А вы в школе разве математику не проходили?? ? О_о
Квадрат — когда одинаковые числа умножаются друг на друга. А если это зависимость? Тогда это выглядит вот так.
y
0 х
Такую зависимость выводят, а не понимают.
Если, к примеру, у вас в первом доме один человека ходит в школу, а во втором доме в квадрат больше его номера, а в третьем в квадрат больше, тогда это зависимость. Т. е. это само по себе просто существует, но просто кто-то посчитал это. И кто-то сделал вывод о квадратичной зависимости. А если бы у вас в первом доме ходил один человек в школу, а во втором доме два человека, а в третьем три — тогда это была бы линейная зависимость. Но она просто определяется путём подсчёта. Это вовсе не зависит от того кто какую кашу или хлеб ест. Просто в каждом следующем доме детей больше, а где-то взрослых или пожилых людей. Но, кто-то сообразил, что можно номера домов и количество учащихся в школе детей составить в некую вымышленную зависимость. Т. е. она взята просто так. Но, кто-то, именно, сообразил придумать вот такую зависимость, которая ни от чего в общем-то не зависит. Просто кто-то был наблюдательным и умел считать. И только.
И записывается линейная зависимость как x = у, а квадратичная зависимость x = y².
Для примера с домами и детьми учащимися в школе:
х — номер дома;
y — количество учащихся в школе.
И если номер дома 1, тогда:
при линейной зависимости 1 соответствует 1;
при квадратичной зависимости 1 соответствует 1²
А если номер дома 2, тогда:
при линейной зависимости 2 соответствует 4;
при квадратичной зависимости 2 соответствует 2² = 4.
А если номер дома 3, тогда:
при линейной зависимости 3 соответствует 3;
при квадратичной зависимости 3 соответствует 3² = 9.
Только учти, что х = у² это — та самая зависимость (или функция) , где знак равенства не просто так сам по себе знак равно, а именно имеет смысл само по себе такого вида математическое выражение. А оттого и называется зависимостью, т. е. функцией. Если в нём заменить буквы на числа, то само выражение окажется бессмысленным. Т. е. от чего начали, к тому и вернулись. Сама же зависимость была придуманна просто так. Просто кто-то увидал её, и так её описал.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Представьте расстояние между двумя точками в виде отрезка прямой линии, соединяющего эти точки. Длину этого отрезка можно найти по формуле: √
.
Шаги
-
1
Определите координаты двух точек, расстояние между которыми вы хотите вычислить. Обозначим их Точка 1 (x1,y1) и Точка 2 (x2,y2). Неважно, как именно вы обозначите точки, главное, не перепутать их координаты при расчетах.[1]
- x1 − это горизонтальная координата (вдоль оси x) Точки 1, а x2 − горизонтальная координата Точки 2. Соответственно, y1 − вертикальная координата (вдоль оси y) Точки 1, и y2 − вертикальная координата Точки 2.
- Возьмем, например, точки (3,2) и (7,8). Если мы примем, что (3,2) − это (x1,y1), тогда (7,8) − это (x2,y2).
-
2
Ознакомьтесь с формулой для вычисления расстояния. Эта формула позволяет найти длину прямого отрезка, соединяющего две точки, Точку 1 и Точку 2. Длина этого отрезка равна квадратному корню от суммы квадратов расстояний между точками по горизонтали и вертикали. Проще говоря, это квадратный корень из
.[2]
-
3
Найдите, чему равны расстояния между точками по горизонтали и вертикали. Расстояние по вертикали найдем в виде разности y2 — y1. Соответственно, расстояние по горизонтали составит x2 — x1. Не волнуйтесь, если в результате вычитания вы получите отрицательное значение. Следующим шагом будет возведение найденных расстояний в квадрат, что в любом случае даст положительное целое число.[3]
- Найдите расстояние вдоль оси y. Для нашего примера с точками (3,2) и (7,8), где координаты (3,2) соответствуют Точке 1, а координаты (7,8) − Точке 2, находим: (y2 — y1) = 8 — 2 = 6. Это значит, что расстояние между нашими точками по оси y равно шести единицам длины.
- Найдите расстояние вдоль оси x. Для нашего примера с точками (3,2) и (7,8) получаем: (x2 — x1) = 7 — 3 = 4. Это значит, что по оси x наши точки разделяет расстояние, равное четырем единицам длины.
-
4
Возведите оба значения в квадрат. Необходимо по отдельности возвести в квадрат расстояние вдоль оси x, равное (x2 — x1), и расстояние вдоль оси y, составляющее (y2 — y1):
-
5
Сложите полученные значения. В результате вы найдете квадрат диагонали, то есть расстояния между двумя точками. В нашем примере для точек с координатами (3,2) и (7,8) находим: (7 — 3) в квадрате равно 36, и (8 — 2) в квадрате равно 16. Складывая, получаем 36 + 16 = 52.
-
6
Извлеките квадратный корень из найденной величины. Это последний шаг. Расстояние между двумя точками равно квадратному корню от суммы квадратов расстояний вдоль оси x и вдоль оси y.[4]
- Для нашего примера находим: расстояние между точками (3,2) и (7,8) равно корню квадратному из 52, то есть примерно 7,21 единицы длины.
Реклама
Советы
- Не страшно, если в результате вычитания y2 — y1 или x2 — x1 у вас получилось отрицательное значение. Поскольку затем разность возводится в квадрат, расстояние все равно будет равно положительному числу.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 89 479 раз.
Была ли эта статья полезной?
You’re sitting in math class trying to survive your latest pop quiz. The questions on Page 1 weren’t too hard, but on the second page, you see a graph with two little dots on it labeled «Point 1» and «Point 2.» And they’re connected together by a diagonal line.
Sweat trickles down your forehead as you read the prompt: «Find the distance between these points.»
Don’t panic — you don’t even need a distance calculator to tackle this. The distance formula you’re looking for is fairly straightforward and has ties to one of the most useful and famous concepts in all of mathematics: the Pythagorean theorem.
Contents
- The Pythagorean Theorem Is Related to Distance Formula
- Distance Formula and the Point Coordinate Plane
- How to Derive Distance Formula
- Calculating the Distance Between Two Points
The Pythagorean Theorem Is Related to Distance Formula
The Pythagorean theorem was named for the Greek philosopher Pythagoras. But he can’t take sole credit for discovering it. Old Pythagoras lived from about 570 to 490 B.C.E. Yet more than 1,000 years before he was born, the ancient Babylonians were already aware of the geometric principle that now bears his name.
For those in need of a quick refresher, the Pythagorean theorem says:
The area of the square built upon the hypotenuse of a right triangle is equal to the sum of the areas of the squares upon the remaining sides.
We’ve got a couple of things to unpack here. A right triangle, also known as a right-angled triangle, is one that contains one 90-degree angle, also known as a right angle. The longest line on a right triangle is called the hypotenuse. (This is the line situated on the opposite side of the right angle.)
Now as we all know, a triangle may have three sides, but a square’s got four.
So imagine taking the hypotenuse of a right triangle and turning it into one of the four lines of a brand-new square. Then do the same thing to the other two sides in the original triangle. You’ll end up with three individual squares.
As the Pythagorean theorem points out, the square you just made with the hypotenuse will have the same area as the other two squares put together. If the hypotenuse was labeled «c» and those other line segments were labeled «a» and «b,» then we could express that idea like so:
grebeshkovmaxim/Shutterstock
Distance Formula and the Point Coordinate Plane
When most people hear the word «graph,» they’re picturing a chart with two lines — one vertical, one horizontal — that intersect each other at a right angle.
The vertical line is called the y-axis and its horizontal counterpart is the x-axis. Both lines work together to tell a story with data. Just take a look at this humorous graph from cartoonist Jorge Cham about somebody’s not-so-relaxing vacation where the y-axis is labeled «stress» and the x-axis is labeled «time.»
In order to make sense of where one point rests on your graph, you need to measure where it falls along the two dimensions (the x-axis and the y-axis). These are known as the point’s coordinates. You need to find the coordinates for the first point and the second point before you can calculate the distance between them. You’ll use the distance formula to measure the straight line segment connecting the two points.
How to Derive Distance Formula
Enough preamble. The question you want answered is how to find the distance between two points on a graph (i.e., two sets of two coordinates).
The first point and second point on your graph will each have an x coordinate and a y coordinate. You can calculate the shortest distance between these two points by using the Euclidean distance formula, which is a Pythagorean theorem-related algebraic expression. Here it is, folks:
D = √(x2-x1)2 + (y2-y1)2
Note that «D» means «distance.» As for x2 and x1, they refer to the x coordinates of Point 2 and Point 1, respectively. Same goes for y2 and y1, except those are the two y coordinates.
So to calculate the distance, our first step is to subtract x1 from x2. Then we have to multiply the resulting number by itself (or, in other words, «square» that number). After that, we must subtract y1 from y2 and then square the answer we get from doing so.
This will leave us with two numbers we must add together. Then finally, take that number and find its square root. And that square root, ladies and gentlemen, is our distance.
Calculating the Distance Between Two Points
OK, so let’s say Point 1 has an x coordinate of 2 and a y coordinate of 5. Let us also assume that Point 2’s got an x coordinate of 9 and a y coordinate of 13.
Plug those values into the handy dandy formula and you get this:
D = √(9-2)2 + (13-5)2
What’s 9 minus 2? Easy, 7. And 13 minus 5 is 8, of course.
So now we’re left with this:
D = √72 + 82
If you «square» 7 — as in, multiply the number by itself — you end up with 49. As for 8 squared that works out to 64. Let’s plug those values into the equation, eh?
D = √49 + 64
Now we’re cooking. Add 49 and 64 and you get 113.
D = √113
What’s the square root of 113? The answer is 10.63, so therefore:
D = 10.63
Go forth and ace that pop quiz!
Знание того, как рассчитать расстояние между двумя координатами, имеет множество практических применений в науке и строительстве. Чтобы найти расстояние между двумя точками на двумерной сетке, вам нужно знать координаты x и y каждой точки. Чтобы найти расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве, вам также необходимо знать z-координаты точек.
Формула расстояния используется для выполнения этой работы и является простой: возьмите разницу между значениями X и разницей между значениями Y, сложите их квадраты и возьмите квадратный корень из суммы, чтобы найти прямую расстояние, как на расстоянии между двумя точками на картах Google над землей, а не на извилистой дороге или водном пути.
Расстояние в двух измерениях
Вычислите положительную разницу между координатами x и назовите это число X. Координаты x — это первые числа в каждом наборе координат. Например, если две точки имеют координаты (-3, 7) и (1, 2), то разница между -3 и 1 равна 4, и поэтому X = 4.
Вычислите положительную разницу между координатами y и назовите это число Y. Координаты y являются вторыми числами в каждом наборе координат. Например, если две точки имеют координаты (-3, 7) и (1, 2), то разница между 7 и 2 равна 5, и поэтому Y = 5.
Используйте формулу D 2 = X 2 + Y 2, чтобы найти квадрат расстояния между двумя точками. Например, если X = 4 и Y = 5, то D 2 = 4 2 + 5 2 = 41. Таким образом, квадрат расстояния между координатами равен 41.
Возьмите квадратный корень из D 2, чтобы найти D, фактическое расстояние между двумя точками. Например, если D 2 = 41, то D = 6, 403, и поэтому расстояние между (-3, 7) и (1, 2) составляет 6, 403.
Расстояние в трех измерениях
Вычислите положительную разницу между z-координатами и назовите это число Z. Z-координатами являются третьи числа в каждом наборе координат. Например, предположим, что две точки в трехмерном пространстве имеют координаты (-3, 7, 10) и (1, 2, 0). Разница между 10 и 0 составляет 10, и поэтому Z = 10.
Используйте формулу D 2 = X 2 + Y 2 + Z 2, чтобы найти квадрат расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Например, если X = 4, Y = 5 и Z = 10, то D 2 = 4 2 + 5 2 + 10 2 = 141. Таким образом, квадрат расстояния между координатами равен 141.
Возьмите квадратный корень из D 2, чтобы найти D, фактическое расстояние между двумя точками. Например, если D 2 = 141, то D = 11, 874 и, таким образом, расстояние между (-3, 7, 10) и (1, 2, 0) составляет 11, 87.
Обычное расстояние в математике и физике
Использование теоремы Пифагора для поиска вычислить двумерное евклидово расстояние
В математике евклидово расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве представляет собой число, длину отрезок между двумя точками. Его можно вычислить из декартовых координат точек, используя теорему Пифагора, и иногда его называют расстоянием Пифагора . Эти имена происходят от древнегреческих математиков Евклид и Пифагор, но Евклид не представлял расстояния в виде чисел, и связь теоремы Пифагора с вычислением расстояний не проводилась до 17 века..
Расстояние между двумя объектами, которые не являются точками, обычно определяется как наименьшее расстояние между любыми двумя точками от двух объектов. Известны формулы для вычисления расстояний между различными типами объектов, например расстояния от точки до линии. В высшей математике понятие расстояния было обобщено на абстрактные метрические пространства, и были изучены другие расстояния, кроме евклидова. Квадрат евклидова расстояния не является метрикой, но удобен для многих приложений в статистике и оптимизации.
Содержание
- 1 Формулы расстояний
- 1.1 Одно измерение
- 1.2 Два измерения
- 1.3 Более высокие измерения
- 1.4 Другие объекты, кроме точек
- 2 Евклидово расстояние в квадрате
- 3 Обобщения
- 4 История
- 5 Ссылки
Формулы расстояния
Одно измерение
Расстояние между любыми двумя точками на вещественной прямой является абсолютным значением числовой разности их координат. Таким образом, если p { displaystyle p}
и q { displaystyle q}
— две точки на реальной прямой, то расстояние между ними определяется по формуле:
- d (p, q) = | p — q |. { displaystyle d (p, q) = | pq |.}
Более сложная формула, дающая то же значение, но более легко обобщающая на более высокие измерения:
- d (p, q) = (p — q) 2. { displaystyle d (p, q) = { sqrt {(pq) ^ {2}}}.}
В этой формуле возведение в квадрат с последующим извлечением квадратного корня оставляет любое положительное число неизменным, но заменяет любое отрицательное число его абсолютным значением.
Два измерения
В евклидовой плоскости пусть точка p { displaystyle p}имеют декартовы координаты (p 1, p 2) { displaystyle (p_ {1}, p_ {2})}
и пусть точка q { displaystyle q}имеет координаты (q 1, q 2) { displaystyle (q_ {1}, q_ {2})}
. Тогда расстояние между p { displaystyle p}и q { displaystyle q}определяется следующим образом:
- d (p, q) = ( p 1 — q 1) 2 + (p 2 — q 2) 2. { displaystyle d (p, q) = { sqrt {(p_ {1} -q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2} -q_ {2}) ^ {2}}}.}
Это можно увидеть, применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику с горизонтальной и вертикальной сторонами, имеющему отрезок из p { displaystyle p}От до q { displaystyle q}в качестве его гипотенузы. Две квадратные формулы внутри квадратного корня дают площади квадратов на горизонтальной и вертикальной сторонах, а внешний квадратный корень преобразует площадь квадрата на гипотенузе в длину гипотенузы.
Также возможно вычислить расстояние для точек, заданных полярными координатами. Если полярные координаты p { displaystyle p}равны (r, θ) { displaystyle (r, theta)}
, а полярные координаты q { displaystyle q}are (s, ψ) { displaystyle (s, psi)}
, тогда расстояние до них
- d ( p, q) знак равно r 2 + s 2 — 2 rs cos (θ — ψ). { displaystyle d (p, q) = { sqrt {r ^ {2} + s ^ {2} -2rs cos ( theta — psi)}}.}
Когда p { displaystyle p}и q { displaystyle q}выражаются как комплексные числа в комплексной плоскости, та же формула для одномерных точек, выраженных действительными числами, можно использовать:
- d (p, q) = | p — q |. { displaystyle d (p, q) = | pq |.}
Высшие измерения
Получение
n { displaystyle n}
-размерной формулы Евклидова расстояния путем многократного применения пифагорова Теорема
В общем, для точек, заданных декартовыми координатами в n { displaystyle n}-мерном евклидовом пространстве, расстояние составляет
- d (p, q) = (p 1 — q 1) 2 + (p 2 — q 2) 2 + ⋯ + (pi — qi) 2 + ⋯ + (pn — qn) 2. { displaystyle d (p, q) = { sqrt {(p_ {1} -q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2} -q_ {2}) ^ {2} + cdots + ( p_ {i} -q_ {i}) ^ {2} + cdots + (p_ {n} -q_ {n}) ^ {2}}}.}
Другие объекты, кроме точек
Для пар объектов, которые не являются обеими точками, расстояние проще всего определить как наименьшее расстояние между любыми двумя точками от двух объектов, хотя более сложные обобщения от точек к множествам, такие как расстояние Хаусдорфа, также являются обычно используется. Формулы для вычисления расстояний между различными типами объектов включают:
- расстояние от точки до линии в евклидовой плоскости
- расстояние от точки до плоскости в трехмерном евклидовом пространстве
- расстояние между двумя линиями в трехмерном евклидовом пространстве
Евклидово расстояние в квадрате
Во многих приложениях и в В частности, при сравнении расстояний может быть удобнее опускать конечный квадратный корень при вычислении евклидовых расстояний. Результатом этого упущения является квадрат евклидова расстояния, который называется квадратом евклидова расстояния . В виде уравнения:
- d 2 (p, q) = (p 1 — q 1) 2 + (p 2 — q 2) 2 + ⋯ + (pi — qi) 2 + ⋯ + (pn — qn) 2. { displaystyle d ^ {2} (p, q) = (p_ {1} -q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2} -q_ {2}) ^ {2} + cdots + ( p_ {i} -q_ {i}) ^ {2} + cdots + (p_ {n} -q_ {n}) ^ {2}.}
Помимо применения в сравнении расстояний, квадрат евклидова расстояния равен центральная важность в статистике, где он используется в методе наименьших квадратов, стандартном методе подбора статистических оценок к данным путем минимизации среднего квадрата расстояний между наблюдаемыми и оценочными значениями. Сложение квадратов расстояний друг с другом, как это делается при аппроксимации методом наименьших квадратов, соответствует операции с (неквадратными) расстояниями, называемой сложением Пифагора. В кластерном анализе квадраты расстояний могут использоваться для усиления эффекта больших расстояний.
Евклидово расстояние в квадрате не является метрикой , так как оно не удовлетворяет критерию неравенство треугольника. Однако это гладкая, строго выпуклая функция двух точек, в отличие от расстояния, которое негладко для равных точек и выпукло, но не строго выпукло. Таким образом, квадрат расстояния является предпочтительным в теории оптимизации, поскольку он позволяет использовать выпуклый анализ. Поскольку возведение в квадрат — это монотонная функция неотрицательных значений, минимизация квадрата расстояния эквивалентна минимизации евклидова расстояния, поэтому задача оптимизации эквивалентна с точки зрения любого из них, но ее легче решить, используя квадрат расстояния.
Набор всех квадратов расстояний между парами точек из конечного набора может храниться в матрице евклидовых расстояний. В рациональной тригонометрии используется квадрат евклидова расстояния, потому что (в отличие от самого евклидова расстояния) квадрат расстояния между точками с координатами рациональное число всегда рационально; в этом контексте его также называют «квадранс».
Обобщения
В более сложных областях математики евклидово пространство и его расстояние являются стандартным примером метрического пространства, называется евклидовой метрикой . Евклидова дистанционная геометрия изучает свойства евклидовой геометрии с точки зрения ее расстояний и свойства наборов расстояний, которые можно использовать для определения того, происходят ли они из евклидовой метрики. При просмотре евклидова пространства как векторного пространства его расстояние связано с нормой , называемой евклидовой нормой, определяемой как расстояние каждого вектора от происхождение. Одно из важных свойств этой нормы по сравнению с другими нормами — то, что она остается неизменной при произвольных поворотах пространства вокруг начала координат. Согласно теореме Дворецкого, каждое конечномерное нормированное векторное пространство имеет подпространство большой размерности, норма в котором приблизительно евклидова; евклидова норма — единственная норма с этим свойством. Его можно расширить до бесконечномерных векторных пространств как L norm или расстояние L.
Другие распространенные расстояния в евклидовых пространствах и векторных пространствах низкой размерности включают:
- расстояние Чебышева, который измеряет расстояние, предполагая, что имеет значение только наиболее значимое измерение.
- Манхэттенское расстояние, которое измеряет расстояние только в направлениях, выровненных по оси.
- Расстояние Минковского, обобщение, объединяющее евклидово расстояние, Расстояние Манхэттена и расстояние Чебышева.
Для точек на поверхности в трех измерениях евклидово расстояние следует отличать от геодезического расстояния, длины кратчайшей кривой, которая принадлежит поверхности. В частности, для измерения расстояний по большому кругу на Земле или других почти сферических поверхностях использованные расстояния включают расстояние Гаверсинуса, дающее расстояние по большому кругу между двумя точками на сфере с учетом их долготы и широты., и формулы Винсенти, также известные как «расстояние Винсента» для определения расстояния на сфероиде.
История
Евклидово расстояние — это расстояние в евклидовом пространстве ; обе концепции названы в честь древнегреческого математика Евклида, чьи Элементы стали стандартным учебником по геометрии на многие века. Понятия длина и расстояние широко распространены в разных культурах, их можно датировать самыми ранними сохранившимися «протолитическими» бюрократическими документами из Шумера четвертого тысячелетия до нашей эры (намного раньше Евклид), и было выдвинуто предположение, что у детей они развиваются раньше, чем соответствующие концепции скорости и времени. Но понятие расстояния, как числа, определяемого двумя точками, на самом деле не встречается в «Элементах» Евклида. Вместо этого Евклид приближается к этой концепции неявно, через конгруэнтность отрезков прямой, через сравнение длин отрезков и через концепцию пропорциональности.
Теорема Пифагора тоже древний, но он сыграл центральную роль в измерении расстояний с изобретением декартовых координат Рене Декартом в 1637 году. Из-за этой связи евклидово расстояние также иногда называется расстоянием Пифагора. Хотя точные измерения больших расстояний на поверхности Земли, которые не являются евклидовыми, снова изучались во многих культурах с древних времен (см. история геодезии ), идея о том, что евклидово расстояние может быть не единственным способом Измерение расстояний между точками в математических пространствах пришло еще позже, с формулировкой 19 века неевклидовой геометрии. Определение евклидовой нормы и евклидова расстояния для геометрии более трех измерений также впервые появилось в 19 веке в работе Огюстена-Луи Коши.