжение, при соединении обмоток треугольником составит 220 В;
  • сила тока при том же способе соединения – 13,3 А.

С таким перечнем характеристик можно воспользоваться несколькими способами:

S = 1,732*220*13,3 = 5067 Вт

Чтобы найти искомую величину, сначала определяем активную составляющую:

P = Pполезная / КПД = 3000/0.8 = 3750 Вт

Далее полную по способу деления активной  на коэффициент cos φ:

S = P/cos φ = 3750/0.74 = 5067 Вт

Как видите, и в первом, и во втором случае искомая величина получилась одинакового значения.

Примеры задач

Для примера рассмотрим вычисление на участках электрической цепи с последовательным и параллельным соединением элементов. Первый вариант предусматривает ситуацию, когда все детали соединяются друг за другом от одного полюса источника питания до другого.

Последовательная расчетная цепь

Рис. 3. Последовательная расчетная цепь

Как видите на рисунке, в качестве источника мы используем батарейку с номинальным напряжением 9 В и три резистора по 10, 20 и 30 Ом соответственно. Так как номинальный ток нам не известен, расчет произведем через напряжение и сопротивление:

P = U2/R = 81 / (10+20+30) = 1.35 Вт

Для параллельной схемы подключения возьмем в качестве примера участок цепи с двумя резисторами и одним источником тока:

Параллельная схема подключения

Рис. 4. Параллельная схема подключения

Как видите, для удобства расчетов нам нужно привести параллельно подключенные резисторы к схеме замещения, из чего получится:

Rобщ = (R1*R2) / (R1+R2) = (10*15) / (10+15) = 6 Ом

Тогда искомый номинал нагрузки мы можем узнать через значение тока и сопротивления:

P = I2*R = 25*6 = 150 Вт

Видео по теме

ads

Электрические лампы накаливания, печи сопротивления, бытовые нагревательные приборы, реостаты и другие приемники, где электрическая энергия преобразуется в тепловую, на схемах замещения обычно представлены только сопротивлением R.
Для схемы, изображенной на рис. 13.1, а, заданы сопротивление R и напряжение, изменяющееся по закону

u = Umsinωt

Найдём ток и мощность в цепи.

 89

Ток в цепи переменного тока с активным сопротивлением.

По закону Ома найдем выражение для мгновенного тока:4

где Im = Um/R — амплитуда тока

Из уравнений напряжения и тока видно, что начальные фазы обеих кривых одинаковы, т. е. напряжение и ток в цепи с сопротивлением R совпадают по фазе. Это показано на графиках и векторной диаграмме (рис. 13.1, б, б).

Действующий ток найдем, разделив амплитуду на √ 2:5

Формулы (13.1) выражают закон Ома для цепи переменного тока с сопротивлением R. Внешне они ничем не отличаются от формулы для цепи постоянного тока, если переменные напряжение и ток выражены действующими величинами.

 Мгновенная мощность в цепи переменного тока с активным сопротивлением.

При переменных величинах напряжения и тока скорость преобразования электрической энергии в приемнике, т. е. его мощность, тоже изменяется. Мгновенная мощность равна произведению мгновенных величин напряжения и тока: p  = Umsinωt * Imsinωt = UmImsin2ωt

Из тригонометрии найдём 6

Более наглядное представление о характере изменения мощности в цепи дает график в прямоугольной системе координат, который строится после умножения ординат кривых напряжения и тока, соответствующих ряду значений их общего аргумента — времени t. Зависимость мощности от времени — периодическая кривая (рис. 13.2). Если ось времени t поднять по чертежу на величину р = Pm√2 = UmIm√2, то относительно новой оси t’ график мощности является синусоидой с двойной частотой и начальной фазой 90°:7

Таким образом, в первоначальной системе координат мгновенная, мощность равна сумме постоянной величины Р = UmIm√2 и перемен- ной р’:

р = Р + р’

Анализируя график мгновенной мощности, нетрудно заметить, что мощность в течение периода остается положительной, хотя ток и напряжение меняют свой знак. Это получается благодаря совпадению по фазе напряжения и тока.

Постоянство знака мощности говорит о том, что направление потока электрической энергии остается в течение периода неизменным, в данном случае от сети (от источника энергии) в приемник с сопротивлением R, где электрическая энергия необратимо преобразуется в другой вид энергии. В этом случае электрическая энергия называется активной.

Если R — сопротивление проводника, то в соответствии с законом Ленца — Джоуля электрическая энергия в нем преобразуется в тепло.

Активная мощность для цепи переменного тока с активным сопротивлением

Скорость преобразования электрической энергии в другой вид энергии за конечный промежуток времени, значительно больший периода изменения тока, характеризуется средней мощностью. Она равна средней мощности за период, которую называют активной.

Активная мощность — среднее арифметическое мгновенной мощности за период.

Для рассматриваемой цепи активную мощность Р нетрудно определить из графика рис. 13.2. Средняя величина мощности равна высоте прямоугольника с основанием Т, равновеликого площади, ограниченной кривой р(t) и осью абсцисс (на рисунке заштриховано).

Равенство площадей РТ = Sp выполняется, если высоту прямоугольника взять равной половине наибольшей мгновенной мощности Pm.

В этом случае часть площади Sp , находящаяся выше прямоугольника, точно укладывается в оставшуюся незаштрихованной его часть:

P = UI

Активная мощность для данной цепи равна произведению действующих величин тока и напряжения:

P = UI = I2R

С математической точки зрения активная мощность является постоянной составляющей в уравнении мгновенной мощности p(t) [см. выражение (13.2)].

Среднюю мощность за период можно найти интегрированием уравнения (13.2) в пределах периода:10

Сопротивление R, определяемое из формулы (13.3) отношением активной мощности цепи к квадрату действующего тока, называется активным электрическим сопротивлением.

Содержание:

Электрические цепи синусоидального тока:

В общем случае цепь переменного тока характеризуется тремя параметрами: активным сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С. В технике часто применяются цепи переменного тока, в которых преобладает один или два из этих параметров.

При анализе работы и расчетах цепей исходят из того, что для мгновенных значений переменного тока можно использовать все правила и законы постоянного тока.

Цепь с активным сопротивлением

Активным сопротивлением R обладают элементы, которые нагреваются при прохождении через них тока (проводники, лампы накаливания, нагревательные приборы и т.д.).

Если к активному сопротивлению R (рис. 11.1) приложено синусоидальное напряжение Электрические цепи синусоидального тока

Электрические цепи синусоидального тока

где Электрические цепи синусоидального тока

Ток в цепи с активным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением, так как начальные фазы их равны (Электрические цепи синусоидального тока = 0). Векторная диаграмма для цепи с активным сопротивлением изображена на рис. 11.16, временная диаграмма изображена на рис. 11.1в.

Математическое выражение закона Ома для цепи переменного тока с активным сопротивлением имеет вид:

Электрические цепи синусоидального тока

Это вытекает из выражения (11.1), если левую и правую части уравнения разделить на Электрические цепи синусоидального тока =1,41.

Электрические цепи синусоидального тока

Таким образом, действующее значение синусоидального тока I пропорционально действующему значению синусоидального напряжения U и обратно пропорционально сопротивлению R участка цепи, к которому приложено напряжение U. Такая интерпретация закона Ома справедлива как для мгновенных, так и для действующих и амплитудных значений синусоидального тока.

Активная мощность

Мгновенная мощность в цепи с активным сопротивлением определяется произведением мгновенных значений напряжения ка, т. е. р = ui. Это действие производится над кривыми тока и ряжения в определенном масштабе (рис. 11.1в). В результате учена временная диаграмма мгновенной мощности р. Как видно из временной диаграммы, мощность в цепи с активным сопротивлением изменяется по величине, но не изменяется по направлению (рис. 11.1в). Эта мощность (энергия) необратима. От источника она поступает на потребитель и полностью преобразуется в другие виды мощности (энергии), т.е. потребляется. Такая потребляемая мощность называется активной.

Поэтому и сопротивление R, на котором происходит подобное образование, называется активным сопротивлением, цепи с активным сопротивлением мгновенная мощность характеризует скорость преобразования электрической энергии в другие виды энергии.

Количественно мощность в цепи с активным сопротивлением определяется следующим образом:

Электрические цепи синусоидального тока

Мгновенная мощность в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением представляет собой сумму двух величин -постоянной мощности UI и переменной Электрические цепи синусоидального тока, изменяющейся с двойной частотой.

Средняя за период мощность, равная постоянной составляющей мгновенной мощности UI, является активной мощностью Р. Среднее за период значение переменной составляющей, как и всякой синусоидальной величины, равно нулю, то есть

Электрические цепи синусоидального тока

Таким образом, величина активной мощности в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением с учетом закона Ома определяется выражением:

Электрические цепи синусоидального тока

где U- действующее значение напряжения; I— действующее значение тока.

Единицей активной мощности является ватт:

Электрические цепи синусоидального тока

Поверхностный эффект и эффект близости

Сопротивление проводника постоянному току Электрические цепи синусоидального тока называют омическим сопротивлением и определяют выражением (2.8) Электрические цепи синусоидального тока Сопротивление проводника переменному току R называют активным.

Оказывается, что сопротивление проводника переменному току больше его омического сопротивления за счет так называемого поверхностного эффекта и эффекта близости, т. е. Электрические цепи синусоидального тока

Увеличение активного сопротивления вызвано неодинаковой плотностью тока в различных сечениях проводника (рис. 11.2а).

На рис. 11.2а изображено магнитное поле проводника цилиндрического сечения. Если по проводнику проходит переменный ток, то он создает переменный магнитный поток внутри и вне проводника. Этот поток в различных сечениях проводника индуктирует ЭДС самоиндукции, которая, согласно правилу Ленца. противодействует изменению тока как причине создания ЭДС Очевидно, центр проводника охвачен большим количеством магнитных линий (большее потокосцепление), чем слои, близкие к поверхности. Следовательно, в центре проводника ЭДС (сопротивление) больше, чем на поверхности проводника. Плотность на поверхности больше, чем в центре. Поэтому это явление и называется поверхностным эффектом.

Электрические цепи синусоидального тока

Таким образом, поверхностный эффект уменьшает сечение проводника для переменного тока, а следовательно, увеличивает активное сопротивление R.

Отношение активного сопротивления проводника к его сопротивлению определяет коэффициент поверхностного эффекта Электрические цепи синусоидального тока(кси)

Электрические цепи синусоидального тока

График зависимости коэффициента поверхностного эффекта от параметра проводника d, его удельной проводимости Электрические цепи синусоидального тока, магнитной проницаемости материала проводника Электрические цепи синусоидального тока и частоты переменного тока Электрические цепи синусоидального тока, проходящего по проводнику, показан на рис. 11.26.

При токах большой частоты Электрические цепи синусоидального тока (радиочастотах) ток в центре проводника отсутствует. Поэтому такие проводники делают трубчатыми, т.е. полыми.

На величину активного сопротивления проводника R оказывает влияние и эффект близости.

Если токи в двух параллельных проводах, расположенных близко друг к другу, направлены в одну сторону, то элементы сечения водников, удаленных на большее расстояние друг от друга, цепляются с меньшим магнитным потоком и имеют большую плотность тока (заштриховано на рис. 11.3а), чем элементы сечения проводников, расположенные близко друг к другу.

Если же токи в близко расположенных параллельных проводах направлены в различные стороны, то большая плотность тока на-дается в элементах сечения проводников, расположенных ближе друг к другу (заштриховано на рис. 11.36).

Таким образом, эффект близости в проводниках также влияет активное сопротивление проводников за счет наведения в различных элементах сечений проводников различных ЭДС взаимоиндукции, направление которых определяется правилом Ленца.

Электрические цепи синусоидального тока

Цепь с идеальной индуктивностью

Идеальной называют индуктивность L такой катушки, активным сопротивлением R и емкостью С которой можно пренебречь, т.е. R= О и С=0.

Если в цепи идеальной катушки индуктивностью L (рис. 11.4а) проходит синусоидальный ток Электрические цепи синусоидального тока, то этот ток создает в катушке синусоидальный магнитный поток Электрические цепи синусоидального тока, который индуктирует в катушке ЭДС самоиндукции, равную согласно (9.11)

Электрические цепи синусоидального тока

так как Электрические цепи синусоидального тока

Очевидно, эта ЭДС достигает своего амплитудного значения Электрические цепи синусоидального тока тогда, когда Электрические цепи синусоидального тока:

Электрические цепи синусоидального тока

Тогда Электрические цепи синусоидального тока

Таким образом, ЭДС самоиндукции в цепи с идеальной индуктивностью L, как и ток, вызвавший эту ЭДС, изменяется по синусоидальному закону, но отстает от тока по фазе на угол 90° = Электрические цепи синусоидального тока (рис. 11.46, в).   

По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений можно записать

Электрические цепи синусоидального тока

Откуда Электрические цепи синусоидального тока

Тогда напряжение, приложенное к цепи с идеальной индуктивностью (см. (11.5)):

Электрические цепи синусоидального тока

Очевидно, напряжение достигает своего амплитудного значения Um тогда, когда Электрические цепи синусоидального тока:

Электрические цепи синусоидального тока

Следовательно, Электрические цепи синусоидального тока

Таким образом, напряжение, приложенное к цепи с идеальной ин-ивностью, как и ток в этой цепи, изменяется по синусоидально-жону, но опережает ток по фазе на угол 90°= Электрические цепи синусоидального тока (рис. 11.46, в).

Резюмируя все вышесказанное, можно сделать вывод: для существования тока в цепи с идеальной индуктивностью необходимо ожить к цепи напряжение, которое в любой момент времени но по величине, но находится в противофазе с ЭДС, вызванной таким током (рис. 11.46, в).

Временная диаграмма (рис. 11.4в) еще раз иллюстрирует правило Ленца: ЭДС Электрические цепи синусоидального тока противодействует изменению тока.

Если уравнение (11.10) разделить на Электрические цепи синусоидального тока=1,41, то получается Электрические цепи синусоидального тока=Электрические цепи синусоидального тока, откуда

Электрические цепи синусоидального тока

Это уравнение (11.12а) и есть математическое выражение закона Ома для цепи синусоидального тока с идеальной индуктивностью. Очевидно, знаменатель этого уравнения есть не что иное, как сопротивление, которое называют индуктивным сопротивлением XL.

Таким образом,

Электрические цепи синусоидального тока

Закон Ома для этой цепи можно записать иначе:

Электрические цепи синусоидального тока

Индуктивное сопротивление XL — это противодействие, которое ЭДС самоиндукции eL оказывает изменению тока.

Реактивная мощность в цепи с индуктивностью

Мгновенная мощность для цепи синусоидального тока с идеальной катушкой равна произведению мгновенных значений напряжения и тока

Электрические цепи синусоидального тока

где Электрические цепи синусоидального тока

Следовательно, Электрические цепи синусоидального тока

Полученное уравнение умножают и делят на 2:

Электрические цепи синусоидального тока

Таким образом, мощность в цепи синусоидального тока с идеальной катушкой индуктивности изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой.

Следовательно, среднее значение этой мощности за период Яс, как и любой синусоидальной величины, т. е. активная потребляемая мощность, в этой цепи равна нулю, Р= 0.

Временная диаграмма (рис. 11,4в) подтверждает этот вывод. На диаграмме видно, что мгновенная мощность (Электрические цепи синусоидального тока) в рассматриваемой цепи изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой.

То есть в 1-ю и 3-ю четверти периода мощность (энергия) источника накапливается в магнитном поле индуктивности. Максимальное значение накапливаемой в магнитном поле идеальной катушки энергии по (9.12) равно

Электрические цепи синусоидального тока

Во 2-ю и 4-ю четверти периода эта мощность (энергия) из магнитного поля идеальной катушки возвращается к источнику.

Таким образом, в цепи переменного тока с идеальной катушки мощность не потребляется (Р= 0), а колеблется между источником и магнитным полем индуктивности, загружая источник и провода.

Такая колеблющаяся мощность (энергия), в отличие от активной, потребляемой, называется реактивной.

Обозначается реактивная мощность буквой Q и измеряется в варах, т.е. [Q]=вар (вольт-ампер реактивный).

Величина реактивной мощности в рассматриваемой цепи определяется выражением

Электрические цепи синусоидального тока

Так как реактивная мощность QL имеет место в цепи с индуктивным сопротивлением, то индуктивное сопротивление считается реактивным сопротивлением X индуктивного характера, т. е. XL.

Цепь с емкостью

Если конденсатор емкостью С подключить к источнику с постоянным напряжением U (рис. 11.5а), то ток зарядки конденсатора ходит в цепи очень короткое время, пока напряжение на конденсаторе Uc не станет равным напряжению источника U.

Ток в рассматриваемой цепи (рис. 11.5а) практически отсутствует (амперметр А покажет I=0).

Если же конденсатор подключить к источнику с синусоидальным напряжением (рис. 11.56), то ток в цепи конденсатора существует все время, пока цепь замкнута, и амперметр А покажет этот ток. Ток в цепи конденсатора, подключенного к источнику с синусоидальным напряжением, имеет место потому, что напряжена конденсаторе Uc отстает по фазе от напряжения источника и зарядке, и при разрядке конденсатора. Например, пока напряжение на конденсаторе достигает значения 1, напряжение источника достигнет значения 2 (рис. 11.5в), т. е. конденсатор заряжается; пока конденсатор зарядится до напряжения 2, напряжение источника уменьшится до напряжения 3 — конденсатор разряжается на источник и т.д. Однако ток проходит только в цепи конденсатора. Через диэлектрик конденсатора ток не проходит.

Электрические цепи синусоидального тока

Электрические цепи синусоидального тока

Таким образом, если к конденсатору емкостью С приложено синусоидальное напряжение Электрические цепи синусоидального тока, то в цепи конденсатора проходит ток i (рис. 11.6а):

Электрические цепи синусоидального тока

где q= Си согласно (6.3).

Очевидно, ток в цепи конденсатора достигает амплитудного значения тогда, когда Электрические цепи синусоидального тока:

Электрические цепи синусоидального тока

Тогда Электрические цепи синусоидального тока

Как видно, ток в цепи конденсатора, как и напряжение, приложенное к его обкладкам, изменяется по синусоидальному закону, однако опережает это напряжение по фазе на угол 90°=Электрические цепи синусоидального тока

Следовательно, напряжение отстает по фазе от тока на 90° = Электрические цепи синусоидального тока(рис. 11.66). 

Если уравнение (11.17) разделить на Электрические цепи синусоидального тока = 1,41, то получится равенство Электрические цепи синусоидального тока или

Электрические цепи синусоидального тока

Это равенство (11.19а) и является математическим выражением закона Ома для цепи переменного тока с емкостью.

Очевидно, знаменатель этого равенства является сопротивлением конденсатора Хс, которое называется емкостным сопротивлением:

Электрические цепи синусоидального тока

Когда закон Ома для цепи с конденсатором можно записать:

Электрические цепи синусоидального тока

Емкостное сопротивление — это противодействие, которое оказывает напряжение заряженного конденсатора напряжению, приложенному к нему (рис. 11,5а).

Реактивная мощность в цепи с конденсатором

Если в цепи конденсатора емкостью Электрические цепи синусоидального тока = 0 (рис. 11.6а) проходит ток i, изменяющийся по синусоидальному закону:

Электрические цепи синусоидального тока

Напряжение и, приложенное к этому конденсатору (рис. 11.6), будет равно

Электрические цепи синусоидального тока

Мгновенная мощность в цепи с конденсатором

Электрические цепи синусоидального тока

Мощность в цепи с конденсатором, подключенным к источнику с синусоидальным напряжением, изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой (рис. 11.6в).

Следовательно, активная мощность Р в рассматриваемой цепи 1С. 11.6а), равная среднему значению мгновенной мощности за период, имеет нулевое значение, Р= 0.

Это следует и из временной диаграммы (рис. 11.6в). На временной диаграмме видно, что изменение мгновенной мощности р по синусоидальному закону происходит с двойной частотой: 2-ю и 4-ю четверти периода мощность (энергия) источника накапливается в электрическом поле конденсатора.

Максимальное значение энергии, накапливаемой в электрическом поле конденсатора, равно

Электрические цепи синусоидального тока

В 1-ю и 3-ю четверти периода эта мощность (энергия) из электрического поля конденсатора возвращается к источнику.

Таким образом, в цепи переменного тока с конденсатором происходит колебание мощности (энергии) между источником и электрическим полем конденсатора. Такая колеблющаяся, но не потребляемая мощность называется реактивной мощностью.

Величина реактивной мощности в цепи конденсатора определяется выражением

Электрические цепи синусоидального тока

Из временных диаграмм (рис. 11.4в, 11.6в) видно, что реактивная мощность в цепи конденсатора изменяется в противофазе с реактивной мощностью в цепи с идеальной катушкой. Отсюда и знак «минус» в уравнении (11.21) — аналитическом выражении мгновенной мощности в цепи с конденсатором.

Так как реактивная мощность Qc имеет место в цепи с емкостным сопротивлением, то это емкостное сопротивление считается реактивным сопротивлением Х емкостного характера (Хс).

Расчет линейных электрических цепей синусоидального тока

Расчет электрических цепей синусоидального тока производится преимущественно с помощью векторных диаграмм. В нашей главе рассматривается расчет неразветвленных цепей синусоидального тока, содержащих активное сопротивление R, активность L и емкость С в различных сочетаниях.

Цепь с активным сопротивлением и индуктивностью

Если по цепи с реальной катушкой, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L, проходит синусоидальный ток Электрические цепи синусоидального тока (рис. 12.1а), то этот ток создает падение напряжения на активном сопротивлении проводников катушки и индуктивном сопротивлении катушки Электрические цепи синусоидального тока

Следовательно, по второму закону Кирхгофа, для мгновенных значений, приложенное к реальной катушке напряжение можно записать

Электрические цепи синусоидального тока

Это равенство справедливо для неразветвленной цепи синусоидального тока с последовательно включенными активным сопротивлением R и индуктивным сопротивлением XL (рис. 12.16).

Активное напряжение (рис. 11.16) совпадет по фазе с током и может быть записано Электрические цепи синусоидального тока. Индуктивное напряжение Электрические цепи синусоидального тока опережает ток на угол 90° = Электрические цепи синусоидального тока.

Электрические цепи синусоидального тока

Мгновенное значение напряжения, приложенного к цепи, определяется алгебраической суммой мгновенных значений напряжений Электрические цепи синусоидального тока согласно (12.1). А действующее значение этого напряжения U определяется геометрической суммой их действующих значений

Электрические цепи синусоидального тока

Это равенство лежит в основе построения векторной диаграммы (рис. 12.1 в).

Из векторной диаграммы (рис. 12.1 в) видно, что напряжение U, приложенное к реальной катушке, опережает по фазе ток Электрические цепи синусоидального тока на угол ф. Мгновенное значение этого напряжения может быть записано:

Электрические цепи синусоидального тока

где ф — это международное обозначение угла сдвига фаз между током и напряжением для любой цепи переменного тока.

Воспользовавшись теоремой Пифагора для определения гипотенузы прямоугольного треугольника, по векторной диаграмме (рис. 12.1 в) определяется напряжение

Электрические цепи синусоидального тока

Откуда

Электрические цепи синусоидального тока

Равенство (12.4) является математическим выражением закона Ома для цепи синусоидального тока с активным R и индуктивным XL сопротивлениями в неразветвленной цепи.

Знаменатель этого равенства является сопротивлением этой цепи, которое называется полным, или кажущимся, сопротивлением цепи синусоидального тока. Обозначается кажущееся (полное) сопротивление любой цепи переменного тока буквой Z:

Электрические цепи синусоидального тока

где Zk — полное, или кажущееся, сопротивление реальной катушки.

Тогда закон Ома для любой цепи переменного тока в общем виде можно записать

Электрические цепи синусоидального тока

где Z — кажущееся сопротивление этой цепи.

Треугольники напряжений, сопротивлений, мощностей

Треугольник, все стороны которого изображены векторами напряжений, называется треугольником напряжений. Пользуясь векторной диаграммой для неразветвленной цепи с активным и индуктивным сопротивлениями (рис. 12.1в), выделяем треугольник напряжений (рис. 12.2а).

Связь между напряжениями в данной цепи можно рассматривать как соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника:

Электрические цепи синусоидального тока

Если все стороны треугольника напряжений разделить на ве-1ину тока в цепи, то получится подобный прямоугольный треугольник, все стороны которого в определенном масштабе изображают сопротивления цепи, т. е. получится треугольник составлений (рис. 12.16). Сопротивления не являются векторными величинами. Из треугольника сопротивлений можно определить:

Электрические цепи синусоидального тока

Электрические цепи синусоидального тока

Обычно тригометрические функции угла ф определяются из треугольника сопротивлений отношением (12.9).

Если все стороны треугольника напряжений умножить на величину тока цепи, то получится подобный прямоугольный треугольник, все стороны которого в определенном масштабе изображают мощности цепи, т.е. получится треугольник мощностей (рис. 12.2в).

Произведение напряжения и тока цепи характеризует полную мощность цепи

Электрические цепи синусоидального тока

которая измеряется в вольт-амперах, т.е. Электрические цепи синусоидального тока

Однако потребляется в цепи только часть полной мощности — активная мощность

Электрические цепи синусоидального тока

где cos ф показывает, какая часть полной мощности Электрические цепи синусоидального тока потребляется в цепи, поэтому cos ф называют коэффициентом мощности:

Электрические цепи синусоидального тока

Полная мощность цепи S называется кажущейся. Из того же треугольника мощностей (рис. 12.2в) записать:

Электрические цепи синусоидального тока

Построив треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для любой цепи синусоидального тока, по выражениям (12.7)—(12.14) можно рассчитать параметры этой цепи.

Цепь с активным сопротивлением и емкостью

Если в цепи с последовательно включенными активным сопротивлением R и емкостью С протекает синусоидальный ток Электрические цепи синусоидального тока, то он создает падение напряжения на активном сопротивлении Электрические цепи синусоидального тока и на емкостном сопротивлении Электрические цепи синусоидального тока. Векторная диаграмма для этой цепи изображена на рис. 12.36.

Электрические цепи синусоидального тока

Напряжение цепи изменяется, как и ток, по синусоидальному закону и отстает по фазе от тока на угол ф < 90°, т. е.

Электрические цепи синусоидального тока

Действующее значение напряжения U, приложенного к этой цепи, определяется по векторной диаграмме (рис. 12.3):

Электрические цепи синусоидального тока

Откуда математическое выражение закона Ома для этой цепи:

Электрические цепи синусоидального тока

Пример 12.1

К цепи с последовательно включенными сопротивлениями R= 8 Ом и Хс= 6 Ом (рис. 12.3а) приложено напряжение U= 220 В. Определить ток цепи I, напряжение на активном Электрические цепи синусоидального тока и реактивном Up участках, полную S, активную Р и реактивную Q мощности.

Решение

Для определения тока вычислим полное сопротивление цепи

Электрические цепи синусоидального тока

Тогда ток будет равен

Электрические цепи синусоидального тока

Напряжения на участках:

Электрические цепи синусоидального тока

Полная мощность Электрические цепи синусоидального тока

Активная мощность Электрические цепи синусоидального тока

Электрические цепи синусоидального тока

Реактивная мощность Электрические цепи синусоидального тока

Электрические цепи синусоидального тока

Неразветвленная цепь с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью

Если в неразветвленной цепи с R, L и С (рис. 12.4а) протекает синусоидальный ток Электрические цепи синусоидального тока, то он создает падение напряжения на всех участках цепи: Электрические цепи синусоидального тока и Электрические цепи синусоидального тока.

Мгновенное значение напряжения цепи определяется по формуле

Электрические цепи синусоидального тока

Так как в рассматриваемой цепи включены два реактивных сопротивления XL и Хс, то возможны три режима работы цепи: Электрические цепи синусоидального тока

Векторная диаграмма цепи для режима Электрические цепи синусоидального тока изображена на рис. 12.46.

Электрические цепи синусоидального тока

Знак перед углом сдвига фаз ф зависит от режима работы цепи Если в рассматриваемой цепи преобладает индуктивное напряжение (сопротивление), т. е. Электрические цепи синусоидального тока, то цепь имеет индуктивный характер и напряжение U опережает по фазе ток Электрические цепи синусоидального тока.

Если в цепи преобладает емкостное напряжение (сопротивление), т.е. Электрические цепи синусоидального тока, то цепь имеет емкостной характер и напряжение U отстает по фазе от тока I (—ф).

Из векторной диаграммы (рис. 12.46) следует:

Электрические цепи синусоидального тока

Сопротивление R может включать в себя сопротивление самостоятельного резистора или активное сопротивление реальной катушки и конденсатора.

Математическое выражение закона Ома для неразветвленной цепи с активным сопротивлением, индуктивностью и емкость:

Электрические цепи синусоидального тока

где Z — полное (или кажущееся) сопротивление неразветвленной цепи с R, L и С, т. е.

Электрические цепи синусоидального тока

На рис. 12.5 изображены треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для рассматриваемой цепи.

Знак и значение угла ф можно определить из треугольника сопротивлений (рис. 12.56):

Электрические цепи синусоидального тока

или

Электрические цепи синусоидального тока

Из выражений (12.20) и (12.21) видно, что если Электрические цепи синусоидального тока, то угол ф положителен (+ф), если Электрические цепи синусоидального тока, то угол ф отрицательный (—ф).

Из треугольника мощностей (рис. 12.5в) видно, что в цепи с R, L и С кроме активной мощности Электрические цепи синусоидального тока имеется реактивная мощность Электрические цепи синусоидального тока. Кроме того, в цепи происходит колебание мощности (меньшей из двух реактивных, в нашем случае Uc) между электрическим полем конденсатора С и магнитным полем катушки индуктивности L, так как мощности QL и Qc изменяются в противофазе. Но эта мощность (1—2 на рис. 12.5в) не считается реактивной, так как она не загружает источник и провода.

Из треугольника мощностей (рис. 12.5в) видно, что реактивная мощность, которая загружает источник и провода, Q= QL— Qc. Эта реактивная мощность (энергия) колеблется между источником и магнитным полем катушки индуктивности, так как Электрические цепи синусоидального тока

Полная мощность цепи определяется по формуле

Электрические цепи синусоидального тока

Колебательный контур

Электрические цепи, в которых происходят периодические изменения токов, напряжений, энергии называются колебательными.

Для того чтобы исследовать резонансные явления, необходимо иметь представления о процессах в колебательном контуре, состоящем из идеальной катушки и конденсатора без потерь.

Если конденсатор емкостью С зарядить до напряжения Um, то в электрическом поле этого конденсатора накопится энергия, максимальное значение которой согласно выражению (6.21):

Электрические цепи синусоидального тока

Если к заряженному конденсатору подключить индуктивность L замыканием ключа К (рис. 12.6), то конденсатор будет

разряжаться через индуктивность переменным током i. При этом в индуктивности L создается ЭДС самоиндукции eL, и в магнитном поле ее накапливается энергия, максимальное значение которой (9.12):

Электрические цепи синусоидального тока

Электрические цепи синусоидального тока    

Источником энергии в этом контуре является конденсатор. Ток в контуре, состоящем из индуктивности L и конденсатора С, не прекращается даже когда конденсатор полностью разрядится. За счет ЭДС самоиндукции и энергии, накопившейся в магнитном поле индуктивности, конденсатор будет заряжаться, и энергия магнитного поля индуктивности переходит в электрическое поле конденсатора. При этом источником энергии в этом контуре является индуктивность. Дальше процесс повторяется.

Таким образом, в замкнутом контуре, состоящем из индуктивности и емкости, происходит колебание энергии между электрическим полем конденсатора С и магнитным полем индуктивности L. Поэтому такой замкнутый контур называется колебательным контуром.

Колебание энергии в колебательном контуре происходит с определенной частотой Электрические цепи синусоидального тока, которую называют частотой собственных колебаний контура. Частоту собственных колебаний со0 определяют из условия равенства энергии электрического и магнитного полей:

Электрические цепи синусоидального тока

так как из (11.19) в цепи переменного тока с емкостью Электрические цепи синусоидального тока

Откуда

Электрические цепи синусоидального тока

Таким образом, частота собственных колебаний колебательного контура определяется параметрами этого контура L и С.

Если в колебательном контуре отсутствуют потери (идеальный контур), то колебания в нем будут незатухающими с неизменной амплитудой. Если в колебательном контуре имеется активное сопротивление, т.е. возникают потери, то колебания энергии в нем будут затухающие, с уменьшающейся амплитудой, если эти потери не компенсируются.

Резонанс напряжений

Если в цепи синусоидального тока с последовательно соединенными конденсатором емкостью С и катушкой с сопротивлением R И индуктивностью L (рис. 12.7а) равны реактивные сопротивления, то в цепи наступает резонанс напряжений. Равенство реактивных сопротивлений является условием резонанса напряжений.

Электрические цепи синусоидального тока

Из (12.25) следует Электрические цепи синусоидального тока, тогда частота резонанса опреляется выражением
Электрические цепи синусоидального тока

Из (12.26) следует, что резонанс напряжений имеет место в неразветвленной цепи с L и С тогда, когда частота вынужденных колебаний (частота источника) Электрические цепи синусоидального тока будет равна частоте собственных колебаний резонансного контура Электрические цепи синусоидального тока. Следовательно, добиться резонанса напряжений можно изменением частоты источника Электрические цепи синусоидального тока или изменением параметров колебательного контура L или С. т. е. изменением частоты собственных колебаний Электрические цепи синусоидального тока.

Полное (кажущееся) сопротивление цепи (рис. 12.7а) при резонансе напряжений определяется по формуле

Электрические цепи синусоидального тока

так как XL-Xc=0.

То есть полное сопротивление неразветвленной цепи при резонансе напряжений Электрические цепи синусоидального тока становится минимальным и равным активному сопротивлению цепи R.

Следовательно, ток в неразветвленной цепи при резонансе напряжений максимальный:

Электрические цепи синусоидального тока

Реактивные сопротивления при резонансе напряжений равны между собой, т. е.
(12.29)

Электрические цепи синусоидального тока

Таким образом, реактивные сопротивления при резонансе напряжений равны (каждое) волновому сопротивлению Электрические цепи синусоидального тока, которое называют характеристическим сопротивлением:

Электрические цепи синусоидального тока

Напряжения на индуктивности UL и на емкости Uc при резонансе напряжений равны между собой, так как равны сопротивления, см. (12.25).

Электрические цепи синусоидального тока

Равенство (12.31) определяет название «резонанс напряжений».

Так как UL и Uc изменяются в противофазе, то напряжение в резонансном режиме равно напряжению на активном сопротивлении Электрические цепи синусоидального тока, т. е. Электрические цепи синусоидального тока, что видно на векторной диаграмме (рис. 12.76).

При резонансе напряжений каждое из реактивных напряжений UL и Uc может оказаться большим, чем напряжение цепи U.

Электрические цепи синусоидального тока

где Q — добротность резонансного контура.

Добротность контура Q показывает, во сколько раз напряжение на индуктивности UL и емкости Uc (каждое) больше напряжения цепи U.

Высокая добротность резонансного контура (при малом активном сопротивлении контура) нашла широкое применение в радиотехнике, в частности в антенном контуре.

Из векторной диаграммы (рис. 12.76) видно, что при резонансе напряжение цепи U совпадает по фазе с током Электрические цепи синусоидального тока, угол между Электрические цепи синусоидального тока и U ф = 0 и cos ф = 1. Следовательно, кажущаяся мощность цепи S при резонансе вся потребляется, т. е. является активной:

Электрические цепи синусоидального тока

Колеблющаяся между магнитным полем индуктивности и электрическим полем емкости мощность (Электрические цепи синусоидального тока) не является реактивной, так как не загружает источник и провода.

Из выражения (12.33) следует, что при отсутствии активной Мощности Р (активного сопротивления R) резонансный контур становится при резонансе идеальным колебательным контуром. Следовательно, при наличии активного сопротивления R источник расходует свою мощность на компенсацию потерь в контуре, за счет чего колебания в цепи будут незатухающими.

Электрические цепи синусоидального тока

Кроме активного сопротивления R резонансной цепи и напряжения, приложенного к ней, все параметры резонансной цепи (Электрические цепи синусоидального тока) изменяются с изменением частоты сети Электрические цепи синусоидального тока.

Эти изменения параметров резонансной цепи наглядно иллюстрируются резонансными кривыми, изображенными на рис. 12.8.

На резонансных кривых четко просматриваются значения этих параметров при частоте резонанса Электрические цепи синусоидального тока.

Общий случай неразветвленной цепи

Для неразветвленной цепи, содержащей несколько активных и реактивных сопротивлений различного характера (рис. 12.9а), справедливо геометрическое равенство напряжений (баланс напряжений)

Электрические цепи синусоидального тока

которое лежит в основе построения векторной диаграммы (рис. 12.96).

Таким образом, напряжение цепи равно геометрической сумме напряжений на всех участках этой цепи.

Из векторной диаграммы следует (рис. 12.96)

Электрические цепи синусоидального тока

где Электрические цепи синусоидального тока — активное напряжение цепи равно арифметической сумме напряжений на активных участках цепи; Электрические цепи синусоидального тока — реактивное напряжение цепи равно алгебраической сумме напряжений на реактивных участках цепи.

Те же рассуждения можно отнести и к сопротивлениям:

— полное сопротивление цепи Электрические цепи синусоидального тока;

— активное сопротивление цепи Электрические цепи синусоидального тока;

— реактивное сопротивление цепи Электрические цепи синусоидального тока

Электрические цепи синусоидального тока

Напряжение на каком-либо участке неразветвленной цепи (рис. 12.9а), например на участке АВ, определяется так:_

Электрические цепи синусоидального токаЭлектрические цепи синусоидального тока

Вектор напряжения UAB показан на векторной диаграмме (рис. 12.96).

Пример 12.2

Напряжение, приложенное к неразветвленной цепи (рис. 12.10) U=220 В, частота тока сети f = 50 Гц. Начальная фаза тока Электрические цепи синусоидального тока = 0.

Сопротивление участков цепи: Электрические цепи синусоидального тока Электрические цепи синусоидального тока

Электрические цепи синусоидального тока

Требуется:

1. Вычислить ток цепи I и записать его мгновенное значение.

2. Записать мгновенное значение напряжения цепи иАЕ, определив предварительно угол ср и характер цепи.

3. Определить напряжение между точками АВ и CD.

4. Построить в масштабе векторную диаграмму цепи, определив едварительно напряжение на каждом сопротивлении.

5. Определить мощности S, Р и Q цепи.

6. Определить частоту, при которой в цепи наступит резонанс напряжений, и ток при резонансе.

7. Определить максимальную энергию, запасенную в магнитном поле катушек WmL и электрическом поле конденсаторов WmC. Как нужно изменить емкость конденсаторов, чтобы в цепи пил резонанс напряжений при частоте f = 50 Гц?

Решение

1. Для определения тока цепи I необходимо вычислить полное сопротивление цепи:

Электрические цепи синусоидального тока

Действующее значение тока Электрические цепи синусоидального тока = 8,8 А, а амплитудное значение тока Электрические цепи синусоидального тока

Угловая частота Электрические цепи синусоидального тока рад/с.

Мгновенное значение тока цепи:

Электрические цепи синусоидального тока

2. Угол сдвига фаз ф и характер цепи определяется через tg ф:

Электрические цепи синусоидального тока

Таким образом, угол ф = 37° (из таблицы), характер цепи индуктивный (+ф).

Тогда мгновенное значение напряжения цепи

Электрические цепи синусоидального тока

где Электрические цепи синусоидального тока

3. Напряжение на участках:

Электрические цепи синусоидального тока

4. Для построения векторной диаграммы определяются напряжения:

Электрические цепи синусоидального тока

Векторная диаграмма цепи (отображает только характер участков, но не величины напряжений на них) изображена на рис. 12.11.

5. Полная мощность цепи Электрические цепи синусоидального тока активная мощность Р=Электрические цепи синусоидального тока (так как Электрические цепи синусоидального тока), реактивная мощность Электрические цепи синусоидального тока вар, (так как Электрические цепи синусоидального тока).

6. Для определения частоты резонанса вычисляется индуктивность L и емкость С цепи:

Электрические цепи синусоидального тока

Электрические цепи синусоидального тока

Тогда

Электрические цепи синусоидального тока

Ток цепи при резонансе Электрические цепи синусоидального тока А.

7. Максимальная энергия, запасенная в магнитном поле катушек:

Электрические цепи синусоидального тока

Максимальная энергия, запасенная в электрическом поле конденсаторов:

Электрические цепи синусоидального тока

8. Условие резонанса XL = XC.

По условию задачи Электрические цепи синусоидального тока, а Электрические цепи синусоидального токаЭлектрические цепи синусоидального тока Ом. Этому Хс соответствует емкость С = Электрические цепи синусоидального тока Ф при f = 50 Гц. Для того чтобы выполнить условие резонанса при сохранении частоты 50 Гц, необходимо Хс увеличить до 38 Ом. Чтобы емкостное сопротивление равнялось 38 Ом, величина емкости С должна быть равна

Электрические цепи синусоидального тока

т. е. емкость конденсаторов нужно уменьшить на

Электрические цепи синусоидального тока

Разветвленная цепь синусоидального тока

Активный и реактивный токи:

Для расчета разветвленных цепей синусоидального тока вводятся расчетные величины активного и реактивного токов цепи.

Если к цепи, содержащей активное сопротивление R и индуктивное XL (рис. 13.1а), приложено синусоидальное напряжение Электрические цепи синусоидального тока, то синусоидальный ток в цепи, вызванный этим напряжением, отстает от него по фазе на угол ф (рис. 12.1 в), Электрические цепи синусоидального тока.

Векторная диаграмма в этом случае изображена на рис. 13.16.

Электрические цепи синусоидального тока

Ток цепи I (рис. 13.16) раскладывается на две составляющие, одна из которых Электрические цепи синусоидального тока совпадает по фазе с напряжением, другая Электрические цепи синусоидального тока — сдвинута на 90°. Составляющая тока Электрические цепи синусоидального тока, совпадающая по фазе с напряжением, называется активной составляющей, или активным током. Составляющая тока Электрические цепи синусоидального тока, имеющая относительно напряжения сдвиг по фазе на угол 90°, называется реактивной составляющей, или реактивным током.

Активный и реактивный токи физического смысла не имеют. Они являются расчетными величинами, так как в неразветвленной цепи (рис. 13.1а) ток на всех участках имеет одинаковое значение. Однако понятия активный Электрические цепи синусоидального тока и реактивный Электрические цепи синусоидального тока токи значительно облегчают расчет разветвленных цепей синусоидального тока. Соотношения между токами определяются из треугольника токов (рис. 13.16)

13.2. Проводимости

Из треугольника токов для рассматриваемой цепи (рис. 13.16) следует: Электрические цепи синусоидального тока.

С другой стороны, известно, что Электрические цепи синусоидального тока (см. (12.6)), a Электрические цепи синусоидального тока и Электрические цепи синусоидального тока (см. (12.9)).

Тогда

Электрические цепи синусоидального тока

где g — активная проводимость цепи, равная

Электрические цепи синусоидального тока

Величина, на которую умножают напряжение, чтобы получить ток, называют проводимостью.

А так как g определяет активный ток Электрические цепи синусоидального тока, то ее и называют активной проводимостью.

Таким образом, активная проводимость g определяется величиной активного сопротивления, деленного на квадрат полного (кажущегося) сопротивления цепи.

Величина реактивного тока определяется выражением

Электрические цепи синусоидального тока

где b — реактивная проводимость цепи, равная

Электрические цепи синусоидального тока

Величина полного тока цепи равна

Электрические цепи синусоидального тока

где Электрические цепи синусоидального тока так как для цепи синусоидального тока с Электрические цепи синусоидального тока (рис. 13.1а) Электрические цепи синусоидального тока

Таким образом, у — полная, или кажущаяся, проводимость цепи:

Электрические цепи синусоидального тока

Полная (кажущаяся) проводимость цепи «у» является обратной величиной полного (кажущегося) сопротивления цепи.

Активная Электрические цепи синусоидального тока и реактивная Электрические цепи синусоидального тока проводимости являются соответственно обратными величинами активного R и реактивного X сопротивлений только в том случае, если эти сопротивления (R и X) являются единственными в цепи или ветви, т. е. Электрические цепи синусоидального тока и Электрические цепи синусоидального тока

Если же в неразветвленной цепи (или ветви) включены сопротивления Электрические цепи синусоидального тока то для определения проводимостей можно воспользоваться выражениями (13.2), (13.4), (13.6). Треугольник проводимостей для рассматриваемой цепи (рис. 13.1а) изображен на рис. 13.1 в. Соотношения между проводимостями определяются из этого треугольника.
 

Параллельное соединение катушки и конденсатора

Если к источнику синусоидального напряжения Электрические цепи синусоидального тока подключить параллельно реальную катушку с активным сопротивлением Электрические цепи синусоидального тока и индуктивным Электрические цепи синусоидального тока и конденсатор с активным сопротивлением Электрические цепи синусоидального тока и емкостным Электрические цепи синусоидального тока (рис. 13.2а), то токи в параллельных ветвях этой цепи изменяются по синусоидальному закону:

Электрические цепи синусоидального тока

Действующие значения этих токов будут соответственно равны
Электрические цепи синусоидального тока
Электрические цепи синусоидального тока

Ток в неразветвленной цепи Электрические цепи синусоидального тока равен геометрической сумме токов в ветвях, так как токи не совпадают по фазе:

Электрические цепи синусоидального тока

Для определения этого тока строится векторная диаграмма цепи (рис. 13.26), из которой следует:

Электрические цепи синусоидального тока
где Электрические цепи синусоидального тока
Таким образом, ток в неразветвленной части цепи Электрические цепи синусоидального тока определяется произведением напряжения U и полной проводимости цепи Электрические цепи синусоидального тока

Реактивные проводимости в ветвях имеют различные знаки, так как сопротивления в ветвях различного характера (индуктивное и емкостное).

Треугольник проводимостей рассматриваемой цепи изображен на рис. 13.2в.

Характер разветвленной цепи определяется так же, как и неразветвленной. Если ток цепи Электрические цепи синусоидального тока отстает от напряжения Электрические цепи синусоидального тока (как в рассматриваемом случае), то цепь индуктивного характера, если же ток Электрические цепи синусоидального тока опережает напряжение Электрические цепи синусоидального тока то цепь емкостного характера.
 

Резонанс токов

Резонанс токов в цепи (рис. 13.2а) с параллельным включением катушки и конденсатора (в различных ветвях) возникает при равенстве реактивных проводимостей в ветвях:
Электрические цепи синусоидального тока
Выражение (13.9) является условием резонанса токов в разветвленных цепях синусоидального тока. Полная (кажущаяся) проводимость при этом условии

Электрические цепи синусоидального тока

так как Электрические цепи синусоидального тока
 

Таким образом, полная проводимость цепи при резонансе токов Электрические цепи синусоидального тока минимальна по величине и равна активной проводимости Электрические цепи синусоидального тока Следовательно, и ток в неразветвленной части цепи при резонансе токов имеет минимальную величину

Электрические цепи синусоидального тока

Реактивные токи в ветвях при резонансе токов равны между собой

Электрические цепи синусоидального тока

Это равенство и определяет название «резонанс токов».

На основании равенства (13.12) строится векторная диаграмма при резонансе токов (рис. 13.3). Реактивные токи находятся в противофазе, поэтому ток в неразветвленной части цепи Электрические цепи синусоидального тока при резонансе токов равен активному току Электрические цепи синусоидального тока и совпадает по фазе с напряжением, т.е. Электрические цепи синусоидального тока Следовательно, вся мощность цепи 5 при резонансе токов является активной Р:

Электрические цепи синусоидального тока

Электрические цепи синусоидального тока

Эта активная мощность компенсирует потери на активном сопротивлении в параллельном резонансном контуре. Мощность (энергия), которая колеблется между электрическим полем конденсатора и магнитным полем индуктивности при резонансе, не является реактивной, так как не загружает источник и провода.

Частота резонанса токов в параллельном резонансном контуре может быть определена из условия резонанса токов, т. е. равенства реактивных проводимостей в ветвях Электрические цепи синусоидального тока

Электрические цепи синусоидального тока

После ряда преобразований равенства (13.13) определяется частота резонанса токов
Электрические цепи синусоидального тока
Резонансная частота зависит не только от параметров колебательного контура Электрические цепи синусоидального тока но и от активных сопротивлений в ветвях реального резонансного контура.

Если в резонансном контуре отсутствуют активные сопротивления в ветвях, то частота резонанса токов Электрические цепи синусоидального тока становится равной частоте собственных колебаний идеального резонансного контура

Электрические цепи синусоидального тока

Если в резонансном контуре Электрические цепи синусоидального тока или Электрические цепи синусоидального тока то резонанса токов добиться невозможно.

Резонанс токов нашел широкое применение в радиотехнике и выпрямительной технике (в резонансных фильтрах) и др.

Пример 13.1

Напряжение, приложенное к параллельно включенным катушке и конденсатору (рис. 13.4а), Электрические цепи синусоидального тока частота сети Электрические цепи синусоидального тока Гц. Параметры цепи: Электрические цепи синусоидального тока Определить:

1) токи всех участков цепи: Электрические цепи синусоидального тока

2) углы сдвига фаз этих токов относительно напряжения: Электрические цепи синусоидального токаЭлектрические цепи синусоидального тока

3) полную S, активную Р и реактивную Q мощности цепи;

4) частоту, при которой наступит резонанс токов в этой цепи. Построить векторную диаграмму.

РешениеЭлектрические цепи синусоидального тока

1. Сопротивление участков цепи:

Электрические цепи синусоидального тока
где Электрические цепи синусоидального тока

Сопротивление 1-й ветви:

Электрические цепи синусоидального тока

Токи в ветвях соответственно равны

Электрические цепи синусоидального тока

Для определения тока Электрические цепи синусоидального тока в неразветвленной части цепи определяются проводимости:

Электрические цепи синусоидального тока

Тогда полная проводимость цепи будет равна

Электрические цепи синусоидального тока

Ток в неразветвленной части цепи

Электрические цепи синусоидального тока

2. Углы сдвига фаз:

.Электрические цепи синусоидального тока

Знак «минус» перед значением угла Электрические цепи синусоидального тока параллельного контура означает, что цепь имеет емкостной характер, так как Электрические цепи синусоидального тока

3. Полная мощность цепи Электрические цепи синусоидального тока

Активная мощность цепи Электрические цепи синусоидального тока так как Электрические цепи синусоидального тока

Реактивная мощность цепи Электрические цепи синусоидального тока вар, так как Электрические цепи синусоидального тока

4. Угловая частота резонанса токов в цепи равна

Электрические цепи синусоидального тока

Откуда Электрические цепи синусоидального тока

Для построения векторной диаграммы определяют активные и реактивные токи в ветвях:

Электрические цепи синусоидального тока

Электрические цепи синусоидального тока так как в ветви с емкостью отсутствует активное сопротивление, т.е. Электрические цепи синусоидального тока

Электрические цепи синусоидального тока

Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи изображена на рис. 13.46.

На векторной диаграмме видно, что ток I опережает напряжение U на угол 53°30′ (цепь емкостного характера).
 

Коэффициент мощности

Номинальные параметры, т.е. мощность источника Электрические цепи синусоидального тока мощность потребителя Электрические цепи синусоидального тока и коэффициент мощности Электрические цепи синусоидального тока связаны следующим соотношением

Электрические цепи синусоидального тока

Из (13.15) следует, что чем меньше Электрические цепи синусоидального тока тем большую мощность Электрические цепи синусоидального тока должен иметь источник для питания этого потребителя, т. е. тем больше его габариты, вес, расход материалов, стоимость и др.

Ток в цепи потребителя с определенным Электрические цепи синусоидального тока согласно выражению (12.11) равенЭлектрические цепи синусоидального тока

Из (13.16) видно, что чем меньше Электрические цепи синусоидального тока, тем больше ток потребителя Электрические цепи синусоидального тока тем больший ток проходит по проводам линий электропередачи, тем больше потери энергии в этой линии и меньше КПД ее и всей системы (3.11). Кроме того, увеличение тока требует для его передачи проводов большего сечения, т. е. большего расхода цветных металлов.

Таким образом, низкий коэффициент мощности потребителя Электрические цепи синусоидального тока приводит к увеличению мощности источника, питающего этот потребитель, уменьшению КПД линии электропередачи и к увеличению сечения проводов линий электропередачи. 4В России установлен минимально допустимый коэффициент мощности не менее 0,93, т.е. Электрические цепи синусоидального тока должен быть равен или больше 0,93 Электрические цепи синусоидального тока

Однако Электрические цепи синусоидального тока большинства электрических потребителей переменного тока меньше этой нормы. Так, например, Электрические цепи синусоидального тока асинхронных двигателей, в зависимости от нагрузки, составляет Электрические цепи синусоидального тока трансформаторов — Электрические цепи синусоидального тока выпрямителей — Электрические цепи синусоидального тока и т.д. Следовательно, коэффициент мощности этих потребителей необходимо повышать.

Так как большинство потребителей представляет собой нагрузку индуктивного характера, то для улучшения Электрические цепи синусоидального тока параллельно с ним подключаются конденсаторы (рис. 13.5а).

Электрические цепи синусоидального тока

Из векторной диаграммы (рис. 13.56) видно, что с подключением конденсатора С (ключ К замкнут) появляется Электрические цепи синусоидального тока за счет которого уменьшается угол Электрические цепи синусоидального тока и увеличивается Электрические цепи синусоидального тока установки. При этом уменьшается ток цепи Электрические цепи синусоидального тока который до подключения конденсатора был равен току нагрузки Электрические цепи синусоидального тока

Для повышения коэффициента мощности Электрические цепи синусоидального тока конденсатор можно включить последовательно с потребителем индуктивного характера. Однако при этом нарушается режим работы (напряжение) потребителя. Поэтому для улучшения Электрические цепи синусоидального тока конденсатор подключают параллельно с нагрузкой (рис. 13.5а).

Коэффициент мощности можно повысить, увеличив активную нагрузку. При этом увеличивается потребляемая энергия, что экономически нерационально (уменьшается КПД установки).

Пример 13.2

Асинхронный двигатель, включенный в сеть с напряжением Электрические цепи синусоидального тока и частотой Электрические цепи синусоидального тока развивает на валу мощность Электрические цепи синусоидального тока КПД двигателя Электрические цепи синусоидального тока при Электрические цепи синусоидального тока Определить емкость конденсатора С, который необходимо включить параллельно с двигателем (рис. 13.5а), чтобы повысить Электрические цепи синусоидального тока установки до 0,95.

Решение

Мощность, потребляемая двигателем из сети:

Электрические цепи синусоидального тока

Ток нагрузки Электрические цепи синусоидального тока т.е. ток двигателя (рис. 13.5а), равен

Электрические цепи синусоидального тока

Реактивная составляющая тока двигателя Электрические цепи синусоидального тока (рис. 13.56)

Электрические цепи синусоидального тока

(по таблице Электрические цепи синусоидального тока).

Ток установки Электрические цепи синусоидального тока при подключении конденсатора, т. е. при Электрические цепи синусоидального тока будет равен

Электрические цепи синусоидального тока

При Электрические цепи синусоидального тока Реактивная составляющая тока установки (рис. 13.56)

Электрические цепи синусоидального тока

Ток конденсатора Электрические цепи синусоидального тока (рис. 13.56)

Электрические цепи синусоидального тока

Емкостное сопротивление конденсаторов

Электрические цепи синусоидального тока

Емкость конденсаторов, которые нужно подключить параллельно двигателю для улучшения Электрические цепи синусоидального тока до 0,95:

Электрические цепи синусоидального тока

  • Электрические цепи несинусоидального тока
  • Несинусоидальный ток
  • Электрические цепи с распределенными параметрами
  • Резистивные электрические цепи и их расчёт
  • Резонанс токов
  • Трехфазные симметричные цепи
  • Трехфазные несимметричные цепи
  • Вращающееся магнитное поле

Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность

Активным сопротивлением Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность обладают элементы, которые нагреваются при прохождении через них тока (проводники, лампы накаливания, нагревательные приборы и т. д.).

Если к активному сопротивлению Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность (рис. 9.1а) приложено синусоидальное напряжение и Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность, то и ток в этой цепи изменяется по синусоидальному закону (рис. 9.1 в):

Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность

Векторная диаграмма для цепи с активным сопротивлением изображена на рисунке 9.1 б, временная диаграмма изображена на рисунке 9.1 в.

Математическое выражение закона Ома для цепи переменного тока с активным, и сопротивлением имеет вид: Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность

Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность

Мгновенная мощность в цепи с активным сопротивлением определяется произведением мгновенных значений напряжения тока, т. е. Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность. Это действие производится над кривыми тока и напряжении в определённом масштабе (рис. 9.1 в), в результате получена временная диаграмма мгновенной мощности Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность.

Мощность в цепи с активным сопротивлением изменяется по величине, но не изменяется по направлению (рис. 9.1 в). Эта мощность (энергия) необратима. От источника она поступает на потребитель и полностью преобразуется в другие виды мощности (энергии), т.е. потребляется. Такая потребляемая мощность называется активной.

Количественно мощность в цепи с активным сопротивлением определяется следующим образом:

Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность

Величина активной мощности в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением с учётом закона Ома определяется выражением:

Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность

где Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность -действующее значение напряжения; Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность -действующее значение тока.

Единицей активной мощности является ватт: Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность

Эта страница взята со страницы лекций по предмету теоретические основы электротехники (ТОЭ):

Предмет теоретические основы электротехники

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти человека в артемовске
  • Как исправить ошибку activex com inprocserver32
  • Как найти все займы по фамилии
  • Как найти полярную сову
  • Как найти массовую долю уксусной кислоты

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии