Условие задачи:
Минимальная скорость при движении тела, брошенного под углом к горизонту, равна 5 м/с, а максимальная 10 м/с. Определить угол, под которым брошено тело.
Задача №1.6.4 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
(v_{min}=5) м/с, (v_{max}=10) м/с, (alpha-?)
Решение задачи:
Сделаем изображение к задаче, смотрите его справа.
Для объяснения решения я буду использовать следующий факт, что в любой момент времени скорость тела можно разложить на составляющие, тогда самую разлагаемую скорость можно найти по теореме Пифагора:
[v = sqrt {v_x^2 + v_y^2} ]
Теперь вспомним тот факт, что при движении тела, брошенного под углом к горизонту, горизонтальная составляющая скорости (v_x) не изменяется, поскольку движение вдоль (x) является равномерным (вдоль этой оси не действуют силы), а вертикальная составляющая скорости (v_y) меняется от максимального в момент бросания до нуля в наивысшей точке, и обратно. Причем в момент падения на землю обе составляющие (а значит и сама скорость) будут такими же, как при бросании (если, конечно же, принимать поверхность земли плоской, как у нас на рисунке).
Получается, что если скорость определяется приведенной выше формулой, то минимальное значение она примет в наивысшей точке, когда (v_y=0) м/с, а максимальное – в момент бросания и падения обратно на поверхность земли.
[left[ begin{gathered}
{v_{min }} = {v_x} = {v_{ox}} hfill \
{v_{max }} = {v_0} hfill \
end{gathered} right.]
Взглянув на рисунок, можно увидеть, что угол между векторами, соответствующими этим скоростям, и есть угол бросания тела. Для этого прямоугольного треугольника косинус угла (alpha) определяется по следующей формуле.
[cos alpha = frac{{{v_{0x}}}}{{{v_0}}},cos alpha = frac{{{v_{min }}}}{{{v_{max }}}} Rightarrow alpha = arccos frac{{{v_{min }}}}{{{v_{max }}}}]
Подставим известные данные и получим ответ:
[alpha = arccos frac{5}{{10}} = 60^circ ]
Ответ: 60°.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Если Вам понравилась задача и ее решение, то Вы можете поделитесь ею с друзьями с помощью этих кнопок.
Смотрите также задачи:
1.6.3 Камень, брошенный с земли под углом 45 градусов к горизонту
1.6.5 На некоторой высоте одновременно из одной точки брошены
1.6.6 Под каким углом к горизонту нужно бросить тело, чтобы высота
Когда тело бросают вверх под углом к горизонту, оно сначала равнозамедленно поднимается, а затем равноускорено падает. При этом оно перемещается относительно земли с постоянной скоростью.
Важные факты!График движения тела, брошенного под углом к горизонту:
α — угол, под которым было брошено тело
- Вектор скорости тела, брошенного под углом к горизонту, направлен по касательной к траектории его движения.
- Так как начальная скорость направлена не вдоль горизонтальной линии, обе ее проекции отличны от нуля. Проекция начальной скорости на ось ОХ равна v0x = v0cosα. Ее проекция на ось ОУ равна v0y = v0sinα.
- Проекция мгновенной скорости на ось ОХ равна: vx = v0 cosα. Ее проекция на ось ОУ равна нулю: vy = v0 sinα – gt.
- Проекция ускорения свободного падения на ось ОХ равна нулю: gx = 0. Ее проекция на ось ОУ равна –g: gy = –g.
Кинематические характеристики
Модуль мгновенной скорости в момент времени t можно вычислить по теореме Пифагора:
Минимальной скорости тело достигает в верхней точке траектории. Она выражается формулой:
vmin = v0 cosα = vh
Максимальной скоростью тело обладает в момент начала движения и в момент падения на землю. Начальная и конечная скорости движения тела равны:
vmax = vo = v
Время подъема — время, которое требуется телу, чтобы достигнуть верхней точки траектории. В этой точке проекция скорости на ось ОУ равна нулю: vy = 0. Время подъема определяется следующей формулой:
Полное время — это время всего полета тела от момента бросания до момента приземления. Так как время падения равно времени подъема, формула для определения полного времени полета принимает вид:
Дальность полета — перемещение тела относительно ОХ. Обозначается буквой l. Так как относительно ОХ тело движется с постоянной скоростью, для вычисления дальности полета можно использовать формулу перемещения при равномерном прямолинейном движении:
l = sx = v0x tполн = v0 cosα tполн
Подставляя в выражение формулу полного времени полета, получаем:
Горизонтальное смещение тела — смещение тела вдоль оси ОХ. Вычислить горизонтальное смещение тела в любой момент времени t можно по формуле координаты x:
Учитывая, что x0 = 0, и проекция ускорения свободного падения на ось ОХ тоже равна нулю, а проекция начальной скорости на эту ось равна v0 cosα, данная формула принимает вид:
x = v0 cosα t
Мгновенная высота — высота, на которой находится тело в выбранный момент времени t. Она вычисляется по формуле координаты y:
Учитывая, что начальная координата равна 0, проекция начальной скорости на ось ОУ равна v0 sinα, а проекция ускорения свободного падения на эту ось равна –g, эта формула принимает вид:
Наибольшая высота подъема — расстояние от земли до верхней точки траектории. Наибольшая высота подъема обозначается h и вычисляется по формуле:
Пример №1. Небольшой камень бросили с ровной горизонтальной поверхности под углом к горизонту. На какую максимальную высоту поднялся камень, если ровно через 1 с после броска его скорость была направлена горизонтально?
Скорость направляется горизонтально в верхней точке полета. Значит, время подъема равно 1 с. Из формулы времени подъема выразим произведение начальной скорости на синус угла, под которым было брошено тело:
v0 sinα = gtпод
Подставим полученное выражение в формулу для определения наибольшей высоты подъема и сделаем вычисления:
Тело, брошенное под углом к горизонту с некоторой высоты
Когда тело бросают под углом к горизонту с некоторой высоты, характер его движения остается прежним. Но приземлится оно дальше по сравнению со случаем, если бы тело бросали с ровной поверхности.
Важные факты!
График движения тела, брошенного под углом к горизонту с некоторой высоты:
Время падения тела больше времени его подъема: tпад > tпод.
Полное время полета равно:
tполн = tпад + tпод
Уравнение координаты x:
x = v0 cosα t
Уравнение координаты y:
Пример №2. С балкона бросили мяч под углом 60 градусов к горизонту, придав ему начальную скорость 2 м/с. До приземления мяч летел 3 с. Определить дальность полета мяча.
Косинус 60 градусов равен 0,5. Подставляем известные данные в формулу:
x = v0 cosα t = 2 ∙ 0,5 ∙ 3 = 3 м.
Задание EF17562
С высоты Н над землёй начинает свободно падать стальной шарик, который через время t = 0,4 c сталкивается с плитой, наклонённой под углом 30° к горизонту. После абсолютно упругого удара он движется по траектории, верхняя точка которой находится на высоте h = 1,4 м над землёй. Чему равна высота H? Сделайте схематический рисунок, поясняющий решение.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Построить на чертеже начальное и конечное положения тела. Выбрать систему координат.
3.Выбрать нулевой уровень для определения потенциальной энергии.
4.Записать закон сохранения энергии.
5.Решить задачу в общем виде.
6.Подставить числовые значения и произвести вычисления.
Решение
Запишем исходные данные:
• Время падения стального шарика: t = 0,4 c.
• Верхняя точка траектории после абсолютно упругого удара о плиту: h = 1,4 м.
• Угол наклона плиты: α = 30о.
Построим чертеж и укажем на нем все необходимое:
Нулевой уровень — точка D.
Закон сохранения энергии:
Ek0 + Ep0 = Ek + Ep
Потенциальная энергия шарика в точке А равна:
EpA = mgH
Кинетическая энергия шарика в точке А равна нулю, так как скорость в начале свободного падения нулевая.
В момент перед упругим ударом с плитой в точке В потенциальная энергия шарика минимальна. Она равна:
EpB=mgl1
Перед ударом кинетическая энергия шарика равна:
EkB=mv22
Согласно закону сохранения энергии:
EpA=EpB+EkB
mgH=mgl1+mv22
Отсюда высота H равна:
H=mgl1mg+mv22mg=l1+v22g
Относительно точки В шарик поднимется на высоту h – l1. Но данный участок движения можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. В таком случае высота полета определяется формулой:
h−l1=v2sin2β2g=v2sin2(90−2α)o2g
Отсюда:
l1=h−v2sin2(90−2α)o2g
Шарик падал в течение времени t, поэтому мы можем рассчитать высоту шарика над плитой и его скорость в точке В:
v=gt
Следовательно:
H=l1+v22g=h−(gt)2sin2(90−2α)o2g+(gt)22g
H=h−gt2sin2(90−2α)2+gt22=h−gt22(sin2(90−2α)o−1)
H=1,4−10·0,422(sin2(90−60)o−1)
H=1,4−5·0,16(sin230o−1)
H=1,4−0,8((12)2−1)=1,4−0,8(14−1)
H=1,4+0,6=2 (м)
Ответ: 20
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17980
В момент t=0 мячик бросают с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту с балкона высотой h (см. рисунок).
Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение мячика в процессе полёта, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. (Сопротивлением воздуха пренебречь. Потенциальная энергия мячика отсчитывается от уровня y=0).
К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите выбранные цифры в порядке АБ.
Алгоритм решения
- Установить вид механического движения, исходя из условий задачи.
- Записать формулы для физических величин, указанных в таблице, в соответствии с установленным видом механического движения.
- Определить, как зависят эти величины от времени.
- Установить соответствие между графиками и величинами.
Решение
Исходя из условия задачи, мячик движется неравномерно. Этот случай соответствует движению тела, брошенного под углом к горизонту.
Записываем формулы для физических величин из таблицы, учитывая, что речь идет о движении тела, брошенного под углом к горизонту.
Координата x меняется согласно уравнению координаты x:
Так как начальная координата нулевая, а проекция ускорения свободного падения тоже равна нулю, это уравнение принимает вид:
Проекция скорости мячика на ось ОХ равна произведению начальной скорости на время и косинус угла, под которым мячик был брошен. Поэтому уравнение координаты x принимает вид:
В этом уравнении начальная скорость и угол α — постоянные величины. Меняется только время. И оно может только расти. Поэтому и координата x может только расти. В этом случае ей может соответствовать график, представляющий собой прямую линии, не параллельную оси времени. Но графики А и Б не могут описывать изменение этой координаты.
Формула проекции скорости мячика на ось ОХ:
Начальная скорость и угол α — постоянные величины. И больше ни от чего проекция скорости на ось ОХ не зависит. Поэтому ее может охарактеризовать график в виде прямой линии, параллельной оси времени. Такой график у нас есть — это Б.
Кинетическая энергия мячика равна половине произведения массы мячика на квадрат его мгновенной скорости. По мере приближения к верхней точке полета скорость тела уменьшается, а затем растет. Поэтому кинетическая энергия также сначала уменьшается, а затем растет. Но на графике А величина наоборот — сначала увеличивается, потом уменьшается. Поэтому он не может быть графиком зависимости кинетической энергии мячика от времени.
Остается последний вариант — координата y. Уравнение этой координаты имеет вид:
Это квадратическая зависимость, поэтому графиком зависимости координаты y от времени может быть только парабола. Так как мячик сначала движется вверх, а потом — вниз, то и график должен сначала расти, а затем — убывать. График А полностью соответствует этому описанию.
Теперь записываем установленные соответствия в порядке АБ: 42.
Ответ: 42
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18741
Мальчик бросил стальной шарик вверх под углом к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, как меняются по мере приближения к Земле модуль ускорения шарика и горизонтальная составляющая его скорости?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
- увеличивается
- уменьшается
- не изменяется
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
Алгоритм решения
- Сделать чертеж, иллюстрирующий ситуацию.
- Записать формулы, определяющие указанные в условии задачи величины.
- Определить характер изменения физических величин, опираясь на сделанный чертеж и формулы.
Решение
Выполняем чертеж:
Модуль ускорения шарика |g| — величина постоянная, так как ускорение свободного падения не меняет ни направления, ни модуля. Поэтому модуль ускорения не меняется (выбор «3»).
Горизонтальная составляющая скорости шарика определяется формулой:
vx = v0 cosα
Угол, под которым было брошено тело, поменяться не может. Начальная скорость броска тоже. Больше ни от каких величин горизонтальная составляющая скорости не зависит. Поэтому проекция скорости на ось ОХ тоже не меняется (выбор «3»).
Ответом будет следующая последовательность цифр — 33.
Ответ: 33
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 43.4k
Движение тела, брошенного под углом к горизонту:
Если рассмотреть движение тела, брошенного под углом относительно горизонта, можно увидеть, что тело отдаляется горизонтально от точки броска и одновременно поднимается в вертикальном направлении. Значит, тело, брошенное под углом к горизонту, участвует в двух (горизонтальном и вертикальном) видах движения. В горизонтальном направлении тело движется равномерно. В вертикальном направлении до точки максимальной высоты тело будет двигаться равнозамедленно, затем вниз будет двигаться равноускоренно (рис. 1.11).
Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту, имеет вид параболы. Учитывая, что в процессе полета тело одновременно двигается в горизонтальном и вертикальном направлениях, разделим начальную скорость 
Для упрощения расчетов пренебрежем сопротивлением воздуха. В произвольный момент времени 
перемещение тела в горизонтальном направлении находим из следующего уравнения:
В произвольный момент времени t скорость тела в горизонтальном и вертикальном направлениях можно найти из следующих уравнений:
На протяжении движения тела, брошенного под углом к горизонту, горизонтальная составляющая скорости не меняется, вертикальная составляющая при подъеме является равнозамедленной и на максимальной высоте подъема равняется нулю. Значит, тело, брошенное под углом к горизонту, имеет минимальную скорость в высшей точке траектории:
Затем из этой точки тело движется как тело, брошенное горизонтально со скоростью 
.
Из соотношения 
или 
на максимальной высоте траектории находим время подъема:
Максимальная высота подъема тела определяется следующим соотношением:
Время движения тела вниз (падение) равно времени подъема, т.е. 
. Отсюда, общее время полета:
Тело, брошенное под углом к горизонту, в горизонтальном направлении движется равномерно. По этой причине длина полета тела зависит только от горизонтальной составляющей скорости. Для определения дальности полета подставим выражение 
времени полета в выражение 
и получим:
или
Из этого выражения видно, что длина полета тела, брошенного под углом к горизонту, зависит от угла броска. На рис. 1.12 приведена зависимость длины полета и высоты подъема от угла броска. Из рисунка видно, что с увеличением угла броска увеличивается высота подъема.
Длина полета тела вначале растет с ростом угла броска и достигает максимального значения при 450. Затем с дальнейшим увеличением угла броска длина полета уменьшается.
Выведем уравнение траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту. Для этого в уравнение:
подставляем выражение для времени полета 
из уравнения (1.29) и получаем уравнение траектории в следующем виде:
Таким образом, тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе, проходящей через начало координат при 
. В этом уравнении коэффициент перед 
отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз.
В реальных условиях сопротивление воздуха сильно влияет на дальность полета. К примеру, снаряд, пущенный со скоростью 100 км/ч, в вакууме пролетает расстояние в 1000 м, а в воздухе 700 м. Из экспериментов следует, что при угле броска 30-400 тело пролетает наибольшее расстояние.
Образец решения задачи:
Мяч брошен со скоростью 10 м/с под углом 30° к горизонту. На какую высоту поднимется мяч?
Дано:
Найти:
Формула:
Решение:
Ответ: 1,27 м.
Основные понятия, правила и законы
| Научное наблюдение | Метод научного исследования системный, активный, направленный на цель. |
| Гипотеза | Предположение о каком-либо процессе, явлении. |
| Опыт (эксперимент) | Проводится для проверки гипотезы в специальных условиях. |
| Модель | Упрощенная версия физического процесса, сохраняющая его главные черты. |
| Научная идеализация | Предсказание получаемого результата в идеальных условиях по ранее полученным результатам. |
| Научная теория | Набор законов, объясняющий широкую область явлений. |
| Принцип соответствия | В определенных рамках соответствие новой и старой теорий. |
| Криволинейное равномерное движение |
Движение, траектория которого представляет собой кривую линию, величина скорости не меняется, а направление изменяется по касательной к траектории. |
| Принцип независимости или суперпозиция движения |
Движения, в которых участвует тело, независимы друг от друга, и скорости (ускорение) их движения не зависят друг от друга. |
| Вертикальное движение вверх |
Движение, противоположное силе притяжения Земли. Уравнение движения:  . |
| Вертикальное движение вниз |
Движение в направлении силы притяжения Земли. Уравнение движения:  . |
| Переменное вращательное движение |
Вращательное движение, при котором с течением времени меняется угловая скорость. |
| Угловое ускорение | Величина, определяемая отношением изменения угловой скорости ко времени этого изменения  |
| Формула определения угловой скорости в произвольный момент времени при вращательном равнопеременном движении |
 |
| Тангенциальное ускорение | Ускорение, получаемое в связи с изменением величины скорости  . |
| Полное ускорение при криволинейном движении |
 |
| Передача движения фрикционным способом |
Движение, передаваемое с помощью действующих поверхностей двух колес с разными радиусами. |
| Ременная передача движения | Движение передается от одного колеса к другому через туго натянутый ремень. |
| Передача движения через зубчатые колеса |
Передача вращательного движения путем объединения двух зубчатых колес с разными диаметрами. |
| Дальность полета и скорость при падении горизонтально брошенного тела. |
 |
| Минимальная скорость тела, брошенного под углом к горизонту |
 |
| Высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту |
 |
| Время полета тела, брошенного под углом к горизонту |
 |
| Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту |
 |
| Уравнение траектории движения тела, брошенного горизонтально |
 |
| Уравнение траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту |
 |
- Принцип относительности Галилея
- Движение в гравитационном поле
- Зависимость веса тела от вида движения
- Движение тел под воздействием нескольких сил
- Неравномерное движение по окружности
- Равномерное движение по окружности
- Взаимная передача вращательного и поступательного движения
- Движение горизонтально брошенного тела
На горизонтальной плоскости находится цилиндр диаметром D = 20 см. Какую минимальную скорость необходимо сообщить телу, находящемуся на горизонтальной плоскости, чтобы перебросить через цилиндр?
Решение:
Траектория тела — это парабола, которая касается ствола в симметрично расположенных точках B и B/ на двух сторонах ствола (рис.). Тело удаляется от точки бросания с начальной скоростью v1 под углом α к горизонту. В точках касания B и B/ скорость тела v2 составляет угол β с горизонталью.
Выберем угол β в качестве независимой переменной задачи. Тогда в точке B вертикальная составляющая скорости равна:
где t2 — время полета на участке BC траектории (C — максимальная точка подъема, максимум параболы). Соответствующее горизонтальное перемещение BF равно:
После перемножения этих двух уравнений получаем:
Закон сохранения энергии при полете между точками A и B дает:
| mv12 | = | mv22 | + mg(R + R cos β), |
| 2 | 2 |
или
| v12 = v22 + 2gR(1 + cos β) = | gR | + 2gR(1 + cos β). |
| cos β |
Мы получили выражение для начальной скорости в виде:
| v12 = 2gR(1 + cos β + | 1 | ). |
| 2 cos β |
и можем вычислить минимальное значение v1, используя дифференциальное исчисление. Приравняв производную:
| d(1 + cos β + 1/(2 cos β)) |
| d β |
к нулю, получаем:
Таким образом минимальный угол, который дает минимум начальной скорости, равен 45°.
(Второй метод решения.
Имеется и другой метод, который использует неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. В нашем случае можно записать:
| 1 | ( cos β + | 1 | ) ≥ √( cos β | 1 | ) = | √2 | , |
| 2 | 2 cos β | 2 cos β | 2 |
так что минимальное значение суммы:
| cos β + | 1 | равно √2, |
| 2 cos β |
откуда следует, что β = 45°.)
Это и есть угол, под которым тело касается цилиндра при полете в оптимальном случае. Если допустить β = 0 (точка E), то потребуется большая начальная скорость, так как:
| cos β + | 1 | = 1.5 > √2. |
| 2 cos β |
Из этого следует, что траектория с минимальной начальной скоростью не касается ствола в его самой высокой точке (точка E). Гравитационная потенциальная энергия тела больше на пике параболы, чем в высшей точке цилиндра, но его кинетическая энергия и полная энергия меньше, чем они были бы для траектории, касающейся вершины.
Таким образом, минимальная начальная скорость тела равна:
v1min = √(2gR(1 + √2)) ≈ 2.175 м/с.
Примечания
:
а) Можно показать, что часть параболической траектории над точкой B не пересекает ствол.
б) Довольно легко определить также угол начального броска и расстояния AD.
Расчеты дают:
в) Обратите внимание на то, что точка F является фокусом параболы.
г) Минимальная скорость тела, если оно, перелетая цилиндр, все же касается в верхней точке траектории вершины, может быть найдена из следующих соображений.
Воспользуемся законом сохранения энергии для точки E:
Нормальное ускорение тела в верхней точке траектории:
где α1 — угол между вектором скорости тела в точке траектории и горизонталью, радиус кривизны в данной точке. Для верхней точки α1 = 0 и R1 = R, тогда: vx2 = gR. Сделаем подстановку в закон сохранения для верхней точки:
После вычислений:
v1 = √(5 × 9.8 × 0.1) ≈ 2.214 (м/с).
Как видим: v1 > v1 min.
Далее: максимальная дальность полета камня [тема: задачи на минимум и максимум] Работает на CMS Drupal.
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
|
|
найти минимальную скорость движения тела
|
|
14/09/16 |
|
|
|
|
 |
26.01.2019, 17:02 
|
Pphantom |
Posted automatically
|
||
09/05/12 |
|||
|
|
|||
|
|
Pphantom |
Posted automatically
|
||||
09/05/12 |
— 26.01.2019, 19:27 — Что в этой задаче скорость тела?
|
||||
|
|
|||||
|
|
Ivan 09 |
Re: найти минимальную скорость движения тела
|
|
14/09/16 |
Pphantom если я правильно понимаю, скорость- это производная от заданного закона движения. — 26.01.2019, 19:44 — подумав немного, пришла мысль что надо брать вторую производную и уже её приравнивать к нулю
|
|
|
|
|
|
Pphantom |
Re: найти минимальную скорость движения тела
|
||
09/05/12 |
подумав немного, пришла мысль что надо брать вторую производную и уже её приравнивать к нулю Именно.
|
||
|
|
|||
|
Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
|
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |