Рассмотрим две важные характеристики колебательных систем в механике и теории электричества и магнетизма: коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания. Мы остановимся на так называемых затухающих колебаниях – таких колебаниях, амплитуда которых со временем уменьшается из-за потери энергии.
Чаще всего затухание происходит из-за трения — об воздух или поверхность, любую жидкую или газообразную среду, в которую помещено тело. Тело, проплывая в газе или жидкости или скользя по поверхности, передает этой среде внутреннюю энергию из за трения. Собственная суммарная кинетическая и потенциальная энергия при этом уменьшается. Соответственно уменьшается и скорость, а с ней — амплитуда.
Затухающие колебания можно поделить на свободные затухающие колебания и колебания, происходящие под действием внешних сил.
Как определить коэффициент затухания свободных затухающих механических колебаний
md2xdt2=−kx−rvmfrac{d^2x}{dt^2}=-kx-rv
mm — масса колеблющегося тела,
xx — его координата (смещение относительно точки равновесия x=0x=0),
−kx-kx — сила упругости, даваемая законом Гука для небольших смещений,
kk — коэффициент упругости,
−rv-rv — сила трения,
rr — коэффициент трения,
vv — скорость тела.
Это уравнение имеет решение:
x(t)=A0e−βtcos(ωt+φ)x(t)=A_0e^{-beta t}cos(omega t+varphi)
A0A_0 — амплитуда,
ωomega— циклическая частота,
φvarphi — начальная фаза,
βbeta — коэффициент затухания.
ω=ω02−β2omega=sqrt{omega_0^2-beta^2}
ω02=kmomega_0^2=frac{k}{m}
ω0omega_0 — собственная частота.
Коэффициент затухания βbeta – это величина, обратная времени, за которое амплитуда колебания уменьшилась в ee раз, где ee — основание натуральных логарифмов.
β=1NTbeta=frac{1}{NT}
NN — число колебаний после которых амплитуда уменьшилась в ee раз,
TT — период колебаний,
T=2πωT=frac{2pi}{omega}
Логарифмический декремент затухания свободных затухающих колебаний маятника
Маятник трется об воздух. И, казалось бы, как понять, какую он энергию отдает воздуху? Наверное, тут не обойтись без температуры, давления, плотности газообразной среды, и это долго, сложно, нудно… Может, и так. Но все это укладывается в коэффициент затухания ββ.
Определить логарифмический декремент затухания можно двумя способами — с помощью замеров амплитуды и с коэффициентом затухания. Для первого нужно лишь замерить две последовательные амплитуды. Тогда формула проста:
λ=lnA0e−βtA0e−β(t+T)lambda=lnfrac{A_0e^{-beta t}}{A_0e^{-beta (t+T)}}
Если же известен коэффициент затухания, амплитуда не нужна. Логарифмический декремент затухания будет равен его произведению на период колебаний:
λ=βTlambda=βT
Логарифмический декремент затухания электрического колебательного контура
Колебания в электрическом контуре возникают при отсутствии активного сопротивления в цепи, содержащей катушку индуктивности и конденсатор. Ток колеблется туда-сюда. Затухание этих колебаний удивительно похоже на затухание механических колебаний, потому, проведя несколько опытов, ученые пришли к выводу, что у электрического контура есть свой коэффициент затухания, и, соответственно, формула такая же, как для механических колебаний:
λ=βTlambda=βT
T=2πLCT=2πsqrt{LC}
LL — индуктивность катушки,
CC — емкость конденсатора.
Коэффициент затухания вынужденных механических колебаний
Конечно, в вынужденных колебаниях тоже существует затухание. Разница свободных и вынужденных колебаний в существовании добавочной силы, которая возвращает амплитуду к ее начальному значению, не давая маятнику остановиться, т.е. нивелирует работу силы трения.
Уравнение движения такой системы:
md2xdt2=−kx−rv+Fmfrac{d^2x}{dt^2}=-kx-rv+F.
Здесь все величины те же самые, что и в свободных колебаниях, но появляется внешняя сила FF:
F=mF0cos(ωt)F=mF_0cos(omega t).
F0F_0 имеет размерность силы, деленной на массу.
x=Asin(ωt+φ)x=Asin(omega t+varphi)
AA — амплитуда колебаний.
A=F0m(ω02−ω2)2+4β2ω2A=frac{F_0}{msqrt{{(omega_0^2-omega^2)^2}+4beta^2omega^2}{}}.
В случае затухающих вынужденных колебаний коэффициентом затухания снова является величина βbeta.
Тест по теме «Коэффициент и логарифмический декремент затухания»
Как следует из формулы (3.8), при β = ω0 период обращается в
бесконечность. Это означает, что движение перестает быть периодическим. Система возвращается к положению равновесия, не совершая колебаний.
Движение перестает быть колебательным при b ³ w0 . Такое движение
называется апериодическим. На рис. 3.4 приведены графики апериодического движения для разных значений начальной скорости v(0). График 2 на этом рисунке соответствует случаю, когда системе, выведенной из положения равновесия, сообщена достаточно большая начальная скорость. График 1 соответствует движению без начальной скорости.
ξ(t)
v(0) = 0
v(0) > 0
|
v ( 0 ) |
> A |
0 |
( β + β 2 − ω 2 |
|
|
0 |
Рис. 3.4
Вкачестве характеристики затухания вводится величина, называемая логарифмическим декрементом затухания.
Логарифмическим декрементом затухания λназывается натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд, взятых через период.
|
λ ≡ ln |
A(t) |
|
|
. |
(3.9) |
|
|
A(t + T) |
Подставим в формулу 3.5 A(t) = A0 e−βt .
|
λ = ln |
A0e−βt |
= ln eβt = βT , |
||
|
A0e−β(t + T) |
||||
|
λ = βT |
. |
(3.10) |
Формула (3.10) выражает связь между логарифмическим декрементом затухания и коэффициентом затухания β.
§ 4. ДОБРОТНОСТЬ
Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания. Введем понятие времени релаксации.
Время релаксации – это время τ, за которое амплитуда (3.6)
уменьшилась в e = 2,71раз.
Учитывая (3.10), получим:
τ
A(τ)= Aoe−βτ = Aoe−λ T = Aoe−1 ,
тогда
|
λ |
τ |
=1 |
и |
λ = |
T |
. |
||
|
T |
τ |
τ |
||||||
|
Так как |
= Ne – число колебаний за время τ, то: |
|||||||
|
T |
||||||||
|
λ = |
1 |
. |
(3.11) |
|||||
|
Ne |
Логарифмический декремент по величине обратен числу колебаний, за которое амплитуда убывает в е = 2,71 раз.
Характеристикой затухания также является добротность, которая вводится
как
|
Q ≡ π . |
|
|
λ |
|
|
С учетом (3.11): |
|
|
Q = πNe. |
(3.12) |
Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е = 2,71… раз.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 3
1.Свободные колебания в системах с трением затухают и не являются гармоническими.
2.Амплитуда затухающих колебаний убывает со временем по экспоненциальному закону:
3. Частота затухающих колебаний ω зависит от коэффициента затухания
β:
ω = 
ω02 −β2 , где ω0 – частота собственных незатухающих колебаний.
При b ³ w0 наблюдается апериодическое движение.
4. Для характеристики затухания вводится логарифмический декремент затухания. Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд, взятых через период:
|
λ ≡ ln |
A(t) |
. |
(3.9) |
|
|
A(t + T) |
||||
5. Связь логарифмического декремента затухания λ с коэффициентом
затухания β выражается формулой (3.10): λ = βT.
6.Время релаксации – это время, за которое амплитуда уменьшается в
е= 2,71 раз.
7.Добротность вводится как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания (3.12):
Q = λπ .
ЛЕКЦИЯ № 4
Вынужденные колебания
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.
Уравнение установившихся колебаний. Резонанс
Вынужденные колебания– это колебания, происходящие под действием периодического внешнего воздействия.
§1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Рассмотрим вынужденные колебания пружинного маятника (рис. 4.1).
|
Fупр |
F(t) |
|||
|
Рис. 4.1 |
|
|
На грузик массой mдействуют внешняя сила, изменяющаяся по |
|
|
гармоническому закону: |
|
|
F ( t ) = F0 × cos ωt, |
(4.1) |
а также упругая сила (1.11) и сила трения (3.1). Законом движения является второй закон Ньютона:
|
∙∙ |
∙ |
×cos ωt. |
|
m x |
= —kx — r x + F0 |
Приведем уравнения к каноническому виду – делим на коэффициент при старшей производной и переносим все члены уравнения, содержащие неизвестную функцию, в левую часть:
|
∙∙ |
∙ |
|||||||||
|
x + |
r |
x + |
k |
x = |
F0 × сos wt . |
|||||
|
m |
m |
|||||||||
|
m |
||||||||||
|
Введем обозначения: |
||||||||||
|
x(t) º x(t); |
r |
º 2b; |
k |
º w02 ; |
F |
º f |
0 . |
|||
|
m |
m |
m |
Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания, будет иметь вид:
|
∙∙ |
∙ |
||
|
x |
(t) + 2bx(t) + w02 x(t) = f 0 |
×cos wt . |
(4.2) |
Отметим, что такой же вид имеет дифференциал ьное уравнение, описывающее вынужденные колебания в колебательном контуре (рис. 4.2а).
В контур включен последовательно источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону:
u(t) = u m cos ωt.
Если в правую часть уравнения (3.3а) вместо нуля подставить
|
U(t) |
= |
Um |
cos ωt |
||||||
|
L |
L |
Рис. 4.2а |
|||||||
|
и ввести обозначения: |
|||||||||
|
q(t) ≡ ξ(t); |
R |
≡ 2β; |
1 |
≡ ω02 ; |
u m |
≡ f |
0 , |
||
|
L |
LC |
L |
то мы уже получим ур авнение (4.2).
Решение дифференцииального уравнения вынужденных колебаний – ξ(t) (рис. 4.2б) – состоит из двуух слагаемых:
|
ξ(t) = ξ1 (t) +ξ2 (t), |
(4.3) |
здесь ξ1(t) – общее решение однородного уравнения (3.4). Роль этого слагаемого существенна при переходных процессах, при установлении колебаний;
ξ2(t) – частное решение неоднородного уравнения ( 4.2). Именно это слагаемое описывает устанновившиеся вынужденные колебания.
Рис. 4.2б
|
§ 2. УРАВНЕНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЙ. (ЧАСТНОЕ |
||||||||||
|
РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ) |
||||||||||
|
Ищем ξ2(t) в виде гармонической функции, изменяющейся с частотой |
||||||||||
|
внешнего воздействия ω: |
||||||||||
|
ξ2 = A ×cos (ωt — j). |
(4.4) |
|||||||||
|
Первая и вторая производные от этой функции также будут |
||||||||||
|
гармоническими функциями, изменяющимися с частотой ω. Значит, в левой части |
||||||||||
|
уравнения (4.2) будет сумма трех гармонических функций одинаковой частоты, |
||||||||||
|
справа – гармоническая функция той же частоты, т. е. сумма трех колебаний |
||||||||||
|
одной частоты равна четвертому колебанию той же частоты. Задачу о сложении |
||||||||||
|
колебаний мы решим методом векторных диаграмм (см. лекцию № 2, § 1, 2). |
||||||||||
|
∙ |
∙∙ |
|||||||||
|
Для этого ξ и |
ξ, после нахождения этих производных, запишем с помощью |
|||||||||
|
функции косинуса: |
||||||||||
|
∙ |
π |
(4.5) |
||||||||
|
ξ2 |
= −Aωsin (ωt − ϕ)= Aωcos ωt − ϕ + |
2 |
; |
|||||||
|
∙∙ |
2 |
— j + |
p |
2 |
— j + p). |
(4.6) |
||||
|
x2 |
= —Aw sin wt |
2 |
= Aw cos(wt |
|||||||
|
Изобразим |
эти |
колебания с помощью |
векторов, амплитуды которых |
|||||||
|
∙ |
||||||||||
|
получаются после умножения |
ξ2 на 2β , |
а ξ2 – |
на ω02 (рис. 4.3). После |
|||||||
|
подстановки формул (4.4), (4.5), (4.6) в уравнение (4.2) получим: |
||||||||||
|
Aw2 cos(wt -j+ p) + 2bAwcos(wt -j+ π) +w02A×cos(wt -j) = f 0 ×coswt. |
||||||||||
|
2 |
||||||||||
|
Векторная диаграмма представлена на рис. 4.3. |
||||||||||
|
2βAω |
f 0 |
|||||||||
|
ω0 > ω |
||||||||||
|
ϕ |
||||||||||
|
Aω2 |
A(ω2 − ω2 ) |
Aω02 |
||||||||
|
0 |
||||||||||
|
Рис. 4.3 |
||||||||||
|
Из векторной диаграммы найдем амплитуду А и начальную фазу ϕ |
||||||||||
|
вынужденных колебаний. Из рис. 4.3 следует: |
Уравнение затухающих колебаний и его решение логарифмический декремент затухания
§6 Затухающие колебания
Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.
Добротность
Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.
Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими.
Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения
где r — коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что FC направлена в сторону противоположную скорости.
Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r . По второму закону Ньютона
где β — коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.
— дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
— у равнение затухающих колебаний.
ω – частота затухающих колебаний:
Период затухающих колебаний:
Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно говорить, когда β мало.
Если затухания выражены слабо (β→0), то . Затухающие колебания можно
рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону
В уравнении (1) А0 и φ0 — произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания
Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз
τ — время релаксации.
Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D , который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:
Логарифмический декремент затухания равен логарифму D :
Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний уменьшилась в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной системы величина.
Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q .
Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.
Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.
Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.
Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.
§7 Вынужденные колебания.
Резонанс
В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.
Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.
По второму закону Ньютона:
(1)
— дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.
Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.
Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:
(2)
Частное решение этого уравнения будем искать в виде:
т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство γ = ω , следовательно,
Это комплексное число удобно представить в виде
где А определяется по формуле (3 ниже), а φ — по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид
Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:
(3)
(4)
Слагаемое Хо.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механической системы, называется резонансом.
Частота ω вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ωрез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).
Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то
При ω→0 все кривые приходят к значению — статическое отклонение.
Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие «солнышко» за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в «лодочках».) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.
Лекция №8. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
5.6. Затухающие гармонические колебания.
Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать. Затухающие колебания − это колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае, сила сопротивления, вызывающая затухание, зависит от скорости колебательного движения, т. е. ее можно считать прямо пропорциональной скорости
где μ − постоянная, называемая коэффициентом сопротивления.
Знак «минус» обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления. Тогда второй закон Ньютона для гармонических колебаний при наличии сил сопротивления имеет вид
Учитывая , что a= $$d^2xover dt^2$$ , а υ= $$dxover dt$$ и разделив на массу m , получим
Применив обозначения $$ = ω_0<^2>$$ , $$ <μover m>= 2β$$ и $$ = f_0$$ получим
дифференциальное уравнение затухающих колебаний . Отметим, что ω0 представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды. Эта частота называется собственной частотой .
Для решения уравнения (5.6.4) сделаем подстановку
Проведем замену переменных
Подставим (5.6.5 и 5.6.6) в выражение (5.6.4)
Преобразуем , сократив на e -βt
Рассмотрим случай, когда сопротивление среды настолько мало, что ω0 2 -β 2 >0 есть величина положи мы можем ввести тельная, и обозначение ω0 2 -β 2 =ω 2 , после чего уравнение (5.6.8) примает вид
В случае большого сопротивления среды ω0 2 -β 2 , движение становится непериодическим.
Решение уравнения (5.6.8) можно записать в виде
Окончательно, подставляя последнее уравнение в выражение (5.6.5), получаем общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний (5.6.4)
В соответствии с видом полученной функции движение можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой
и амплитудой, изменяющейся по закону
На рисунке показан график данной функции. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Верхняя из пунктирных кривых дает график функции A(t) , причем величина A0 представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение зависит от A0 и также от начальной фазы φ , т.е. x0=A0cosφ .
5.7. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания.
Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно
и называется декрементом затухания .
Для характеристики системы обычно используется колебательной логарифмический декремент затухания , т.е. логарифм декремента затухания
Скорость затухания колебаний определяется величиной называем коэффициентом затухания $$β=<μover 2m>$$ .
Найдем время, называемое временем релаксации τ , за которое амплитуда уменьшается в e раз
т. е. коэффициент затухания обратен по величине промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
За время релаксации τ система успевает совершить $$N_e=<τover T>$$ колебаний
Следовательно, $$δ=<1over N_e>$$ логарифмический декремент затухания обратно пропорционален по величине числу колебаний, за которые амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
Для характеристики колебательной системы используется величина
которая называется добротностью колебательной системы.
Величина Q , пропорциональная числу колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
5.8. Вынужденные колебания.
До сих пор мы рассматривали свободные колебания, когда выведенная из положения равновесия система совершает колебания будучи предоставленной самой себе. Рассмотрим колебательную систему, которая подвергается действию внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону F=F0cosωt . Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями . В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид
Учитывая , что a= $$d^2xover dt^2$$ , а υ= $$dxover dt$$ и разделив на массу m , получим
Применив обозначения $$ = ω_0<^2>$$ , $$ <μover m>= 2β$$ и $$ = f_0$$ получим
дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.
Будем искать решение уравнения (5.8.3) в виде
предполагая, что результирующее колебание будет совершаться с частотой внешней вынуждающей силы.
Подставим (5.8.4) и (5.8.5) в уравнение (5.8.3)
Чтобы уравнение (69) обратилось в тождество необходимо, чтобы коэффициенты при cosωt и sinωt были равны нулю.
Из выражения (71) получаем
Возведем в квадрат уравнения (70) и сложим
Подставив полученные выражения (71) и (73) в выражение (64) получим уравнение вынужденных колебаний
5.9. Резонанс.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы называется резонансом , а соответствующая частота − резонансной частотой.
Найдем резонансную частоту. Амплитуда вынужденных колебаний будет max, когда выражение $$(ω_0<^2>-ω^2)^2 + 4β^2ω^2$$ в уравнении $$A=-ω^2)^2 + 4β^2ω^2>>$$ (5.8.13) будет минимальным.
Продифференцируем это выражение по ω и приравняем к нулю
Полученное уравнение имеет три решения: ω=0 и ω=± $$sqrt <ω_0<^2>-2β^2>$$ . 2 . Первое решение соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное не имеет физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, резонансная циклическая частота
Подставив это значение в выражение для амплитуды (5.8.13), получим выражение для амплитуды при резонансе
Из последнего уравнения (5.9.3) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность, а резонансная частота, согласно (5.9.2), при тех же условиях (при β=0 ), совпадала бы с собственной частотой колебаний системы ω0
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы показана графически на рис. 5.9.1. В соответствии с (5.9.2) и (5.9.3), чем меньше параметр β , тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Изображенная на рис. 5.9.1 совокупность графиков функций (5.8.13), соответствующих различным значениям параметра β , называется резонансными кривыми .
При стремлении ω к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному f0ω0 2 . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины F0
При стремлении ω к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.
Наконец, отметим, что чем меньше β , тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» получается максимум. При малом затухании (т. е. β ) амплитуда при резонансе приближенно равна Apes≈f0/2βω0 . Разделим это выражение на смещение x0 из положения равновесия под действием постоянной силы F0 , равное x0=f0/ωp 2 . В результате получим
где δ = βТ – логарифмический декремент затухания (5.7.2); Q – добротность колебательной системы (5.7.6).
Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы. Следует отметить, что это справедливо лишь при небольшом затухании.
Уравнение затухающих колебаний и его решение логарифмический декремент затухания
| Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания |
Найдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и (рис. 3.1):
,
где β – коэффициент затухания.
Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания χ:
;
.
Выясним физический смысл χ и β.
Время релаксации τ – время, в течение которого амплитуда А уменьшается в e раз.
отсюда
Следовательно, коэффициент затухания β есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.
Пусть N число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз. Тогда
; ;
.
Следовательно, логарифмический декремент затухания χ есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается в e раз.
Если χ = 0,01, то N = 100.
При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому , а то круговая частота обращается в нуль ( ), а ( ), колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим (рис. 3.2).
Отличия в следующем. При колебаниях тело, возвращающееся в положение равновесия, имеет запас кинетической энергии. В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления, трения.
http://physics.belstu.by/mechanics_lk/mechanics_lk8.html
http://ens.tpu.ru/posobie_fis_kusn/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B.%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/03-2.htm