Как найти массу газа в шаре

Калькулятор Подъемная сила воздушного шара рассчитывает параметры воздушного шара, где в качестве подъемного газа используется горячий воздух. В случае в гелием расчет становится проще. Опять же, если речь идет о задачах на молекулярно-кинетическую теорию, то просят найти либо массу гелия, требуемую для подъема шара с заданной массой оболочки и массой груза, либо массу груза, которую может поднять заданная масса гелия при заданной массе оболочки воздушного шара. Калькулятор ниже позволяет найти любое неизвестное значение, включая массу оболочки. Стоит заметить, что в задачах обычно приводится температура окружающего воздуха и его давление, но для расчета они на самом деле не нужны.

Как обычно, теория и формулы расчета приведены под калькулятором.

Расчет параметров воздушного шара, наполненного гелием

Воздушный шар поднимается под действием выталкивающей силы, или силы Архимеда, потому что закон Архимеда распространяется не только на жидкости, но и на газы. Соответственно, чтобы шар начал подниматься, выталкивающая сила, действующая на шар, должна превышать силу тяжести. Для решения задач обычно находят граничное условие (по массе), что позволяет приравнять силу тяжести и выталкивающую силу. То есть чуть больше масса гелия, или чуть меньше масса груза — и шар начинает подниматься. Уравнение равновесия выглядит таким образом:
,
где
M — масса оболочки,
m — масса груза,
mₐ — масса гелия в шаре,
mₑ — масса окружающего воздуха, вытесненного шаром,
g — ускорение свободного падения.

Сократив g и перенеся массу нагретого воздуха в правую часть, получим

Разберемся с массой воздуха, вытесненного шаром. Ключевой момент для шаров с гелием — его давление и температура равны давлению и температуре окружающего воздуха. Поэтому, если рассмотреть два одинаковых объема, равных объему, занимаемому гелием, то из уравнения Менделеева-Клапейрона можно записать:

Откуда, после сокращения RT

Молярная масса гелия 4 г/моль, молярная масса воздуха 28.98 г/моль (в задачах часто округляют до 29). Чтобы равенство выполнялось, масса гелия должна быть меньше массы вытесненного воздуха. Получаем следующее выражение для массы воздуха:

Подставив mₑ в равенство выше, получим итоговую формулу, которая связывает все параметры воздушного шара:

Из этого равенства можно получить формулы для вычисления нужного неизвестного.
Масса оболочки:

Масса груза:

Масса гелия:

Стоит заметить, что шары, наполненные гелием, используют для подъема в стратосферу. Давление воздуха там ниже, следовательно, чтобы вытеснить нужную массу воздуха, необходимую для подъема, нужно занять больше объема. Таким образом, шары, предназначенные для подъема в стратосферу, должны иметь возможность сильно расширяться, то есть их оболочка не должна оказывать сопротивления изменению объема шара (об этом, кстати, пишут и в условиях задач). Самый простой способ этого достичь — сделать оболочку «с запасом», поэтому такие воздушные шары при запуске кажутся почти пустыми.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

В наш век самолетов и ракет, для которых доступны любые высоты над поверхностью Земли, воздушные шары, громоздкие, ненадежные и неуправляемые, уже отошли в прошлое, хотя когда-то именно они дали человеку возможность подняться в воздух. Впрочем, в некоторых случаях воздушные шары очень удобны, они используются и сейчас. Например, с аэростата удобно обучать прыжкам с. парашютом, а метеорологи исследуют давление, температуру и воздушные потоки в атмосфере с помощью шаров-зондов.

Задачи о воздушных шарах даются иногда на вступительных экзаменах. Обычно их можно разделить на два типа:

1) задачи, в которых нужно найти связь между габаритами и наполнением шара и подъемной силой, действующей на шар у поверхности Земли;

2) задачи, в которых нужно определить максимальную высоту подъема шара; при этом задается какая-нибудь модель атмосферы, то есть закон изменения давления и температуры с высотой.

По существу, задачи обоих типов – это задачи на статику. Для их решения нужно уметь применять уравнение состояния газов и найти условие равновесия шара, на который действует сила притяжения Земли и выталкивающая сила со стороны окружающего шар воздуха. Если выталкивающая сила больше силы притяжения (разность этих сил называют подъемной силой), шар поднимается вверх. Но по мере подъема уменьшается плотность окружающего воздуха, а, следовательно, уменьшается и выталкивающая сила, по закону Архимеда равная

где ρ — плотность воздуха, а V — объем шара. На некоторой высоте выталкивающая сила окажется равной силе притяжения – это и будет максимальной высотой подъема шара.

Разберем теперь несколько конкретных задач, которые в разные годы предлагались на вступительных экзаменах в Московский физико-технический институт.

Задача 1. Сферическая оболочка воздушного шара сделана из материала, квадратный метр которого имеет массу b = 1 кг/м². Шар наполнен гелием при нормальном атмосферном давлении. При каком минимальном радиусе шар поднимает сам себя? Температура гелия и температура окружающего воздуха одинаковы и равны 0 ºС. Молекулярная масса воздуха 29 кг/кмоль, молекулярная масса гелия 4 кг/кмоль.

При увеличении радиуса шара выталкивающая сила растет пропорционально кубу радиуса, а вес оболочки – пропорционально квадрату радиуса. Следовательно, выталкивающая сила растет быстрее и, начиная с какого-то значения радиуса, станет больше, чем вес оболочки. Тогда шар начнет подниматься. Обозначим этот радиус оболочки через r. При этом

откуда

Плотности воздуха ρ_в и гелия ρ_Не при данных условиях найдем с помощью закона Менделеева–Клапейрона  :

Окончательно получаем

Задача 2. Объем воздушного шара равен V = 230 м³, масса оболочки М = 145 кг. Шар наполнен горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении. Какую температуру должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься? Температура наружного воздуха t₀ = 0 ^оС.

При нагревании воздуха его плотность уменьшается, так как  (см. задачу 1). Шар начнет подниматься, если  (ρ₀ – плотность наружного воздуха). Подставляя выражения для плотности наружного воздуха и воздуха внутри шара ρ, получаем

Отсюда

значит,

T_min » 2T₀ = 546 ºK = 273 ºC.

Задача 3. Для удержания на поверхности Земли метеорологического шара-зонда с массой М = 20 кг необходимо приложить силу F = 1000 Н. Шар поднимается до такой высоты, где его объем увеличивается в два раза. Температура воздуха, измеренная на этой высоте с помощью зонда, оказалась равной t = –43 ºС. Вычислить давление воздуха на этой высоте, если на поверхности Земли давление р₀ = 754 мм рт. ст., а температура t₀= +17 °С.

Условие равновесия шара у поверхности Земли записывается так:

                                   (1)

где V — объем шара у поверхности Земли, а  — плотность воздуха. При этом масса шара М включает в себя массу оболочки, приборов и газа, заключенного внутри оболочки. Из условия известно, что объем шара при подъеме увеличивается. Следовательно, оболочка шара мягкая и герметичная. Объем увеличивается потому, что при мягкой оболочке давление газа внутри должно быть таким же, как давление окружающего воздуха, которое уменьшается с высотой. Если оболочка герметичная, масса шара не изменяется при подъеме и максимальная высота его подъема определяется условием

                                         (2)

где . Решая совместно уравнения (1) и (2), находим

Задача 4. Шар-зонд, наполненный водородом, имеет герметичную оболочку постоянного объема V = 50 м³. Масса шара вместе с водородом М = 5 кг. Определить, на какую максимальную высоту он сможет подняться, если известно, что атмосферное давление уменьшается в два раза через каждые h = 5 км высоты. Температура в стратосфере t = –60 ºС. Молекулярная масса воздуха 29 кг/кмоль. Давление у поверхности Земли р₀ = 1 атм.

На максимальной высоте выталкивающая сила равна весу шара- зонда:

Выразив плотность окружающего воздуха через давление и температуру, получим

Таким образом, давление воздуха на этой высоте равно

Посмотрим теперь, во сколько раз давление р меньше давления у поверхности Земли р₀: .

Из условия известно, что давление падает в два раза через каждые 5 км подъема, то есть  , где Н — высота подъема, a h = 5 км. В нашем случае

Отсюда

H = 4h = 20 км.

Задача 5. Нерастяжимая оболочка шара-зонда объема V = 75 м³ имеет в нижней части небольшое отверстие. Масса оболочки t = 7 кг. Шар наполнен водородом. Определить, на какую максимальную высоту сможет подняться этот шар-зонд, если известно, что атмосферное давление уменьшается в два раза через каждые h = 5 км высоты. Температура воздуха в стратосфере t = –60 °С, температура водорода равна температуре окружающего воздуха. Давление у поверхности Земли р₀ = 1 атм.

Эта задача отличается от предыдущей тем, что оболочка шара не герметична, а имеет отверстие. Следовательно, давление внутри шара все время равно давлению в атмосфере, и по мере увеличения высоты подъема шара водород вытекает из отверстия. Будем, считать, что подъем происходит достаточно быстро и можно пренебречь диффузией воздуха внутрь оболочки, тогда условие равновесия шара на максимальной высоте

Плотности водорода и воздуха можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона:

Таким образом, давление на максимальной высоте

Отношение , и, следовательно, высота подъема Н = 20 км (см. решение предыдущей задачи).

Высота подъема в задаче 5 получилась такая же, как для герметичного шара в задаче 4, но не следует забывать, что мы рассматривали разные шары, с разными объемами и массами. А если оба шара совершенно одинаковы и отличаются только тем, что у одного оболочка герметичная, а у другого имеет отверстие, — какой из шаров поднимется выше в этом случае?

Выталкивающая сила будет одинакова для обоих шаров, так как их объемы равны. Если начальные массы шаров были одинаковы, то после подъема шар с отверстием окажется легче, так как часть наполняющего его газа вытечет при подъёме. Следовательно, шар с отверстием сможет подняться на большую высоту.

Обычно человеку, впервые задумавшемуся над этим вопросом, такой результат кажется странным. Часто задают вопрос: «Как вообще в шаре с отверстием возникает подъемная сила? Ведь снизу, там, где отверстие, воздух и газ внутри шара находятся в равновесии».

Давайте рассмотрим верхнюю точку шара. Если в нижней точке шара давление воздуха и газа равно р₀, в верхней точке давление воздуха , а давление газа  (h — высота шара). Если , то  и, следовательно, на оболочку снизу действует большая сила, чем сверху — возникает подъемная сила. Легко убедиться (вы сможете это сделать сами для тела достаточно простой формы), что именно эта разница давлений и дает результирующую выталкивающую силу, определяемую законом Архимеда. Недоумение часто возникает потому, что при расчетах плотности газа внутри шара обычно считают давление в шаре всюду одинаковым. Не нужно забывать, что это всего лишь приближение. Если мы определяем саму величину

то, так как h мало — всего несколько метров, , и мы можем считать . Если же нас интересует разность

то здесь оба члена одинаковы по порядку величины, и учитывать их надо оба. Кстати сказать, то, что мы считаем ρ_в и ρ_г постоянными, — тоже приближение, на самом деле они уменьшаются с высотой по мере уменьшения давления. Но учет этого обстоятельства дал бы значительно меньшую поправку к выталкивающей силе, этой поправкой можно пренебречь.

Упражнения

1. Определить подъемную силу воздушного шара, в котором находится t г водорода. Оболочка шара герметичная и сделана из легкого неупругого материала, который может свободно растягиваться.

2. На сколько градусов надо нагреть воздух внутри сообщающегося с атмосферой воздушного шара, сферическая оболочка которого имеет диаметр 10 м и весит 10 кг, для того чтобы шар взлетел? Атмосферное давление 735 мм. рт. ст., температура окружающего воздуха +27 °С.

3. Воздушный шар представляет собой баллон постоянного объема, наполненный гелием. Через отверстие в нижней части шар сообщается с атмосферой. Как изменится максимальная высота подъема шара, если гелий нагреть до температуры t₁? Температуру атмосферы считать постоянной и равной t₀, а давление изменяющимся по закону , где а — постоянная, h — высота подъема, р₀ — давление у поверхности Земли.

Ответы.

1. 13,5m·g.

2. Не менее чем на 5º.

3. .

Страница 58 из 84

§54. Воздухоплавание

Вопросы

1. Почему воздушные шары наполняют водородом или гелием?

Ответ:

Водород или гелий имеет меньшую плотность, по сравнению с воздухом. В итоге возникает сила Архимеда, поднимающая шар в воздухе.

2. Как рассчитать подъёмную силу шара, наполненного гелием?

Ответ:

По силе Архимеда ($F_{А}= gρ_{возд}V$) необходимо понять, какая масса воздуха находится в объеме шара и вычесть из этой массы массу газа в шаре и массу самого шара. Эта разница и станет показателем подъемной силой.  ($P_{г} = gm_{г}, m_{г} = ρ_{г}V$).

3. Почему уменьшается выталкивающая сила, действующая на шар, по мере его подъёма?

Ответ:

Мы знаем, что для поднятия шара в воздух необходимо действие выталкивающей силы. $F_{А}$, действующей на шар. при этом ее действие должно превышать силу тяжести $F_{тяж}$, т. е. $F_{А}>F_{тяж}$ шара.
Кроме того, известно, что по мере поднятия шара меняется плотность атмосферы, слои становятся более разряженными, в итоге действие выталкивающей силы уменьшается.  ($F_{А} = gρV$, ).

4. Как регулируют высоту подъёма воздушного шара, наполненного горячим воздухом?

Ответ:

Шар можно поднять с помощью горелки, которая устанавливается под отверстием внизу воздушного шара. В итоге, когда горелка подогревает воздух, то меняется его плотность, он становится более разряженным, так как молекулы реагируют друг с другом, сталкиваются, оказывают давление на стенки шара. Часть молекул воздуха либо вылетает вовсе из шара, либо за счет действия на стенки шара его объем увеличивается. То и другое влияет на плотность среды в шаре.
 При уменьшении плотности, но сохранении объема шара, появляется подъемная сила, сила выталкивания. Она и поднимает шар вверх. При остывании воздуха плотность увеличивается, и/или шар становится меньшего объема. Шар теряет подъемную силу.

Упражнение 29

1. На весах уравновешена бутылка, внутри которой находится сжатый воздух. Через пробку бутылки пропущена стеклянная трубка с краном, к наружному концу которой привязана оболочка резинового шара (рис. 162,а). Если часть воздуха из бутылки перейдёт в оболочку и раздует её (рис. 162,б), то равновесие весов нарушится. Объясните наблюдаемое явление.

рис. 162

Ответ:

В нашем случае при открытии крана произойдет увеличение объема тела (бутылка и шарик) и воздух из бутылки частично уйдет в шарик. В итоге получается, что произойдет изменение плотности этого тела (бутылка и шарик). Сила выталкивания изменится.

2. На весах уравновесили лёгкий стеклянный шарик. Затем весы поместили под колокол воздушного насоса и откачали воздух. Равновесие весов нарушилось (рис. 163). Почему?

рис. 163

Ответ:

 Мы знаем, что сила Архимеда она же выталкивающая сила зависит от среду в которую погружаем тело, от ее плотности, а также от массы и объема погружаемого тела. При этом изменение любой из этих характеристик приведет к изменению баланса. В нашем случае мы изменим плотность среды, в которую погрузили тело (стеклянный шар). В итоге, выталкивающая сила стала меньше, ведь она была равна массе среды в объеме тела (стеклянный шар). Шар потерял выталкивающую силу, весы разбалансировались.

3. Один шарик надут воздухом, другой — водородом, третий — углекислым газом. Какие шарики не взлетят? Объясните почему.

Ответ:

$ρ_{возд}$ = 1290 кг/$м^{3}$;
$ρ_{вод}$ = 90 кг/$м^{3}$;
$ρ_{угл}$ = 1980 кг/$м^{3}$.

Нам необходимо найти значение силы Архимеда и понять, будет ли она подъемной или нет. Возникнет ли выталкивающая сила?

Если $F_{А}$, действующая на шар будет больше силы тяжести$F_{тяж}$, то есть$F_{А}$ >$F_{тяж}$, то возникнет выталкивающая сила.

Получается так, если ниже плотность газа, заполняющего воздушный шар в данном объёме, тем меньше действующая на него сила тяжести, тем больше подъёмная сила!
При этом газы с меньшей, чем у воздуха плотностью будут обладать такой выталкивающей силой.

Получается:
Шар надутый водородом, взлетит, так как плотность водорода ниже плотности воздуха.
Шар надутый углекислым газом, не взлетит, так как плотность углекислого газа выше плотности воздуха.
Шар надутый воздухом, не взлетит, так как вес оболочки шарика с учётом веса воздуха выше веса окружающего воздуха.