Как найти массу тела математика

Масса сплошной детали

Это странное название статьи объясняется только тем, что детали одной и той же формы могут быть как сплошными, так и полыми (т.е. следующая статья будет называться «Масса полой детали»).

Тут самое время вспомнить, что масса тела — это его объем , умноженный на плотность его материала rho (см. таблицы плотностей):

Объем сплошной детали — это… ее объем и больше ничего.

Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр.
Буквой обозначено отношение длины окружности к ее диаметру, составляющее примерно 3,14.

Рассмотрим несколько простых форм (более сложные, как вы помните, можно составить путем сложения или вычитания простых).

1. Масса параллелепипеда (бруска)

Объем параллелепипеда: , где — длина, — ширина, — высота.
Тогда масса:

2. Масса цилиндра

Объем цилиндра: $V~=~pi~*~{D^2/4}~*~H$ , где — диаметр основания, — высота цилиндра.
Тогда масса:

$m~=~{{pi~*~D^2~*~H}/4000}~*~rho$

3. Масса шара

шар Объем шара: $V~=~pi~*~{D^3/6}$ , где — диаметр шара.
Тогда масса:

$m~=~{{pi~*~D^3}/6000}~*~rho$

4. Масса сегмента шара

Объем сегмента шара: $V~=~{1/6}pi*H*(H^2+~{3/4}D^2)$ , где — диаметр основания сегмента, — высота сегмента.
Тогда масса:

$m~=~{{pi~*~H~*~(4H^2+~3D^2)}/24000}~*~rho$

5. Масса конуса

Объем любого конуса: , где — площадь основания, — высота конуса.
Для круглого конуса: $V~=~{1/12}pi*D^2*H$ , где — диаметр основания, — высота конуса.
Масса круглого конуса:

$m~=~{{pi~*~D^2~*~H}/12000}~*~rho$

6. Масса усеченного конуса

Поскольку невозможно объять необъятное, рассмотрим только круглый усеченный конус. Его объем — это разность объемов двух вложенных конусов: с основаниями и : $V~=~{1/12}pi*(D1^2*H1~-~D2^2*H2)$ , где , . После никому не интересных алгебраических преобразований получаем:
$V~=~{1/12}pi*H*(D1^2+D1*D2+D2^2)$ , где — диаметр большего основания, — диаметр меньшего основания, — высота усеченного конуса.
Отсюда масса:

$m~=~{{pi~*~H~*~(D1^2~+~D1*D2~+~D2^2)}/12000}~*~rho$

7. Масса пирамиды

Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту (то же самое, что и для конусов (часто мы не замечаем, насколько мироздание к нам благосклонно)): , где — площадь основания, — высота пирамиды.
Для пирамиды с прямоугольным основанием: , где — ширина, — длина, — высота пирамиды.
Тогда масса пирамиды:

8. Масса усеченной пирамиды

Рассмотрим усеченную пирамиду с прямоугольным основанием. Ее объем — это разность объемов двух подобных пирамид с основаниями W1*L1 и W2*L2 : , где , .
Исчеркав половину тетрадного листа, получаем: $V~=~{1/3}H*~{{W1^2L1~-~W2^2L2}/{W1~-~W2}}$ , где , — ширина и длина большего основания, , — ширина и длина меньшего основания, — высота пирамиды.
И, оставив в покое остальную половину листа, исходя из одних соображений симметрии, мы можем написать еще одну формулу, которая отличается от предыдущей только заменой W на L и наоборот. В чем разница между длиной и шириной? Только в том, что мы их так назвали. Назовем наоборот и получим: $V~=~{1/3}H*~{{L1^2W1~-~L2^2W2}/{L1~-~L2}}$ .
Тогда масса усеченной прямоугольной пирамиды:

$m~=~{{W1^2L1~-~W2^2L2}/{W1~-~W2}}~*~{H~*~rho}/3000$

или

$m~=~{{L1^2W1~-~L2^2W2}/{L1~-~L2}}~*~{H~*~rho}/3000$

Для пирамиды с квадратным основанием (, ) формула выглядит проще:

$m~=~(A1^2~+~A1A2~+~A2^2)~*~{H~*~rho}/3000$

Источник

Математика, 3 класс

Урок №9. Связь между величинами: масса одного предмета, количество предметов, масса всех предметов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Что такое масса?

— Как найти массу одного предмета?

— Как найти общую массу?

Глоссарий по теме:

Масса предмета – величина, характеризующая вес предмета.

Чтобы найти массу одного предмета, нужно массу всех предметов разделить на количество предметов.

Чтобы найти массу всех предметов, нужно массу одного предмета умножить на количество предметов.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с.23.
Волкова С. И. Математика. Проверочные работы 3 класс. М.; Просвещение, 2014. – с.20.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Рассмотрим задачу в картинках.

В задаче нужно определить массу каждого животного, т.е. вес.

Слово масса пришло к нам из латинского языка. Обозначает большое количество чего-нибудь или кого-нибудь. Измеряется масса килограммами, граммами. Вес очень больших предметов (машин, вагонов) измеряют тоннами. Прибор, с помощью которого измеряют массу — весы. Существуют разного вида и типа весы.

Решим задачу.

Масса пакета с мукой 2 кг. Узнай массу 4 таких пакетов.
К задаче можно составить схему, но удобнее будет заполнить таблицу.

В таблицу записываем названия величины и числовые данные.

Чтобы узнать массу 4 пакетов, мы должны 2 кг взять 4 раза. Массу всех пакетов узнаем действием умножением.

2 ∙ 4 = 8 (кг)

Вывод: Чтобы узнать массу всех предметов (пакетов, мешков, ящиков), нужно массу одного предмета умножить на количество.

Составим обратную задачу.

Масса 4 одинаковых пакетов с мукой 8 кг. Узнай массу одного пакета.

Заполняем таблицу.

Массу всех пакетов поровну распределим на 4 пакета.

8 : 4 = 2 (кг) – масса одного пакета.

Вывод: Чтобы узнать массу одного пакета, нужно массу всех пакетов разделить на количество.

Составим и решим следующую обратную задачу.

Масса одного пакета с мукой 2 кг. Сколько пакетов понадобится для 8 кг муки?

Заполняем таблицу.

Чтобы узнать количество пакетов, общую массу будем поровну раскладывать по 2 кг.

8 : 2 = 4 (п.)

Вывод: Чтобы узнать количество (пакетов, мешков, ящиков), нужно массу всех предметов разделить на массу одного предмета.

Тренировочные задания:

1. Выберите правильный ответ к задаче.

В одном пакете 2 кг яблок. Сколько килограммов в пяти пакетах?

7 кг; 10 кг; 5кг;

Правильный вариант: 10 кг.

2. Вставьте в таблицу пропущенные числа.

Правильный вариант:

Источник

Разделы:

Физика

Класс:

Цели урока.

1. Образовательные: систематизировать
знания, имеющиеся у учащихся о понятиях:
“плотность”, “масса”, “объем”, расширить
область знаний о данных понятиях, выработка
умения применять изученный материал для решения
практических задач.

2. Развивающие: формирование логического
мышления, продолжать развивать навык решения
физических задач.

3. Воспитательные: привития учащимся к
доброжелательному общению, взаимопомощи.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: 15 комплектов таблиц 1 и 2.

Ход урока

1. Организационный этап.

2. Актуализация знаний.

Деятельность учителя	Деятельность учеников
— Что такое плотность?	Физическая величина, которая показывает, какое количество вещества, содержится в единице объема.
— Что означает, плотность железа равна 6800 кг/м³? — Как можно найти плотность вещества? — От чего зависит масса тела?	Это означает, что масса 1 м³ железа равна 6800 кг. Чтобы найти плотность вещества нужно массу разделить на объем.
— Как найти массу тела?	Масса тела зависит от его объема и плотности вещества, из которого состоит данное тело.
— Как найти объем тела, если известна его масса и вещество, из которого состоит тело?	Чтобы найти массу тела нежно его плотность умножить на объем. Чтобы найти объем тела, нужно его массу разделить на плотность.

3. Решение задач
1. Как будем выставлять оценку за работу на уроке по принципу сложения или вычитания?	По принципу сложения.
2. Таблица 1 (Приложение №1). На складе имеются грузы: мел, пробка, береза, лед, сталь. Каждый груз упакован в контейнеры по 2 м³. для перевозки этих грузов были вызваны пять автомобилей. Ваша задача распределить грузы по автомобилям.	Найти массу грузов.
— Что нужно сделать, чтобы распределить грузы по автомобилям?
— Как найти массу вещества, если известна его плотность и объём?	кг/м³
— В каких единицах измерена плотность вещества?	В килограммах
— В каких единицах будет вычислена масса?	В тоннах и килограммах
— В каких единицах выражена грузоподъемность автомобилей?	В тоннах, а для москвича в килограммах
— В каких единицах нужно получить массу грузов? Решите данную задачу и распределите грузы по автомобилям. Учитель проверяет правильность выполненного задания у первого решившего ученика, и назначает его своим ассистентом. В карточках (Приложение № 3) учеников делаются записи количества набранных баллов.	Ученики решают задачи и распределяют грузы.
3. Таблица 2 (Приложение № 2). Имеются пять различных жидкостей, которые имеют одинаковую массу. Эти жидкости нужно разлить по пяти различным сосудам. — Что нужно сделать, чтобы разлить жидкости по сосудам?	Найти объём жидкостей.
— Как найти объем, если известна масса вещества и его плотность?
— В каких единицах получится вычисленный объём?	в м³.
— В каких единицах дан объём сосудов?	В литрах и миллилитрах
— В каких единицах нужно получить объём жидкостей?	В литрах и миллилитрах
Решите данную задачу и распределите жидкость по сосудам. Учитель проверяет правильность выполненного задания у первого решившего ученика, и назначает его своим ассистентом. В карточках учеников делаются записи количества набранных баллов.	Ученики решают задачу.
4. Рефлексия.
— Какие физические понятия Вы использовали для выполнения заданий? Сравните количество баллов, которые вы выставили сами себе, с количеством баллов, которые вам выставили проверяющие. Какой вы можете для себя сделать вывод? Готовы ли вы к контрольной работе?	Масса, плотность, объем.

См. приложение 4 и приложение
5.

Домашнее задание: повторить 18-22.

23.07.2009

Источник

Как найти массу, зная плотность и объем

В практических задачах по физике и математике часто встречаются такие величины как объем, масса и плотность. Зная плотность и объем тела или вещества, вполне возможно найти его массу.

Вам понадобится

— компьютер или калькулятор;
— рулетка;
— мерная емкость;
— линейка.

Инструкция

Как известно, предметы, имеющие один и тот же объем, но сделанные из разных материалов, будут иметь разную массу (дерево и металл, стекло и пластмасса). Массы тел, изготовленных из одного и того же вещества (без пустот), прямо пропорциональны объему рассматриваемых предметов. Иначе говоря, постоянной величиной является отношение массы предмета к его объему. Эта величина носит название «плотность вещества . В дальнейшем обозначим ее буквой d.

Исходя из определения, d=m/V, где
m – масса предмета (кг),
V — его объем (м3).
Как видно из формулы, плотность вещества – это масса единицы его объема.

Узнать плотность вещества, из которого изготовлен предмет, можно из таблицы плотностей в приложении к учебнику физики или на сайте http://www.kristallikov.net/page15.html, где приведены плотности практически всех существующих веществ.

Объем предмета можно рассчитать по формуле: V=S*h, где
V – объем (м3),
S – площадь основания предмета (м2),
H – высота предмета (м).

Если нет возможности с точностью произвести измерение геометрических размеров тела, воспользуйтесь законом Архимеда. Для этого возьмите сосуд, имеющий шкалу (или деления) для измерения объема жидкости, опустите предмет в воду (в сам сосуд, снабженный делениями). Объем, на который увеличится содержимое сосуда, — и есть объем погруженного в него тела.

Если известны плотность d и объем V предмета, всегда можно найти его массу, пользуясь формулой: m=V*d. Перед расчетом массы приведите все единицы измерения в одну систему, например, в интернациональную систему измерения СИ.

Вывод из приведенных формул следующий: чтобы получить искомое значение массы, зная плотность и объем, надо умножить значение объема тела на значение плотности вещества, из которого оно сделано.

Источники:

как находить массу

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Теоретическая выкладка

Ещё в Древней Греции учёные знали формулу определения объема вещей в зависимости от массы и плотности. Так Архимед открыл закон, названный его именем. Почему же ведро с водой поднять заметно легче, чем с песком? Всё объясняется различной плотностью веществ. В единице объёма песка больше вещества, чем в воде, значит, он плотнее жидкой субстанции.

Структура практически всех окружающих субстанций неравномерна, а значит, и концентрация массы в единице веществ отличается, но незначительно. В задачах этой разницей пренебрегают.

Плотностью называется величина, получаемая вследствие разделения массы объекта на занимаемое им пространство. В физике имеет вид:

ρ = m/V, ρ – читается как «ро».

В системе СИ измеряется в кг/м³, на практике применяются кратные и дольные единицы измерения, например, см/кг³.

В физике существует несколько трактовок или типов плотностей:

объёмная – рассматриваемая величина;
поверхностная – отношение веса к площади;
линейная – указывает на обратную пропорциональность массы к длине, применяется в двухмерных вычислениях;
плотность электрического заряда.

Относительно к газам формула видоизменяется:

ρ = M / Vm, здесь, M и Vm – молярные масса с объёмом соответственно.

Видео

Гравитационная масса

Масса материальной точки входит в закон всемирного тяготения, при этом она определяет гравитационные свойства данной точки.при этом она носит название гравитационной (тяжелой) массы.

Эмпирически получено, что для всех тел отношения инертных масс к гравитационным являются одинаковыми. Следовательно, если правильно избрать величину постоянной гравитации, то можно получить, что для всякого тела инертная и гравитационная массы одинаковы и связываются с силой тяжести (F_t) избранного тела:

где g – ускорение свободного падения. Если проводить наблюдения в одной и той же точке, то ускорения свободного падения одинаковы.

Что характеризует, каким прибором измеряют

Выделяют два вида массы:

инертная;
гравитационная.

Определение 5

Инертная масса показывает инертность тел и выражена во втором законе Ньютона.

Определение 6

Гравитационная масса характеризует силу, с которой тело взаимодействует с полями тяготения и какое гравитационное поле создает само. Входит в закон всемирного тяготения.

Согласно экспериментам на Земле, разницы между гравитационной массой и инертной нет, так что их можно считать равными и объединять в общее краткое понятие. Как правило, они также имеют общее обозначение m.

Масса измеряется в килограммах (кг). Для того, чтобы ее измерить, используют специальный прибор – весы.

Примечание 1

Весы измеряют массу тела, а не его вес. Но в повседневном сознании эти понятия считают синонимичными.

Если к телу приложена сила с ускорением 1м/с2,а сила при этом равна 1 Н, то масса такого тела равна 1 кг.

В Международном бюро мер и весов находится эталон массы в 1 кг. С 2018 года им является цилиндр диаметром и высотой в 39,17 мм. Цилиндр состоит из сплава, состоящего на 90% из платины и на 10% из иридия.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Две частицы летят навстречу друг другу со скоростями равными v (скорость близка к скорости света). При их соударении происходит абсолютно неупругий удар. Какова масса частицы, которая образовалась после соударения? Массы частиц до соударения равны m.

Решение. При абсолютно неупругом соударении частиц, которые до удара имели одинаковые массы и скорости образуется одна покоящаяся частица (рис.1) энергия покоя которой равна: $$E^{prime}=M c^{2}(1.1)$$

В нашем случае выполняется закон сохранения механической энергии. Частицы обладают только кинетической энергией. По условию задачи скорость частиц близка к скорости света, следовательно? оперируем понятиями релятивистской механики: $$E_{1}=frac{m c^{2}}{sqrt{1-frac{v^{2}}{c^{2}}}}=E_{2}(1.2)$$

где E1 – энергия первой частицы до удара, E2 – энергия второй частицы до соударения.

Закон сохранения энергии запишем в виде: $$E_{1}+E_{2}=E^{prime} ; frac{m c^{2}}{sqrt{1-frac{v^{2}}{c^{2}}}}+frac{m c^{2}}{sqrt{1-frac{v^{2}}{c^{2}}}}=M c^{2} rightarrow frac{2 m c^{2}}{sqrt{1-frac{v^{2}}{c^{2}}}}=M c^{2}(1.3)$$

Из выражения (1.3) следует, что масса полученной в результате слияния частицы равна: $$M=frac{2 m}{sqrt{1-frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут! Узнать стоимость

Пример

Задание. Какова масса 2м3 меди?

Решение. Будем считать, что медь однородна и для решения задачи используем формулу: $$m=rho V$$

При этом если известно вещество (медь), то можно при помощи справочника найти ее плотность. Плотность меди будем считать равной $rho$ Cu=8900 кг/м3 . Для расчета все величины известны. Проведем вычисления:

$m=8900 cdot 2=17800$ (кг)

Ответ. $m=8900 cdot 2=17800$ (кг)

Масса сплошной детали

1. Масса параллелепипеда (бруска)

2. Масса цилиндра

3. Масса шара

4. Масса сегмента шара

5. Масса конуса

6. Масса усеченного конуса

7. Масса пирамиды

8. Масса усеченной пирамиды

Как найти массу, зная плотность и объем

Теоретическая выкладка

Видео

Гравитационная масса

Что характеризует, каким прибором измеряют

Примеры решения задач

Теги

Не пропустите также: