Как найти максимальное решение неравенства - Avtoru.top

Наибольшее решение неравенства

При изучении темы «Линейные неравенства» встречаются задания, в которых требуется найти наибольшее решение неравенства либо наибольшее целое (или натуральное) решение неравенства.

Рассмотрим примеры выполнения таких заданий.

1) Найти наибольшее целое решение неравенства:

$[{(3 - 2x)^2} + (3 - 4x)(x + 5) ge 82]$

Раскроем скобки и упростим правую часть неравенства. Первые скобки раскрываем по формуле квадрата разности:

$[9 - 12x + 4{x^2} + 3x + 15 - 4{x^2} - 20x ge 82]$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом

$[ - 29x ge 58___left| {:( - 29) < 0} right.]$

При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

$[x le frac{{58}}{{ - 29}}]$

Наибольшее решение неравенства — x= -2.

Для большей наглядности решение неравенства можно изобразить на числовой прямой:

Ответ: -2.

2) Найти наибольшее натуральное решение неравенства:

$[(x - 3)(x + 3) < 2{(x - 2)^2} - x(x + 1)]$

Раскроем скобки. В левой части — произведение суммы и разности, в правой — квадрат разности:

$[{x^2} - {3^2} < 2({x^2} - 4x + 4) - {x^2} - x]$

$[{x^2} - 9 < 2{x^2} - 8x + 8 - {x^2} - x]$

$[{x^2} - 9 < {x^2} - 9x + 8]$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

$[{x^2} - {x^2} + 9x < 8 + 9]$

$[9x < 17___left| {:9 > 0} right.]$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

$[x < frac{{17}}{9}]$

$[x < 1frac{8}{9}]$

Наибольшее натуральное решение неравенства x=1.

Ответ: 1.

3) Найти наибольшее решение неравенства:

$[frac{{2x - 1}}{6} - frac{{x + 8}}{2} + 1 ge x - frac{{x - 2}}{3}]$

Обе части неравенства умножим на наименьший общий знаменатель:

$[frac{{2x - {1^{backslash 1}}}}{6} - frac{{x + {8^{backslash 3}}}}{2} + {1^{backslash 6}} ge {x^{backslash 6}} - frac{{x - {2^{backslash 2}}}}{3}___left| { cdot 6 > 0} right.]$

При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Как показывает практика, произведение дополнительного множителя и числителя лучше записывать с помощью скобок. Если перед дробью стоит знак «минус», числитель также лучше заключить в скобки. Такая запись позволяет избежать ошибок, связанных с раскрытием скобок.

$[ - 5x ge 23___left| {:( - 5) < 0} right.]$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

$[x le frac{{23}}{{ - 5}}]$

Наибольшее решение неравенства равно -4,6 (все остальные значения x меньше него).

Ответ: -4,6.

4) Определить наибольшее решение неравенства:

$[x - 2 - frac{{x + 3}}{4} le frac{{x - 1}}{2}]$

Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 6. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

$[{x^{backslash 4}} - {2^{backslash 4}} - frac{{x + {3^{backslash 1}}}}{4} < frac{{x - {1^{backslash 2}}}}{2}___left| { cdot 4 > 0} right.]$

Раскрываем скобки:

Упрощаем:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Наибольшее значение в данном случае указать нельзя (x=9 не входит в решение).

Ответ: неравенство не имеет наибольшего значения.

Источник

Наибольшее решение неравенства

Рассмотрим примеры выполнения таких заданий.

1) Найти наибольшее целое решение неравенства :

Раскроем скобки и упростим правую часть неравенства. Первые скобки раскрываем по формуле квадрата разности:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

Наибольшее решение неравенства — x= -2.

Для большей наглядности решение неравенства можно изобразить на числовой прямой:

2) Найти наибольшее натуральное решение неравенства :

Раскроем скобки. В левой части — произведение суммы и разности, в правой — квадрат разности:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

0> right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Наибольшее натуральное решение неравенства x=1.

3) Найти наибольшее решение неравенства :

Обе части неравенства умножим на наименьший общий знаменатель:

0> right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Наибольшее решение неравенства равно -4,6 (все остальные значения x меньше него).

4) Определить наибольшее решение неравенства :

0> right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Наибольшее значение в данном случае указать нельзя (x=9 не входит в решение).

Ответ: неравенство не имеет наибольшего значения.

Решение неравенств

Шаг 1. Введите неравенство

Подробно решает любые неравенства онлайн с возможностью изобразить неравенство на рисунке.

Примеры

Неравенства с модулем

С кубом (неравество третьей степени)

С кубическим корнем

С натуральным логарифмом

Иррациональные с квадратным корнем

С четвёртой степенью

Решение с целыми числами

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные.

Программа решения неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Причём, если в процессе решения неравенства нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также выводится (оно заключается в спойлер).

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5y +1/7y^2
Результат: ( 3frac<1> <3>- 5frac<6> <5>y + frac<1><7>y^2 )

При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.
Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Нажмите на кнопку для изменения типа неравенства.

Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.
Решить неравенство

Немного теории.

Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.

Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), frac<1> <3>) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 — неверное числовое неравенство.

Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 — неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.

Далее вы узнаете свойства неравенств, научитесь решать неравенства. Полученные умения вам понадобятся при изучении последующего материала, для решения практических задач, а также задач физики и геометрии.

Числовые неравенства

Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а b означает, что разность а — b положительна, т.е. а — b > 0. Неравенство а b, a = b, a , = или b и b > с, то а > с.

Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй — более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.

Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d — положительные числа, то ac > bd.

Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c и и b, quad ax

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида
( ax^2+bx+c >0 ) и ( ax^2+bx+c 0 ) или ( ax^2+bx+c 0 или вниз при a 0 или в нижней при a 0 ) ) или ниже оси x (если решают неравенство
( ax^2+bx+c

Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х — 3)(х — 5)

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки ( (-infty; -2), ; (-2; 3), ; (3; 5) ) и ( (5; +infty) )

Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (х + 2)(х — 3)(х — 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

( (-infty; -2) )	( (-2; 3) )	( (3; 5) )	( (5; +infty) )
x+2	–	+	+	+
x-3	–	–	+	+
x-5	–	–	–	+

Отсюда ясно, что:
если ( x in (-infty;-2) ), то f(x) 0;
если ( x in (3;5) ), то f(x) 0.

Мы видим, что в каждом из промежутков ( (-infty; -2), ; (-2; 3), ; (3; 5), ; (5; +infty) ) функция сохраняет знак, а при переходе через точки -2, 3 и 5 ее знак изменяется.

Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x₁)(x-x₂) . (x-x_n),
где x–переменная, а x₁, x₂, . x_n – не равные друг другу числа. Числа x₁, x₂, . x_n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше нуля и записываем ответ.

Ответ:
( x in left( -4; ; 0 right) cup left( 0,5; ; +infty right) )
или
( -4 0,5 )

Наносим на числовую ось нули и точки разрыва функции:

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.

Ответ:
( x in left( -infty; ; 1 right) cup left[ 4; ; +infty right) )
или
( x

источники:

http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/neravenstva/

http://www.math-solution.ru/math-task/inequality

Источник

Содержание

Решение линейных неравенств
Как решить линейное неравенство
Правило переноса в неравенствах
Правило умножения или деления неравенства на число
Наибольшее решение неравенства
Наибольшее целое решение системы неравенств

Решение линейных неравенств

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.

Символ	Название	Тип знака
>	больше	строгий знак (число на границе не включается )
строгий знак (число на границе не включается )
≥	больше или равно	нестрогий знак (число на границе включается )
≤	меньше или равно	нестрогий знак (число на границе включается )

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно « = » используют любой знак сравнения: « > », « », « ≤ » или « ≥ ».

Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.

Рассмотрим пример линейного неравенства.

Как решить линейное неравенство

Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом « 1 ».

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

При переносе из левой части в правую (и наоборот) член неравенства меняет свой знак на противоположный .

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного « x » и отметим на ней число « 14 ».

При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу « x » все решения неравенства, то есть область слева от числа « 14 ».

Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство « x − 6 » даст верный результат.

Возьмем, например число « 12 » из заштрихованной области и подставим его вместо « x » в исходное неравенство « x − 6 ».

Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.

Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.

Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.

В нашем примере ответ « x » можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее « 14 ») будет являться решением неравенства « x − 6 ».

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство.

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном « x » стоял коэффициент « 1 ». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число « 2 ».

При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.

Если неравенство умножается (делится) на положительное число, то
знак самого неравенства остаётся прежним .
Если неравенство умножается (делится) на отрицательное число, то
знак самого неравенства меняется на противоположный .

Разделим « 2x > 16 » на « 2 ». Так как « 2 » — положительное число, знак неравенства останется прежним.

Рассмотрим другое неравенство.

Разделим неравенство на « −3 ». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

Источник

Наибольшее решение неравенства

Рассмотрим примеры выполнения таких заданий.

1) Найти наибольшее целое решение неравенства :

Раскроем скобки и упростим правую часть неравенства. Первые скобки раскрываем по формуле квадрата разности:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

Наибольшее решение неравенства — x= -2.

Для большей наглядности решение неравенства можно изобразить на числовой прямой:

2) Найти наибольшее натуральное решение неравенства :

Раскроем скобки. В левой части — произведение суммы и разности, в правой — квадрат разности:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

0> right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Наибольшее натуральное решение неравенства x=1.

3) Найти наибольшее решение неравенства :

Обе части неравенства умножим на наименьший общий знаменатель:

0> right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Наибольшее решение неравенства равно -4,6 (все остальные значения x меньше него).

4) Определить наибольшее решение неравенства :

0> right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Наибольшее значение в данном случае указать нельзя (x=9 не входит в решение).

Ответ: неравенство не имеет наибольшего значения.

Источник

Наибольшее целое решение системы неравенств

Задание, которое часто встречается в алгебре,- найти наибольшее целое решение системы неравенств.

Чтобы найти наибольшее целое решение системы неравенств, надо решить её и выбрать из полученного множества решений наибольшее целое число (если такое есть).

Найти наибольшее целое решение системы неравенств:

2x + 2\ 1 — 3x

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

2 — 12\ — 3x + 5x

Упрощаем и делим каждое неравенство на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число b» href=»http://www.algebraclass.ru/axb/» target=»_blank»>знак неравенства не меняется:

— 10___left| <:5 >0> right.\ 2x 0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

— 2\ x

Отмечаем решение каждого из неравенств на числовой прямой. Решением системы является пересечение решений неравенств (то есть общая часть, где штриховка есть на каждой числовой прямой). Поскольку неравенства строгие, концы промежутков не включаем в решение.

Из целых решений системы выбираем наибольшее и записываем ответ.

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

Делим обе части неравенства на число, стоящее перед иксом. При делении при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, при делении на положительное число — не изменяется:

0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Решения неравенств отмечаем на числовых прямых и из полученного множества решений выбираем наибольшее.

Поскольку неравенства нестрогие, концы промежутка входят в решение. Значит, наибольшее целое решение системы равно 2.

4x end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Обе части каждого из неравенств умножаем на наименьший общий знаменатель. В первом неравенстве он равен 12, во втором — 2. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

0> right.\ frac<<7>>> <2>+ <3^<backslash 2>> > 4>___left| < cdot 2 >0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

8x end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

— 6 end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Обе части первого неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не изменяется. При делении обеих частей на отрицательное число знак второго неравенства изменяется на противоположный:

0> right.\ — x > — 6___left| <:( — 1)

Оба неравенства с одинаковым знаком. Применяя правило «меньше меньшего», приходим к неравенству x Рубрика: Неравенства | Комментарии

Источник

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

> больше,

≥ больше или равно,

< меньше,

≤ меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x < b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3 x < 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x < 1 x ≤ 0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x < c x ≤ c x > c x ≥ c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Если знак неравенства строгий > , < , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Таблица числовых промежутков

Неравенство	Графическое решение	Форма записи ответа
x < c		x ∈ ( − ∞ ; c )
x ≤ c		x ∈ ( − ∞ ; c ]
x > c		x ∈ ( c ; + ∞ )
x ≥ c		x ∈ [ c ; + ∞ )

Алгоритм решения линейного неравенства

Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

a x < b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

Пусть получилось неравенство вида a x ≤ b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.

Если a > 0 то неравенство приобретает вид x ≤ b a .

Если a < 0 , то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x ≥ b a .

Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 − 3 x > 18

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед x. Так как − 3 < 0 , знак неравенства поменяется на противоположный. x < 12 − 3 ⇒ x < − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 )

№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

3 x ≥ − 15 | ÷ 3 Делим обе части неравенства на (3) – коэффициент, который стоит перед x. Так как 3 > 0, знак неравенства после деления меняться не будет.

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ [ − 5 ; + ∞ )

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x − 1 ≤ 6 x − 1

6 x − 6 x ≤ − 1 + 1

0 ≤ 0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:

x – любое число
x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )
x ∈ ℝ

№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

− 8 x + 8 x > 48 − 6

0 > 42

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: x ∈ ∅

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c < 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, x — переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

Решить уравнение a x 2 + b x + c = 0 и найти корни x 1 и x 2 .

Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий > , < , точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).

Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение a x 2 + b x + c вместо x.

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

Записать ответ.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

x 2 ≥ x + 12

x 2 − x − 12 ≥ 0

x 2 − x − 12 = 0

a = 1, b = − 1, c = − 12

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство − 3 x − 2 ≥ x 2 .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

− 3 x − 2 ≥ x 2

− x 2 − 3 x − 2 ≥ 0

− x 2 − 3 x − 2 = 0

a = − 1, b = − 3, c = − 2

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

x 1 = − 2, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет − .

Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ [ − 2 ; − 1 ]

№3. Решить неравенство 4 < x 2 + 3 x .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

4 < x 2 + 3 x

− x 2 − 3 x + 4 < 0

− x 2 − 3 x + 4 = 0

a = − 1, b = − 3, c = 4

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

x 1 = − 4, x 2 = 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет -.

Поскольку знак неравенства < , выбираем в ответ интервалы со знаком − .

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство x 2 − 5 x < 6.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

x 2 − 5 x < 6

x 2 − 5 x − 6 < 0

x 2 − 5 x − 6 = 0

a = 1, b = − 5, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

x 1 = 6, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.

Поскольку знак неравенства < , выбираем в ответ интервал со знаком -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 6 )

№5. Решить неравенство x 2 < 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

x 2 < 4

x 2 − 4 < 0

x 2 − 4 = 0

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2

x 1 = 2, x 2 = − 2

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.

Поскольку знак неравенства < , выбираем в ответ интервал со знаком − .

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 2 ; 2 )

№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.

x 2 + x ≥ 0

x 2 + x = 0

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

x 1 = 0, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.

Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 < 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0. Найти нули числителя.

Приравнять знаменатель дроби к нулю g ( x ) = 0. Найти нули знаменателя.

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x.

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось x нули знаменателя всегда выколотые.

Если знак неравенства строгий,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые.

Если знак неравенства нестрогий,
при нанесении на ось x нули числителя жирные.

Расставить знаки на интервалах.

Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.

Приравниваем числитель к нулю f ( x ) = 0.

x − 1 = 0

x = 1 — это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

Приравниваем знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x + 3 = 0

x = − 3 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Привести неравенство к виду f ( x ) g ( x ) ≤ 0.

3 ( x + 8 ) ≤ 5

3 ( x + 8 ) − 5 x + 8 ≤ 0

3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0

− 5 x − 37 x + 8 ≤ 0

Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.

− 5 x − 37 = 0

− 5 x = 37

x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

x = − 7,4 — ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x + 8 = 0

x = − 8 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :

− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -.

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства ≤ , выбираем в ответ интервалы со знаком -.

В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.

Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.

x 2 − 1 = 0

( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

x 1 = 1, x 2 = − 1 — нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = 0 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :

x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системы неравенств

Сперва давайте разберёмся, чем отличается знак { системы от знака [ совокупности. Система неравенств ищет пересечение решений, то есть те точки, которые являются решением и для первого неравенства системы, и для второго. Проще говоря, решить систему неравенств — это найти пересечение решений всех неравенств этой системы друг с другом. Совокупность неравенств ищет объединение решений, то есть те точки, которые являются решением либо для первого неравенства, либо для второго, либо одновременно и для первого неравенства, и для второго. Решить совокупность неравенств означает объединить решения обоих неравенств этой совокупности. Более подробно об этом смотрите короткий видео-урок.

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

{ x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

Алгоритм решения системы неравенств

Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.

Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств { 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

2 x − 3 ≤ 5

2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

x ≤ 4 ;

Графическая интерпретация:

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Решаем второе неравенство системы.

7 − 3 x ≤ 1

− 3 x ≤ 1 − 7

− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 < 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.

x ≥ 2

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4. Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

Ответ: x ∈ [ 2 ; 4 ]

№2. Решить систему неравенств { 2 x − 1 ≤ 5 1 < − 3 x − 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

2 x − 1 ≤ 5

2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

x ≤ 3

Графическая интерпретация:

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Решаем второе неравенство системы.

1 < − 3 x − 2

3 x < − 1 − 2

3 x < − 3 | ÷ 3 , поскольку 3 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

x < − 1

Графическая интерпретация решения:

Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 )

№3. Решить систему неравенств { 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 > 5 − x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

3 x + 1 ≤ 2 x

3 x − 2 x ≤ − 1

x ≤ − 1

Графическая интерпретация решения:

Решаем второе неравенство системы

x − 7 > 5 − x

x + x > 5 + 7

2 x > 12 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

x > 6

Графическая интерпретация решения:

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

Ответ: x ∈ ∅

№4. Решить систему неравенств { x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

x + 4 > 0

x > − 4

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

Решаем второе неравенство системы

2 x + 3 ≤ x 2

− x 2 + 2 x + 3 ≤ 0

Решаем методом интервалов.

− x 2 + 2 x + 3 = 0

a = − 1, b = 2, c = 3

D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

D > 0 — два различных действительных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪ .

Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

Ответ: x ∈ ( − 4 ; − 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ )

Скачать домашнее задание к уроку 8.

Источник

Раздел II. № 3.34. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова. Поможете найти целое решение неравенства? – Рамблер/класс
ЕНТ-2014, вариант 0018
- - - Навигация
Наибольшее возможное целочисленное решение | Wyzant Спросите эксперта
- 2 ответа от опытных наставников
- Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.
  - - ИЛИ
Поиск целочисленных решений | dongheenam
- Introduction
- Поиск целочисленных решений
- Использование целочисленных решений
- Практические вопросы

Раздел II. № 3.34. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова. Поможете найти целое решение неравенства? – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

1) Найдите наибольшее целое решение неравенства
(√12-2)х > √2 + 2.

2) Найдите наименьшее целое решение неравенства
(2 — √5)х < 2 + √5.

ответы

3.34(1) Домножим обе части неравенства на положительное
число √2 + 2. Получим: (√2 — 2)(√2 + 2)x > (√2 + 2)²;
(2-4)х>6+4√2; -2x>6+4√2; -x>3+2√2. x<-3-2√2; х-
наибольшее целое, меньшее -3 — 2√2 .
Оценим число -3-2√2:
1,41 < √2 < 1,42; -2,84 < -2-√2 < -2,82; -5,84 < -3 -2√2 < -5,82.
Наибольшее целое число, меньшее -3-2√2 есть -6.
Ответ: Наибольшее целое решение неравенства х = -6.

3.34(2) (2-√5)x<2 + √5 . Домножим обе части неравенства на положительное число 2 + √5 .
Получим: (2-√)(2+√5)x<(2+√5)2.
-х < 4 + 5+4√5 : х > — 9-4√5.
Далее: 2,2 < √5 < 2,3; -9,2<-4√5<-8,8; -18,2<-9-4√5<-17,8. Поскольку надо найти наименьшее целое х>-9-4√5, то это будет число -17.
Ответ: х = -17.

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения

похожие темы

ЕГЭ

10 класс

11 класс

Химия

похожие вопросы 5

Работа № 5. Вариант 1. № 10. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова. Сколько лет Борису?

Андрей старше Олега на 4 года, а Олег старше Бориса
в 1,5 раза. Вместе им 36 лет. Сколько лет Борису?
(Подробнее…)

ГДЗАлгебра9 классКузнецова Л. В.

Привет! Помогите решить уравнение. Работа № 9. Вариант 1. № 9. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова.

Решите уравнение
(Подробнее…)

ГДЗАлгебра9 классКузнецова Л. В.

Привет! Какие тут получатся множители? Раздел II. № 1.25. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова.

Разложите на множители
1) x4 — 7х2 — 18;
2) x4 — х2 — 12.

ГДЗАлгебра9 классКузнецова Л. В.

ГДЗ по информатике, 2 класс Горячев, контрольная, 1 вариант, 1 упр. Что общего?

Найди и подпиши общий признак каждой группы предметов. (Подробнее…)

ГДЗИнформатика2 классГорячев А.В.

ГДЗ по информатике, 2 класс Горячев, ч. 2, 18 упр. Распредели

Запиши номер множества около каждого предмета.
1 — одежда
2 — обувь (Подробнее…)

ГДЗИнформатика2 классГорячев А.В.

ЕНТ-2014, вариант 0018

По вашим просьбам!

5. Найдите наибольшее целое решение неравенства 0,5^3x+2>8.

Представим левую и правую части неравенства в виде степени с основанием 2.

2^-3x-2>2³. Так как показательная функция с основанием 2 является возрастающей, то опуская основания степеней, знак неравенства сохраним. Получаем:

-3х-2>3 ⇒ -3x>3+2 ⇒ -3x>5 ⇒ x<-5:3.

x=-2 есть наибольшее целое решение данного неравенства.

9. Отрезок АВ пересекает плоскость в точке М и делится ею пропорционально числам 8:5. Найдите длины АМ и МВ, если длина проекции отрезка на плоскость равна 52 см, а точка А отстоит от плоскости на расстоянии, равном 24 см.

Итак, АМ:ВМ=8:5. Это означает, что отрезок АМ содержит 8 частей, а отрезок ВМ содержит 5 таких же частей. Проекция отрезка АВ на плоскость α есть сумма проекций отрезков АМ и МВ на эту плоскость, т.е отрезок B₁A₁=52 см по условию. Если мы проведем ВК параллельно B₁A₁до пересечения с продолжением АA₁, то очевидно, что ВК=B₁A₁=52 см. Так как точка А отстоит от плоскости на расстоянии 24 см, то длина отрезка АA₁=24 см.

Пусть A₁К=х. Из подобия треугольников АВК и АМA₁ следует:

АК:АA₁=АВ:АМ ⇒(24+х):24=(8+5):8 ⇒ (24+х):24=13:8. По основному свойству пропорций:

(24+х)·8=24·13. Разделим обе части равенства на 8. Получим:

24+х=3·13, отсюда х=39-24=15. Так как A₁К=х=15 см, то АК=24 см+15 см=39 см. Из прямоугольного треугольника АВК по теореме Пифагора AB²=AK²+BK². Подставляем значения АК=39 и ВК=52. Получаем:

AB²=39²+52²=(13∙3)²+(13∙4)²=13²∙3²+13²∙4²=13²∙(3²+4²)=13²∙(9+16)= 13²∙25=13²∙5². Отсюда АВ=13·5=65 (см). Так как на весь отрезок АВ приходится 13 частей (по условию АМ:МВ=8:5), то на одну часть приходится 65 см:13=5 см.

Тогда длина отрезка АМ=8·5 см=40 см, а длина отрезка МВ=5·5 см=25 см.

11. Даны 3 последовательных натуральных числа. Произведение этих чисел в 2 раза больше третьего числа. Найдите эти числа.

Если мы обозначим через х первое из трех натуральных последовательных чисел, то каждое следующее будет на 1 больше, т.е. второе число будет равно (х+1),

а третье (х+2). Зная, что произведение всех трех чисел в 2 раза больше третьего числа, составим уравнение:

х·(х+1)·(х+2)=2(х+2). Можно разделить обе части равенства на (х+2), так как это число (третье искомое число) точно не равно нулю. Получим равенство: х·(х+1)=2. Можно, конечно, раскрыть скобки и перенести все слагаемые в левую часть, а затем решить квадратное уравнение, но подумайте: произведение каких двух натуральных последовательных чисел равно двум? Ну, разумеется: 1 и 2.

Тогда искомые числа: 1, 2 и 3.

12. Решите уравнение:

16. Производная функции:

17. Составьте уравнение касательной к графику функции у=cos2x в точке x_o= π/4.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x_o имеет вид: y=f(x_o)+f’(x_o)∙(x-x_o). Находим f(x_o)=f(π/4)=cos(π/2)=0. Находим производную данной функции: f ‘(x)= -2sin2x. Тогда f’(x_o)=f’(π/4)=-2sin(π/2)=-2·1=-2. Полученные значения f(x_o) и f’(x_o) подставляем в уравнение касательной.

у=0-2·(х-π/4) ⇒ у=-2х+π/2.

23. Площадь правильного треугольника, лежащего в основании прямой призмы, равна

24. Даны векторы

В последнее равенство подставим абсциссы всех данных векторов и получим первое уравнение системы: 7=-2х-4у или 2х+4у=-7. Теперь подставим соответствующие ординаты данных векторов и получим второе уравнение системы: 2=2х+у или 2х+у=2. Из 1-го уравнения 2х+4у=-7 вычтем 2-ое уравнение 2х+у=2. Получаем уравнение: 3у=-9, отсюда у=-3. Подставим значение у=-3 в уравнение 2х+у=2. Получаем 2х=5, отсюда х=2,5.

25. Эта задача была и в прошлом году. Смотрите здесь! Это тоже 25 задание.

Запись имеет метки: векторное равенство при х и у, задача на объем призмы, найти длины частей отрезка пересекающего плоскость, найти три последовательных числа, нахождение производной сложной логарифмической функции, решение логарифмического уравнения, решение показательного неравенства, составить уравнение касательной

Наибольшее возможное целочисленное решение | Wyzant Спросите эксперта

Алгебра 1

Саванна Дж.

спросил 21.06.19

Каково максимально возможное целочисленное решение неравенства 3,829x < 28,195

Подписаться
І
1

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший
Новейшие
Самый старый

Автор:
Лучшие новыеСамые старые

Мэтью С.
ответил 21.06.19

Репетитор

5
(123)

Аспирант по химии Вашингтонского университета

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

3,829x < 28,195

x < 28,195/3,829

x < 7,364

Таким образом, максимальное целочисленное значение x, которое может принимать значение:

x = 7

Голосовать за

0
голос против

Подробнее

Отчет

Натан С.
ответил 21.06.19

Репетитор

Новое в Византе

Терпеливый и знающий преподаватель, специализирующийся на математике и естественных науках

Смотрите таких репетиторов

Целое число определяется как целое число, по сути, число, не являющееся дробью. Например, целые числа включают: -5, 1, 17, 322, тогда как нецелые числа включают: -4,33, 2/3, 3,14, 55,1

Чтобы найти максимально возможное целочисленное решение 3,829x < 28,195, давайте сначала представим его так, как если бы это не было неравенством.

Давайте решим 3,829x = 28,195

x = 28,195/3,829

x = 7,3635

7,3635 не является целым числом, но давайте подставим два соседних целых числа обратно в исходную задачу и посмотрим, какое из них работает. Два ближайших целых числа к 7,3635 — это 7 (внизу) и 8 (вверху).

Попробуем x = 8

3,829(x) < 28,195?

3,829(8) < 28,195?

30,632 <28,195?

ЛОЖЬ… x не может равняться 8, так как 30,632 не меньше 28,195

Попробуем x = 7

3,829(x) < 28,195?

3,829(7) < 28,195?

26,803 <28,195?

ИСТИНА… x может равняться 7, поскольку 26,803 меньше 28,195

Следовательно, максимально возможное целочисленное решение равно x = 7

Надеюсь, это полезно!

Голосовать за

0
голос против

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн.
Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Поиск целочисленных решений | dongheenam

Home
Courses
Jpn maths 1
Numbers and expressions
Inequalities
Integer solutions

inequality
integer
algebra

Introduction

Previously we discussed how to solve inequalities without любые условия, что означает решение их для всех действительных чисел. Однако что изменилось бы, если бы домен представлял собой меньшее множество, например, множество целых или натуральных чисел? На этом уроке мы узнаем:

Как решать линейные неравенства в целочисленной области.
Методы решения задач, включающие решение целочисленных неравенств.

Поиск целочисленных решений

Чтобы решить неравенство для целых чисел, нам нужно сначала найти решение неравенства, как обычно, а затем посчитать целые числа, которые лежат внутри решения. Второй шаг довольно прост — например, можете ли вы перечислить все целые числа больше $-2$, но меньше $3$? $$ text{$x$ является целым числом и $-2 Знаки неравенства

Будьте осторожны со знаками неравенства! Диапазон $x>7$ не включает $7$, поскольку $x$ строго больше $7$: $$ x>7 iff x = 8,, 9,, 10,, cdots. $$ С другой стороны, $xge 7$ включает $7$: $$ xge 7 iff x = 7,, 8,, 9,, cdots. $$ Это звучит довольно очевидно, но становится легко запутаться, когда вы решаете более сложные вопросы.

Пример.
Найдите все натуральные числа $n$, удовлетворяющие условию $5n-7<2n+5$.

Раствор.
Сначала решим $5n-7<2n+5$:
начать{выравнивать*}
& 5n-7<2n+5 кр
& тогда и только тогда, когда 3n < 12 cr
& тогда и только тогда, когда n < 4.
end{выравнивание*}

Поскольку $n$ — натуральное число, значения $n$, удовлетворяющие условию $n<4$, равны $textbf{1, 2 и 3}$.

Попробуйте попрактиковаться в вопросах 1 и 2, прежде чем двигаться дальше.

Использование целочисленных решений

В предыдущем примере мы нашли три натуральных числа, удовлетворяющих условию $x<4$. А теперь давайте по-другому: какие неравенства имеют ровно три решения в натуральных числах?

⊕ Возможный диапазон $k$. Скажем, неравенство имеет вид $x Следовательно, мы находим диапазон $k$ должен быть $$ 3 lt k le 4. $$

Вот еще примеры!

Пример.
Если наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $x<dfrac{3a-2}{4}$, равно 5, найдите диапазон $a$.

Раствор.
⊕ Возможный диапазон для $x$ в зависимости от $a$. Поскольку 5 включено, $dfrac{3a-2}{4}$ не может быть 5, но может быть 6. Таким образом, возможный диапазон $a$ равен $$ 5lt dfrac{3a-2}{4 } le 6. $$

Решение этого неравенства дает
начать{выравнивать*}
& 5lt dfrac{3a-2}{4} le 6 cr
& iff 20 lt 3a-2 le 24 cr
& iff 22 lt 3a le 26 cr
& iff boldsymbol{ frac{22}{3} lt a le frac{26}{3} }.
end{выравнивание*}

Пример.
Предположим, что $k$ — целое число, большее 2, а целое число $x$ удовлетворяет условию $5-xle 4xlt 2x+k$.

Найдите диапазон $x$ через $k$.
Когда существует ровно пять возможных значений $x$, найдите диапазон $k$.

Раствор.

1.
Сначала мы можем разделить неравенство на две части:

$$begin{case}
5-xle 4x, cr
4xlt 2x+k,
end{cases}$$

и решите неравенства одно за другим. Первое неравенство дает
начать{выравнивать*}
& 5-xle 4xcr
& iff 5 le 5x cr
& iff 1 le x, tag{$ cdotstcirc{1}$}
end{выравнивание*}

и второе неравенство дает
начать{выравнивать*}
& 4xlt 2x+k cr
& iff 2x lt k cr
& iff x lt frac{k}{2}, tag{$ cdotstcirc{2}$}
end{align*}

⊕ Возможный диапазон для $x$ в зависимости от $k$. Поскольку $k>2$ из вопроса, $dfrac{k}{2}>1$. Таким образом, диапазон $x$ равен $boldsymbol{ 1 le x lt dfrac{k}{2} }$.

2.
Поскольку $xge 1$ из $tcirc{1}$, решения $x$ могут быть 1, 2, 3, 4 и 5. Таким образом, $$ 5 lt dfrac{k}{2} le 6, $$, что приводит к $boldsymbol{ 10 lt k le 12 }$.

Практические вопросы

Какое наибольшее целое число удовлетворяет условию $4(x-2)+5(6-x)>7?$

Ответ

Решение.
Если мы решим неравенство,

begin{align*}
& 4(х-2)+5(6-х)>7 кр
& iff 4x — 8 + 30 — 5x > 7 cr
& iff -x + 22 > 7 cr
& тогда и только тогда, когда 15 > х.
end{align*}

Следовательно, наибольшее целое число $x$, удовлетворяющее условию $x<15$, равно $boldsymbol{14}$.

Решите следующее одновременное неравенство для целых чисел:
$$begin{случаи}
х — 3(х-4) le 12, cr
4+2(3-х)gt 5х-10.
end{case}$$

Ответ

$x=0text{, 1 или 2}$

Решение.
Из первого неравенства

begin{align*}
& х — 3(х-4) le 12 cr
& тогда и только тогда, когда x — 3x + 12 le 12 cr
& iff -2x le 0 cr
& iff x ge 0, tag{$ cdotstcirc{1}$}
end{align*}

и из второго неравенства
начать{выравнивать*}
& 4 + 2(3-x) gt 5x — 10 cr
& iff 4 + 6 — 2x gt 5x — 10 cr
& iff 10 — 2x gt 5x — 10 cr
& iff -7x gt -20 cr
& iff x lt frac{20}{7}. тег{$ cdotstcirc{2}$}
end{выравнивание*}

⊕ Диаграмма, представляющая диапазоны значений $xge 1$ и $xgt 2$. На рисунке справа мы нарисовали диапазоны $tcirc{1}$ и $tcirc{2}$ на числовой прямой. Вы можете видеть, что $0$, $1$ и $2$ входят в оба диапазона, а $3$ — нет. Следовательно, ответ $boldsymbol{x=0}textbf{, 1 или 2}$.

Наименьшее целое число $x$, удовлетворяющее неравенству $$ 3x+1>2a $$, равно $4$. Найдите все возможные значения $a$, если $a$ также является целым числом.

Ответ

5 и 6

раствор.
Сначала мы рассматриваем $a$ как константу (число) и решаем неравенство:
начать{выравнивать*}
& 3x+1>2a cr
& тогда и только тогда, когда 3x > 2a-1 cr
& тогда и только тогда, когда х > гидроразрыва {2a-1} {3}.
end{align*}

⊕ Диаграмма, представляющая диапазон $dfrac{2a-1}{3}$. Поскольку наименьшее целочисленное решение равно 4, диапазон $dfrac{2a-1}{3}$ должен составлять $$ 3 le dfrac{2a-1}{3} lt 4. $$ Таким образом,
начать{выравнивать*}
& 3 le dfrac{2a-1}{3} lt 4 cr
& iff 9 le 2a-1 lt 12 cr
& iff 10 le 2a lt 13 cr
& iff 5 le a lt frac{13}{2}.
end{выравнивание*}

⊕ Диаграмма, представляющая диапазон $a$. Целые числа, находящиеся в этом диапазоне, равны $textbf{5 и 6}$.

Если существует ровно пять целочисленных решений одновременного неравенства (в терминах $x$) $$ begin{cases} 6x-4>3x+5, cr 2x-1le x+a, end{cases} $$ каков диапазон $a$?Refs
Из Сецунанского университета.

Ответ

$7 le a lt 8$

Решение.
Из первого неравенства
начать{выравнивать*}
& 6x-4>3x+5 кр
& тогда и только тогда, когда 3x > 9кр
& тогда и только тогда, когда x > 3, tag{$ cdotstcirc{1}$}
end{align*}

и если мы будем рассматривать $a$ как константу и решим второе неравенство,
начать{выравнивать*}
& 2x-1le x+a cr
& iff x le a+1. тег{$ cdotstcirc{2}$}
end{align*}

⊕ Диаграмма, представляющая диапазон $x$. Мы знаем, что существует ровно пять целочисленных решений для $tcirc{1}$ и $tcirc{2}$, а наименьшее целочисленное решение для $tcirc{1}$ равно 4. Следовательно, решения должны быть 4, 5, 6, 7 и 8, или, другими словами, наибольшее целочисленное решение для $tcirc{2}$ должно быть равно 8.

Источник

Наибольшее решение неравенства

Решение неравенств

Шаг 1. Введите неравенство

Примеры

Правила ввода выражений и функций

Где учитесь?

Решение задач по математике онлайн

Калькулятор онлайн. Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные.

Немного теории.

Числовые неравенства

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Решение неравенств методом интервалов

Решение линейных неравенств

Как решить линейное неравенство

Правило переноса в неравенствах

Правило умножения или деления неравенства на число

Наибольшее решение неравенства

Наибольшее целое решение системы неравенств

Неравенства

Раздел II. № 3.34. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова. Поможете найти целое решение неравенства? – Рамблер/класс

ЕНТ-2014, вариант 0018

Навигация

Наибольшее возможное целочисленное решение | Wyzant Спросите эксперта

2 ответа от опытных наставников

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

ИЛИ

Поиск целочисленных решений | dongheenam

Introduction

Поиск целочисленных решений

Использование целочисленных решений

Практические вопросы

Не пропустите также:

Калькулятор онлайн.
Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные.