Как найти линейную зависимость матрицы - Avtoru.top

Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы

В предыдущем разделе были введены операции умножения матриц на число и сложения матриц, в частности, для матриц-столбцов (ntimes1) и матриц-строк (1times n) . Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой главе прописными буквами. При помощи этих операций можно составлять некоторые алгебраические выражения. Напомним, что равными считаются столбцы одинаковых размеров с равными соответствующими элементами.

Столбец называется линейной комбинацией столбцов A_1,A_2,ldots,A_k одинаковых размеров, если

A=alpha_1cdot A_1+alpha_2cdot A_2+ldots+alpha_kcdot A_k,

(3.1)

где alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_k — некоторые числа. В этом случае говорят, что столбец разложен по столбцам A_1,A_2,ldots,A_k , а числа называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация A=0cdot A_1+0cdot A_2+ldots+0cdot A_k с нулевыми коэффициентами называется тривиальной.

Если столбцы в (3.1) имеют вид

$A=begin{pmatrix}a_1\vdots\a_nend{pmatrix}!,quad A_1=begin{pmatrix}a_{11}\vdots\a_{n1}end{pmatrix}!,~ldots,~ A_k=begin{pmatrix}a_{1k}\vdots\a_{nk}end{pmatrix}!,$

то матричному равенству (3.1) соответствуют поэлементные равенства

$a_i=alpha_1cdot a_{i1}+alpha_2cdot a_{i2}+ldots+ alpha_{k}cdot a_{ik},quad i=1,2,ldots,n.$

Аналогично формулируется определение линейной комбинации строк одинаковых размеров.

Набор столбцов A_1,A_2,ldots,A_k одинаковых размеров называется системой столбцов.

Система из столбцов A_1,A_2,ldots,A_k называется линейно зависимой, если существуют такие числа alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_k , не все равные нулю одновременно, что

alpha_1cdot A_1+alpha_2cdot A_2+ldots+alpha_kcdot A_k=o.

(3.2)

Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.

Система из столбцов A_1,A_2,ldots,A_k называется линейно независимой, если равенство (3.2) возможно только при alpha_1=alpha_2=ldots=alpha_k=0 , т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.2) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).

Замечания 3.1

1. Один столбец A_1 тоже образует систему: при A_1=o — линейно зависимую, а при A_1ne o линейно независимую.

2. Любая часть системы столбцов называется подсистемой.

Пример 3.1. Используя определение, установить линейную зависимость или линейную независимость систем столбцов

$mathsf{1)}~ A_1=begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}!,~A_2=begin{pmatrix}2\0end{pmatrix}!;quad mathsf{2)}~ A_1=begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}!,~ A_2=begin{pmatrix}0\2end{pmatrix}!.$

Решение. 1) Столбцы $A_1=begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}!,~A_2=begin{pmatrix}2\0end{pmatrix}$ линейно зависимы, так как можно составить нетривиальную линейную комбинацию, например, с коэффициентами alpha_1=2,,alpha_2=-1 , которая равна нулевому столбцу: $2cdot! begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}-1cdot! begin{pmatrix}2\0end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0end{pmatrix}$ .

2) Столбцы $A_1=begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}!,~ A_2=begin{pmatrix}0\2end{pmatrix}$ линейно независимы, так как равенство

$alpha_1cdot! begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}+ alpha_2cdot begin{pmatrix}0\2end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0end{pmatrix}!,$ равносильное системе $begin{cases}1cdotalpha_1=0,\2cdotalpha_2=0,end{cases}$

оказывается верным только при alpha_1=alpha_2=0 .

Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц

Понятия линейной зависимости и линейной независимости определяются для строк и столбцов одинаково. Поэтому свойства, связанные с этими понятиями, сформулированные для столбцов, разумеется, справедливы и для строк.

1. Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то она линейно зависима.

2. Если в системе столбцов имеется два равных столбца, то она линейно зависима.

3. Если в системе столбцов имеется два пропорциональных столбца (A_i=lambda A_j) , то она линейно зависима.

4. Система из k>1 столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система столбцов A_1,A_2,ldots,A_k — линейно независима, а после присоединения к ней столбца — оказывается линейно зависимой, то столбец можно разложить по столбцам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Докажем, например, последнее свойство. Так как система столбцов A_1,A_2,ldots,A_k,A линейно зависима, то существуют числа alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_k,alpha не все равные 0, что

alpha_1cdot A+alpha_2cdot A_2+ldots+alpha_kcdot A_k+alphacdot A=o.

В этом равенстве alphane o . В самом деле, если alpha=0 , то

alpha_1cdot A+alpha_2cdot A_2+ldots+alpha_kcdot A_k=o.

Значит, нетривиальная линейная комбинация столбцов A_1,A_2,ldots,A_k равна нулевому столбцу, что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, alphane0 и тогда $A=-frac{alpha_1}{alpha}A_1-ldots-frac{alpha_k}{alpha}A_k$ , т.е. столбец есть линейная комбинация столбцов A_1,A_2,ldots,A_k . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения A=alpha_1 A+ldots+alpha_k A_k и A=beta_1 A_1+ldots+beta_k A_k , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, alpha_1=beta_1 ). Тогда из равенства

alpha_1 A+ldots+alpha_k A_k=beta_1 A_1+ldots+beta_k A_k получаем (alpha_1-beta_1)A_1+ldots+(alpha_k-beta_k)A_k=o

последовательно, линейная комбинация столбцов A_1,A_2,ldots,A_k равна нулевому столбцу. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере alpha_1-beta_1ne0 ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости столбцов A_1,A_2,ldots,A_k . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.

Пример 3.2. Доказать, что два ненулевых столбца A_1 и A_2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. A_1=lambda A_2 .

Решение. В самом деле, если столбцы A_1 и A_2 линейно зависимы, то существуют такие числа alpha_1,,alpha_2 , не равные нулю одновременно, что alpha_1A_1+alpha_2A_2=o . Причем в этом равенстве alpha_1ne0 . Действительно, предположив, что alpha_1=0 , получим противоречие , поскольку alpha_2ne0 и столбец A_2 — ненулевой. Значит, . Поэтому найдется число $lambda=-frac{alpha_1}{alpha_2}$ такое, что A_1=lambda A_2 . Необходимость доказана.

Наоборот, если A_1=lambda A_2 , то 1cdot A_1+(-lambda)A_2=o . Получили нетривиальную линейную комбинацию столбцов, равную нулевому столбцу. Значит, столбцы линейно зависимы.

Пример 3.3. Рассмотреть всевозможные системы, образованные из столбцов

$A_1=begin{pmatrix}0\0\0end{pmatrix}!,quad A_2=begin{pmatrix}1\1\1end{pmatrix}!,quad A_3=begin{pmatrix}2\2\2end{pmatrix}!,quad A_4=begin{pmatrix}1\2\3end{pmatrix}!,quad A_5=begin{pmatrix}3\4\5end{pmatrix}!.$

Исследовать каждую систему на линейную зависимость.

Решение. Рассмотрим пять систем, содержащих по одному столбцу. Согласно пункту 1 замечаний 3.1: системы A_2,,A_3,,A_4,,A_5 , линейно независимы, а система, состоящая из одного нулевого столбца A_1 , линейно зависима.

Рассмотрим системы, содержащие по два столбца:

– каждая из четырех систем A_1,A_2;~A_1,A_3;~A_1,A_4 и A_1,A_5 линейно зависима, так как содержит нулевой столбец A_1 (свойство 1);

– система A_2,,A_3 линейно зависима, так как столбцы пропорциональны (свойство 3): A_3=2A_2 ;

– каждая из пяти систем A_2,A_4;~A_2,A_5;~A_3,A_4;~A_3,A_5 и A_4,A_5 линейно независима, так как столбцы непропорциональные (см. утверждение примера 3.2).

Рассмотрим системы, содержащие три столбца:

– каждая из шести систем A_1,A_2,A_3;~A_1,A_2,A_4;~A_1,A_2,A_5;~A_1,A_3,A_4;~A_1,A_3,A_5 и A_1,A_4,A_5 линейно зависима, так как содержит нулевой столбец A_1 (свойство 1);

– системы A_2,A_3,A_4;~A_2,A_3,A_5 линейно зависимы, так как содержат линейно зависимую подсистему A_2,A_3 (свойство 6);

– системы A_2,A_4,A_5 и A_3,A_4,A_5 линейно зависимы, так как последний столбец линейно выражается через остальные (свойство 4): A_5=2A_2+A_4 и A_5=A_3+A_4 соответственно.

Наконец, системы из четырех или из пяти столбцов линейно зависимы (по свойству 6).

См. также Ранг системы столбцов (строк) матрицы

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Определение.

Начать изучение
Транспонирование матриц.

Начать изучение
Некоторые виды матриц.

Начать изучение
Сложение и умножение на число.

Начать изучение
Линейная зависимость матриц.

Начать изучение

Определение.

Мы будем называть матрицей размеров (m times n) совокупность (mn) чисел, расположенных в виде таблицы из (m) строк и (n) столбцов:
$$
begin{Vmatrix}
a_{1}^{1}& a_{2}^{1}& ldots & a_{n}^{1}\
a_{1}^{2}& a_{2}^{2}& ldots & a_{n}^{2}\
ldots&ldots&ldots&ldots\
a_{1}^{m}& a_{2}^{m}& ldots& a_{n}^{m}
end{Vmatrix}nonumber
$$
Числа, составляющие матрицу, мы будем называть элементами матрицы. Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк — её порядком. Остальные матрицы носят название прямоугольных.

Можно дать и такое определение матрицы. Рассмотрим два множества целых чисел (I={1, 2, ldots, m}) и (J={1, 2, ldots, n}). Через (I times J) обозначим множество всех пар вида ((i, j)), где (i in I), a (j in J). Матрицей называется числовая функция на (I times J), то есть закон, сопоставляющий каждой паре ((i, j)) некоторое число (a_{j}^{i}).

Для читателя, знакомого с программированием, заметим, что матрица — это в точности то же, что и двумерный массив.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры, и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Рассматривая произвольные матрицы, мы будем обозначать их элементы буквами с двумя индексами. Если оба индекса расположены внизу, то первый из них обозначает номер строки, а второй — номер столбца; если один из индексов расположен сверху, как в написанной выше матрице, то этот индекс обозначает номер строки. Не следует путать верхние индексы с показателями степени.

Матрицу размеров (1 times n), состоящую из одной строки, мы будем называть строкой длины (n) или просто строкой. Матрицу размеров (m times 1) называют столбцом высоты (m) или просто столбцом. Столбцы и строки мы будем обозначать полужирными буквами.

Часто бывает удобно записывать матрицу как столбец из строк или как строку из столбцов. Пусть
$$
boldsymbol{a}_{1}=begin{Vmatrix}
a_{1}^{1}\
a_{1}^{2}\
vdots\
a_{1}^{m}
end{Vmatrix}, boldsymbol{a}_{2}=begin{Vmatrix}
a_{2}^{1}\
a_{2}^{2}\
vdots\
a_{2}^{m}
end{Vmatrix}, ldots, boldsymbol{a}_{n}=begin{Vmatrix}
a_{n}^{1}\
a_{n}^{2}\
vdots\
a_{n}^{m}
end{Vmatrix}.nonumber
$$
Тогда написанную в начале матрицу можно записать в виде
$$
begin{Vmatrix}
boldsymbol{a}_{1}& boldsymbol{a}_{2}& ldots& boldsymbol{a}_{n}
end{Vmatrix}.nonumber
$$
Аналогично, если (boldsymbol{a}^{1}=begin{Vmatrix} a_{1}^{1}& ldots& a_{n}^{1} end{Vmatrix}, ldots, boldsymbol{a}^{m}=begin{Vmatrix} a_{1}^{m}& ldots& a_{n}^{m} end{Vmatrix}) а же матрица записывается в виде
$$
begin{Vmatrix}
boldsymbol{a}^{1}\
vdots\
boldsymbol{a}^{m}
end{Vmatrix}.nonumber
$$

Рассмотрим матрицу (A) размеров (m times n) и выберем какие-нибудь (r) номеров строк (i_{1}, ldots, i_{r}) и (s) номеров столбцов (j_{1}, ldots, j_{s}), причем будем предполагать, что номера выбраны в порядке возрастания: (i_{1} < i_{2} < ldots < i_{r}) и (j_{1} < j_{2} < ldots < j_{s}). Матрицу (A’) размеров (r times s), составленную из элементов (A), стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, мы назовем подматрицей матрицы (A). Итак,
$$
A’=begin{Vmatrix}
a_{j_{1}}^{i_{1}}& ldots & a_{j_{s}}^{i_{1}}\
ldots&ldots&ldots\
a_{j_{1}}^{i_{r}}& ldots & a_{j_{s}}^{i_{r}}
end{Vmatrix}.nonumber
$$
Если матрица квадратная, то множество тех ее элементов (a_{i}^{i}), у которых номер строки равен номеру столбца, называется главной диагональю или просто диагональю матрицы.

Транспонирование матриц.

Рассмотрим матрицу
$$
A=begin{Vmatrix}
a_{11}& a_{12}& ldots & a_{1n}\
a_{21}& a_{22}& ldots & a_{2n}\
ldots&ldots&ldots&ldots\
a_{m1}& a_{m2}& ldots & a_{mn}\
end{Vmatrix}.nonumber
$$
из (m) строк и (n) столбцов. Ей можно сопоставить матрицу (B) из (n) строк и (m) столбцов по следующему правилу. Элементы каждой строки матрицы (A) записываются в том же порядке в столбцы матрицы (B), причем номер столбца равен номеру строки. Эту матрицу
$$
B=begin{Vmatrix}
a_{11}& a_{21}& ldots & a_{m1}\
a_{12}& a_{22}& ldots & a_{m2}\
ldots&ldots&ldots&ldots\
a_{1n}& a_{2n}& ldots & a_{mn}\
end{Vmatrix}.nonumber
$$
называют транспонированной по отношению к (A) и обозначают (A^{T}). Переход от (A) к (A^{T}) называют транспонированием. Видно, что (i)-я строка (B) состоит из тех же элементов в том же порядке, что и (i)-й столбец (A). Ясно также, что ((A^{T})^{T}=A). Определение транспонированной матрицы можно записать в виде (mn) равенств, связывающих элементы матриц (A) и (B):
$$
b_{ij}=a_{ji} (i=1, ldots, m, j=1, ldots, n).nonumber
$$

Некоторые виды матриц.

Введем определения некоторых часто употребляемых видов матриц. Все матрицы предполагаются квадратными.

Определение.

Матрица (A) называется симметричной или симметрической, если (A^{T}=A). Для такой матрицы (a_{ij}=a_{ji}) при всех (i) и (j) — элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.

Определение.

Матрица (A) называется кососимметричной или антисимметричной, если (A^{T}=-A). Для такой матрицы (a_{ij}=-a_{ji}) при всех (i) и (j) — элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются знаком. Диагональные элементы равны нулю.

Определение.

Матрица (A) называется верхней треугольной, если ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю: (a_{ij}=0) при (i > j). Аналогично определяется нижняя треугольная матрица: (a_{ij}=0) при (i < j).

Определение.

Матрица (A) называется диагональной, если у нее равны нулю все недиагональные элементы: (a_{ij}=0) при (i neq j).

Другие частные виды матриц будем определять по мере необходимости.

Сложение и умножение на число.

Пусть (A) и (B) — матрицы размеров (m times n). Мы можем сопоставить им третью матрицу (C) размеров (m times n), элементы которой (c_{ij}) связаны с элементами и матриц (A) и (B) равенствами
$$
c_{ij}=a_{ij}+b_{ij} (i=1, ldots, m, j=1, ldots, n).label{ref1}
$$

Определение.

Матрица (C), определяемая по (A) и (B) формулой eqref{ref1}, называется их суммой и обозначается (A+B).

Определение.

Матрица (C), элементы которой (c_{ij}) равны произведениям элементов (a_{ij}) матрицы (A) на число (alpha), называется произведением (A) на (alpha) и обозначается (alpha A). Мы имеем
$$
c_{ij}=alpha a_{ij} (i=1, ldots, m, j=1, ldots, n).label{ref2}
$$

Из свойств сложения и умножения чисел легко вытекает наше первое утверждение.

Утверждение 1.

Для любых матриц (A, B, C) и любых чисел (alpha) и (beta) выполнены равенства:

(A+B=B+A),
((A+B)+C=A+(B+C)),
(alpha(A+B)=alpha A+alpha B),
((alpha+beta)A=alpha A+beta A),
((alphabeta)A=alpha(beta A)).

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Если (O) — нулевая матрица размеров (m times n), то для любой матрицы тех же размеров
$$
A+O=A.nonumber
$$

Матрицу ((-1)A) называют противоположной матрице (A) и обозначают (-A). Она обладает тем свойством, что
$$
A+(-A)=O.nonumber
$$

Сумма матриц (B) и (-A) называется разностью матриц (B) и (A) и обозначается (B-A). Мы видим, что сформулированные выше свойства линейных операций с матрицами совпадают со свойствами линейных операций с векторами. Используя линейные операции, мы можем составлять из матриц одинаковых размеров (A_{1}, ldots, A_{k}) и чисел (alpha_{1}, ldots, alpha_{k}), выражения вида
$$
alpha_{1}A_{1}+ldots+alpha_{k}A_{k}.nonumber
$$

Такие выражения называются линейными комбинациями матриц. Если какая-то матрица представлена как линейная комбинация других матриц, то говорят, что она по ним разложена.

Пример 1.

Пусть (boldsymbol{p}_{1}, ldots, boldsymbol{p}_{k}), — столбцы одинаковой высоты (n). Тогда столбец (boldsymbol{q}) той же высоты по ним разложен, если при некоторых коэффициентах (alpha_{1}, ldots, alpha_{k})
$$
boldsymbol{q}=alpha_{1}boldsymbol{p}_{1}+ldots+alpha_{k}boldsymbol{p}_{k},nonumber
$$
или, в более подробной записи,
$$
begin{Vmatrix} q^{1}\
vdots\
q^{n}
end{Vmatrix}=alpha_{1}
begin{Vmatrix} p_{1}^{1}\
vdots\
p_{1}^{n} end{Vmatrix}+ldots+alpha_{k} begin{Vmatrix} p_{k}^{1}\
vdots\
p_{k}^{n} end{Vmatrix}.nonumber
$$
В силу определения линейных операций это матричное равенство равносильно (n) числовым равенствам
$$
begin{matrix}
q^{1}=alpha_{1}p_{1}^{1}+ldots+alpha_{k}p_{k}^{1},\
ldots\
q^{n}=alpha_{1}p_{1}^{n}+ldots+alpha_{k}p_{k}^{n}.
end{matrix}nonumber
$$

Линейная зависимость матриц.

Какова бы ни была система матриц фиксированных размеров (m times n), нулевая матрица тех же размеров раскладывается по этим матрицам в линейную комбинацию с нулевыми коэффициентами. Такую линейную комбинацию называют тривиальной. Как и для векторов, введем понятие линейной независимости.

Определение.

Система матриц (A_{1}, ldots, A_{k}) линейно независима, если нулевая матрица раскладывается по ней однозначно, то есть из
$$
alpha_{1}A_{1}+ldots+alpha_{k}A_{k}=O.label{ref3}
$$
следует (alpha_{1}=ldots=alpha_{k}=0).

В противном случае, то есть если существуют (k) чисел (alpha_{1}, ldots, alpha_{k}), одновременно не равных нулю и таких, что выполнено равенство eqref{ref3}(3), система матриц называется линейно зависимой.

Пример 2.

Столбцы
$$
boldsymbol{e}_{1}=begin{Vmatrix} 1\ 0\ vdots\ 0 end{Vmatrix}, boldsymbol{e}_{2}=begin{Vmatrix} 0\ 1\ vdots\ 0 end{Vmatrix}, ldots, boldsymbol{e}_{n}=begin{Vmatrix} 0\ 0\ vdots\ 1 end{Vmatrix}label{ref4}
$$
(в столбце (boldsymbol{e}_{i}) на (i)-м месте стоит 1, а остальные элементы равны нулю) являются линейно независимыми. Действительно, равенство (alpha_{1}boldsymbol{e}_{1}+ldots+alpha_{n}boldsymbol{e}_{n}=boldsymbol{0}) можно записать подробнее так:
$$
alpha_{1} begin{Vmatrix} 1\ 0\ vdots\ 0 end{Vmatrix}+alpha_{2} begin{Vmatrix} 0\ 1\ vdots\ 0 end{Vmatrix}+ldots+alpha_{n} begin{Vmatrix} 0\ 0\ vdots\ 1 end{Vmatrix}=begin{Vmatrix} alpha_{1}\ alpha_{2}\ vdots\ alpha_{n} end{Vmatrix}=begin{Vmatrix} 0\ 0\ vdots\ 0 end{Vmatrix}.nonumber
$$
Отсюда видно, что (alpha_{1}=alpha_{2}=ldots=alpha_{n}=0).

Это равенство показывает также, что произвольный столбец высоты (n) может быть разложен по столбцам (boldsymbol{e}_{1}, ldots, boldsymbol{e}_{n}). Действительно, в качестве коэффициентов линейной комбинации нужно взять элементы раскладываемого столбца.

Определение.

Квадратная матрица порядка (n), состоящая из столбцов eqref{ref4}:
$$
E=begin{Vmatrix}
1& 0& ldots& 0\
0& 1& ldots& 0\
ldots&ldots&ldots&ldots\
0& 0& ldots& 1 end{Vmatrix},nonumber
$$
называется единичной матрицей порядка (n) или просто единичной матрицей, если порядок известен.

Строки единичной матрицы отличаются от ее столбцов только формой записи.

Утверждение 2.

Столбцы (строки) единичной матрицы линейно независимы и обладают тем свойством, что каждый столбец (строка) с тем же числом элементов раскладывается по ним.

Укажем несколько свойств линейно зависимых и линейно независимых систем матриц.

Утверждение 3.

Система из (k > 1) матриц линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы одна из матриц есть линейная комбинация остальных.

Доказательство.

В самом деле, пусть система линейно зависима. По определению выполнено равенство вида eqref{ref3}, где хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Допустим для определенности, что это (alpha_{1}). Тогда мы можем представить первую матрицу как линейную комбинацию
$$
A_{1}=-frac{alpha_{2}}{alpha_{1}}A_{2}-ldots-frac{alpha_{k}}{alpha_{1}}A_{k}.
$$
Обратно, если одна из матриц разложена по остальным, то это разложение преобразуется к виду eqref{ref3}, где один из коэффициентов равен 1.

Утверждение 4.

Если некоторые из матриц (A_{1}, ldots, A_{k}) составляют сами по себе линейно зависимую систему, то вся система (A_{1}, ldots, A_{k}) линейно зависима.

Доказательство.

Действительно, пусть существует нетривиальная линейная комбинация некоторых из матриц системы, равная нулевой матрице. Если мы добавим к ней остальные матрицы с нулевыми коэффициентами, то получится равная нулевой матрице нетривиальная линейная комбинация всех матриц.

В частности, если в систему матриц входит нулевая матрица, то система линейно зависима.

Утверждение 5.

Любые матрицы, входящие в линейно независимую систему матриц, сами по себе линейно независимы.

Доказательство.

В самом деле, в противном случае мы пришли бы к противоречию на основании предыдущего утверждения.

Утверждение 6.

Если матрица (B) разложена по линейно независимой системе матриц (A_{1}, ldots, A_{k}), то коэффициенты разложения определены однозначно.

Доказательство.

Действительно, пусть мы имеем два разложения
$$
B=alpha_{1}A_{1}+ldots+alpha_{k}A_{k} mbox{и} B=beta_{1}A_{1}+ldots+beta_{k}A_{k}.nonumber
$$
Вычитая одно разложение из другого, мы получаем
$$
O=(alpha_{1}-beta_{1})A_{1}+ldots+(alpha_{k}-beta_{k})A_{k}.nonumber
$$
Матрицы (A_{1}, ldots, A_{k}) линейно независимы, значит, (alpha_{i}-beta_{i}=0) для всех (i=1, ldots, k). Итак, коэффициенты обоих разложений совпадают.

Источник

Понятие ранга матрицы тесно связано с
понятием линейной зависимости и линейной
независимости строк (столбцов) матрицы.

В матрице
рассмотрим отдельные строки.

Обозначим строки
;;
…;.

Определение 1.16 Строка
называется линейной комбинацией
строк,
если ее можно представить в виде

,
где—
числовые коэффициенты;

В этом случае, говорят, что строка
линейно выражается через строки.

Определение 1.17 Система, состоящая
из строк матрицы,
называетсялинейно зависимой,
если хотя бы одна из этих строк является
линейной комбинацией других строк этой
системы, например,

В противном случае, если ни одна из строк

не может быть представлена в виде
линейной комбинации других строк этой
системы, строкиназываютсялинейно независимыми.

Замечание. Следует отметить,
что определение 1.17 не является строгим.
Строгое определение линейно зависимой
и линейно независимой системы будет
дано ниже.

Примеры.

Рассмотрим строки
и.
Нетрудно, заметить, чтот.
е. строкалинейно выражается через строку,
следовательно, строки—
линейно зависимы.

Две пропорциональные строки –
линейно зависимы.

Соответственно, две непропорциональные
строки – линейно независимы.

Рассмотрим три строки
,,Нетрудно заметить, что строкаможет быть представлена в виде суммы
строки,
т.е..
Следовательно, строки— линейно зависимые.

Если отбросить строку
,
то строкии—
линейно независимые, так как
непропорциональные. Следовательно,
максимальное число линейно независимых
строк в данной системе равно двум.

Теорема о ранге матрицы

Ранг матрицы равен максимальному
числу линейно независимых строк
(столбцов) матрицы, через которые линейно
выражаются все остальные строки матрицы.

Пример.

Найти максимальное число линейно
независимых строк матрицы

Решение.

Задача сводится к отысканию ранга
матрицы
.
Найдем ранг матрицы, приведя ее к
ступенчатому виду с помощью элементарных
преобразований.

̴̴.

В ступенчатой матрице две ненулевые
строки, следовательно,
,
а значит, максимальное число линейно
независимых строк матрицы равно 2.
Первая и вторая строки матрицы – линейно
независимые.

Теорема о ранге матрицы имеет принципиальное
значение при изучении систем линейных
алгебраических уравнений.

Соседние файлы в папке Теория ЛА (первый семестр)

#
25.03.2016583.68 Кб5~WRL3348.tmp
#
#
#
#
#

Источник

Линейно зависимые и независимые строки.

Навигация по странице:

Линейная комбинация строк
Тривиальная линейная комбинация строк
Нетривиальная линейная комбинация строк
Линейно зависимые строки
Линейно независимые строки
Примеры линейно зависимых и линейно независимых строк

Определение.

Линейной комбинацией строк s₁, s₂, …, s_l матрицы A называется выражение

α₁s₁ + α₂s₂ + … + α_ls_l

Определение.

Линейная комбинация строк называется тривиальной, если все коэффициенты α_i одновременно равны нулю.

Замечание.

Тривиальная линейная комбинация строк равна нулевой строке.

Определение.

Линейная комбинация строк называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов α_i не равен нулю.

Определение.

Система строк называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевой строке.

Определение.

Система строк называется линейно независимой (ЛНЗ), если только тривиальная линейная комбинация равна нулевой строке (не существует их нетривиальной линейной комбинации, равной нулевой строке).

Пример 1.

Показать, что система строк {s₁ = {2 5}; s₂ = {4 10}} является линейно зависимой.

Решение. Составим линейную комбинацию этих строк

α₁{2 5} + α₂{4 10}

Найдем при каких значениях α₁, α₂ эта линейная комбинация равна нулевой строке

α₁{2 5} + α₂{4 10} = {0 0}

Данное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

	2α₁ + 4α₂ = 0
5α₁ + 10α₂ = 0

Разделим первое уравнение на 2, а второе уравнение на 5:

	α₁ + 2α₂ = 0
α₁ + 2α₂ = 0

Решением этой системы могут быть любые числа α₁ и α₂ такие что: α₁ = -2α₂, например, α₂ = 1, α₁ = -2, а это означает что строки s₁ и s₂ линейно зависимые.

Пример 2.

Показать, что система строк {s₁ = {2 5 1}; s₂ = {4 10 0}} является линейно независимой.

Решение. Составим линейную комбинацию этих строк

α₁{2 5 1} + α₂{4 10 0}

Найдем при каких значениях α₁, α₂ эта линейная комбинация равна нулевой строке

α₁{2 5 1} + α₂{4 10 0} = {0 0 0}

Данное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

	2α₁ + 4α₂ = 0
5α₁ + 10α₂ = 0
α₁ + 0α₂ = 0

Из 3-тего уравнения получаем α₁ = 0, подставим это значение в 1-ое и 2-ое уравнения:

2·0+4α₂=0
5·0+10α₂=0
α₁=0

4α₂=0
10α₂=0
α₁=0

α₂ = 0
α₂ = 0
α₁ = 0

Так как линейная комбинация строк равна нулю только когда α₁ = 0 и α₂ = 0, то строки линейно независимые.

Источник

Это равенство показывает также, что произвольный столбец высоты (n) может быть разложен по столбцам (boldsymbol_<1>, ldots, boldsymbol_). Действительно, в качестве коэффициентов линейной комбинации нужно взять элементы раскладываемого столбца.

Квадратная матрица порядка (n), состоящая из столбцов eqref:
$$
E=begin
1& 0& ldots& 0\
0& 1& ldots& 0\
ldots&ldots&ldots&ldots\
0& 0& ldots& 1 end,nonumber
$$
называется единичной матрицей порядка (n) или просто единичной матрицей, если порядок известен.

Строки единичной матрицы отличаются от ее столбцов только формой записи.

Укажем несколько свойств линейно зависимых и линейно независимых систем матриц.

В самом деле, пусть система линейно зависима. По определению выполнено равенство вида eqref, где хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Допустим для определенности, что это (alpha_<1>). Тогда мы можем представить первую матрицу как линейную комбинацию
$$
A_<1>=-frac<alpha_<2>><alpha_<1>>A_<2>-ldots-frac<alpha_><alpha_<1>>A_.
$$
Обратно, если одна из матриц разложена по остальным, то это разложение преобразуется к виду eqref, где один из коэффициентов равен 1.

Если некоторые из матриц (A_<1>, ldots, A_) составляют сами по себе линейно зависимую систему, то вся система (A_<1>, ldots, A_) линейно зависима.

В частности, если в систему матриц входит нулевая матрица, то система линейно зависима.

Любые матрицы, входящие в линейно независимую систему матриц, сами по себе линейно независимы.

В самом деле, в противном случае мы пришли бы к противоречию на основании предыдущего утверждения.

Если матрица (B) разложена по линейно независимой системе матриц (A_<1>, ldots, A_), то коэффициенты разложения определены однозначно.

Действительно, пусть мы имеем два разложения
$$
B=alpha_<1>A_<1>+ldots+alpha_A_ mbox<и> B=beta_<1>A_<1>+ldots+beta_A_.nonumber
$$
Вычитая одно разложение из другого, мы получаем
$$
O=(alpha_<1>-beta_<1>)A_<1>+ldots+(alpha_-beta_)A_.nonumber
$$
Матрицы (A_<1>, ldots, A_) линейно независимы, значит, (alpha_-beta_=0) для всех (i=1, ldots, k). Итак, коэффициенты обоих разложений совпадают.

Линейная зависимость векторов. Базис системы векторов

Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A₁, A₂. A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ_1, λ₂. λ_n, при котором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+. +λ_n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+. +A_nx_n =Θ имеет ненулевое решение.
Набор чисел λ_1, λ₂. λ_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ_1, λ₂. λ_n отлично от нуля.

Определение линейной независимости системы векторов

Система векторов A₁, A₂. A_n называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+. +λ_n*A_n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ_1, λ₂. λ_n, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+. +A_nx_n =Θ имеет единственное нулевое решение.

Проверить, является ли линейно зависимой система векторов

Решение:

1. Составляем систему уравнений:

2. Решаем ее методом Гаусса. Преобразования Жордано системы приведены в таблице 1. При расчете правые части системы не записываются так как они равны нулю и при преобразованиях Жордана не изменяются.

3. Из последних трех строк таблицы записываем разрешенную систему, равносильную исходной системе:

4. Получаем общее решение системы:

5. Задав по своему усмотрению значение свободной переменной x₃ =1, получаем частное ненулевое решение X=(-3,2,1).

Ответ: Таким образом, при ненулевом наборе чисел (-3,2,1) линейная комбинация векторов равняется нулевому вектору -3A₁+2A₂+1A₃=Θ. Следовательно, система векторов линейно зависимая.

Свойства систем векторов

Свойство (1)
Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из векторов разлагается по остальным и, наоборот, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным, то система векторов линейно зависимая.

Свойство (2)
Если какая-либо подсистема векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.

Свойство (3)
Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

Свойство (4)
Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая.

Свойство (5)
Система m-мерных векторов всегда является линейно зависимой, если число векторов n больше их размерности (n>m)

Базис системы векторов

Базисом системы векторов A₁ , A₂ . A_n называется такая подсистема B₁, B₂ . B_r (каждый из векторов B₁,B₂. B_r является одним из векторов A₁ , A₂ . A_n)_, которая удовлетворяет следующим условиям:
1. B₁,B₂. B_r линейно независимая система векторов;
2. любой вектор A_j системы A₁ , A₂ . A_n линейно выражается через векторы B₁,B₂. B_r

r — число векторов входящих в базис.

Теорема «о единичном базисе системы векторов»

Если система m-мерных векторов содержит m различных единичных векторов E₁ E₂ . E_m , то они образуют базис системы.

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того, чтобы найти базис системы векторов A₁ ,A₂ . A_n необходимо:

Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A₁x₁+A₂x₂+. +A_nx_n =Θ

Привести эту систему

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:

e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.

Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 )

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

A = 3 2 3 — 2 1 — 1 1 2 — 2 A = 3 — 2 1 2 1 2 3 — 1 — 2 = 3 · 1 · ( — 2 ) + ( — 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( — 1 ) — 1 · 1 · 3 — ( — 2 ) · 2 · ( — 2 ) — 3 · 2 · ( — 1 ) = = — 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , — 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , — 1 , — 2 ) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Исходные данные: векторы

a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 — 1 1 0 1 — 2 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 — 2 — 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Исходные данные: векторы

a ( 1 ) = ( 1 , 2 , — 1 , — 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , — 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Докажем эту теорему:

зададим базис n -мерного векторного пространства — e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :

x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n — некоторые числа.

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:

1 — x 1 ) · e ( 1 ) + ( x

2 — x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x

Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x

2 — x 2 ) , . . . , ( x

n — x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x

n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.

При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .

Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x

Вектор x → будет представлен следующим образом:

2 · e ( 2 ) + . . . + x

Запишем это выражение в координатной форме:

( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x

1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x

2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x

n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x

2 e 1 ( 2 ) + . . . + x

2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x

n e 2 ( n ) , . . . , x

2 e n ( 2 ) + . . . + x

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x

n e 2 n ⋮ x n = x

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )

Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x

n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e ( 1 ) = ( 1 , — 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , — 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , — 3 ) x = ( 6 , 2 , — 7 )

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .

Используем метод Гаусса:

A = 1 — 1 1 3 2 — 5 2 1 — 3

1 — 1 1 0 5 — 8 0 3 — 5

1 — 1 1 0 5 — 8 0 0 — 1 5

R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x

3 . Связь этих координат определяется уравнением:

3 e 1 ( 3 ) x 2 = x

3 e 2 ( 3 ) x 3 = x

Применим значения согласно условиям задачи:

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆ = 1 3 2 — 1 2 1 1 — 5 — 3 = — 1 ∆ x

1 = 6 3 2 2 2 1 — 7 — 5 — 3 = — 1 , x

1 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x

2 = 1 6 2 — 1 2 1 1 — 7 — 3 = — 1 , x

2 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x

3 = 1 3 6 — 1 2 2 1 — 5 — 7 = — 1 , x

Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x

Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

n ( 1 ) — координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:

1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c

В виде матрицы систему можно отобразить так:

( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c

n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :

( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) = ( c

n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

И, далее действуя по тому же принципу, получаем:

( c 1 ( n ) , c 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) ) = ( c

n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Матричные равенства объединим в одно выражение:

c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c

n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) через базис c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) :

e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e

n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )

Дадим следующие определения:

n ( n ) является матрицей перехода от базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 )

к базису c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) .

n ( n ) является матрицей перехода от базиса c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n )

к базису e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) .

источники:

http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/lineynaya-zavisimost-vektorov.html

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/vektornoe-prostranstvo/

Источник

Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы

Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц

Определение.

Транспонирование матриц.

Некоторые виды матриц.

Сложение и умножение на число.

Линейная зависимость матриц.

Линейно зависимые и независимые строки.

Линейная зависимость векторов. Базис системы векторов

Определение линейной зависимости системы векторов

Определение линейной независимости системы векторов

Свойства систем векторов

Базис системы векторов

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

Разложение вектора по базису

Связь между базисами

Не пропустите также: