Как найти квадрат какого числа

Did this article help you?

В этой статье мы поговорим, что такое квадрат числа, как его найти, а также каким образом производятся подобные вычисления в программировании.

Квадратом Х называют произведение 2-х множителей, каждый из которых равен Х.

Обозначение квадрата осуществляется с помощью степени, то есть Х² читается «Х в квадрате».

Если говорить еще более простым языком, то квадратом можно назвать число, которое умножено само на себя. Таким образом, мы можем написать простейшую формулу вычисления Х²:

Х² = Х ⋅ Х

Почему вообще такое выражение называют квадратом X? Дело в том, что именно данной формулой выражают площадь квадрата, сторона которого равна X, то есть геометрически это значение можно представить в виде площади квадрата, имеющего целочисленную сторону.

Вывод тут прост: для решение поставленной задачи следует требуемое значение взять в качестве множителя дважды, а потом вычислить произведение. Соответственно:

3² = 3 ⋅ 3 = 9

5² = 5 ⋅ 5 = 25

10² = 10 ⋅ 10 = 100

Это все элементарно и проходится в начальных классах средней школы. Решить такой пример в математике не проблема, а когда числовые значения выходят за рамки классической таблицы умножения, используют таблицу, ускоряющую расчеты.

Также описанную математическую операцию можно рассматривать в контексте частного случая возведения в степень — ведь именно этим, по сути, она и является — возведением в степень 2.

Интерес представляет и числовая последовательность для квадратов целых чисел, являющихся неотрицательными (речь идет о последовательности A000290 в OEIS):

Нельзя не сказать и про график y=x², где представлены целые значения x на отрезке 1-25.

Квадратные числа

Если же говорить о натуральных числах из последовательности, упомянутой выше, в историческом контексте, то их всегда называли «квадратными». Квадратное числовое значение также называют полным либо точным квадратом, то есть целым значением, квадратный корень из которого можно извлечь нацело. К примеру, найти корень из 9 несложно (√9 = 3, т. к. 3 ⋅ 3 = 9). Не составляет проблем и вычислить корень из ста: (√100 = 10, ведь десять на десять равно сто).

Легко понять, что сто — это квадратное число, так как его можно записать в виде 10 ⋅ 10, плюс оно может быть представлено, как было сказано выше, в качестве площади квадрата со стороной, равной десяти. Таким образом, можно сделать вывод, что квадратное число включено в категорию классических фигурных чисел, то есть чисел, которые мы можем представить в виде геометрических фигур. Но в эту тему углубляться пока не будем.

А что в программировании?

Теперь давайте посмотрим, как все это работает в программировании. Для примера возьмем такой язык программирования, как Java (кстати, статья о том, как выполнять возведение в степень в Java, уже была).

Напишем простой метод по возведению любых числовых значений в квадрат:

public class Main{

 static int square(int x){

        return x*x;

    }   

  public static void main(String[] args){

        System.out.println( square(10) );

        }

}

Вы можете воспользоваться любым онлайн-компилятором для проверки этого кода. Также никто не мешает вписать любое число вместо десяти.

Теперь воспользуемся простейшей программой для того, чтобы найти квадратный корень из 100:

public class Main{

public static void main(String args[]){

      double x = 100;

    System.out.printf("sqrt(%.2f) = %.2f%n", x, Math.sqrt(x));

      }

}

Программа позволяет извлекать корень и из неквадратных значений. Ниже мы находим корень из 167:

Да, в современную эпоху калькуляторов мало кто считает в уме. Вдобавок ко всему, сегодня даже не надо покупать настоящий калькулятор, так как калькулятор есть в любом мобильном телефоне, не говоря уже об онлайн-калькуляторах, коих существует огромное количество. Однако это не значит, что можно забыть азы алгебры. Не зря же великий русский ученый Михаил Ломоносов когда-то сказал:

По материалам:

• https://calculator888.ru/tablitsa-kvadratov;
• http://www.for6cl.uznateshe.ru/kvadrat-chisla/;
• https:/ru.wikipedia.org/.

Таблица квадратов натуральных чисел. Формулы сокращенного умножения

Как научиться считать быстро и без калькулятора? Ведь и на ЕГЭ, и на ОГЭ по математике пользоваться калькулятором вы не можете.

Первое, что вам поможет, — это знание таблицы квадратов натуральных чисел. Учите наизусть, как таблицу умножения!

Все мы изучали в средней школе формулы сокращенного умножения. Правда, тогда мы не вполне понимали, зачем нам это надо. Все эти квадраты суммы и разности квадратов… А нужны они для того, чтобы быстро считать. И когда на ЕГЭ по математике на решение варианта у вас всего 3 часа 55 минут, а успеть надо очень много, — эти формулы просто незаменимы.

Как применять эти формулы на практике?

Например,

;

.
И более сложная ситуация. Она может вам встретиться в задании 7 Профильного ЕГЭ по математике, если вдруг придется считать площадь криволинейной под графиком функции как разность первообразных.

Правда, есть и более простое решение этой задачи. И в нем тоже используется одна из формул сокращенного умножения.

А вот и еще один полезный лайфхак:

Числа, оканчивающиеся на 5, в квадрат возводятся мгновенно.

Чтобы найти квадрат числа ( – не обязательно цифра, любое натуральное число), умножаем на и к результату приписываем 25.)

Например,
.

Разберем еще несколько примеров на формулы сокращенного умножения.

1. Вычислите:

Решение:
Применим формулу разности кубов для выражения в числителе.

Ответ: 123.

2. Вычислите

Решение:
Конечно, мы не будем отдельно вычислять значения выражений в числителе и знаменателе дроби.
Применим формулы сокращенного умножения. В числителе – квадрат разности. В знаменателе – разность квадратов.

Ответ: 1,25.

Такие задания могут встретиться в первой части ЕГЭ по математике. А вычисления этого типа – в «экономической» задаче из второй части.

3. Найдите значение выражения если a = 47, b = 999.

Решение:
Числитель дроби является полным квадратом;

Знаменатель дроби преобразуем к виду:

Получим:

Если a = 47, b = 999, получаем:

4. Найдите значение выражения:

Решение:
Сделаем замену переменной: тогда

Запишем выражение в виде:

Квадратный трехчлен имеет корни и поэтому

Ответ: 2.

Рассмотрим задачи по теме: разложение на множители. Здесь мы тоже применяем формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности, разность кубов, сумма кубов… Все это может пригодиться, например, при решении задач с параметрами, а также уравнений и неравенств на ЕГЭ по математике.

Разложите на множители:

5.

Решение:

Применим формулу разности квадратов.

6.

Каждое из слагаемых содержит m в целой степени. Вынесем за скобки Также за скобки можно вынести 12. Получим:

Здесь мы применили формулу квадрата суммы.

7.

Решение:

Представим выражение в виде:

Выражение в скобках – это квадрат суммы. Получим:

Это разность квадратов. Применяем формулу:

разложили на множители.

8.

Такое выражение может встретиться в задаче с параметрами. Разложим его на множители:

9.

Решение:
Первые три слагаемые образуют полный квадрат:

Следовательно,

10.

Решение. Последние три слагаемые после вынесения знака минус образуют полный квадрат:

Тогда

Воспользуемся формулой разности квадратов и получим:

Тогда

Ответ:

Формулы сокращенного умножения помогут также при решении уравнений.

11. Решите уравнение:

Решение: По формуле разности кубов,

Тогда

Подставив в наше уравнение, получим:

Ответ: 2