Содержание:
Моменты силы относительно точки и оси:
Для рассмотрения различных систем сил необходимо ввести понятия алгебраического и векторного моментов силы относительно точки и момента силы относительно оси. Введем эти характеристики действия силы на твердое тело и рассмотрим их свойства.
Алгебраический момент силы относительно точки
При рассмотрении плоской системы сил, приложенных к твердому телу, используется понятие алгебраического момента силы относительно точки.
Рис. 19
Алгебраическим моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки (рис. 19), взятое со знаком плюс или минус.
Плечом 
относительно точки называют кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, т. е. длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки 
на линию действия силы 
.
Обозначим 
или 
алгебраический момент силы 
относительно точки . Тогда
Если сила стремится вращать тело вокруг моментной точки (точки, относительно которой вычисляют алгебраический момент силы) против часовой стрелки, то берем знак плюс, если по часовой стрелке — знак минус.
Алгебраический момент силы представляет собой произведение силы на длину (в 
).
Из определения алгебраического момента силы относительно точки следует, что он не зависит от переноса силы вдоль ее линии действия. Алгебраический момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку. Сумма алгебраических моментов относительно точки двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил, действующих вдоль одной прямой, равна нулю. Численно алгебраический момент относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе 
и моментной точке:
Векторный момент силы относительно точки
При рассмотрении пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, применяется понятие векторного момента силы относительно точки.
Векторным моментом силы относительно точки называют вектор, приложенный в этой точке и равный по модулю произведению силы на плечо силы относительно этой точки. Векторный момент силы направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка, таким образом, что с его конца можно видеть стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки (рис. 20).
Плечом силы относительно точки называют кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы.
Рис. 20
Условимся векторный момент силы 
относительно точки обозначать 
, а его числовую величину — 
. Тогда, согласно определению,
Как и для алгебраического момента, векторный момент силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке:
Справедлива формула
где 
—радиус-вектор, проведенный из моментной точки в точку приложения силы или любую другую точку линии действия силы.
Чтобы убедиться в справедливости формулы (3), достаточно показать, что
по величине и направлению выражает векторный момент силы относительно точки . По определению векторного произведения двух векторов известно, что
Как показано на рис. 20, 
, причем это равенство справедливо для любой точки линии действия, куда проведен радиус-вектор . Итак,
что совпадает с векторным моментом силы относительно точки . Вектор , как известно, перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , т. е. плоскости треугольника 
, которой перпендикулярен и векторный момент .
Направление тоже совпадает с направлением . Заметим, что векторный момент силы относительно точки считается вектором, приложенным к этой точке.
Векторный момент силы относительно точки не изменяется от переноса силы вдоль ее линии действия. Он станет равным
нулю, если линия действия силы пройдет через моментную точку.
Рис. 21
Если сила дана своими проекциями 
на оси координат и даны координаты 
точки приложения этой силы (рис. 21), то векторный момент относительно начала координат, согласно формуле (3), после разложения по осям координат вычисляем по формуле
где 
— единичные векторы, направленные по осям координат.
Используя формулу (4), можно выделить проекции на оси координат:
Модуль векторного момента и косинусы углов его с осями координат определяем по формулам
В формулах (6) числовую величину 
берем со знаком плюс.
Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рис. 22). Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси (проекция силы на плоскость является вектором), стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по часовой стрелке. Момент силы, например, относительно оси 
обозначим 
.
Рис. 22
По определению,
где 
— вектор проекции силы 
на плоскость 
, перпендикулярную оси , а точка — точка пересечения оси с плоскостью .
Из определения момента силы относительно оси следует, что введенный выше алгебраический момент силы относительно точки можно считать моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку, перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка. Момент силы относительно оси можно выразить через площадь треугольника, построенного на проекции силы 
и точке пересечения оси с плоскостью:
Из формулы (8) можно получить следующие важные свойства момента силы относительно оси:
- Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси.
- Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает эту ось. В этом случае линия действия проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, проходит через точку пересечения оси с плоскостью и, следовательно, равно нулю плечо силы
относительно точки .
В обоих этих случаях ось и сила лежат в одной плоскости. Объединяя их, можно сказать, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.
Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси
Используя формулу (8), имеем (рис. 23)
Векторный момент силы относительно точки , взятой на пересечении оси с перпендикулярной плоскостью , выражается в виде
Векторный момент 
направлен перпендикулярно плоскости треугольника 
. Аналогично, для другой точки 
оси
причем векторный момент 
направлен перпендикулярно плоскости треугольника 
. Треугольник 
является проекцией треугольников 
и 
на плоскость . Из геометрии известно, что площадь проекции плоской фигуры равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями, в которых расположены эти фигуры. Угол между плоскостями измеряется углом между перпендикулярами к этим плоскостям. Перпендикуляром к плоскости треугольника 
является ось , а перпендикулярами к плоскостям треугольников 
и 
—соответственно векторные моменты 
и 
. Таким образом, 
, где 
— угол между вектором и осью . Отсюда по формулам (8′) и (9) имеем
причем знак 
полностью определяется знаком 
.
Аналогично,
т. е.
где 
— любая точка на оси .
Формулы (11) и (12) отражают искомую связь между моментом силы относительно оси и векторными моментами силы относительно точек, лежащих на этой оси: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента силы относительно любой точки на оси.
Эту зависимость между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки на оси можно принять за определение момента силы относительно оси.
Рис. 23
Формулы для моментов силы относительно осей координат
Используя связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси, можно получить формулы для вычисления моментов относительно осей координат, если даны проекции силы на оси координат и координаты точки приложения силы. Для оси 
имеем
Согласно (5),
следовательно,
Аналогично, для осей 
и 
Окончательно
По формулам (13) можно вычислить моменты силы относительно прямоугольных осей координат.
По этим формулам получаются необходимые знаки для 
, если проекции силы 
на оси координат и координаты 
точки приложения силы подставлять в них со знаками этих величин.
При решении задач момент силы относительно какой-либо оси часто получают, используя его определение, т. е. проецируя силу на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисляя затем алгебраический момент этой проекции относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.
Момент пары сил. Сложение пар сил. Равновесие пар сил
При изучении теоретической механики необходимо совершенно отчетливо уяснить, что в статике рассматриваются два простейших элемента: сила и пара сил. Любые две силы, кроме сил, образующих пару, всегда можно заменить одной —сложить их (найти равнодействующую). Пара сил нс поддается дальнейшему упрощению, она не имеет равнодействующей и является простейшим элементом.
Действие пары сил на тело характеризуется ее моментом — произведением одной из сил пары на ее плечо (на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару).
Единицей момента пары сил в Международной системе служит 1 нм (ньютон-метр = 1 н-1ж), а в системе МКГСС (технической)— 1 кГ-м.
Несколько пар сил, действующих на тело в одной плоскости, можно заменить одной парой сил (равнодействующей парой), момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар:
При равновесии пар сил
Если пары сил действуют в одной плоскости, то при решении задач достаточно рассматривать моменты пар как алгебраические величины. Причем знак момента определяется в зависимости от направления вращающего действия пары сил.
Дальнейшее изложение основано на правиле, т. е. считается момент положительным, если пара сил действует против хода часовой стрелки, если же пара сил действует на тело но ходу часовой стрелки, то момент считается отрицательным.
В том случае когда пары сил действуют на тело будучи расположенными в различных плоскостях, гораздо удобнее рассматривать пару сил как вектор, направленный перпендикулярно
к плоскости действия пары сил (рис. 62). Направление вектора в зависимости от направления вращательного действия пары определяется по направлению движения винта с правой нарезкой.
Задача 1.
Определить момент пары сил (рис. 63), если 
н, АВ — 0,5 м и а = 30°.
Решение.
1. При определении момента пары сил нужно прежде всего правильно определить плечо пары. При этом необходимо различать следующие понятия: плечо пары сил и расстояние между точками приложения сил нары.
Так как в механике твердого тела сила—скользящий вектор, то действие силы не изменяется при переносе точки ее приложения вдоль линии ее действия. Значит расстояние между точками приложения сил, образующих пару, можно изменять неограниченно. Но плечо пары при этом переносе остается неизменным.
В частном случае расстояние между точками приложения сил, образующих пару, может быть равно плечу.
Чтобы определить плечо данной пары из точки приложения одной из сил, например из точки В, восставим перпендикуляр ВС к линии действия другой силы. Расстояние ВС и есть плечо данной пары сил. Расстояние между точками приложения сил, образующих пару, АВ=0,5 м.
Легко видеть, что
2. Найдем момент пары сил:
Задача 2.
Как изменится момент пары сил 
показанной на рис. 64, а (P = 50 н, AВ=0,4 м и а=135), если
повернуть силы 
так, чтобы они стали перпендикулярными АВ? Решение.
1. Найдем момент пары при заданном положении ее сил (рис. 64, а).
Из точки В восставим перпендикуляр ВС к линиям действия сил 
и найдем его длину:
Момент пары при заданном положении сил
2. Повернем силы
из заданного положения на угол 
=а°— 90э в направлении против хода часовой стрелки (рис. 64, б). При таком положении сил относительно АВ плечом пары сил является расстояние между точками их приложения, поэтому
3. Сравнивая полученные результаты, видим, что после поворота сил момент пары увеличивается на 20—14,5 = 5,85 н-м.
4. Легко заметить, что силы 
могут достичь перпендикулярного положения к АВ после их поворота на угол у в направлении по ходу часовой стрелки (рис. 64, в). В том случае плечом пары является тот же отрезок АВ, но момент пары
Момент пары сил изменяет свой знак.
Задача 3.
К точкам А, С и В, D, образующим вершины квадрата со стороной 0,5 м (рис. 65, а), приложены равные по модулю силы (Р = 12н) таким образом, что они образуют две пары сил
Определить момент равнодействующей пары сил
Решение 1.
Плечи у обеих пар сил равны стороне квадрата поэтому
Решение 2.
1. Перенесем силы 
из точек 
в точки В и D (рис. 65, б). В точках В и D получаются системы сходящихся сил 
и
одинаковыми модулями.
2. Сложим попарно эти силы у каждой из точек В и D. В обоих случаях
3. Силы R, модули которых теперь известны, направлены перпендикулярно к диагонали BD квадрата. Значит эта диагональ является плечом вновь образовавшейся пары сил 
заменяющей собой две данные.
4. Найдем момент пары 
и, следовательно,
Эту пару в соответствии со вторым решением можно представить в виде пары 
с плечом BD (диагональю данного квадрата).
Но можно равнодействующую пару представить и в любом другом виде, например в виде сил Q = 24 и, приложенных к двум любым вершинам квадрата ABCD (рис. 65, в)
- Заказать решение задач по теоретической механике
Задача 4.
На прямоугольник ABCD (рис. 67) вдоль его длинных сторон действует пара сил 
Какую пару сил нужно приложить к прямоугольнику, направив силы вдоль его коротких сторон, чтобы уравновесить пару 
Решение.
1. Момент данной пары сил
необходимо уравновесить парой, момент которой обозначим Л1м. Тогда, согласно условию равновесия,
Откуда
2. Обозначив силы, образующие искомую пару 
замечая, что ее плечо равно ВС, получим
Отсюда
•Значит к прямоугольнику необходимо приложить пару сил с положительным (направленным против хода часовой стрелки) моментом, равным 48 н м. Силы, образующие эту пару, равняются
20 н каждая и одна из них должна действовать вдоль стороны АВ от А к В, вторая — вдоль стороны CD от С к D.
Задача 5.
Прямолинейный стержень АВ должен находиться в равновесии в положении, показанном на рис. 68, а (угол а = 
При этом в точках А и В на стержень действуют вертикальные силы 
образующие пару 
Какие две равные силы нужно приложить к стержню в точках С и D, направив их перпендикулярно к стержню, чтобы обеспечить равновесие. АВ = 3 м, CD— 1 м, 
Решение.
1. Пару сил можно уравновесить только парой сил. Поэтому в точках С и D к стержню необходимо приложить две равные силы так, чтобы они образовали пару сил с моментом, равным моменту пары 
но имеющим противоположный знак.
Так как пара 
поворачивает стержень на ходу часовой стрелки, искомые силы должны поворачивать его против хода часовой стрелки (рис. 68, б).
2. Применяем условие равновесия:
Или, подставив значения моментов,
где
Отсюда
Следовательно, в точках С и D необходимо приложить силы 
по 150 н каждая, как показано на рис. 68, б.
Момент силы относительно точки
Момент силы относительно точки при решении задач по статике, а затем и по динамике имеет не менее важное значение, чем проекции сил. Поэтому нужно уметь определять эту величину безошибочно. Обычно его числовое значение находят неправильно из-за ошибок, допускаемых при определении плеча.
Чтобы не допускать ошибок при определении моментов сил относительно точки, рекомендуется придерживаться следующего порядка:
- Прежде всего нужно научиться «видеть» силу, момент которой определяем, и центр моментов — точку, относительно которой определяем момент (рис. 70 — сила и центр моментов — точка В).
- Затем из центра момента проводим прямую ВЬ перпендикулярно к линии действия силы DF. Длина перпендикуляра ВС от центра момента до линии действия силы и есть плечо.
- Потом находим знак момента. При этом если сила стремится повернуть плечо вокруг центра момента против хода часовой стрелки, то считаем момент положительным; если по ходу часовой стрелки, то отрицательным (тоже правило, что и при определении знака момента пары сил).
- Находим числовое значение момента силы относительно точки, умножив модуль силы на плечо.
и центр моментов — точка В).По рис. 70
В частном случае момент силы может равняться нулю. Это происходит тогда, когда центр моментов лежит на линии действия силы, при этом плечо равняется нулю. По рис. 70 момент силы 
относительно точки А (или С) равен нулю.
Задача 6.
Определить моменты шести заданных сил (рис. 71) относительно точек А, В и С, если
Решение 1 — определение моментов гнести заданных сил относительно точки А (рис. 71, а).
1. Центр моментов в точке А. Через точку А проходят линии действия трех сил 
Значит для этих сил плечи равны нулю. Следовательно,
2. Находим момент силы 
Опустив из точки А на линию действия
силы 
перпендикуляр AD, получим плечо силы 
Длину AD легко найти, так как это катет треугольника ABD:
3. Величина момента отрицательная (сила 
поворачивает плечо AD вокруг точки А но ходу часовой стрелки), следовательно,
4. Находим момент силы 
Плечом силы 
является перпендикуляр АЕ к СЕ — линии действия силы 
Из треугольника АСЕ
Величина момента положительная (плечо АЕ поворачивается около точки А силой 
против хода часовой стрелки). Следовательно,
5. Находим момент силы 
Плечом силы 
относительно точки А является отрезок АС, так как сила 
направлена к АС перпендикулярно. Величина момента отрицательная:
Решение 2 — определение моментов сил относительно точки В (рис. 71, б).
1. Центр моментов в точке В.
2. Через точку В проходят линии действия двух сил: 
Следовательно,
3. Находим момент силы 
Плечо силы 
Величина момента отрицательная:
4. Находим момент силы 
Плечо силы 
Момент отрицательный:
5. Находим момент силы 
Плечо силы 
Величина момента положительная:
6. Находим момент силы 
Плечом силы
является отрезок ВС. Момент положительный:
Решение 3 — определение моментов сил относительно точки С (рис. 71, в) рекомендуется выполнить самостоятельно.
Ответ. 
В задаче силы расположены так, что либо их плечи определяются очень просто — как катеты прямоугольных треугольников, в которых даны гипотенузы, либо плечи заданы в условии задачи (ВС и АС).
Но иногда некоторые силы заданной системы оказываются расположенными относительно выбранного центра моментов так, что определить длину плеча трудно и требуется, например, предварительно вычислить длины еще одного-двух отрезков. В таких случаях целесообразно силу разложить на две составляющие и применить для определения ее момента теорему Вариньона.
Задача 7.
Определить моменты относительно точки 
я, приложенных в точках А, В и С, как показано на рис. 72, а. Углы
ВС =1,5 м.
Решение.
1. Относительно точки А моменты сил
определяются аналогично
2. Находим момент силы 
Вариант 1-й (рис. 72, а). Плечо АЕ силы 
в данном случае определяем из 
в котором известен только 
. Значит нужно предварительно определить одну из сторон. Найдем AF:
AF = AB — FB.
Величину FB находим из 
в котором 
следовательно,
И теперь можем определить плечо АЕ:
Раскрываем скобки и заменяем 
Момент положительный, следовательно:
Вариант 2-й. Чтобы избежать определения плеча АЕ, которое в данном случае находится после предварительного вычисления двух отрезков (FB и AF), необходимо момент силы 
относительно точки А найти по теореме Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно любой точки, лежащей в той же плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.
Разложим силу 
на две составляющие: одну, направленную вдоль отрезка ВС, и другую — перпендикулярно к нему (рис. 72, б).
Модуль первой составляющей 
а ее плечо — отрезок АВ, длина которого задана. Модуль второй составляющей 
а ее плечо АК = ВС =1,5 м.
Применяя теорему Вариньона, получаем
Как видно, получено точно такое же значение момента, что и в первом варианте решения:
- Теория пар сил
- Приведение системы сил к простейшей системе
- Условия равновесия системы сил
- Плоская система сил
- Аксиомы и теоремы статики
- Система сходящихся сил
- Плоское движение тела
- Принцип виртуальных перемещений
Теорема об изменении момента количества движения
Момент количества движения
Так как количество движения — вектор, имеющий определенную линию действия (и даже определенную точку приложения), то можно находить момент этого вектора относительно точки и оси так же, как определяли соответствующие моменты силы.
Сначала о моменте количества движения материальной точки.
Ее момент количества движения 
относительно точки 
по величине равен 
, где 
— плечо вектора с соответствующим знаком (+) или (-). Как вектор он определяется векторным произведением (рис. 19.6)
Момент количества движения 
относительно оси находится так же как находили ранее момент силы. И зависимость между моментами относительно точки и оси аналогична
То есть момент количества движения материальной точки относительно оси равен проекции вектора момента количества движения относительно какой-либо точки , расположенной на оси, на эту ось.
Для движущейся материальной системы вводится понятие главного момента количеств движения относительно центра как векторной суммы моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра
Вводится и понятие главного момента количеств движения относительно оси как алгебраической суммы моментов количеств движения точек системы относительно этой оси 
Зависимость между ними аналогична зависимости между соответствующими главными моментами сил
Главный момент количеств движения относительно оси равен проекции вектора главного момента относительно точки, расположенной на оси, на эту ось. Для твердого тела как материальной системы при некоторых движениях главный момент относительно оси определяется довольно просто.
Так, если тело вращается вокруг неподвижной оси (рис. 19.7), главный момент количеств движения относительно оси вращения
To есть равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловую скорость
и направлен он по направлению вращения тела.
Если однородное тело имеет плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения, то вектор количества движения тела 
расположен в этой плоскости на расстоянии от оси, равном
На рис. 19.8 показано сечение тела этой плоскостью симметрии и положение вектора количества движения 
. Заметим, что этот вектор приложен к той же точке 
, к которой приложена равнодействующая сил инерции точек тела 
(см. рис. 16.1).
Можно найти главный момент количеств движения тела и при плоскопараллельном движении относительно центральной оси 
(рис. 19.9). Скорость произвольно выбранной точки 
, а соответствующие скоростям модули векторов количества движения равны 
и 
Главный момент количеств движения точек тела относительно оси , перпендикулярной плоскости движения:
Но первая сумма равна нулю, так как по теореме Вариньона эта сумма моментов векторов 
равна моменту их «равнодействующей», которая приложена к центру масс , потому что переносное движение при плоскопаралельном движении поступательное (XIX, §2). Поэтому главный момент количеств движения будет равен
Значит, главный момент количеств движения точек тела при плоскопараллельном движении относительно центральной оси , перпендикулярной плоскости движения, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость
и имеет направление, совпадающее с направлением вращения, с направлением угловой скорости.
Аналогичный результат получается и для главного момента количеств движения относительно оси 
, проходящей через мгновенный центр скоростей. Действительно, скорость точек тела 
(рис. 19.10) и главный момент
Итак
где 
— момент инерции тела относительно оси 
, проходящей через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения.
При плоскопараллельном движении также можно найти положение вектора количества движения 
(см. рис. 19.10). Он будет направлен параллельно скорости центра масс 
и находиться на расстояниях от центра масс 
и от мгновенного центра скоростей
Очень похоже на результат, полученный при вращении тела вокруг неподвижной оси. Но разница в том, что здесь положение точки меняется, так как меняется положение мгновенного центра скоростей .
Теорема о моменте количества движения
Рассмотрим движение материальной системы под действием внешних 
и внутренних 
сил 
.
Определим момент количеств движения каждой точки этой системы относительно некоторого неподвижного центра 
и найдем его производную по времени
Первый член равен нулю, так как векторы 
и 
совпадают по направлению. Так как по (19.7)
то второй член
Поэтому
Сложим правые и левые части этих равенств, составленных для всех точек системы:
Вторая сумма в правой части равна нулю, так как главный момент внутренних сил относительно любой точки равен нулю. Оставшуюся часть равенства перепишем так:
или
Производная но времени главного момента количеств движения материальной системы относительно неподвижной точки 
равна главному моменту внешних сил, приложенных к системе, относительно той же точки .
Оказывается, точно так же формулируется эта теорема и относительно центра масс произвольно движущейся материальной системы. Действительно, рассмотрим движение системы как сумму двух движений: переносного — поступательного движения системы осей вместе с центром масс и относительного — относительно этих осей.
В разд. XIII, §3 мы установили, что движение точек, а значит, и всей материальной системы относительно движущейся системы координатных осей можно определять так же, как относительно неподвижных, если учесть переносные и кориолисовы силы инерции.
Значит, таким способом можно записать и теорему о моменте количества движения относительно движущегося центра масс
Но сумма моментов кориолисовых сил инерции равна нулю, так как при переносном поступательном движении эти силы отсутствуют. И первая сумма, сумма моментов переносных сил инерции, тоже равна нулю. Потому что по теореме Вариньона она равна моменту равнодействующей 
этих сил, которая при переносном поступательном движении приложена к центру масс (см. XVI, §1).
Поэтому теорема об изменении количества движения относительно центра масс движущейся системы записывается так же, как относительно неподвижной точки
Спроектировав векторные уравнения (19.17) и (19.18) на какую-нибудь ось, проходящую через точку или точку , получим уравнения, с помощью которых и решаются задачи динамики:
где 
и 
— главные моменты количеств движения системы относительно неподвижной оси 
и оси 
, смотри выражение (19.13), а 
и 
— главные моменты внешних сил относительно этих осей.
К теореме о моменте количества движения следует сделать очень важные и полезные замечания. Если внешние силы на систему не действуют или действуют, но сумма моментов их относительно неподвижной точки или центра масс равна нулю, то по (19.17) и (19.18) 
и 
. То есть главные моменты количеств движения относительно этих точек все время остаются постоянными.
То же самое можно сказать и о моментах относительно осей: если главный момент внешних сил относительно какой-нибудь оси , проходящей через неподвижную точку , или относительно какой-нибудь оси , проходящей через центр масс системы, равен нулю, то главные моменты количеств движения системы относительно этих осей остаются все время постоянными, 
и 
.
Например, на фигуриста, вращающегося на льду (рис. 19.11) вокруг оси , действуют внешние силы — вес и реакция гладкого льда.
Моменты их относительно оси равны нулю. Поэтому . Но 
, значит, 
. Отсюда следует, что если уменьшится момент инерции 
(фигурист прижмет руки к туловищу), увеличится скорость вращения.
Еще пример. Вертолет, неподвижно висящий в воздухе (рис. 19.12). Лопасти винта вращаются с угловой скоростью 
. Вес вертолета 
уравновешивается подъемной силой 
. Момент их относительно вертикальной оси равен нулю. Поэтому .
Если изменится скорость вращения винта , изменится и момент количества движения винта 
.A чтобы общий момент количеств движения вертолета остался прежним, необходимо вращать корпус вертолета с угловой скоростью 
. так, чтобы обязательно выполнилось условие
Значит, если винт увеличит угловую скорость, корпус начнет вращаться, но в противоположном направлении; уменьшит — корпус начнет вращаться в том же направлении. Чтобы не произошло этого нежелательного явления, у некоторых типов вертолетов предусмотрен еще один винт на хвосте, вращающийся в вертикальной плоскости и создающий горизонтальную внешнюю силу. Эта сила и будет ликвидировать вращение корпуса изменением момента 
.
Несколько примеров на решение задач с помощью этой теоремы.
Эта теория взята со страницы помощи с решением заданий по теоретической механики, там найдёте другие лекции и примеры решения задач или сможете заказать онлайн помощь:
Помощь по теоретической механике
Кстати возможно вам будут полезны эти страницы:
Момент силы относительно точки.
Момент силы относительно точки
характеризует стремление силы повернуть
тело относительно этой точки.
Алгебраический момент силы относительно
точки– взятое с соответствующим
знаком произведение модуля силы на
плечо силы.
,
гдеF– модуль силы,
h– плечо силы.
Векторный
момент силы относительно точки.
1
)
— приложен в точке О;
2)
— перпендикулярен плоскости треугольника
ОАВ;
3) С конца вектора
наблюдается стремление силы повернуть
тело вокруг точки О против хода часовой
стрелки.
4)
Момент силы
относительно оси.
Момент силы относительно осихарактеризует стремление тела повернуться
вокруг данной оси.
Порядок
определения момента силы относительно
оси.
1. Провести плоскость, перпендикулярную
оси.
2. Спроецировать силу на эту плоскость.
3. Определить алгебраический момент
проекций силы относительно точки
пересечения оси и плоскости.
В случае равенства нулю момента силы
относительно оси:
1) (
).
Ось и сила параллельны.
2) (h =
0). Линия действия силы пересекается с
осью.
Связь между
моментами силы относительно точки и
оси, проходящей через эту точку.
Проекция векторного момента силы
относительно точки на ось, проходящей
через эту точку равна моменту силы
относительно этой оси.
Пара сил.
Пара сил– совокупность двух
равных по величине параллельных сил,
направленных в противоположные стороны.
= Пара сил не имеет равнодействующей.
= Пару сил можно заменить только парой
сил.
Действие пары сил на тело определяется
следующими параметрами:
1) плоскость действия пары,
2) направление вращения пары,
3) моментом пары.
(
,
)
– пара сил.
=
— 
Алгебраический
момент пары сил.
Алгебраический момент пары сил– взятое с противоположным знаком
произведение модуля силы пары на плечо
пары.
Обозначается: mилиm(
,
).
,
гдеF1,F2– модули сил пары,
d – плечо
пары.
Теорема о сумме
моментов сил пары относительно точки.
(смотри рис. 1)
Алгебраическая сумма моментов сил
парыотносительно любой точки,
лежащей в плоскости действия пары, равна
алгебраическому моменту пары сил.
Теорема об
эквивалентных парах.
Эквивалентные пары– две пары,
лежащие в одной плоскости и имеющие
равные алгебраические моменты.
Дано:
(
,
)
и (
,
)
– пары сил.
Если
,
то
Следствия:
1. Пару сил можно как угодно перемещать
и поворачивать в плоскости действия
пары.
2. У пары сил можно изменять плечо и силы
пары, но так, чтобы алгебраический момент
пары оставался неизменным.
Пример:
Теорема о
параллельном переносе пары.
Д
ействие
пары сил на тело не изменится, если пару
сил перенести в плоскость, параллельную
плоскости действия пары.
Плоскость I ׀׀Плоскости II
Векторный
момент пары сил.
Обозначается:
или
(
,
).
1
)
Вектор
перпендикулярен плоскости действия
пары.
2) С конца вектора
наблюдается стремление пары повернуть
тела против хода часовой стрелки.
3)
Векторный момент пары – есть вектор
свободный.
Теорема о
сложении двух пар, лежащих в пересекающихся
плоскостях.
Д
ано:
и
— векторные моменты пар
(
,
)
– пара сил
Две пары, лежащие в пересекающихся
плоскостях эквивалентны одной паре,
векторный момент которой равен
геометрической сумме векторных моментов
слагаемых пар.
Сложение пар
сил как угодно расположенных в
пространстве.
Дано:
,
,
.. ,
— векторные моменты пар сил.
(1) –векторный момент эквивалентной
пары сил.
Спроецировав (1) на оси координат, получим:
— проекции векторного момента эквивалентной
пары на оси координат.
Условие
равновесия тела под действием системы
пар.
=0
или 
=0
(2)
Спроецировав (2) на оси координат, получим:
Произвольная
пространственная система сил.
Произвольная пространственная
система сил– линия действия сил
как угодно расположенных в пространстве.
Теорема о
параллельном переносе силы.
Сила, приложенная к какой либо точке
твердого тела эквивалентна такой же
силе, приложенной к любой другой точке
тела и паре сил, векторный момент которой
равен векторному моменту силы, приложенному
к начальной точке относительно новой
точки приложения силы.
(
,
)
равносильны 0,
=
(
,
)
– пара сил
Приведение
произвольной пространственной системы
сил к заданному центру.
Цель приведения: замена данной
системы сил другой, ей эквивалентной,
но более простой.
Дано: (
,
,…,
)
– произвольная пространственная система
сил
Точка О – центр приведения.
=
=
…
=
—главный вектор системы сил—
геометрическая сумма сил системы.
—главный момент системы сил
относительно центра приведения–
геометрическая сумма векторных моментов
системы сил относительно центра
приведения.
Произвольная пространственная система
сил эквивалентна одной силе, приложенной
в центре приведения (главному вектору
)
и паре сил, векторный момент которой
называется главным моментом системы
сил относительно центра приведения.
(
,
,…,
)~(
,
)
! Главный
вектор системы сил не зависит от центра
приведения, а главный момент системы
сил зависит от центра приведения.
Уравнение моментов
Определение и уравнение моментов
Пусть O — любая неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Это называется началом или полюсом. Обозначим через
радиус-вектор, взятый от этой точки до точки приложения силы (рис.1).
рис 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Момент силы относительно точки O является векторным произведением радиус-вектора и силы :
направление выбрано так, что последовательность векторов образует правую систему, т. е. если вы посмотрите вдоль вектора ,то поворот вдоль кратчайшего пути от первого фактора в (1) до вторая выполняется по часовой стрелке, таким образом совпадает с направлением поступательного движения правого штыря, ручка которого вращается от до вдоль кратчайшего пути.
Моментом нескольких сил относительно точки является векторная сумма моментов этих сил относительно одной и той же точки:
Момент импульса материальной точки
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Момент импульса материальной точки относительно точки O является векторным произведением радиус-вектора и импульса
:
где J — момент инерции, — угловая скорость вращения тела.
Система из n материальных точек — это момент количества движения относительно некоторой точки O — векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:
Временная производная от момента импульса механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме внешних силовых моментов , действующих на систему:
Для материальной точки уравнение момента написано:
Уравнение (6) называется моментом для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.
В проекциях на оси фиксированной декартовой системы координат с началом на полюсе O уравнение моментов системы записывается в виде:
где — проекция момента количества движения на соответствующей оси; — проекции полного момента сил на соответствующую ось.
Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:
1. найти момент силы (общий момент внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость момента количества движения частицы (системы частиц) от одной и той же точки;
2. определить приращение углового момента частицы (системы частиц) относительно точки O для любого периода времени, если временная зависимость силового момента (полного момента внешних сил), действующего на эту частицу (система частиц) относительно одной и той же точки.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Сравните угловые скорости, полученные материальной точкой под действием крутящих моментов, графики (a, b) которых показаны на рисунках.
рис 2.
В соответствии с уравнением моментов для материальной точки мы имеем:
где
поскольку мы имеем дело с материальной точкой, соответственно, J не зависит от времени, получаем:
откуда
Вспомните геометрический смысл интеграла.
Вычислить и сравнить площадь треугольников OAB и OCD.
Области треугольников равны соответственно
Угловые скорости, полученные материальной точкой, равны в первом и втором случаях.
ПРИМЕР 2
Горизонтальный диск с радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через ее центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени определяется уравнением w = A + 8t. Найдите значение касательной силы, приложенной к ободу диска. Трение пренебрегалось.
Мы делаем рисунок
рис 3.
Запишем уравнение моментов:
где — искомая сила. Перепишите (2.2), найдите модуль:
— угол между вектором
и равен , так как силы, касательные к диску, направлены вдоль радиуса диска в точку касания, следовательно, M = RF.
Поскольку мы имеем дело с телом, который не меняет момент инерции со временем, мы имеем:
Где — момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр.
, получим:
Подставим числовые значения, получим:
Величина (модуль) касательной силы, приложенной к краю диска, равна 4 N.
Содержание:
- Момент силы
- Момент силы относительно точки (центра)
- Момент силы относительно оси
- Зависимость между моментом силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку
- Моменты силы относительно координатных осей
- Теорема Вариньона для пространственной системы сходящихся сил (Теорема о моменте равнодействующей силы)
Момент силы (момент силы относительно точки; также: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — эо векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение.
На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.
Момент силы
Система сходящихся сил, которая будет рассмотрена в главе 2, является особой среди
систем сил. Только в этой системе линии действия сил имеют одну точку пересечения. Поэтому для ее изучения достаточно основных понятий статики, рассмотренных в разделе 1. Для изучения других систем сил необходимо ознакомиться с понятиями момента силы и пары сил.
Понятие о моменте силы — одно из основных понятий механики, которое широко используется и в теоретических исследованиях и при практических расчетах. К понятию момента силы человечество пришло, рассматривая равновесие и движение тел, имеющих точку или ось вращения (в частности блоков и рычагов, которые использовались в практике еще до нашей эры).
Например, на неподвижный блок (рис. 3.1) действует сила 
, вращающей его вокруг горизонтальной оси О. Стержень АВ (рис. 3.2), который имеет неподвижную шарнирную опору A, будет вращаться вокруг оси шарнира под действием собственной силы тяжести 
В обоих примерах сила обуславливает вращательное движение тела. По мере вращательного действия силы на тело является момент силы.
Момент силы относительно точки (центра)
Заданная сила 
, изображена вектором 
, приложенная к некоторому телу в точке А. Определим момент силы 
относительно точки О (рис. 3.3). Векторным моментом силы относительно точки О называется вектор, приложенный в точке О, равный векторному произведению радиуса вектора точки приложения силы на вектор силы:
где 
— радиус-вектор точки приложения силы относительно точки О.
Определим величину (модуль) и направление вектора 
. Согласно понятиям и свойствам векторного произведения двух векторов, величина (Модуль) момента силы 
относительно точки О равна:
Обозначим 
. Поскольку 
Тогда:
где 
(рис. 3.3) — высота 
опущенная из вершины В (с точки О) на сторону АВ этого треугольника, совпадает с линией действия силы. Короткое расстояние от точки О до линии действия силы называется плечом силы относительно этой точки. Из этого следует, что модуль (величина) момента силы относительно точки равна произведению величины силы на ее плечо относительно этой точки.
Вектор 
направляется по правилу векторного произведения: векторный момент силы относительно точки (Центра) является перпендикулярным к плоскости, в которой размещены сила и точка (центр) так, чтобы с его конца было видно попытки силы возвращать тело вокруг точки (Центра) против хода часовой стрелки.
Заметим, что 
. Поэтому:
Модуль момента силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, вершинами которого является точка и начало и конец вектора 
Если линия действия силы проходит через точку (центр), то h = 0, и из формулы (3.2) видно, что момент силы относительно этой точки будет равняться нулю.
Момент силы относительно точки не изменяется при переносе силы вдоль ее линии действия, поскольку неизменным остается плечо силы относительно точки (рис. 3.4).
Если на тело действует плоская система сил, то векторы моментов всех сил системы относительно некоторого центра, что лежит в плоскости действия сил, будут перпендикулярны этой плоскости, а следовательно, параллельные и их можно считать скалярными величинами, которые отличаются только величиной и знаками.
В этом случае целесообразно ввести понятие алгебраического момента силы относительно точки (центра), равный взятом со знаком «+» или «-» произведения модуля силы на плечо относительно этой точки (центра)
Будем считать момент положительным, если сила пытается вращать тело вокруг точки (центра) против хода часовой стрелки (рис. 3.5, а), и отрицательным — если по ходу часовой стрелки (рис. 3.5, б). Единицы момента силы: 
Момент силы относительно оси
Изучая пространственные системы сил, будем использовать понятие момента силы относительно оси.
Моментом силы относительно оси называется величина, равная алгебраическому моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.
Пусть к телу в некоторой точке А приложена сила 
(Рис. 3.6). определим момент силы 
относительно произвольной оси 
. Проведем плоскость П, перпендикулярную оси 
.
Точку пересечения плоскости П с осью 
обозначим А. Спроектируем силу 
на плоскость П и получим силу 
Согласно определению 
Таким образом, чтобы определить момент силы относительно оси, необходимо:
— спроектировать эту силу на плоскость, перпендикулярную оси;
— найти точку пересечения оси с этой перпендикулярной плоскостью;
— определить алгебраический момент полученной проекции относительно точки пересечения оси с плоскостью.
Из формулы (3.5) следует, что момент силы относительно оси равен нулю, если:
1) сила параллельна оси, тогда 
2) линия действия силы пересекает ось, тогда 
Эти два условия эквивалентны одному условию: момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось лежат в одной плоскости. поскольку момент силы относительно оси 
, то согласно принятому правилу знаков моментов следует, что момент силы относительно оси положительный, если, смотря с конца оси, видим, что проекция этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, пытается вращать тело вокруг оси против часовой стрелки (рис. 3.7, а). если вращение происходит в направлении хода часовой стрелки, то момент силы относительно оси будет отрицательным (рис. 3.7, б). Можно доказать, что момент силы относительно оси не зависит от выбора точки О на этой оси.
Зависимость между моментом силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку
Теорема 3.1. Проекция векторного момента силы относительно точки на ось, проходящей через эту точку, равен моменту силы относительно этой оси.
Доказательство. Сила 
приложена в точке А пространства. Выберем произвольную точку О и проведем оси 
(рис. 3.8). Определим момент силы 
относительно оси 
и относительно точки О на ней.
Известно, что 
где 
Из курса элементарной геометрии известно, что 
где 
— угол между плоскостями этих треугольников, а следовательно, и угол между перпендикулярами к этим плоскостей.
Поскольку вектор 
перпендикулярный плоскости
, а ось 
перпендикулярна к 
Учитывая равенства (3.6), (3.7), получим 
Знак 
полностью определяется знаком 
.
Поскольку
что и требовалось доказать.
Моменты силы относительно координатных осей
Пусть на тело действует сила 
приложенная в точке А (рис. 3.9). выберем произвольную точку О и из нее проведем оси декартовой системы координат.
Определим момент силы 
относительно этих осей. Для этого запишем выражение для момента силы 
относительно точки О.
Согласно (3.1),
где 
— радиус-вектор точки А относительно точки О.
Вектор силы 
и радиусвектор 
через проекции на оси координат выражаются:
где 
— координаты точки А; 
— орты выбранной системы координат.
Тогда векторное произведение 
можно записать в виде определителя:
Раскрывая этот определитель, получим
Представим векторный момент 
через его проекции на оси координат:
Сравнивая правые части равенств (3.9) и (3.10), получим:
Поскольку точка О принадлежит осями 
, то из формул (3.11), учитывая зависимость (3.8), получим выражения:
Теорема Вариньона для пространственной системы сходящихся сил (Теорема о моменте равнодействующей силы)
Теорема 3.2. Момент равнодействующей пространственной системы сходящихся сил
относительно некоторого центра (точки) равна векторной сумме моментов составляющих сил относительно того же центра (точки).
Доказательство. На тело действует пространственная система сходящихся сил 
линии действия которых пересекаются в точке В (Рис. 3.10, а). заменим
данную систему сил эквивалентной системой, все силы которой приложенные в точке В
(Рис. 3.10, б). Равнодействующую системы, прилагаемую в той же точке В, обозначим 
. Найдем момент равнодействующей 
относительно точки (центра) О. Согласно формуле (3.1), 
где 
— радиус-вектор точки приложения всех сил системы и равнодействующей относительно центра О.
Известно, что 
. Тогда 
Итак, получили равенство 
Теорема доказана.
Уравнение (3.13) является математическим записи теоремы Вариньона для пространственной системы сходящихся сил.
В случае плоской системы сходящихся сил теорема Вариньона запишется так:
Итак, момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно некоторого центра (точки), лежащий в плоскости действия сил, равна алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этого самого центра (точки).
Рассмотрим пример на применение теоремы Вариньона.
Задача. На согнутый под прямым углом стержень АВС действуют силы 
и 
как показано на рис. 3.11. Найти моменты этих сил относительно точки А, если 
Решение.
Для определения момента силы 
относительно точки используем теорему Вариньона.
Разложим силу 
на две составляющие: горизонтальную 
и вертикальную 
. Величины этих составляющих 
Тогда, согласно теоремой 3.2, получим:
Услуги по теоретической механике:
- Заказать теоретическую механику
- Помощь по теоретической механике
- Заказать контрольную работу по теоретической механике
Учебные лекции:
- Статика
- Система сходящихся сил
- Пара сил
- Произвольная система сил
- Плоская произвольная система сил
- Трение
- Расчет ферм
- Расчет усилий в стержнях фермы
- Пространственная система сил
- Произвольная пространственная система сил
- Плоская система сходящихся сил
- Пространственная система сходящихся сил
- Равновесие тела под действием пространственной системы сил
- Естественный способ задания движения точки
- Центр параллельных сил
- Параллельные силы
- Система произвольно расположенных сил
- Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
- Кинематика
- Кинематика твердого тела
- Движения твердого тела
- Динамика материальной точки
- Динамика механической системы
- Динамика плоского движения твердого тела
- Динамика относительного движения материальной точки
- Динамика твердого тела
- Кинематика простейших движений твердого тела
- Общее уравнение динамики
- Работа и мощность силы
- Обратная задача динамики
- Поступательное и вращательное движение твердого тела
- Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
- Сферическое движение твёрдого тела
- Движение свободного твердого тела
- Сложное движение твердого тела
- Сложное движение точки
- Плоское движение тела
- Статика твердого тела
- Равновесие составной конструкции
- Равновесие с учетом сил трения
- Центр масс
- Колебания материальной точки
- Относительное движение материальной точки
- Статические инварианты
- Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
- Динамика системы материальных точек
- Общие теоремы динамики
- Теорема об изменении кинетической энергии
- Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
- Потенциальное силовое поле
- Метод кинетостатики
- Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки