Как найти матрицу коэффициентов полных затрат

Задача

Экономика
представлена двумя отраслями производства: промышленностью и сельским
хозяйством. За отчетный период получены следующие данные о межотраслевых
поставках

 и векторе объемов конечного использования

.

Требуется:

Указание:
При вычислениях производить округление с точностью до тысячных.

Решение

Матрица прямых затрат

Найдем
валовые выпуски отраслей, просуммировав в каждой строке межотраслевые поставки
и координату вектора

:

Найдем
матрицу прямых затрат. Ее элементы можно найти по формуле:

Подставляя
числовые значения, получаем:

Матрица «Затраты — выпуск»

Найдем матрицу
«Затраты — выпуск»

Вектор конечного использования Y для валового объема выпуска X

Вектор
конечного использования Y для валового объема выпуска X определим на основе
балансового соотношения: 

Для этого выполним умножение двух матриц

Матрица полных затрат

Найдем
матрицу коэффициентов полных материальных затрат

 -она будет равна обратной матрице

:

Определитель матрицы

:

Алгебраические
дополнения:

Обратная матрица:

Вектор валового объема выпуска X для конечного использования Y

Вектор валового объема выпуска

 для конечного продукта

 определим формуле:

Приросты валовых объемов выпуска

Найдем
приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление должно изменяться
на

 по сравнению с

:

Матрица полных затрат ресурсов S

Найдем
матрицу полных затрат ресурсов S для заданной матрицы ее прямых затрат M:

Суммарная потребность в ресурсах

Суммарная  потребность в ресурсах для вектора Y₀:

Суммарная  потребность в ресурсах для вектора Y_n:

Матрицы косвенных затрат и сумма затрат

Найдем
матрицы косвенных затрат первого, второго и третьего порядка

Сумма затрат:

Разность
матриц:

Вектор потребности в продукции

Найдем
вектор потребности в продукции всех отраслей материального производства b_ij
для получения единицы конечного продукта b_j вида. Для этого
просуммируем столбцы матрицы полных затрат:

Это значит, что для производства
единицы конечного продукта в первой отрасли во всех отраслях надо расходовать
продукции на сумму 1,913 ден.ед., для производства единицы конечного продукта
во второй отрасли -на 2,021 ден.ед.

Лекция

Балансовые
модели

1.
Экономико-математическая модель МОБ

Основой
построения математической модели МОБ
является матрица коэффициентов
прямых материальных затрат:

(3)

Коэффициент
а_ij
показывает, какое количество i-го
продукта затрачивается на производство
единицы j-го
продукта.

Коэффициент
а_ij
является безразмерной величиной. Кроме
того, из (3) следует, что 0≤
а_ij<1.

С
учетом (3) запишем систему балансовых
уравнений (1) в виде:

(4)

Введем
в рассмотрение матрицу
коэффициентов прямых затрат
A=(a_ij),
вектор-столбец валовой продукции Х
и вектор-столбец конечной продукции Y:
, .
Тогда система (4) примет матричную форму:

X
=
AX
+
Y (5)

Система
уравнений (4) или в матричной форме (5)
называется ЭММ
МОБ (моделью Леонтьева)
или моделью «затраты-выпуск».

Модель
позволяет решить следующие задачи:

1. По
   заданным объемам валовой продукции x_i
   определить объемы конечной продукции
   отраслей y_j:

Y
= X
—
AX
= (E
— A)
· X. (6)

E
– единичная матрица порядка n.

1. По
   заданным объемам конечной продукции
   y_j
   определить объемы валовой продукции
   отраслей x_i:

X
= (E
— A)^-1
· Y
= B
Y. (7)

В
= (E
— A)^-1
– матрица
коэффициентов полных материальных
затрат
(обратная матрица Леонтьева). Элемент
этой матрицы b_ij
показывает, каким должен быть валовой
выпуск i-й
отрасли x_i
для того, чтобы с учетом прямых и косвенных
затрат обеспечить производство единицы
конечного продукта j-й
отрасли y_j:

. (8)

Коэффициенты
b_ij
могут использоваться для определения
влияния изменения объемов конечной
продукции отраслей на величину валового
выпуска некоторой отрасли:

, (9)

где
Δx_i
и Δy_j
– изменения (приросты) величин валовой
и конечной продукции.

1. По
   заданной матрице коэффициентов прямых
   затрат А
   определить матрицу коэффициентов
   полных затрат В.

Обратную
матрицу В
= (E
— A)^-1
можно вычислить, используя метод
обращения с применением формулы
разложения ее в матричный ряд:

В
= (E
— A)^-1
= E
+ А
+ A²
+ A³
+ … + A^k
+ …

Матрицы
A²,
A³,
… , A^k,
… называются матрицами коэффициентов
косвенных затрат 1-го, 2-го и т.д. порядков.

Таким
образом, полные затраты b_ij
включают в себя прямые
(выражены коэффициентами а_ij)
и косвенные
(С
= B
— A
— E
= A²
+ A³
+ … + A^k
+ …) затраты.

Прямые
затраты
осуществляются непосредственно при
производстве данного продукта. Они не
отражают сложных взаимосвязей, в
частности, обратных связей.

Косвенные
затраты
относятся к предшествующим стадиям
производства и входят в производство
продукта не прямо, а через другие
(промежуточные) средства производства
(или другие ингредиенты, входящие в
данный продукт).

Например,
на изготовление трактора в виде прямых
затрат расходуется чугун, сталь и т.д.,
но для производства стали также нужен
чугун. Затраты этого чугуна являются
косвенными.

1. Задавая
   для ряда отраслей объемы x_i,
   а для остальных отраслей величины y_j,
   можно найти величины y_j
   первых отраслей и объемы x_i
   вторых отраслей. В этом варианте расчета
   удобнее пользоваться не матричной
   формой модели, а системой линейных
   уравнений (4).

2.
Решение типовой задачи МОБ

Рассмотрим
пример составления МОБ производства и
распределения продукции для 3-х отраслевой
ЭС, заданной матрицей коэффициентов
прямых затрат А
и вектором
конечной продукции Y:

, .

Найти:

1. коэффициенты
   полных затрат: В
   = (b_ij);

2. плановые
   объемы валовой продукции: Х
   = (x_i)
   = (x₁,
   x₂,
   x₃);

3. величину
   межотраслевых потоков средств
   производства, т.е. значения x_ij,
   i=1,
   2, 3; j
   = 1, 2, 3;

4. объемы
   условно-чистой продукции z_j;

5. матрицу
   косвенных затрат С
   = (с_ij)
   = B
   — A
   — E.

6. По
   заданному вектору увеличения выпуска
   конечной продукции ΔY=(Δy₁,Δy₂,Δy₃)=(20,
   10, 5) определить изменение плана
   производства валовой продукции ΔX.

Результаты
вычислений п.п. 1-4 представить в форме
МОБ.

Используем
уравнения МОБ

в
развернутом виде:

в
матричном виде: X
= (E
— A)^-1
· Y
= B
Y.

1. Находим
   матрицу полных затрат В
   = (E
   — A)^-1:

E
— A
=
;

Обращаем
матрицу E
— A,
т.е. найдем В
= (E
— A)^-1.

Вычисляем
определитель Δ=|E
— A|=0,511.

Так
как Δ≠0, то существует матрица В
= (E
— A)^-1,
обратная заданной матрице E—A.

Находим
алгебраические дополнения для элементов
матрицы K
= E
— A:

; ;

;

;

;

.

Составляем
матрицу из алгебраических дополнений:

.

Транспонируем
эту матрицу (получим приведенную матрицу)
и делим ее на определитель Δ=0,511; в
результате получаем обратную матрицу
В
= (E
— A)^-1:

В
= (E
— A)^-1
=
.

Рассмотрим
другой способ нахождения обратной
матрицы В
= (E
— A)^-1,
присоединив к матрице E
— A
единичную матрицу и выполнив матричные
преобразования:

Таким
образом, матрица коэффициентов полных
затрат

В
= (E
— A)^-1
=
.

1. Находим
   объемы производства отраслей (валовая
   продукция):

X
= B
Y
=
.

Следовательно,
плановые объемы валовой продукции трех
отраслей, необходимые для обеспечения
заданного уровня конечной продукции,
равны:

х₁=102,197;
х₂=41,047;
х₃=26,383.

1. Рассчитываем
   значения межотраслевых потоков x_ij=a_ij·
   x_j:

x₁₁=0,3·102,2=30,7; x₁₂=0,25·41,0=10,2; x₁₃=0,2·26,4=5,3;

x₂₁=0,15·102,2=15,3; x₂₂=0,12·41,0=4,9; x₂₃=0,03·26,4=0,8;

x₃₁=0,1·102,2=10,2; x₃₂=0,05·41,0=2,1; x₃₃=0,08·26,4=2,1.

1. Результаты
   вычислений представим в форме МОБ.
   Величина условно-чистой продукции z_j
   определяется из формулы (2) как разница
   между валовой продукцией отрасли x_j
   и суммой межотраслевых потоков в каждом
   столбце:

.

Таким
образом, на основе заданных матриц по
уровню конечного продукта Y
и коэффициентов прямых затрат A
получен полностью сбалансированный
план общего производства продукции и
ее распределения в качестве средств
производства между отраслями и в качестве
продукции для конечного использования.

1. Найдем
   матрицу косвенных затрат по формуле:
   С
   = (с_ij)
   = B
   — A
   — E
   = =

1. Определяем
   изменение плана ΔX,
   которое потребуется при увеличении
   выпуска конечной продукции 1-й отрасли
   на 20 ед., 2-й – на 10 ед. и 3-й – на 5 ед.

ΔX
= B
ΔY
=

Следовательно,
потребуется увеличить выпуск валовой
продукции 1-й отрасли на Δx₁=38,1
ед., 2-й отрасли – на Δx₂=18,2
ед., 3-й отрасли – на 10,6 ед.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Перейдем к построе­нию математической модели. Для этого введем понятие коэффициентов прямых материальных затрат:

                                  (1)

Коэффициент aij показывает, какое количество i-го продукта затрачивается на производство единицы j-го продукта.

Поскольку продукция измеряется в стоимостных единицах, коэффици­енты прямых затрат являются величинами безразмерными. Кроме того, из (1) следует, что

                                 (2)

Считая коэффициенты прямых материальных затрат постоянными, запишем систему балансовых соотношений

следующим образом:

Перенося yi в правую часть, а xi в левую и меняя знаки на противопо­ложные, получаем

В матричной форме эта система уравнений выглядит следующим обра­зом:

X — AX = Y  или  (E — A) X = Y,

где Е — единичная матрица n-го порядка;

 — матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

Итак, мы получили систему уравнений межотраслевого баланса, кото­рую называют моделью Леонтьева. Используя эту модель, можно ответить на основной вопрос межотраслевого анализа — каким должно быть валовое производство каждой отрасли для того, чтобы экономическая система в целом произвела заданное количество конечной продукции?

Следует отметить одно важное свойство А — сумма элементов любого ее столбца меньше единицы:

                                 (3)

Для доказательства разделим обе части балансового соотношения

на хj и, выполнив простейшие преобразования, полу­чим

где vj / xj= — доля условно-чистой продукции в единице валового выпуска.

Очевидно, что >0, так как в процессе производства не может не создавать­ся новой стоимости. Из этого следует справедливость соотношения (3).

Свойства (2) и (3) матрицы А играют ключевую роль в доказательстве ее продуктивности, т. е. в доказательстве того, что при любом неотрицатель­ном Y система

X — AX = Y  или  (E — A) X = Y,

имеет единственное и неотрицательное решение Х=(Е-А)-1Y. Матрицу (Е-А)-1 обозначают через В и называют матрицей коэффициентов полных материальных затрат, или обратной матрицей Леонтьева. Коэф­фициент bij этой матрицы показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить производство единицы конечного продукта j-й отрасли. Используя матрицу В, можем записать

Х = ВY

или в развернутом виде

Преимущество такой формы записи балансовой модели состоит в том, что, вычислив матрицу В лишь однажды, мы можем многократно использовать ее для вычисления Х прямым счетом, т.е. умножением В на Y. Это гораздо проще, чем каждый раз решать систему линейных уравнений.

Обратную матрицу В можно вычислить, используя метод обращения с применением формулы разложения ее в матричный ряд:

В=Е+А+А2+…+Аk+…                                             (4)

Число членов ряда, необходимое для получения достаточно точного приближения, зависит от матрицы А, но в любом случае приемлемый результат достигается при k 30.

Формула (4) имеет строгое математическое доказательство. Но мы ограничимся тем, что попытаемся осмыслить ее, рассматривая Х как результат некоторого гипотетического процесса последовательного уточне­ния промежуточной продукции, необходимой для создания заданного конечного продукта.

Итак, вектор конечной продукции, которую должна произвести эконо­мическая система, равен Y. Будем считать, что это и есть первоначальное задание отраслям, т. е. Х0 =Y. Для выполнения собственного задания каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей. Если бы все отрасли подсчитали потребности и подали заявки в некоторый центр, то оказалось бы, что суммарная потребность составляет X1 =АХ0=АY. Вектор X1 можно рассматривать как промежуточную продукцию, необходимую для производства Х0. Но под обеспечение производства X1 тоже нужна проме­жуточная продукция: X2 =АХ1 =А2Y. Рассуждая так и далее, мы приходим к выводу, что

Х=Х0+Х1+Х2+…+Хk+… = Y+АY+А2Y+…+AkY+… =

= (Е+А+А2+…+Аk+…)Y.

Полные затраты можно разложить на прямую и косвенную составля­ющие.  Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстве данного продукта, а косвенные А2+А3+…+Аk+… относятся к предшествую­щим стадиям производства. Они осуществляются не прямо, а через посред­ство других ингредиентов, входящих в данный продукт. Элементы матрицы А2 представляют собой косвенные затраты первого порядка, элементы матрицы А3 — косвенные затраты второго порядка и т. д.

Пример 1. Рассматривается трехотраслевой МОБ. Известна матрица коэффициен­тов прямых материальных затрат и задан вектор конечного продукта:

.

Определить валовое производство X, обеспечивающее заданный конеч­ный продукт.

Для ответа на поставленный вопрос необходимо составить и решить систему линейных уравнений (Е-А)Х = Y.

Получим соответствующую систему уравнений

Решим систему методом Крамера. Если определитель системы  отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

где  — определитель, который получается из  заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Применяя формулы Крамера, получаем решение системы:

Пример 2. Вычислить изменение межотраслевых потоков, если известна матрица коэффициентов полных материальных затрат и задан вектор изменения ко­нечного продукта:

Изменение межотраслевых потоков вычисляется по формулам

Вектор изменения валового производства определяется следующим образом:

Кроме того, нам необходимо знать матрицу А. Из формулы В=(Е-А)-1 следует, что

Теперь, отвечая на поставленный вопрос, получаем:

 и т.д.

Источник: https://lms2.sseu.ru

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

3.4. Составление межотраслевого баланса затрат труда

Рассмотрим задачу межотраслевого баланса затрат труда и использования трудовых ресурсов. Предполагается, что труд выражается в единицах труда одинаковой степени сложности. Обозначим затраты живого труда в производстве -го продукта через , объем выпущенной продукции, как и прежде, . Тогда коэффициент прямых затрат труда на единицу -го продукта составят:

( 3.9)

— прямые затраты труда на единицу -го продукта;

Полные затраты труда представляют сумму прямых затрат (живого труда) и затрат овеществленного труда, перенесенных на продукт через израсходованные средства производства. Пусть — полные затраты труда на единицу -го продукта; — затраты овеществленного труда, перенесенного на -й продукт через -е средство производства; тогда

( 3.10)

Система (3.10) включает уравнений по всем отраслям-потребителям. Если заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор-строка коэффициентов прямой трудоемкости, то решение системы (3.10) дает коэффициенты полных затрат труда на единицу каждого вида продукции. Перепишем (3.10) в матричном виде:

( 3.11)

отсюда, выполняя простые матричные преобразования, получим:

( 3.12)

Поскольку матрица полных затрат, получаем формулу расчета матрицы коэффициентов полных затрат труда:

( 3.13)

где — вектор-строка коэффициентов полных затрат труда;

— вектор-строка коэффициентов прямых затрат труда.

Умножим обе части уравнения (3.13) на : , поскольку (см. уравнение 3.8),

( 3.14)

Уравнение (3.14) — баланс общих затрат труда: затраты в производстве , получен конечный продукт : .

Задача 3 .3.

Рассмотрим задачу с 3 секторами экономики (промышленность, сельское хозяйство и транспорт). В таблице приведены коэффициенты прямых затрат отчетного межотраслевого баланса, объемы конечной продукции в млн.руб. и затраты живого труда. Составить межотраслевой баланс затрат труда.

Решение.

Для составления межотраслевого баланса затрат труда необходимо найти следующие показатели

1. Матрицу коэффициентов полных затрат .
2. Вектор валовой продукции
3. Матрицу межотраслевых поставок
4. Коэффициенты прямой трудоемкости , Коэффициенты полной трудоемкости
5. Межотраслевые затраты труда
6. Затраты труда на конечную продукцию
7. Заполнить матрицу МОБ. Выполнить проверку проведенных вычислений
8. уравнения

Выполняем проверку проведенных вычислений. В таблице МОБ рассчитываем баланс:

Входные данные

Матрица прямых затрат:

Вектор конечной продукции:

Затраты живого труда: ,

Решение:

Вводим единичную матрицу:

Матрица полных затрат: ,

Вектор объемов валовой продукции: ,

Матрица межотраслевых поставок:

,

Коэффициенты прямой трудоемкости: , ,

Затраты живого труда на конечную продукцию: ,

Межотраслевые затраты труда: ,

Рассчитываем баланс. Сумма межотраслевых затрат труда и затрат труда на конечную продукцию равна затратам живого труда

, ,

— затраты труда в производстве

— полные затраты труда при получении конечного продукта

Основные итоги

Приведены основные параметры и уравнения МОБ. Показано, как построить модель задачи МОБ, как выделить блок данных и блок решения. Продемонстрированы методы работы с матрицами и матричными уравнениями.

Ключевые термины

Межотраслевой баланс — инструмент анализа и прогнозирования структурных взаимосвязей в экономике.

Валовый продукт отрасли — суммарный объем продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта.

Конечный продукт — объем продукции отрасли, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере (объём конечного потребления).

Матрица межотраслевых поставок — — матрица элементов, каждый определяет, сколько продукции -й отрасли было использовано в процессе материального производства -й отрасли.

Коэффициент прямых затрат — количество продукции -ой отрасли, которое расходуется при производстве одной единицы продукции -ой отрасли.

Коэффициент полных затрат — объем продукции -й отрасли, расходуемый на производство единицы конечной продукции -й отрасли,

Коэффициент полных затрат труда — затраты живого и овеществленного труда на производство единицы конечной продукции,

Коэффициент прямых затрат труда — затраты живого труда на производство единицы общего объема произведенной продукции.

Межотраслевой баланс

С помощью сервиса в онлайн режиме можно:

• найти коэффициенты полных материальных затрат, определить вектор валовой продукции;
• составить межотраслевой баланс, составить схему межотраслевого баланса труда;
• проверить продуктивность матрицы.

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Система уравнений X = AX + Y называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (МОБ) или моделью «затраты — выпуск». C помощью нее можно выполнить следующие расчеты:

1. подставив в модель объемы валовой продукции каждой отрасли X_i, можно определить объем конечной продукции отрасли Y_j: Y = (E — A)X
2. задав величины конечной продукции всех отраслей Y_j, можно определить величины валовой продукции каждой отрасли X_i: X = (E — A) -1 Y
3. установив для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти объемы конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

Здесь A – матрица прямых затрат, коэффициенты которой, a_ij показывают затраты i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли. Введем обозначение B = (E — A) -1 . Матрица B называется матрицей полных материальных затрат, коэффициенты которой, b_ij показывают полный объем продукции i-й отрасли, используемой для производства единицы продукции j-й отрасли. С учетом линейности соотношений эффект распространения спроса ΔX, вызванный изменением конечного спроса на величину ΔY рассчитывается как: ΔX = B·ΔY
Через C=A-B обозначают матрицу косвенных затрат.

Пример №1 . Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат A и вектор конечной продукции Y .

Пример №2 . Дан межотраслевой баланс трехотраслевой модели хозяйства:

Определить:
1) технологическую матрицу;
2) матрицу коэффициентов полных затрат;
3) дать экономический анализ каждого столбца матрицы коэффициентов полных затрат;
4) определить валовый выпуск X’ на новый ассортимент конечной продукции Y’;

Решение.
Находим валовой объем продукции x_i;
x₁ = 20 + 20 + 60 + 100 = 200
x₂ = 20 + 40 + 60 + 80 = 200
x₃ = 20 + 0 + 10 + 70 = 100

По формуле a_ij = x_ij / x_j находим коэффициенты прямых затрат:
a₁₁ = 20/200 = 0.1; a₁₂ = 20/200 = 0.1; a₁₃ = 60/100 = 0.6; a₂₁ = 20/200 = 0.1; a₂₂ = 40/200 = 0.2; a₂₃ = 60/100 = 0.6; a₃₁ = 20/200 = 0.1; a₃₂ = 0/200 = 0; a₃₃ = 10/100 = 0.1;

Определим матрицу коэффициентов полных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц.
а) Находим матрицу (E-A):

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A) -1 :

Найдем величины валовой продукции трех отраслей

Пример №3 . В модели межотраслевого баланса

прибыль D равна:
D = Валовая продукция – Затраты на производство – Оплата труда = 100 – (10+20+30) – 30 = 10.

Определение. Соотношение

называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления это уравнение называется моделью Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса позволяет решить следующие задачи:

• 1) найти вектор конечного продукта Y при известной матрице прямых затрат и заданном векторе валового продукта Х: ;
• 2) найти вектор валового выпуска Х при известной матрице прямых затрат, который обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y: или , откуда .

Умножив обе части уравнения слева на , получим

Матрица

называется матрицей полных затрат.

Определение. Коэффициентами полных затрат называются величины s_ij валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли .

Заметим, что при известной матрице полных затрат А можно найти матрицу полных затрат

Определение. Матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения . В этом случае модель Леонтьева называется продуктивной.

Заметим, что матрица А продуктивна, если для любых и

и существует номер j такой, что

Определение. Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство данной отрасли.

Пример 1. Данные об исполнении баланса за отчетный период (усл. ден. ед.) приведены в таблице:

Матрица полных затрат и вектор валового выпуска

Модели данного класса регулярно строятся во многих странах мира. С их помощью решаются задачи анализа, планирования и прогнозирования развития экономических систем. Задачи, в решении которых могут быть применены матричные модели:

· регулирование экономического развития;

· расчеты по составлению долгосрочных планов;

· расчеты по оптимизации внешней торговли;

· составление межрегиональных балансов;

· расчеты по ценообразованию и т.д.

Типичным примером матричных моделей считается экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель В.В. Леонтьева). За разработку и применение этого метода к решению важных экономических проблем в 1973 году Василий Васильевич Леонтьев был удостоен Нобелевской премии в области экономики.

В западной литературе модели данного класса именуются как метод «затраты-выпуск».

ОБЩАЯ СТРУКТУРА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

Центральным элементом матричных моделей является межотраслевой баланс. Он представляет собой таблицу, характеризующую связи между различными отраслями экономики страны.

Производственная сфера экономики представлена в балансе в виде совокупности n отраслей. Баланс состоит из четырех разделов (квадрантов).

Первый квадрант представляет собой матрицу, состоящую из (n+1) строки и (n+1) столбца. Этот раздел является важнейшей частью баланса, поскольку именно здесь содержится информация о межотраслевых связях.

Величина x_ij показывает, сколько продукции i-й отрасли было использовано в процессе материального производства j-й отрасли. Величины x_ij характеризуют межотраслевые поставки сырья, материалов, топлива и энергии, обусловленные производственной деятельностью. В i-й строке величины x_i1, x_i2, . x_ij, . x_in описывают распределение продукции i-й отрасли как средства производства для других отраслей. Величины x_1j, x_2j, . x_ij, . x_nj j-го столбца в этом случае будут описывать потребление j-й отраслью сырья, материалов, топлива и энергии на производственные нужды. Таким образом, первый раздел баланса дает общую картину распределения продукции на текущее производственное потребление всех n отраслей материального производства .

В зависимости от того, в каких единицах измеряются потоки продукции в балансе, существуют различные его варианты:

· в натуральном выражении;

· в денежном (стоимостном) выражении,

· в трудовых измерителях.

Рассмотрим баланс в стоимостном выражении, в котором потоки продукции измеряются на основе стоимости произведенной продукции в некоторых фиксированных ценах. Поскольку в этом случае величины x_ij отражают стоимость продукции, т.е. измеряются в одних и тех же единицах, их можно просуммировать.

Сумма по строке представляет собой сумму всех поставок i—й отрасли другим отраслям.

Сумма по столбцу характеризует производственные затраты j-й отрасли на приобретение продукции других отраслей.

На пересечении (n+1)-й строки и (n+1)-го столбца находится промежуточный продукт экономики

Второй раздел посвящен конечному продукту.

Столбец конечного продукта — (n+2)-й столбец. Величина y_i — потребление продукции i-й отрасли, не идущее на текущие производственные нужды.

В конечную продукцию, как правило, включаются:

· возмещение выбытия основных средств;

· личное потребление населения;

· расходы на содержание государственного аппарата;

· а также сальдо экспорта и импорта.

Ко второму разделу относится также столбец валовых выпусков (X_i). В пределах первого и второго разделов справедливо соотношение:

Третий квадрант межотраслевого баланса отражает стоимостную структуру валового продукта отраслей. В (n+2)-й строке таблицы отражена условно чистая продукция (V_j), представляющая собой разницу между величиной валовой продукции отрасли и суммарными затратами отрасли:

Условно чистая продукция подразделяется на амортизационные отчисления и чистую продукцию отрасли .

Важнейшими составляющими чистой продукции отрасли являются заработная плата, прибыль и налоги. Можно показать, что суммарный конечный продукт равен суммарной условно чистой продукции

Таким образом, в третьем разделе также фигурирует конечный продукт, но если во втором разделе он разбивается на величины y_i, характеризующие структуру потребления, то в третьем разделе величины V_j показывают, в каких отраслях произведена стоимость конечного продукта.

Четвертый раздел располагается под вторым.

Он характеризует перераспределения в экономике, осуществляемые через финансово-кредитную систему. В плановых расчетах четвертый раздел, как правило, не используется, и поэтому здесь рассматриваться не будет.

Итак, межотраслевой баланс — это способ представления статистической информации об экономике страны .

Он строится на основе агрегирования результатов деятельности отдельных предприятий. Такой баланс называют отчетным. Кроме этого строятся плановые балансы, предназначенные для разработки сбалансированных планов развития экономики.

n СТАТИЧЕСКАЯ МЕЖОТРАСЛЕВАЯ МОДЕЛЬ

Статические межотраслевые модели используются для разработки планов выпуска и потребления продукции и основываются на соотношениях межотраслевого баланса.

При построении модели делают следующие предположения:

1) все продукты, производимые одной отраслью, однородны и рассматриваются как единое целое, т.е. предполагается, что каждая отрасль производит один продукт ;

2) в каждой отрасли имеется единственная технология производства ;

3) нормы производственных затрат не зависят от объёма выпускаемой продукции ;

4) не допускается замещение одного сырья другим.

В действительности эти предположения не выполняются. Даже на отдельном предприятии обычно: выпускаются различные виды продукции, используются различные технологии, удельные затраты зависят от объема выпуска и допускается замена одного сырья другим. Следовательно, эти предположения тем более неверны для отрасли. Однако такие модели получили широкое распространение и, как показала практика, они вполне адекватны и применимы для составления планов выпуска продукции. При этих предположениях величина x_ij может быть представлена следующим образом:

Величина a_ij называется коэффициентом прямых материальных затрат . Она показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производство единицы продукции j-й отрасли. Коэффициенты a_ij считаются в межотраслевой модели постоянными.

МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРЯМЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ЗАТРАТ

Подставляя выражение (3) в формулу (1), получим (4)

Можно записать в матричном виде

Коэффициенты прямых материальных затрат являются основными параметрами статической межотраслевой модели .

Их значения могут быть получены двумя путями:

1) статистически : коэффициенты определяются на основе анализа отчётных балансов за прошлые годы.

2) нормативно : предполагается, что отрасль состоит из отдельных производств, для которых уже разработаны нормативы затрат, на их основе рассчитываются среднеотраслевые коэффициенты. Выражение (4) принято называть балансом распределения продукции. Его можно использовать для анализа и планирования структуры экономики. Если известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав конечный продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые выпуски отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных моделей для планирования производства.

Преобразуем выражение (4):

где E — единичная матрица.

До начала планирования следует выяснить, существует ли матрица, обратная матрице (E-A), и не будут ли получены отрицательные значения выпуска по отраслям. Установим некоторые свойства коэффициентов прямых материальных затрат:

1. Неотрицательность , т.е. a_ij ≥ 0, это утверждение следует из неотрицательности величин x_ij и положительности валовых выпусков X_j

2. Сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы . Доказательство:

Для любой отрасли условно чистая продукция есть величина положительная, поскольку включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е. V_j>0. Поэтому, используя соотношение (2), можно записать:

При выполнении этих двух условий матрица B = (E — A) — 1 существует если ее элементы неотрицательны. Говорят, что в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной . Перепишем формулу

Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы b_ij называют коэффициентами полных материальных затрат . Коэффициент b_ij показывает, каков должен быть валовой выпуск i—й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

Можно показать, что

Умножим обе части на (E — A):

Из соотношения (7) следует b_ij ≥ a_ij, таким образом, коэффициент полных материальных затрат b_ij, описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат a_ij, рассчитываемого на единицу валового выпуска. Кроме того, из соотношения (7) для диагональных элементов матрицы B следует: b_ii ≥ 1, взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат проследим на примере.

Пусть единицей выпуска хлебопекарной промышленности является хлеб. Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат.

Полные затраты электроэнергии для нашего примера складываются из прямых затрат и косвенных затрат всех уровней. Косвенные затраты высоких уровней являются незначительными и при практических расчетах ими можно пренебречь.

Пример : Даны коэффициенты прямых затрат a_ij и конечный продукт Y для трехотраслевой экономики

a) коэффициенты полных затрат;

b) вектор валового продукта;

c) межотраслевые поставки продукции;

d) проверить продуктивность матрицы А;

e) заполнить схему межотраслевого баланса.

Для решения использовать функции Excel

Далее вычисляем матрицу коэффициентов полных затрат В-(Е-А).

Для вычисления матрицы В:

a. Выделить диапазон ячеек для размещения матрицы

b. Выбрать функцию МОБР в категории математические

c. Ввести диапазон ячеек, где содержится Е-А

d. Нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER

Все элементы матрицы В неотрицательны, следовательно матрица А продуктивна. Вычислим вектор валового выпуска Х по формуле X = BY

Для умножения матриц необходимо:

a. Выделить диапазон ячеек для размещения результата умножения матриц

b. Выбрать функцию МУМНОЖ в категории математические

c. Ввести диапазоны ячеек, где содержатся матрицы B и Y .

Нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER

1. Области применения матричных моделей?

2. Структура межотраслевого баланса?

3. Связь между конечной и условно чистой продукцией?

4. Экономический смысл, свойства и способы расчета коэффициентов прямых материальных затрат?

5. Коэффициенты полных материальных затрат?

6. Экономический смысл коэффициентов прямых затрат труда.?