Как найти матрицу грама в базисе

Оглавление — Линейная алгебра

Матрица и определитель Грама: определение, свойства, приложения

Определение матрицы Грама

Квадратная симметрическая матрица [math]G(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n)[/math], составленная из скалярных произведений системы векторов [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2, ldots, mathbf{e}_n[/math] называется матрицей Грама

[math]G(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n)= begin{pmatrix} langle mathbf{e}_1,mathbf{e}_1rangle& langle mathbf{e}_1,mathbf{e}_2rangle &cdots&langle mathbf{e}_1, mathbf{e}_nrangle\ langle mathbf{e}_2,mathbf{e}_1rangle& langle mathbf{e}_2, mathbf{e}_2rangle &cdots&langle mathbf{e}_2,mathbf{e}_nrangle\ vdots&vdots&ddots&vdots\ langle mathbf{e}_n,mathbf{e}_1rangle& langle mathbf{e}_n,mathbf{e}_2rangle &cdots&langle mathbf{e}_n,mathbf{e}_nrangle end{pmatrix}!.[/math]

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](mathbf{e})=(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)[/math] и [math](mathbf{f})= (mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]mathbb{E}[/math], a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](mathbf{e})[/math] к базису [math](mathbf{f})colon, (mathbf{f})=(mathbf{e})S[/math]. Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](mathbf{e})[/math] и [math](mathbf{f})[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math] в разных базисах:

[math]langle mathbf{x},mathbf{y}rangle= {mathop{x}limits_{(mathbf{e})}}^Tcdot, G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)cdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{e})}= {mathop{x}limits_{(mathbf{f})}}^Tcdot, G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)cdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{f})},[/math]

где [math]mathop{x}limits_{(mathbf{e})},, mathop{x}limits_{(mathbf{f})}[/math] и [math]mathop{y}limits_{(mathbf{e})},, mathop{y}limits_{(mathbf{f})}[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]mathop{x}limits_{(mathbf{e})}= S mathop{x}limits_{(mathbf{f})},[/math] [math]mathop{y}limits_{(mathbf{e})}= S mathop{y}limits_{(mathbf{f})}[/math], получаем тождество

[math]{mathop{x}limits_{(mathbf{f})}}^Tcdot S^Tcdot, G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)cdot Scdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{f})}= {mathop{x}limits_{(mathbf{f})}}^Tcdot, G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)cdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{f})}.[/math]

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому:

[math]G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)= S^Tcdot G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)cdot S.[/math]

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](mathbf{e})[/math] и [math](mathbf{f})[/math], получаем [math]E=S^TES[/math], так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)= G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)=E[/math]. Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^{-1}=S^T[/math].

Определитель Грама и его свойства

Определитель матрицы [math]G(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n)[/math] называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,ldots,x_k[/math], не равные нулю одновременно, что

[math]x_1cdot mathbf{v}_1+x_2cdot mathbf{v}_2+ldots+ x_kcdot mathbf{v}_k= mathbf{o}.[/math]

Умножая это равенство скалярно на [math]mathbf{v}_1[/math], затем на [math]mathbf{v}_2[/math] и т.д. на [math]mathbf{v}_k[/math], получаем однородную систему уравнений [math]G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)x=o[/math], которая имеет нетривиальное решение [math]x=begin{pmatrix}x_1&cdots&x_k end{pmatrix}^T[/math]. Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]mathbf{v}_1, mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]det{G (mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_k)}[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k[/math]. Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k[/math] получены векторы [math]mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots,mathbf{w}_k[/math], то

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots,mathbf{w}_k)= langle mathbf{w}_1,mathbf{w}_1ranglecdot langle mathbf{w}_2,mathbf{w}_2ranglecdot ldotscdot langle mathbf{w}_k,mathbf{w}_krangle.[/math]

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k[/math] последовательно строятся векторы

[math]mathbf{w}_1=mathbf{v}_1,quad mathbf{w}_2= mathbf{v}_2- alpha_{21} mathbf{w}_1,quad ldots,quad mathbf{w}_k= mathbf{v}_k- sum_{j=1}^{k-1}alpha_{kj} mathbf{w}_j.[/math]

После первого шага определитель Грама не изменяется

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k).[/math]

Выполним с определителем [math]det G(mathbf{w}_1, mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-alpha_{21})[/math], а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-alpha_{21})[/math]. Получим определитель

[math]det G(mathbf{w}_1,mathbf{v}_2-alpha_{21}mathbf{w}_1,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2, mathbf{v}_3, ldots,mathbf{v}_k).[/math]

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2,mathbf{v}_3, ldots,mathbf{v}_k).[/math]

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots,mathbf{w}_k).[/math]

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots, mathbf{w}_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]langle mathbf{w}_i,mathbf{w}_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math]. Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

[math]det G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots,mathbf{w}_k)= langle mathbf{w}_1, mathbf{w}_1ranglecdot langle mathbf{w}_2,mathbf{w}_2ranglecdot ldots langle mathbf{w}_k, mathbf{w}_krangle.[/math]

3. Определитель Грама любой системы [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots, mathbf{v}_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

[math]0leqslant det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k) leqslant langle mathbf{v}_1, mathbf{v}_1ranglecdot langle mathbf{v}_2,mathbf{v}_2ranglecdot ldots langle mathbf{v}_k, mathbf{v}_krangle.[/math]

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots, mathbf{v}_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]mathbf{w}_1,mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_k[/math], для которых по свойству 2:

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots, mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_k)= |mathbf{w}_1|^2cdot |mathbf{w}_2|^2cdot ldotscdot |mathbf{w}_k|^2>0.[/math]

Оценим теперь скалярный квадрат [math]langle mathbf{v}_j,mathbf{w}_jrangle[/math]. Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]mathbf{v}_j= mathbf{w}_j+ alpha_{j,1}mathbf{w}_1+ ldots+ alpha_{j,j-1}mathbf{w}_{j-1}[/math]. Отсюда

[math]langle mathbf{v}_j,mathbf{w}_jrangle= langle mathbf{w}_j,mathbf{w}_jrangle+ sum_{i=1}^{j-1}alpha_{i,i}^2 langle mathbf{w}_j,mathbf{w}_jrangle geqslant langle mathbf{w}_j, mathbf{w}_jrangle.[/math]

Следовательно, по свойству 2 имеем

[math]langle mathbf{v}_1,mathbf{v}_1ranglecdot langle mathbf{v}_2,mathbf{v}_2 ranglecdot ldotscdot langle mathbf{v}_k,mathbf{v}_kranglegeqslant langle mathbf{w}_1, mathbf{w}_1ranglecdot langle mathbf{w}_2,mathbf{w}_2ranglecdot ldotscdot langle mathbf{w}_k, mathbf{w}_krangle= det G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots,mathbf{w}_k).[/math]

Замечания

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

Метрические приложения определителя Грама

Пусть [math]boldsymbol{v}_1,boldsymbol{v}_2, ldots,boldsymbol{v}_k[/math] — линейно независимая система векторов n-мерного евклидова пространства [math](kleqslant n)[/math]. Определим по индукции понятие многомерного объема. Обозначим через [math]boldsymbol{h}_j[/math] — перпендикуляр, опущенный из конца вектора [math]boldsymbol{v}_j[/math] на подпространство [math]operatorname{Lin} (boldsymbol{v}_1, ldots,boldsymbol{v}_{j-1}),[/math] [math]j=2,ldots,k[/math].

Обозначим

[math]V_{ast boldsymbol{v}_1}=|boldsymbol{v}_1|[/math] — одномерный объем — длина вектора [math]boldsymbol{v}_1[/math];

[math]V_{ast boldsymbol{v}_1,boldsymbol{v}_2}= V_{ast boldsymbol{v}_1}cdot |boldsymbol{h}_2|= |boldsymbol{v}_1|cdot|boldsymbol{h}_2|[/math] — двумерный объем — площадь параллелограмма, построенного на векторах [math]boldsymbol{v}_1,,boldsymbol{v}_2[/math];

[math]V_{ast boldsymbol{v}_1,boldsymbol{v}_2, boldsymbol{v}_3}= V_{ast boldsymbol{v}_1, boldsymbol{v}_2}cdot |boldsymbol{h}_3|= |boldsymbol{v}_1|cdot |boldsymbol{h}_2|cdot |boldsymbol{h}_3|[/math] — трехмерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]boldsymbol{v}_1,,boldsymbol{v}_2,, boldsymbol{v}_3[/math];

[math]V_{ast boldsymbol{v}_1,ldots,boldsymbol{v}_{k}}= V_{ast boldsymbol{v}_1, ldots, boldsymbol{v}_{k-1}}cdot |boldsymbol{h}_k|= |boldsymbol{v}_1|cdot|boldsymbol{h}_2|cdot ldotscdot |boldsymbol{h}_k|[/math] — k-мерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]boldsymbol{v}_1, boldsymbol{v}_2, ldots,boldsymbol{v}_k[/math].

Проводя ортогонализацию системы векторов [math]boldsymbol{v}_1,boldsymbol{v}_2, ldots, boldsymbol{v}_k[/math], получаем, согласно пункту 4 замечаний 8.14, перпендикуляры [math]boldsymbol{h}_1= boldsymbol{v}_1,boldsymbol{h}_2, ldots,boldsymbol{h}_k[/math]. Тогда по свойству 2 определителя Грама имеем

т.е. определитель Грама векторов [math]boldsymbol{v}_1, boldsymbol{v}_2, ldots, boldsymbol{v}_k[/math] равен квадрату k-мерного объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. В этом заключается геометрический смысл определителя Грама.

Расстоянием от конца вектора [math]boldsymbol{v}[/math] до подпространства [math]L[/math] называется наименьшее значение длин векторов [math](boldsymbol{v}-boldsymbol{l})[/math], где [math]boldsymbol{l}in L[/math], т.е.

[math]d=min_{boldsymbol{l}in L}|boldsymbol{v}-boldsymbol{l}|.[/math]

Аналогично определяется расстояние от конца вектора до многообразия.

Углом между ненулевым вектором [math]boldsymbol{v}[/math] и подпространством [math]L[/math] называется наименьший угол [math]varphi[/math] между вектором [math]boldsymbol{v}[/math] и ненулевыми векторами подпространства, т.е.

[math]varphi= min_{boldsymbol{l}in L}!left(arccosfrac{langle boldsymbol{v}, boldsymbol{l}rangle}{|boldsymbol{v}|cdot|boldsymbol{l}|}right)!.[/math]

Аналогично определяется угол между вектором и многообразием, как угол между вектором и однородной частью многообразия.

Из неравенств пункта 1 замечаний 8.14 следует, что

1) расстояние [math]d[/math] от конца вектора [math]boldsymbol{v}[/math] до подпространства [math]L[/math] равно длине перпендикуляра [math]boldsymbol{h}[/math], опущенного из конца вектора [math]boldsymbol{v}[/math] на подпространство [math]L[/math], т.е. [math]d=|boldsymbol{h}|[/math];

2) угол между ненулевым вектором [math]boldsymbol{v}[/math] и подпространством [math]L[/math] равен углу между вектором [math]boldsymbol{v}[/math] и его ортогональной проекцией на подпространство [math]L[/math].

Для нахождения расстояний и углов можно использовать формулу (8.37).

Пусть задан вектор [math]boldsymbol{v}[/math] и подпространство [math]L=operatorname{Lin} (boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_r)[/math], причем векторы [math]boldsymbol{e}_1, ldots, boldsymbol{e}_r[/math] линейно независимы. Тогда [math]V_{ast boldsymbol{e}_1,ldots, boldsymbol{e}_r, boldsymbol{v}}= V_{ast boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_r}cdot |boldsymbol{h}|[/math], где [math]boldsymbol{h}[/math] — ортогональная составляющая вектора [math]boldsymbol{v}[/math] относительно подпространства [math]L[/math]. Отсюда, [math]boldsymbol{h}= frac{V_{ast boldsymbol{e}_1,ldots, boldsymbol{e}_r, boldsymbol{v}}}{V_{ast boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_r}}[/math]. Используя (8.37) для вычисления объемов, получаем, что длина [math]|boldsymbol{h}|[/math] ортогональной составляющей (расстояние от конца вектора [math]boldsymbol{v}[/math] до подпространства [math]L=operatorname{Lin}( boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_r)[/math] находится по формуле

а угол [math]varphi[/math] между ненулевым вектором [math]boldsymbol{v}[/math] и подпространством находится по формуле

Пример 8.22. В пространстве [math]mathbb{R}^4[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27) заданы: вектор [math]v=begin{pmatrix}-3&2&0&0end{pmatrix}^T[/math] и подпространство [math]L[/math] — множество [math]{Ax=o}[/math] решений однородной системы:

[math]begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0. end{cases}[/math]

Требуется найти расстояние [math]|h|[/math] от конца вектора [math]boldsymbol{v}[/math] до подпространства [math]L[/math] и угол между вектором [math]boldsymbol{v}[/math] и подпространством [math]L[/math].

Решение. Базис подпространства был найден в примере 8.9:

[math]L=operatorname{Lin}(varphi_1,varphi_2),[/math] где [math]varphi_1=begin{pmatrix}-6&4&1&0end{pmatrix}^T,quad varphi_2=begin{pmatrix}-2&1&0&1end{pmatrix}^T.[/math]

Составляем определители Грама [math]Bigl(langle boldsymbol{v}, boldsymbol{v}_1rangle= (-3)^2+ 2^2+0^2+0^2=13Bigr)[/math], остальные скалярные произведения векторов найдены в примере 8.20):

[math]det G(varphi_1,varphi_2,v)= begin{vmatrix}53&16&26\ 16&6&8\ 26&8&13 end{vmatrix}=14,quad det G(varphi_1,varphi_2)= begin{vmatrix}53&16\ 16&6 end{vmatrix}=62.[/math]

Тогда [math]|h|=sqrt{frac{14}{62}}=sqrt{frac{7}{31}}[/math], а [math]varphi= arcsinsqrt{frac{7}{403}}[/math]. В найдены ортогональная проекция [math]l=begin{pmatrix}dfrac{-92}{31}&dfrac{60}{31}&dfrac{14}{31}&dfrac{4}{31}end{pmatrix}^T[/math] и ортогональная составляющая [math]h=begin{pmatrix}dfrac{-1}{31}& dfrac{2}{31}&dfrac{-14}{31}& dfrac{-4}{31} end{pmatrix}^T[/math]. Вычисляя длину вектора [math]h[/math], получаем [math]|h|=sqrt{frac{7}{31}}[/math]. Результаты совпадают.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Пусть Е_n –
n-мерное евклидово пространство и
пусть е = (е₁,
е₂, … , е_n
) – базис в нём. Так как в Е_n
для любой упорядоченной пары векторов
определено их скалярное произведение,
то определены скалярные произведения
всех пар базисных векторов. Составим
из них матрицу

Г = (41)

Матрица Г называется матрицей Грама скалярного произведения для базиса е. Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления

скалярного произведения векторов,
заданных координатами.

Пусть в базисе е заданы векторы
а = х₁е₁
+ х₂е₂ +
… + х_nе_n
, в = у₁е₁+
у₂е₂ +
… + у_nе_n
. Тогда (а, в) = (х₁е₁
+ х₂е₂ +
… + х_nе_n)(
у₁е₁+
у₂е₂ +
… + у_nе_n)
=

=
х ^ТГу,
где х ^Т– строка
координат вектора а, у –
столбец координат вектора в
. Итак, (а, в) = х ^ТГу
(42).

Свойства матрицы Грама.

1⁰. Матрица Грама симметрична
относительно главной диагонали.

Это следует из того, что (е_к,
е_s
) = (е_s
, е_к ).

2⁰. Диагональные элементы матрицы
Грама строго положительны.

Это следует из того, что е_к
 0 и,
следовательно, (е_к,
е_к ) 
0.

3⁰. Для матрицы Грама и любого
n—мерного
столбца х выполняется условие х
^ТГх
 0.

Это следует из 4-ой аксиомы определения
скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А,
удовлетворяющую условию х ^ТАх
 0 для любого

ненулевого столбца х, называют
положительно определённой.
Следовательно, матрица

Грама положительно определённая.

4⁰. Пусть е = (е₁,
е₂, … , е_n
) и е¹ =
(е₁¹,
е₂¹,
… , е_n¹
) –два базиса в Е_n
, Г и Г¹ –
матрицы Грама данного скалярного
произведения в базисах е и е¹
соответственно. Пусть Т – матрица
перехода от базиса е к базису
е¹. Тогда (а, в)
= х ^ТГу,
х = Тх¹,
у = Ту¹,
х ^Т= (Тх¹)^Т=
(х¹)^Т
Т^Т. Следовательно, (а,
в) = ((х¹)^Т
Т^Т) Г
(Ту¹)
= (х¹)^Т
(Т^Т
Г Т )
у¹. Но (а, в)
= (х¹)^Т
Г¹
у¹. Отсюда

Г¹ = Т^Т
Г Т
(43)

Формула (42) даёт связь матриц Грама в
разных базисах.

5⁰. Определители матриц Грама во
всех базисах имеют один и тот же знак.

Из формулы (42) следует 
Г¹ =
Т^Т Г
Т
= Г
Т
². Так как Т
² 0, то 
Г¹ и 
Г имеют одинаковые
знаки.

Примеры.

1. Во множестве М₂
квадратных матриц с действительными
элементами скалярное произведение
задано формулой

.
Найти матрицу Грама этого произведения
в базисе е₁ =

,
е₂ =

,
е₃ =

,
е₄ =

.

Решение. Найдём все попарные
произведения базисных элементов: (е₁,
е₁) = 1, (е₁,
е₂) = (е₂,
е₁) = 0, (е₁,
е₃) = (е₃,
е₁) = 0, (е₁,
е₄) = (е₄,
е₁) = 0, (е₂,
е₂) = 1, (е₂,
е₃) = (е₃,
е₂) = 0, (е₂,
е₄) = (е₄,
е₂) = 0, (е₃,
е₃) = 1, (е₃,
е₄) = (е₄,
е₃) = 0, (е₄,
е₄) = 1. Следовательно,

Г =

.

2. В пространстве R[х]
многочленов степени не выше 3-х скалярное
произведение задано формулой

,
где  и 
– фиксированные действительные числа,
 
. Составить
матрицу Грама в базисе (1, х, х²,
х³).

Решение. Найдём все попарные
произведения базисных элементов: (1, 1)
=

=  – ,

(1, х) = (х, 1) =

=

),
(1, х²) = (х²,
1) =

=

),
(1, х³) = (х³,
1) =

=

),
(х, х) =

=

),
(х, х²)
= (х², х) =

=

),
(х, х³) = (х³,
х) =

=

),
(х², х²)
=

=

),
(х², х³) =
(х³, х²) =

=

),
(х³, х³)
=

=

).
Матрица Грама будет иметь вид:

Г =

.

3. В базисе (е₁,
е₂, е₃)
пространства Е₃
скалярное произведение задано
матрицей Грама Г =

.
Найти скалярное произведение векторов
а = (1, –5, 4)
и в = (–3, 2,
7).

Решение. Используя формулу
(41), получим (а, в) = (1, –5,
4) 



= 7.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

§

Вспомогательная страница к разделу ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

Матрица и определитель Грама

Линейная независимость векторов

Свойства определителя Грама

Расстояние до линейного многообразия

Объемы параллелепипедов

Задачи

Пусть Еn – N-Мерное евклидово пространство и пусть Е = (Е1, Е2, … , Еn ) – базис в нём. Так как в Еn для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу

Заданных координатами.

Пусть в базисе Е заданы векторы А = Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn , В = У1Е1+ У2Е2 + … + УnЕn . Тогда (А, в) = (Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn)×( у1Е1+ У2Е2 + … + УnЕn) = = Х Т×Г×У, где Х Т– строка координат вектора А, У – Столбец координат вектора В . Итак, (А, в) = Х Т×Г×У (42).

Свойства матрицы Грама.

10. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

Это следует из того, что (Ек, еS ) = (ЕS, ек ).

20. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.

Это следует из того, что Ек ¹ 0 и, следовательно, (Ек, ек ) > 0.

30. Для матрицы Грама и любого N-Мерного столбца Х Выполняется условие Х Т×Г×Х > 0.

Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А, Удовлетворяющую условию Х Т×А×Х > 0 для любого

Ненулевого столбца Х, Называют Положительно определённой. Следовательно, матрица

Грама Положительно определённая.

40. Пусть Е = (Е1, Е2, … , Еn ) и Е1 = (Е11, Е21, … , Еn1 ) –два базиса в Еn , Г И Г1 – матрицы Грама данного скалярного произведения в базисах Е И Е1 соответственно. Пусть Т – матрица перехода от базиса Е К базису Е1. Тогда (А, в) = Х Т×Г×У, х = Т×х1, у = Т×у1, х Т= (Т×х1)Т= (Х1)Т× ТТ. Следовательно, (А, в) = ((Х1)Т× ТТ)× Г× (Т×у1) = (Х1)Т× (ТТ× Г× Т )× У1. Но (А, в) = (Х1)Т× Г1× у1. Отсюда

Г1 = ТТ× Г× Т (43)

Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.

50. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.

Из формулы (43) следует ú Г1ú =ú ТТú ×úГú ×úТú = úГú ×úТú 2. Так как |Тú 2> 0, то ú Г1ú и ú Гú имеют одинаковые знаки.

60. Все главные миноры матрицы Грама строго положительны.

Примеры.

1. Во множестве М2 Квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой . Найти матрицу Грама этого произведения в базисе Е1 = , Е2 = , Е3 = , Е4 = .

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (Е1, е1) = 1, (Е1, е2) = (Е2, е1) = 0, (Е1, е3) = (Е3, е1) = 0, (Е1, е4) = (Е4, е1) = 0, (Е2, е2) = 1, (Е2, е3) = (Е3, е2) = 0, (Е2, е4) = (Е4, е2) = 0, (Е3, е3) = 1, (Е3, е4) = (Е4, е3) = 0, (Е4, е4) = 1. Следовательно,

Г = .

2. В пространстве R[Х] многочленов степени не выше 3-х скалярное произведение задано формулой , где A И B – фиксированные действительные числа, A < B. Составить матрицу Грама в базисе (1, Х, х2, х3).

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = = B – A,

(1, Х) = (Х, 1) = = ), (1, Х2) = (Х2, 1) = = ), (1, Х3) = (Х3, 1) = = ), (Х, х) = = ), (Х, х2) = (Х2, х) = = ), (Х, х3) = (Х3, х) = = ), (Х2, х2) = = ), (Х2, х3) = (Х3, х2) = = ), (Х3, х3) = = ). Матрица Грама будет иметь вид:

Г = .

3. В базисе (Е1, е2, е3) пространства Е3 Скалярное произведение задано матрицей Грама Г = . Найти скалярное произведение векторов А = (1, –5, 4) и В = (–3, 2, 7).

Решение. Используя формулу (41), получим (А, В) = (1, –5, 4) × × = 7.