Как найти множители составного числа

Алгоритм разложения чисел на простые множители

Проводим вертикальную черту

Слева от черты пишем число

Справа от черты пишем простой делитель этого числа

Слева записываем число которое образовалось в результате деления

Продолжаем процесс пока слева не останется 1

Рассмотрим пример

Разложим число 36

Проводим черту, записываем 36 слева. Самым маленьким простым делителем числа 36 является 2. Делим 36/2 = 18. 18 записываем под числом 36. Далее повторяем. Самым маленьким делителем числа 18 является 2. Дилим 18/2 = 9. 9 записываем под числом 18. Опять повторяем. Самым маленьким простым множителем числа 9 является 3. Делим 9/3 получается 3. Тройку записываем под 9. Тройка это простое число у которого делить только 3 и 1. Записываем 3 напротив тройки. Делим 3/3 = 1. 1 записывам под 3. Разложение закончено.

Целое положительное число называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя.

Целое положительное число называется составным, если у него есть хоть один делитель, отличный от 1 и самого себя.

1. 

   1

   Запишите целое число. Это число, не являющееся обыкновенной или десятичной дробью.

   • Рассмотрим число 12.

2. 

   2

   Найти два числа, которые при перемножении дадут данное число. Любое целое число можно записать в виде произведения двух других чисел. Даже простое число можно записать как произведение 1 и самого числа.

   • В нашем примере у числа 12 есть несколько множителей: 12*1; 6*2; 3*4. Таким образом, вы можем заявить, что множителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12. Рассмотрим пару множителей 6 и 2.
   • Четные числа легко разложить на множители, так как множителем любого четного числа является 2. 4 = 2*2, 26 = 13*2 и т.д.

3. 

   3

   Если возможно, разложите на множители найденные множители. Когда вы нашли все множители числа, определите, можно ли разложить их на множители.

   • В нашем примере мы разложили 12 на 2*6. Обратите внимание, что 6 можно разложить на множители: 3*2 = 6. Таким образом, вы можете заявить, что 12 = 2*(3*2).

4. 

   4

   Если множителями являются простые числа, то дальше можете не продолжать. Простые числа – это числа, которые делятся только на себя или на 1. Например, 2, 3, 5, 7, 11, 13 или 17 – простые числа.

   • В нашем примере вы разложили 12 на 2*(2*3). 2, 2, 3 — это простые числа. Их можно разложить на множители, например, 2=2*1 и 3=3*1, но это не имеет смысла (по крайней мере в большинстве задач).

5. 

   5

   Отрицательные числа раскладываются на множители аналогичным образом. Единственным отличием является необходимость учесть знаки множителей, чтобы при их перемножении получить отрицательное число.

   • Например, разложим на множители число -60.
     • -60 = -10*6
     • -60 = (-5*2)*6
     • -60 = (-5*2)*(3*2)
     • -60 = -5*2*3*2. Обратите внимание, что при разложении на множители отрицательного числа количество отрицательных множителей должно быть нечетным. Например, вы можете разложить число -60 и так: -5*2*-3*-2.

   Реклама

1. 

   1

   Разложить на множители большое число – нелегкая задача. Большинство людей затрудняются раскладывать четырех- или пятизначные числа. Для упрощения процесса запишите число над двумя колонками.

   • Разложим на множители число 6552.

2. 

   2

   Разделите данное число на наименьший простой делитель (кроме 1), на который данное число делится без остатка. Запишите этот делитель в левой колонке, а в правой колонке запишите результат деления. Как отмечалось выше, четные числа легко раскладывать на множители, так как их наименьшим простым множителем всегда будет число 2 (у нечетных чисел наименьшие простые множители различны).

   • В нашем примере число 6552 – четное, поэтому 2 является его наименьшим простым множителем. 6552 ÷ 2 = 3276. В левой колонке запишите 2, а в правой — 3276.

3. 

   3

   Далее разделите число в правой колонке на наименьший простой делитель (кроме 1), на который данное число делится без остатка. Запишите этот делитель в левой колонке, а в правой колонке запишите результат деления (продолжите этот процесс до тех пор, пока в правой колонке не останется 1).

   • В нашем примере: 3276 ÷ 2 = 1638. В левой колонке запишите 2, а в правой — 1638. Далее: 1638 ÷ 2 = 819. В левой колонке запишите 2, а в правой — 819.

4. 

   4

   Вы получили нечетное число; для таких чисел найти наименьший простой делитель сложнее. Если вы получили нечетное число, попробуйте разделить его на наименьшие простые нечетные числа: 3, 5, 7, 11.

   • В нашем примере вы получили нечетное число 819. Разделите его на 3: 819 ÷ 3 = 273. В левой колонке запишите 3, а в правой — 273.
   • При подборе делителей опробуйте все простые числа вплоть до квадратного корня из наибольшего делителя, который вы нашли. Если ни один делитель не делит число нацело, то вы, скорее всего, получили простое число и можете прекратить вычисления.

5. 

   5

   Продолжите процесс деления чисел на простые делители до тех пор, пока в правой колонке не останется 1 (если в правой колонке вы получили простое число, разделите его само на себя, чтобы получить 1).

   • Продолжим вычисления в нашем примере:
     • Разделите на 3: 273 ÷ 3 = 91. Остатка нет. В левой колонке запишите 3, а в правой — 91.
     • Разделите на 3. 91 делится на 3 с остатком, поэтому разделите на 5. 91 делится на 5 с остатком, поэтому разделите на 7: 91 ÷ 7 = 13. Остатка нет. В левой колонке запишите 7, а в правой — 13.
     • Разделите на 7. 13 делится на 7 с остатком, поэтому разделите на 11. 13 делится на 11 с остатком, поэтому разделите на 13: 13 ÷ 13 = 1. Остатка нет. В левой колонке запишите 13, а в правой — 1. Ваши вычисления закончены.

6. 

   6

   В левой колонке представлены простые множители исходного числа. Другими словами, при перемножении всех чисел из левой колонки вы получите число, записанное над колонками. Если один множитель появляется в списке множителей несколько раз, используйте показатели степени для его обозначения. В нашем примере в списке множителей 2 появляется 4 раза; запишите эти множители как 2⁴, а не как 2*2*2*2.

   • В нашем примере 6552 = 2³× 3² × 7 × 13. Вы разложили число 6552 на простые множители (порядок множителей в этой записи не имеет значения).

   Реклама

Советы

• Также важным является понятие простого числа – это число, которое имеет только два множителя: 1 и само себя. 3 — простое число, потому что его простые множители 1 и 3. С другой стороны, 4 имеет 2 в качестве простого множителя. Число, которое не является простым, называется составным . (1 — число, которое считается ни простым, ни составным — это особый случай.)
• Наименьшие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23.
• Поймите, что одно число является множителем другого, большего числа, если оно «делит его полностью», то есть без остатка. Например, 6 является множителем 24, потому что 24 ÷ 6 = 4 (без остатка). С другой стороны , 6 не является множителем 25.
• Если цифры в числе при их сложении делятся на 3 , то 3 является множителем этого числа. (819 = 8 +1 +9 = 18, 1 +8 = 9. Три — множитель девяти, так что 3 является множителем и 819.)
• Помните, что мы рассматривали только «натуральные числа» — 1, 2, 3, 4, 5 … Мы не рассматривали отрицательные числа или дроби, которые могут быть описаны в других статьях.
• Некоторые числа могут быть разложены более быстрыми способами, но этот метод работает каждый раз и, как дополнительный бонус, в ответе дает простые множители в порядке их возрастания.

Реклама

Предупреждения

• Не делайте лишней работы. После того, как вы убрали неподходящий множитель, вы не должны рассматривать его далее. После того, как мы решили, что 2 не является множителем 819, нам не надо рассматривать 2 дальше в процессе вычисления.

Реклама

Что вам понадобится

• Бумага
• Карандаш и ластик
• Калькулятор (по желанию)

Решето Эратосфена — это метод нахождения всех простых чисел до заданного числа. Этот метод был придуман древнегреческим ученым Эратосфеном, который был известен своими работами в области геометрии, астрономии и математики.

Суть метода Решета Эратосфена заключается в последовательном отсеивании составных чисел, начиная с числа 2, которое является первым простым числом. Сначала мы выписываем все числа от 2 до заданного числа в ряд, затем вычеркиваем все кратные 2 числа, оставляя только 2 как простое число. Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу, которое будет простым числом, и вычеркиваем все его кратные числа. И так далее, пока не достигнем заданного числа.

Например, для того, чтобы найти все простые числа до 30, мы выписываем все числа от 2 до 30:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Затем мы начинаем вычеркивать все кратные числа 2, оставляя только 2:

2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу (3) и вычеркиваем все его кратные числа, оставляя только 3:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу (5) и вычеркиваем все его кратные числа, оставляя только 5:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

И так далее, пока не достигнем заданного числа.

В итоге мы получим все простые числа до заданного числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Метод Решета Эратосфена является эффективным способом нахождения всех простых чисел до заданного числа, особенно если заданное число большое.

Алгоритм проверки числа на простоту с доказательством и примером

Алгоритм проверки числа на простоту можно реализовать разными способами, но один из наиболее эффективных и простых методов — это проверка делителей.

Алгоритм проверки числа на простоту:

Проверяем, является ли число меньше или равным 1. Если да, то число не является простым.

Проверяем, является ли число 2. Если да, то число является простым.

Проверяем, является ли число четным. Если да, то число не является простым, за исключением случая, когда это число 2.

Для нечетного числа n проверяем, есть ли у него делитель d, такой что 1 < d < n и d является делителем n. Если такой делитель найден, то n не является простым числом. В противном случае n является простым числом.

Доказательство:

Как известно, простое число это такое число, которое имеет только два делителя: 1 и само число. Другими словами, если n является простым числом, то у него нет делителей, кроме 1 и самого n. Поэтому для проверки числа n на простоту достаточно проверить, есть ли у него делитель d, такой что 1 < d < n. Если такой делитель найден, то n не является простым числом. Если такого делителя нет, то n является простым числом.

Проверим, является ли число 17 простым числом, используя алгоритм проверки делителей.

Число 17 не меньше или равно 1.

Число 17 не является 2.

Число 17 не является четным.

Проверяем, есть ли у числа 17 делитель d, такой что 1 < d < 17 и d является делителем 17. Начнем с делителя 3. 17 не делится на 3 без остатка. Попробуем делитель 5. 17 не делится на 5 без остатка. Продолжим проверку для делителей 7, 9, 11 и 13. Ни один из этих делителей не является делителем 17. Значит, 17 является простым числом.

Таким образом, мы проверили, что 17 является простым числом, используя алгоритм проверки делителей.

Задача 1. Найдите наименьшие два простых числа, разность которых равна 40.

1. возьмем число (2:40+2=42-) составное число;
2. число (3:40+3=43 -)– простое число, нам подходит;
3.  число (5:40+5=45-)составное число;
4.  число (7:40+7=47-) простое число, нам подходит;
5. (43<47)  поэтому какие числа мы бы не подбирали (43) будет наименьшим.

Ответ:  (43) и (3).

Часто задаваемые вопросы:

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!